Apreçamento de opções com vencimento europeu utilizando a função característica via transformada de Fourier. Esta abordagem contempla tanto volatilidade estocástica como volatilidade constante (flat surface). Fortemente inspirada no livro de Alan Lewis (Option Valuation Under Stochastic Volatility)

1. Apreçando Opções Utilizando a Função
Característica
Wilson N. de Freitas
21 de Setembro de 2010

2. Agenda
Agenda
Volatilidade Estocástica
Transformada de Fourier
Função Característica
Exemplos de Função Característica
Modelo de Heston com Saltos
Resultados

3. Black-Scholes com Volatilidade Estocástica
Dadas as equações diferenciais estocástica (EDE):
˜
P :
√
vt St dZ1
√
dvt = −λ(vt − v )dt + η vt dZ2
¯
dSt = µt St dt +
Temos a seguinte EDP
−
∂V
= −rV + AV
∂t
onde
BSM Operator
A = rS
SV Correction
∂2
∂
1
∂
1
∂2
∂
+ vS 2 2 −λ(v − v )
¯
+ η 2 v 2 + ρηvS
∂S 2
∂S
∂v 2
∂v
∂v∂S

4. Preço de uma CALL Européia
−
∂C
= −rC + AC
∂t
Condições de contorno
C(S, v, T ) = (S − K)+ ≡ CT (S)
C(0, v, t) = 0
C(∞, v, t) = C(S, ∞, t) = S
∂C
(∞, v, t) = 1
∂S

5. Preço de uma CALL Européia
Mudança de variáveis
S = exp x
t=T −τ
O preço da opção fica:
C(S, v, t) ≡ f (x, v, τ )

6. Preço de uma CALL Européia
A EDP
∂f
˜
= −rf + Af
∂τ
onde
BSM Operator
SV Correction
v ∂
v ∂2
∂
η2v ∂ 2
∂
˜
A = (r − )
+
−λ(v − v )
¯
+
+ ρηv
2 ∂x 2 ∂x2
∂v
2 ∂v 2
∂x∂v

7. Transformada de Fourier (TF)
Seja uma função f (x, v, τ ) que possui TF
∞
Ff (x, v, τ ) =
ˆ
dx exp(ikx)f (x, v, t) = f (k, v, τ )
−∞
F
−1
1
ˆ
f (k, v, τ ) =
2π
∞
ˆ
dke−ikx f (k, v, t) = f (x, v, τ )
−∞
temos portanto
T
f −−→ f
−−


 −1
F
F
ˆ −− ˆ
f −−→ f
L
onde T : G → G e L : F → F são transformações lineares.

8. Resolvendo EDP com TF
Escrevendo a EDP como um operador linear
−
1 ∂
˜
−A f =f
r ∂τ
Xf = f
que admite inversa
X −1 f = f
ˆ
existe um operador X tal que
X
f −−→ f
−−


 −1
F
F
ˆ −− ˆ
f −−→ f
ˆ
X

9. Resolvendo EDP com TF
Aplicando TF na EDP de Black-Scholes
∂f
v ∂f
= −rf + (r − )
∂τ
2 ∂x
2f
∂f
η2v ∂ 2f
∂f
v∂
− λ(v − v )
¯
+
+ ρηv
+
2 ∂x2
∂v
2 ∂v 2
∂x∂v
∂
v ∂f
Ff = −rf + (r − )F
∂τ
2 ∂x
v ∂2f
∂
η2v ∂ 2
∂ ∂f
+ F 2 − λ(v − v ) Ff +
¯
Ff + ρηv F
2
2 ∂x
∂v
2 ∂v
∂v ∂x
F
ˆ
Temos uma EDP em f (as derivadas em x sumiram)
ˆ
∂f
ˆ
= (−r − ikr)f +
∂τ
ˆ 1
ˆ
v
∂f
∂2f
ˆ
− k(k − i)f + [−λ(v − v ) − iρηvk]
¯
+ η2v 2
2
∂v
2
∂v

10. Resolvendo EDP com TF
Encontrar a solução para a EDP
ˆ
∂f
ˆ
= (−r − ikr)f +
∂τ
ˆ 1
ˆ
v
∂f
∂2f
ˆ
− k(k − i)f + [−λ(v − v ) − iρηvk]
¯
+ η2v 2
2
∂v
2
∂v
Utilizando separação de variáveis
ˆ
f (k, v, τ ) = exp[(−r − ikr)τ ]H(k, v, τ )h† (k)
onde
ˆ
h† (k) = f (k, v, 0)
H(k, v, 0) = 1
Ficamos com a seguinte EDP em H(k, v, τ )
Hτ = −v
k(k − i)
η2
H + [−λ(v − v ) − ikvρη]Hv + v Hvv
¯
2
2

11. Resolvendo EDP com TF
ˆ
Vamos avaliar f no vencimento da CALL Européia
h† (k) = Ff (x, v, 0) = F(ex − K)+
assim
h† (k) =
∞
dx exp(ikx)(ex − K)+
−∞
= lim
x→∞
diverge em limx→∞ ex
eikx
eikx ex
−K
ik + 1
ik
−
K ik+1
k(k − i)

12. Resolvendo EDP com TF
É necessário assumir k = a + ib ∈ C
h† (k) = lim
ei(a+ib)x ex
ei(a+ib)x
−K
ik + 1
ik
−
K ik+1
k(k − i)
= lim
eiax ex(1−b)
eiax e−bx
−K
ik + 1
ik
−
K ik+1
k(k − i)
x→∞
x→∞
não diverge quando b > 1.
h† (k) = −
K ik+1
k(k − i)
Com essa restrição a TF inversa para a CALL Européia fica:
ˆ
F −1 f (k, v, τ ) =
1
2π
+∞+ib
−∞+ib
ˆ
dke−ikx f (k, v, t)

