Ap alg lin07

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Ap alg lin07

  1. 1. CAPÍTULO 4 ESPAÇO VETORIAL No contexto físico, os vetores desempenham um importante papel, por exemplo, a velocidade e aaceleração de um determinado objeto são descritas por um vetor, as forças que atuam sobre este objetotambém são descritas por vetores. Nesta seção trataremos das operações entre vetores, preparando a baseteórica necessária para o bom entendimento dos espaços vetoriais.4.1 VETORES NO PLANO No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) de números reais,onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P (Fig. 4.1(a)). Q P b P a (a) (b) Figura 4.1 Considerados os pontos P e Q do plano, podemos definir dois segmentos de reta orientados PQ eQP , o primeiro com ponto inicial em P e ponto final em Q (Fig. 4.1(b)) e o segundo, com ponto inicialem Q e ponto final em P. Embora o conjunto de pontos PQ e QP sejam iguais, considerada aorientação, eles são distintos. Diremos aqui, que eles são segmentos opostos.Definição 4.1: Dois segmentos orientados são ditos equivalentes se tiverem o mesmo comprimento edireção. A direção é determinada pela reta que suporta o segmento.Exemplo 1. Observe a Fig. 4.2 abaixo S Q L Z K T R P Figura 4.2PQ, KL e RS têm a mesma direção; RT e KL têm o mesmo comprimento; PQ, ZW e RS têm omesmo comprimento, mas os únicos com orientações equivalentes são PQ e RS . 66
  2. 2. Definição 4.2: Para qualquer segmento orientado no plano existe outro equivalente a este cujo pontoinicial é a origem.Exemplo 2. Observe o segmento orientado PQ na Fig. 4.3 abaixo. O segmento OA tem a mesmaorientação de PQ , e uma vez que eles têm mesma direção e mesmo sentido, eles são equivalentes. Q P A O Figura 4.3Definição 4.3: Os segmentos orientados com ponto inicial na origem são denominados vetores no planoe são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma vez que o ponto inicial é fixo na origem. A cada ponto no plano P(a,b) é associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, dado umvetor, este fica associado a um único ponto do plano, que é seu ponto final. Conseqüentemente acorrespondência entre pontos do plano e vetores é biunívoca (os vetores serão exibidos em negrito). Desta forma, um vetor v = OP é representado, simplesmente, pelas coordenadas do seu ponto ⎡a ⎤final P(a,b). Usamos a notação v = ⎢ ⎥ ou v = (a,b) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b). ⎣b⎦Definição 4.4: A origem do plano fica associada a um vetor denominado vetor nulo, que tem os pontosinicial e final coincidentes com a origem. O vetor nulo é representado por 0 = (0,0).Definição 4.5: O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ , que tem o mesmo comprimento edireção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então w = (-a,-b) e denotamos w = -v.4.2 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANOa) Multiplicação de um vetor v por um escalar k. • Se k > 0, o vetor w = kv possui mesma direção de v e comprimento k vezes o comprimento de v. • Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v. • Se k = 0, w = kv será o vetor nulo. A multiplicação de um vetor por um escalar corresponde à multiplicação de cada coordenadadesse vetor por esse escalar. Assim, se v = (a,b) e w = kv, então w = (ka,kb).Exemplo 3. Para v = (3,1), w1 = 2v = (6,2) e w2 = -2v = (-6,-2) (Fig. 4.4). 67
