1. O documento apresenta 10 exercícios sobre a Transformada de Fourier. Os exercícios abordam conceitos como a transformada de Fourier da função delta de Dirac, o teorema da inversão e o teorema de Parseval, além de aplicações da transformada de Fourier em equações diferenciais e na mecânica quântica.

1. F 620/ MS650 - Met´odos Matem´aticos II
Primeiro semestre de 2018
Lista de Exerc´ıcios 5
T´opico: Transformada de Fourier
1. Obtenha a transformada de Fourier para a fun¸c˜ao delta de Dirac, δ(t).
2. Dada a fun¸c˜ao f(t) = e−|t|
,
(a) Encontre a transformada de Fourier da fun¸c˜ao f(t).
(b) Aplicando o teorema da invers˜ao de Fourier, mostre que
π
2
e−|t|
=
∞
0
cos(ωt)
1 + ω2
dω .
(c) Fazendo a substitui¸c˜ao ω = tan(θ), demonstre a validade do teorema de Parseval
para esta fun¸c˜ao.
3. Encontre a transformada de Fourier de
H(x − a)e−bx
,
em que H(x) ´e a fun¸c˜ao de Heaviside.
4. Encontre a transformada de Fourier da distribui¸c˜ao retangular unit´aria
f(t) =
1, |t| < 1,
0, caso contr´ario.
Determine a convolu¸c˜ao de f consigo mesma e, sem uma integra¸c˜ao adicional, deduza
sua transformada.
Deduza que
∞
−∞
sen2
ω
ω2
dω = π, e
∞
−∞
sen4
ω
ω4
dω =
2π
3
.
5. Obtenha as express˜oes para as transformadas de Fourier em senos e cossenos da deri-
vada primeira f (t), de uma fun¸c˜ao f(t).
6. Mostre que
Fs[f (t)] = ˜f(ω) =
2
π
ωf(0) − ω2
Fs(ω),
em que Fs(ω) ´e a transformada de Fourier em senos de f(t).
1

2. 7. Mostre que, se a transformada finita de Fourier em cossenos de uma fun¸c˜ao f(t), para
−T < t < T, de per´ıodo 2T, ´e dada por
Fc(n) =
T
0
f(t) cos
nπt
T
dt, n = 0, 1, 2, . . . ,
ent˜ao,
f(t) =
1
T
Fc(0) +
2
T
∞
n=1
Fc(n) cos
nπt
T
,
em que f(t) ´e a transformada inversa de Fc(n).
8. Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial ordin´aria
d2
dt2
x(t) − k2
x(t) = f(t),
em que k2
´e constante, com 0 ≤ t < ∞, satisfazendo as condi¸c˜oes:
d
dt
x(t)
t=0
= b e x(∞) < ∞.
Use o m´etodo da transformada de Fourier em cossenos para mostrar que
x(t) = −
b
k
e−kt
−
1
2k
∞
0
f(ξ) e−k|t−ξ|
+ e−k|t+ξ|
dξ.
9. A transformada de Fourier pode ser generalizada para mais de uma dimens˜ao. Por
exemplo, no espa¸co tridimensional, temos a seguinte transformada
F[f(x)] ≡ φ(k) = d3
xf(x)e−ik·x
em que · denota o produto escalar e a integral ´e tomada em todo o volume. Assim,
temos a seguinte transformada inversa
F−1
[φ(k)] ≡ f(x) =
d3
k
(2π)3
φ(k)eik·x
.
Como um exemplo espe´ıfico, encontre a transformada de Fourier da fun¸c˜ao de onda
para o estado 2p do el´etron do ´atomo de hidrogˆenio
Ψ(x) =
1
32πa5
0
ze−r/2a0
,
em que a0 ´e o raio da primeira ´orbita de Bohr e z ´e uma coordenada cartesiana.
2

3. 10. Uma part´ıcula livre ´e descrita, na mecˆanica quˆantica, por uma onda plana
ψk(x, t) = exp i kx −
2m
k2
t ,
em que e m s˜ao constantes positivas. Combinando ondas de momentos adjacentes
com um fator peso de amplitude ϕ(k), podemos construir um pacote de ondas:
Ψ(x, t) =
∞
−∞
ϕ(k) exp i kx −
2m
k2
t dk.
Sabendo que
Ψ(x, 0) = exp −
x2
2a2
,
em que a ´e uma constante, obtenha a express˜ao da fun¸c˜ao ϕ(k).
Respostas:
1. ˜f(ω) = 1√
2π
. Dica: utilize a fun¸c˜ao impulso, p(t), dada por:
p(t) =
h, se a − < t < a +
0, se |t| ≥ a +
,
em que h ´e um n´umero grande e positivo, a > 0 e ´e uma constante positiva.
2. (a) Note que o integrando tem formas anal´ıticas diferentes para t < 0 e t ≥ 0. Assim,
obtemos
˜f(ω) =
2
π
1
1 + ω2
.
(b)Demonstra¸c˜ao. (c) Demonstra¸c˜ao.
3. A transformada de Fourier da f ´e dada por
1
√
2π
b − ik
b2 + k2
e−a(b+ik)
.
4. A transformada de Fourier da f ´e dada por
˜f(ω) =
2
√
2π
sen(ω)
ω
.
A convolu¸c˜ao ´e 2 − |t| para t < 2 e zero, caso contr´ario. Utilizando o teorema da
convolu¸c˜ao, obtemos
2
√
2π
sen2
(ω)
ω2
.
3

4. Aplique o teorema de Parseval para f e para f ∗ f.
5. Sejam Fs[·] e Fc[·] as transformadas de Fourier em senos e cossenos, respectivamente.
Ent˜ao,
Fs[f (t)] = −ωFc[f(t)] e Fc[f (t)] = −
2
π
f(0) + ωFs[f(t)].
6. Demonstra¸c˜ao.
7. Demonstra¸c˜ao.
8. Demonstra¸c˜ao.
9. Solu¸c˜ao:
F[Ψ(x)] =
32k
i
32πa5
0
(1 + 4a2
0k2)3
.
10. Com a ajuda da integral
∞
0
e−px2
dx =
√
π
2
√
p
,
podemos obter
ϕ(k) =
a
√
2π
exp −
a2
k2
2
.
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