  3. 3. Figura 4.4b) Adição de dois vetores. • Se v = (a,b) e w = (c,d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d). • A soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w = -v = (-a,-b) é o vetor nulo. Isto é, v + w = v + (-v) = (a - a, b - b) = (0,0). • A diferença entre dois vetores v e w, é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor: v – w = v + (-w).4.3 VETORES NO ESPAÇO Analogamente ao caso de vetores no plano, podemos estender a idéia de vetor ao espaçotridimensional, onde um ponto P do espaço é identificado com uma terna de números reais (x,y,z), ondex, y e z são as coordenadas do ponto P (Fig. 4.5). Figura 4.5 Agora cada ponto do espaço P(a,b,c) é associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, dadoum vetor, este fica associado a um único ponto do espaço, que é seu ponto final. Assim, um vetor v = OP é representado pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b,c). ⎡a ⎤ Denotamos v = ⎢ b ⎥ ou v = (a,b,c) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b,c). ⎢ ⎥ ⎢c ⎥ ⎣ ⎦ A origem do espaço representa o vetor nulo 0 = (0,0,0). Se V é o conjunto de vetores no espaço, então V = {(x1,x2,x3); xi ∈ R} = R × R × R = R3. 68
  4. 4. 4.4 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇODefinição 4.6: Sejam u = (x1,x2,x3) e v = (y1,y2,y3) vetores no espaço. A soma de dois vetores e o produtode um vetor por um escalar, são denotados respectivamente por u + v e ku, e são definidos da forma: u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).Propriedades: Sejam u, v, w ∈ V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas aspropriedades seguintes. i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa) ii) u + v = v + u (comutativa) iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro) iv) existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo) v) a(u + v) = au + av vi) (a + b)v = av + bv vii) (ab)v = a(bv) viii) 1u = u4.5 ESPAÇOS VETORIAISDefinição 4.7: Um espaço vetorial real é um conjunto V ≠ ∅, sobre o qual estão definidas duas +operações: soma V x V ⎯⎯ V , e multiplicação por escalar, → x V ⎯⎯ V , tais que, para quaisquer . →u,v,w ∈ V e a,b ∈ R, as propriedades i) a vii) sejam satisfeitas. Na Def. 4.7, se ao invés de escalares reais, tivermos escalares complexos, V será um espaçovetorial complexo. Neste contexto, a palavra vetor é utilizada de maneira mais geral, ou seja, designa um elemento deum espaço vetorial. Contudo, considerando o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2,denotado por V=M(2,2), um vetor deste espaço será na realidade uma matriz real 2x2.Exemplo 4. Considere o espaço n-dimensional real, V = Rn = {(x1,x2,...,xn); xi ∈ R}. Sejam u e v doisvetores de V dados por u = (x1,x2,...,xn), v = (y1,y2,...,yn). A soma entre u e v é definida por u + v = (x1 +y1,x2 + y2,...,xn + yn) e o produto de um vetor por um escalar é definida como au = (ax1,ax2,...,axn) (a ∈ R).Nestas condições é simples verificar que V é um espaço vetorial real, ou seja, as propriedades i) a vii) sãosatisfeitas. Neste caso, o vetor nulo é 0 = (0, 0, 0, ..., 0) e –u = (-x1,-x2,...,-xn).Exemplo 5. Considere agora, V como o conjunto das matrizes de ordem 2, cujos elementos são números ⎧ ⎡ z1 z2 ⎤ ⎫ ⎡ z z2 ⎤complexos, ou seja, V = ⎨ ⎢ ;zi ∈ ⎬ . Assim, se u, v ∈ V são dados por u = ⎢ 1 ⎥ e ⎩ ⎣ z3 z4 ⎥ ⎦ ⎭ ⎣ z3 z 4 ⎦ ⎡ w1 w 2 ⎤ ⎡ z1 z 2 ⎤ ⎡ w1 w 2 ⎤ ⎡ z1 + w1 z 2 + w 2 ⎤v= ⎢ ⎥ , a soma é u + v = ⎢ ⎥+⎢ ⎥ =⎢ ⎥ e o produto por ⎣w3 w 4 ⎦ ⎣ z3 z 4 ⎦ ⎣ w 3 w 4 ⎦ ⎣ z3 + w 3 z 4 + w 4 ⎦ ⎡ z1 z 2 ⎤ ⎡ az1 az 2 ⎤escalar é definido por au = a ⎢ = , onde zi + wi (i = 1,2,3,4) é uma soma de números ⎣ z3 z 4 ⎥ ⎢az 3 az 4 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦complexos azi (i = 1,2,3,4) é produto de um escalar a por um número complexo. O Ex. 4 é um espaço vetorial real, enquanto o Ex. 5 é um exemplo de espaço vetorial complexo 69
  5. 5. 4.6 SUPESPAÇOS VETORIAISDefinição 4.8: Dado um espaço vetorial real V, um subconjunto W ≠ ∅, será um subespaço vetorial deV se:i) ∀ u,v ∈ W ⇒ u + v ∈ Wii) ∀ a ∈ R, u ∈ W ⇒ au ∈ W A Def. 4.8 garante que operações realizadas em W, no caso a adição e a multiplicação por escalar,resultam em elementos de W, sendo o suficiente para afirmar o próprio W é um espaço vetorial. Asoperações são bem definidas e não é preciso verificar as 7 propriedades que definem um espaço vetorial,pois, sendo válidas em V, que contém W, também o são em W. Todo subespaço W ⊂ V, necessariamente contém o vetor nulo (devido à definição ii). É fácilverificar esta condição, quando se faz a = 0. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, denominados subespaços triviais, oconjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial (0 e V).Exemplo 6. Considere o espaço vetorial V = R5 e W= {(x1, x2, 0, x4, x5); xi ∈ R}. Note que W ⊂ V. Seu,v ∈ W são dados por u = (p1, p2, 0, p4, p5) e v = (q1, q2, 0, q4, q5) e a ∈ R, então: u + v = (p1, p2, 0, p4, p5) + (q1, q2, 0, q4, q5) = (p1 + q1, p2 + q2, 0 ,p4 + q4, p5 + q5) ∈ W; au = a(p1, p2, 0, p4, p5) = (ap1, ap2, 0, ap4, ap5) ∈ W.e portanto, pela Def. 4.8, W é um subespaço vetorial de V. Agora veremos um importante subespaço que aparece quando se resolve sistemas lineareshomogêneos. ⎧ 3x + 5y + z = 0 ⎪Exemplo 7. Considere o sistema linear homogêneo ⎨2x + 2y + 3z = 0 que tem a seguinte forma matricial ⎪ ⎩ 2x + 4y − z = 0⎡ 3 5 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 2 3 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 ⎥ (*). Assim, estamos procurando no espaço vetorial M(3,1) que são as matrizes de⎢ 2 4 −1⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ordem 3x1 reais, os vetores que satisfazem a equação matricial (*). O conjunto dos vetores-solução é um ⎡ x1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤subespaço de M(3,1)? Para responder esta pergunta basta considerar dois vetores-solução ⎢ y1 ⎥ e ⎢ y 2 ⎥ e ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z1 ⎥ ⎢ z 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤verificar que sua soma ⎢ y1 ⎥ + ⎢ y 2 ⎥ ainda é um vetor-solução: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z1 ⎥ ⎢ z 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 3 5 1 ⎤ ⎛ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎞ ⎡ 3 5 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 3 5 1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ 2 2 3 ⎥ ⎜ ⎢ y ⎥ + ⎢ y ⎥ ⎟ = ⎢ 2 2 3 ⎥ ⎢ y ⎥ + ⎢ 2 2 3 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 ⎥ + ⎢ 0⎥ = ⎢ 0⎥ . ⎢ ⎥⎜ ⎢ 1⎥ ⎢ 2 ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 4 −1⎥ ⎜ ⎢ z1 ⎥ ⎢ z 2 ⎥ ⎟ ⎢ 2 4 −1⎥ ⎢ z1 ⎥ ⎢ 2 4 −1⎥ ⎢ z 2 ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎣ ⎦⎝⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 70
  6. 6. ⎡ x1 ⎤Isto é, a soma é solução. Além disso, multiplicando ⎢ y1 ⎥ por uma constante k, teremos: ⎢ ⎥ ⎢ z1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡3 5 1 ⎤ ⎛ ⎡ x 2 ⎤ ⎞ ⎛ ⎡ 3 5 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎞ ⎡0⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ 2 2 3 ⎥ ⎜ k. ⎢ y ⎥ ⎟ = k. ⎜ ⎢ 2 2 3 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎟ = k. ⎢ 0⎥ = ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ 2⎥⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢ 1⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 4 −1⎥ ⎜ ⎢ z 2 ⎥ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎣ ⎦⎠ ⎜ ⎢ 2 4 −1⎥ ⎢ z ⎥ ⎟ ⎝ ⎣ ⎦⎣ 1⎦⎠ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Isto é, o produto de uma constante por uma solução continua sendo uma solução. Portanto, o conjunto Wdos vetores-solução de (*) é um subespaço de M(3,1). A seguir veremos um exemplo onde um subconjunto de um espaço vetorial não é subespaçovetorial.Exemplo 8. Sejam V = R2 e W = {(x,x3); x ∈ R}. Considerando u = (1,1) e v = (2,8) em W, temos u + v= (1,1) + (2,8) = (3,9) ∉ W. Portanto, W não é subespaço vetorial de V, pois, a primeira condição da Def.4.8 deveria ser satisfeita para quaisquer u e v ∈ W e isto não acontece no caso dos vetores considerados.Teorema 4.1 (Interseção de subespaços): Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, ainterseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V.Exemplo 9. Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem n, denotado por V = M(n,n). Seconsiderarmos o conjunto das matrizes triangulares superiores e das matrizes triangulares inferiores aquidenotados, respectivamente, por W1 e W2, subconjuntos de V. É fácil verificar que W1 e W2 sãosubespaços de V. Então W1 ∩ W2 é o conjunto das matrizes diagonais, e de acordo com o Teor. 4.1,também é um subespaço de V.Exemplo 10. Considere o espaço vetorial tridimensional real V = R3, e W1 e W2 representando retas nãocoincidentes que passam pela origem. Então W1 ∩ W2 = {0} e W1 ∪ W2 é o “feixe” formado pelas duasretas, que não é subespaço vetorial de R3. De fato, se somarmos dois vetores u e v, pertencentes a W1 ∪W2 vemos que u + v está no plano que contém W1 e W2 mas u + v ∉ W1 ∪ W2. Assim, W1 ∪ W2 não ésubespaço de V. Entretanto, podemos construir um conjunto W, que contém W1 e W2 e é subespaço de V.W será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2. Assim,W = W1 + W2 será chamado soma de W1 com W2.Teorema 4.2 (Soma de subespaços): Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então, oconjunto: W1 + W2 = {v ∈ V: v = w1 + w2, w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2} é subespaço de V.Exemplo 11. No Ex. 10, a soma de subespaços W = W1 + W2 é o plano que contém as duas retas, e deacordo com o Teor. 4.2 também é um subespaço de V.Exemplo 12. Se W1 ⊂ R3 é um plano e W2 é uma reta contida neste plano, ambos passando pela origem,W1 + W2 = W1, pois a soma de quaisquer dois vetores num plano está contida neste plano. 71
  7. 7. Exemplo 13. Sejam W1 e W2 os subespaços do espaço das matrizes quadradas reais de ordem 2 (M(2,2)) ⎧ ⎡a b ⎤ ⎫ ⎧ ⎡0 0 ⎤ ⎫gerados da seguinte forma: W1 = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ e W2 = ⎨ ⎢ c d ⎥ ⎬ , onde a,b,c,d ∈ R. Então W1 + W2 = ⎩ ⎣0 0 ⎦ ⎭ ⎩⎣ ⎦⎭⎧ ⎡a b ⎤ ⎫⎨⎢ ⎥ ⎬ = M(2,2).⎩⎣c d ⎦ ⎭Definição 4.9: Considerando dois subespaços quaisquer W1 e W2 de um espaço vetorial V, quandoW1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado soma direta de W1 com W2 e denotamos esta soma direta porW1 ⊕ W2.4.7 COMBINAÇÃO LINEARDefinição 4.10: Consideremos um espaço vetorial real V (ou complexo), v1, v2, ..., vn ∈ V e a1, a2, ..., annúmeros reais (ou complexos). Chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn como sendo o vetor v ∈ V,definido por v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn. Vamos agora, entender o importante conceito de subespaço gerado. Vamos primeiramente fixar osvetores v1, v2, ..., vn ∈ V. Desta forma o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação lineardestes, é um subespaço vetorial.Definição 4.11: Fixados os vetores v1, v2, ..., vn ∈ V, o conjunto W de todos os vetores que sãocombinação linear dos vi (i = 1, 2, ..., n) é chamado subespaço gerado pelos vi e usamos a notação:W = [v1, v2, ..., vn]. Podemos escrever W = [v1, v2, ..., vn] = {v ∈ V: v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn, ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}, onde Wé o “menor” subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}. O termo “menor” significaque qualquer outro subespaço W’ de V que contenha {v1, v2, ..., vn} deverá satisfazer W’ ⊃ W.Exemplo 14. Considere o espaço vetorial V = R3 e v ∈ V, v ≠ 0. Então [v] = {av : a ∈ R}, isto é, [v] é areta que contém o vetor v (Fig. 4.6). z [v] v y x Figura 4.6Exemplo 15. Se v1,v2 ∈ R3 são tais que αv1 ≠ v2 para todo α ∈ R, então [v1,v2] será o plano que passapela origem e contém v1 e v2 (Fig. 4.7). Observe que se v3 ∈ [v1,v2], então [v1,v2,v3] = [v1,v2], pois todovetor que pode ser escrito como combinação linear de v1, v2 e v3 é uma combinação linear de v1 e v2 (poisv3 é combinação linear de v1 e v2). 72
  8. 8. z v2 v1 y x Figura 4.7Exemplo 16. Considere o espaço vetorial (plano) V = R2, e os vetores unitários v1 = (1,0), v2 = (0,1).Logo V = [v1,v2], ou seja, v1 e v2 geram o plano R2, pois, dado v = (x,y) ∈ V, temos que (x,y) = x(1,0) +y(0,1), ou seja, todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de v1 e v2 (v = xv1 + yv2).Exemplo 17. Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2 (M(2,2)). Dados os ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎧ ⎡a b ⎤ ⎫vetores v1 = ⎢ ⎥ , v2 = ⎢ 0 0 ⎥ , o espaço gerado por v1 e v2 é dado por [v1,v2] = ⎨ ⎢0 0 ⎥ : a, b reais ⎬ . ⎣0 0⎦ ⎣ ⎦ ⎩⎣ ⎦ ⎭4.8 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARDefinição 4.12: Sejam V um espaço vetorial e v1, ..., vn ∈ V. Dizemos que o conjunto {v1, ..., vn } élinearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ..., vn são LI, se (a1,a2,...,an) = (0,0,...,0) for a únicasolução da equação a1v1 +... + anvn = 0.Se existir algum ai ≠ 0, que satisfaça a equação anterior dizemos que {v1, ..., vn } é linearmentedependente (LD), ou que os vetores v1, ..., vn são LD.Teorema 4.3: O conjunto {v1, ..., vn} é LD se, e somente se existe um vi neste conjunto que é combinaçãolinear de v1, v2, ..., vi-1, vi+1, ..., vn. O Teorema 4.3 é equivalente a dizer que um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhumdeles for uma combinação linear dos outros.Exemplo 18. Seja V = R3. Considerando vetores quaisquer v1,v2 ∈ V, o conjunto {v1,v2} é LD se esomente se v1 e v2 estiverem na mesma reta, que passa pela origem (v1 = λv2). Por exemplo, sev1 = (1,2,3) e v2 = (2,4,6), temos v1 = 0.5v2. Então, na combinação linear a1v1 + a2v2 = 0, basta tomara1 = -2 e a2 = 1 (ambos diferentes de 0) para que esta seja satisfeita.Exemplo 19. Sejam V = R3 e v1,v2,v3 ∈ V. Então o conjunto {v1,v2,v3} é LD se estes três vetoresestiverem no mesmo plano que passa pela origem. (Tente verificar isto!).Exemplo 20. Sejam V = R2, e1 = (1,0) e e2 = (0,1). Então temos que e1 e e2 são LI, pois a1e1 + a2e2 = 0 ⇒a1(1,0) + a2(0,1) =(0,0) ⇒ (a1,a2) = (0,0) ⇒ a1 = a2 = 0.Exemplo 21. Analogamente, para V= R3 e e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) temos que e1, e2 e e3 sãoLI. (Verifique isto!) 73
  9. 9. Exemplo 22. Sejam V = R2 e o conjunto P = {(1,-1),(1,0),(1,1)}. Então o conjunto P é LD, pois,1 1 (1, −1) − 1(1, 0 ) + (1,1) = (0, 0) .2 24.9 BASE DE UM ESPAÇO VETORIALDefinição 4.13: Um conjunto {v1, ..., vn} de vetores de um espaço vetorial V será uma base de V se esteconjunto for LI e se ele gerar o espaço, ou seja:i) {v1, ..., vn} é LIii) [v1, ..., vn] = VExemplo 23. Considere o plano V = R2, e os vetores e1 = (1,0) e e2 = (0,1). Então, o conjunto {e1,e2} ébase de V, conhecida como base canônica de R2, e os vetores e1 e e2 são chamados de vetores canônicosdo plano. O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de V = R2. De fato: se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a,a +b), então a = b = 0.Isto é, {(1,1),(0,1)} é LI. Temos ainda que estes vetores geram o plano, ou seja, [(1,1),(0,1)] = V poisdado v = (x,y) ∈ V, temos (x,y) = x(1,1) + (y-x)(0,1), ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação lineardos vetores (1,1) e (0,1).Exemplo 24. O conjunto de vetores {(0,1),(0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD. De fato, se(0,0) = a(0,1) + b(0,2), temos que a = -2b e a e b não são necessariamente zero.Exemplo 25. Seja V = R3 o espaço tridimensional. Então o conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma basede R3. Esta é a base canônica de R3. É fácil verificar que {e1,e2,e3} é LI e (x,y,z) = xe1 + ye2 + ze3, ouseja, V = R3 = [e1,e2,e3].Exemplo 26. {(1,0,0),(0,1,0)} não é base de R3. é LI, mas não gera todo R3, isto é , [(1,0,0),(0,1,0)] ≠ R3.Exemplo 27. Seja o espaço das matrizes quadradas de ordem 2, V = M(2,2). Podemos verificar ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 0⎤facilmente que o conjunto formado pelas matrizes ⎢ ⎥,⎢ ⎥,⎢ , é uma base de V. ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ Quando trabalhamos com espaços de funções, podemos encontrar espaços que não têm base finita,onde é necessário um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não significa lidar comcombinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma combinação linear finita daquela“base infinita”. Desta forma, escrevemos cada vetor, com uma quantidade finita de vetores da “baseinfinita”. Porém, aqui consideraremos sempre espaços vetoriais que tenham base finita.Teorema 4.4: Sejam v1, v2, ..., vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, dentre estesvetores podemos extrair uma base de V.Teorema 4.5: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Então,qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI temno máximo n vetores). 74
  10. 10. Teorema 4.6: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Estenúmero é chamado dimensão de V, e denotado por dimV.Exemplo 28. Considere o espaço tridimensional V = R3. Os conjuntos {(1,0),(0,1)} e {(1,1),(0,1)} sãobases de V. Então dimV = 2.Exemplo 29. Uma vez considerada a base canônica de R3, notamos que dimR3 = 3.Exemplo 30. Seja V = M(2,2) o espaço das matrizes quadradas de ordem 2, então de acordo com o Ex. 27da Seção 4.9, sua base tem 4 elementos e portanto, dimV = 4.Definição 4.14: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaçovetorial de dimensão finita.Teorema 4.7: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode sercompletado de modo a formar uma base de V.Teorema 4.8: Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.Exemplo 31. Suponha que a dimensão de um determinado espaço V é dimV = 2. Se encontramos umconjunto de 2 vetores {v, w}. Se v e w são LI, podemos afirmar que eles formam uma base e, portanto,V = [v, w], ou seja, V é gerado por v e w.Teorema 4.9: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, entãodimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Além disso, dim(U + W) = dimU + dimW – dim(U∩W)Teorema 4.10: Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única comocombinação linear de v1, v2, ..., vn.Definição 4.15: Sejam β = {v1, v2, ..., vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 +... + anvn. Chamamos osnúmeros a1, ..., an de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por ⎡ a1 ⎤ [ v]β = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a n ⎥ ⎣ ⎦Exemplo 32. Seja o espaço vetorial V = R2. Se β = {(1,0),(0,1)} é a base canônica de V, então o vetor(4,3) pode ser escrito como (5,-1) = 5(1,0) + (-1)(0,1). De maneira mais geral, um vetor genérico (x,y) é ⎡5⎤ ⎡x ⎤escrito como (x,y) = x(1,0) + y(0,1). Portanto [(5,-1)]β = ⎢ ⎥ e [(x,y)]β = ⎢ ⎥ . Se β’ = {(1,1),(0,1)}, ⎣ −1⎦ ⎣ y⎦então (5,-1) = x(1,1) + y(0,1), resultando x = 5 e y = -6. Então (5,-1) = 5(1,1) - 6(0,1), donde ⎡5⎤[(5,-1)]β’ = ⎢ ⎥ . ⎣ −1⎦ É muito importante neste momento, notar que a ordem dos elementos de uma base influidiretamente na matriz das coordenadas de um vetor em relação a esta base. Por exemplo, se tivermos: ⎡x ⎤ ⎡ y⎤β1 = {(1,0),(0,1)} e β2 = {(0,1),(1,0)}, então ⎡( x, y ) ⎤ β = ⎢ ⎥ mas ⎡( x, y ) ⎤ β = ⎢ ⎥ . ⎣ ⎦1 ⎣ ⎦2 ⎣ y⎦ ⎣x ⎦ 75
  11. 11. Em virtude disto, ao considerarmos uma base β = {v1, v2, ..., vn}, estaremos sempresubentendendo que a base seja ordenada, isto é, que os vetores estão ordenados na ordem em queaparecem.Exemplo 33. Considere V = {(x,y,z) : x + y – z = 0}, W = {(x,y,z) : x = y}. Determine V + W. Observeque V = [(1,0,1),(0,1,1)] e W = [(1,1,0),(0,0,1)], então V + W = [(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)]. Dado(x,y,z) ∈ R3 podemos escrever (x,y,z) = α(1,0,1) + β(0,1,1) + γ(1,1,0) + δ(0,0,1). Com α = x, β = y, γ = 0e δ = z – x – y. Observe que a solução deste sistema não é única, uma vez que 4 vetores em R3 sãonecessariamente LD. Portanto V + W = R3. De acordo com o Teor. 4.9 temos: dimR3 = dimV + dimW – dim(V∩W) ⇒ dim(V∩W) = 1.E assim, V∩W = {(x,y,z) : x + y – z = 0 e x = y} = {(x,y,z) : x = y = z/2} = [(1,1,1/2)].4.10 MUDANÇA DE BASE Nesta seção veremos como relacionar os vetores de um espaço vetorial escritos em basesdiferentes. Sejam β = {u1,...,un} e β’ = {w1,...,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial.Dado um vetor v ∈ V, podemos escrevê-lo como v = x1u1 + ... + xnvn e v = y1w1 + ... + ynwn,respectivamente nas bases β e β’. Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β: ⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤[ v]β = ⎢ ⎥ , com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β’: [ v]β = ⎢ ⎥ ? ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢xn ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ yn ⎥ ⎣ ⎦ Como {u1,...,un} é base de V, podemos escrever os vetores wi como combinação linear dos uj, istoé: ⎧ w1 = a11 u1 + a 21 u 2 + ... + a n1 u n ⎪ w = a u + a u + ... + a u ⎪ 2 12 1 22 2 n2 n ⎨ ⎪ ...................................... ⎪ w1 = a1n u1 + a 2n u 2 + ... + a nn u n ⎩ Substituindo estas últimas equações em v = y1w1 + ... + ynwn temos: v = y1w1 + ... + ynwn = y1(a11u1 + ... + an1un) + … + yn(a1nu1 + ... + annun) = (a11y1 + … + a1nyn)u1 + … + (an1y1 + … + annyn)un Mas v = x1u1 + … + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos: x1 = a11y1 + a12y2 + … + a1nyn ………………………………… xn = an1y1 + an2y2 + … + annyn Em forma matricial 76
  12. 12. ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 a1n ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ x n ⎥ ⎢a n1 ⎣ ⎦ ⎣ a nn ⎥ ⎢ y n ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎢a a22 a2 n ⎥ onde, denotando [ I ]β β = ⎢ 21 ⎥ , temos [ v ] = [ I ]β [ v ] . ⎢ ⎥ β β β ⎢ ⎥ ⎣ an1 an 2 ann ⎦Definição 4.16: A matriz [ I ]β , obtida conforme o procedimento anterior é chamada matriz de mudança βda base β’ para a base β. ⎧ w1 = a11 u1 + a 21 u 2 + ... + a n1 u n ⎪ w = a u + a u + ... + a u ⎪ Comparando [ I ]β β com ⎨ 2 12 1 22 2 n2 n observamos que esta matriz é obtida, ⎪ ...................................... ⎪ w1 = a1n u1 + a 2n u 2 + ... + a nn u n ⎩colocando as coordenadas em relação a β dos wi na i-ésima coluna. Note que, uma vez obtida [ I ]β , βpodemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base β, multiplicando a matriz pelascoordenadas de v na base β’ (supostamente conhecidas).Exemplo 34. Sejam β = {(2,-1),(3,4)} e β’ = {(1,0),(0,1)} bases de R2. Procuremos, inicialmente [ I ]β . βComo w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11 + 3a21, -a11 + 4a21), obtemos o sistema: ⎧ 2a11 + 3a 21 = 1 ⎨ ⎩−a11 + 4a 21 = 0 4 1donde a11 = e a 21 = . 11 11Por outro lado, w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12 + 3a22, -a12 + 4a22), o que fornece o sistema: ⎧2a12 + 3a 22 = 0 ⎨ ⎩ −a12 + 4a 22 = 1 −3 2donde resolvendo obtemos, a12 = e a 22 = . Portanto: 11 11 ⎡ 4 −3 ⎤ ⎡a a ⎤ ⎢ ⎥ [ I]β = ⎢a 11 a 12 ⎥ = ⎢11 11 ⎥ β ⎣ 21 22 ⎦ ⎢1 2⎥ ⎢11 11 ⎥ ⎣ ⎦ Podemos usar esta matriz para encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5,-8): ⎡4 −3 ⎤ ⎢11 11 ⎥ ⎡ 5 ⎤ = ⎡ 4 ⎤ ⎡( 5, −8 ) ⎤ β = [ I ]β [ (5, −8)]β = ⎢ β ⎥ ⎣ ⎦ ⎢1 2 ⎥ ⎢ −8⎥ ⎢ −1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢11 ⎣ ⎥ 11 ⎦ Isto é, (5,-8) = 4(2,-1) – 1(3,4). 77
  13. 13. É claro que se o problema fosse apenas encontrar as coordenadas de (5,-8) em relação à base β,poderíamos simplesmente resolver o sistema (5,-8) = a(2,1) + b(3,4), porém, o cálculo feito através damatriz de mudança de base é operacionalmente vantajoso quando trabalhamos com mais vetores, poisneste caso não teremos que resolver um sistema de equações para cada vetor. Se no início desta seção tivéssemos começado escrevendo os ui em função dos wj, chegaríamos àrelação análoga: [ v ]β = [ I ]β [ v ]β . É fácil ver que as matrizes [ I ]β e [ I ]β são inversíveis e β β β ([I]β ) β −1 = [ I ]β βDefinição 4.17: A matriz [ I ]β , obtida conforme o procedimento anterior é a inversa da matriz de βmudança da base [ I ]β , e vice-versa. βExemplo 35. No Ex. 34 podemos obter [ I ]β a partir de [ I ]β . Note que [ I ]β é fácil de ser calculada, pois β β β ⎡ 2 3⎤β’ é a base canônica. Assim, (2,-1) = 2(1,0) – 1(0,1) e (3,4) = 3(1,0) + 4(0,1) donde [ I ]β = ⎢ β ⎥. ⎣ −1 4 ⎦ −1 ⎡ 4 −3 ⎤ ⎡ 2 3⎤ ⎢11 11 ⎥ Então [ I ]β = ⎢ β ⎥ =⎢1 ⎥. ⎣ −1 4 ⎦ ⎢ 2⎥ ⎢11 11 ⎥ ⎣ ⎦Exemplo 36. Consideremos em R2 a base β = {e1,e2} e a base β’ = {f1,f2} obtida da base canônica β pela ⎡x ⎤rotação de um ângulo θ (Fig. 4.8). Dado um vetor v ∈ R2 de coordenadas [ v ]β = ⎢ 1 ⎥ em relação à base ⎣x 2 ⎦ ⎡y ⎤β, quais são as coordenadas [ v ]β = ⎢ 1 ⎥ em relação à base β’? ⎣ y2 ⎦ v e2 f2 f1 θ e1 Figura 4.8 Temos então v = x1e1 + x2e2 = y1f1 + y2f2 e queremos calcular [ v ]β = [ I ]β [ v ]β , ou seja, temos que βachar a matriz [ I ]β . Para isto, devemos escrever e1 e e2 em função de f1 e f2 (Figs. 4.9a e 4.9b): β e1 = cosθf1 - senθf2 e2 = senθf1 + cosθf2 78
  14. 14. e2 f1 f2 e2 cosθ f1 f2 θ e1 −senθ θ θ e1 cosθ −senθ (a) (b) Fig. 4.9 ⎡ cos θ senθ ⎤ ⎡ y ⎤ ⎡ cos θ senθ ⎤ ⎡ x1 ⎤ Portanto, [ I ]β = ⎢ β ⎥ donde ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , ou seja: ⎣ −senθ cos θ ⎦ ⎣ y 2 ⎦ ⎣ −senθ cos θ ⎦ ⎣ x 2 ⎦ y1 = x1 cosθ + x2 senθ y2 = -x1 senθ + x2 cosθ. ⎡ −2 ⎤ No Ex. 36, em particular para θ = π/3, para v = (-2,3), isto é v = -2e1 + 3e2, temos [ v ]β = ⎢ ⎥ e ⎣3⎦queremos determinar as coordenadas de v na base β’ = {f1,f2} (Fig. 4.10). (-2,3) y1 y2 e2 θ = π/3 f2 f1 e1 Fig. 4.10 ⎡y ⎤ Como vimos, [ v ]β = ⎢ 1 ⎥ onde: ⎣ y2 ⎦ y1 = x1cosθ + x2senθ = -2cos(π/3) + 3sen(π/3) y2 = -x1senθ + x2cosθ = 2sen(π/3) + 3cos(π/3) ⎡ −2 + 3 3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ −2 + 3 3 ⎞ ⎛ 3+ 2 3 ⎞donde [ v ]β =⎢ 2 ⎥ , ou seja v = ⎜ ⎜ ⎟ f1 + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ f2 . ⎟ ⎢ 3+ 2 3 ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 79

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