13. Preço da CALL Européia
K ik+1
ˆ
f (k, v, τ ) = − exp[(−r − ikr)τ ]H(k, v, τ )
k(k − i)
Voltando para C(S, v, τ )
C(S, v, τ ) =
1
2π
=−
1
2π
+∞+ib
ˆ
dke−ikx f (k, v, τ )
−∞+ib
+∞+ib
dke−ikx exp[(−r − ikr)τ ]
−∞+ib
= −Ke−rτ
1
2π
+∞+ib
−∞+ib
dke−ikX
K ik+1
H(k, v, τ )
k(k − i)
H(k, v, τ )
k(k − i)
(1)
rτ
para 1 < b < ∞, X = log Se .
K

14. Preço da PUT Européia
ˆ
Vamos avaliar f no vencimento de uma PUT Européia
h† (k) = Ff (x, v, 0) = F(K − ex )+
e
∞
h† (k) =
dx exp(ikx)(K − ex )+
−∞
=−
K ik+1
k(k − i)
para −∞ < b < 0.
P (S, v, t) = −Ke−rτ
1
2π
+∞+ib
−∞+ib
dke−ikX
H(k, v, τ )
k(k − i)

15. Paridade CALL e PUT Européias
A equação de paridade entre opções de compra e venda Européia.
S − C(S, v, t) = Ke−rτ − P (S, v, t)
só que 1 < bcall < ∞ e −∞ < bput < 0. Para colocar C e P sob
as mesmas é necessário calcular o prêmio da equação de paridade.
Seja a paridade no vencimento
S − C(S, v, T ) = K − P (S, v, T )
S − (S − K)+ = K − (K − S)+
min(S, K) = min(S, K)
A carteira de ativos que apresenta este payoff é denominada
covered-call
C(S, v, T ) = min(S, K)

16. Paridade CALL e PUT Européias
ˆ
Vamos avaliar f no vencimento de uma covered-call
h† (k) = Ff (x, v, 0) = F min(S, K)
e
∞
h† (k) =
dx exp(ikx) min(S, K)
−∞
=−
K ik+1
k(k − i)
para 0 < b < 1.
C(S, v, t) = Ke−rτ
1
2π
+∞+ib
−∞+ib
dke−ikX
H(k, v, τ )
k(k − i)

17. Preço das opções CALL e PUT Européias
Através da covered-call temos o prêmio de opções de compra e
venda sob as mesmas restrições.
C(S, v, τ ) = S − C(S, v, τ )
= S − Ke−rτ
−rτ
P (S, v, τ ) = Ke
1
2π
dke−ikX
−∞+ib
H(k, v, τ )
k(k − i)
− C(S, v, τ )
= Ke−rτ 1 −
para 0 < b < 1.
+∞+ib
1
2π
+∞+ib
−∞+ib
dke−ikX
H(k, v, τ )
k(k − i)

18. Preço das opções CALL e PUT Européias
Através da covered-call temos o prêmio de opções de compra e
venda sob as mesmas restrições.
C(S, v, τ ) = S − C(S, v, τ )
= S − Ke−rτ
−rτ
P (S, v, τ ) = Ke
1
2π
+∞+ib
dke−ikX
−∞+ib
H(k, v, τ )
k(k − i)
− C(S, v, τ )
= Ke−rτ 1 −
1
2π
+∞+ib
−∞+ib
dke−ikX
H(k, v, τ )
k(k − i)
para 0 < b < 1.
Mas, ainda resta encontrar a solução para H(k, v, τ )!
Hτ = −v
k(k − i)
η2
H + [−λ(v − v ) − ikvρη]Hv + v Hvv
¯
2
2

19. Delta de Dirac payoff
Vamos considerar um instrumento que tenha o seguinte payoff
h† (k) = Ff (x, v, 0) = F
1
δ(x − log K)
K
este payoff paga uma unidade do ativo se ST = K e zero
unidades caso contrário.
O prêmio desse instrumento é calculado da mesma forma que
as opções de compra e venda européias.
∞
h† (k) =
dx exp(ikx)
−∞
ik−1
1
δ(x − log K)
K
=K
sem restrições para b.
O prêmio é dado por:
G(S, K, v, t) = e−rτ
1
2πK
+∞+ib
−∞+ib
dke−ikX H(k, v, τ )

20. Delta de Dirac payoff
Vamos considerar K → ST onde ST ∈ (0, ∞)
G(S, ST , v, t) = e−rτ
+∞+ib
1
2πST
˜
dke−ikX H(k, v, τ )
−∞+ib
S
˜
onde X = log ST + rτ
˜
Multiplicando por eik X em ambos os lados e integrando em
ST
∞
˜
dST G(S, ST , v, τ )eik X = e−rτ
+∞+ib
dkei(k −k)[log S+rτ ] H
−∞+ib
0
∞
−∞
dy −i(k−k )y
e
2π
y=log ST
=e
−rτ
H(k , v, τ )

21. Função Característica
∞
˜
dST G(S, ST , v, τ )erτ eikX
H(k, v, τ ) =
0
∞
˜
dST p(S, ST , v, τ )eikX
˜
=
0
˜
Fazendo a mudança de variáveis ST → X na integral, dado
˜ = log S + rτ
que X
ST
∞
H(k, v, τ ) =
−∞
∞
=
˜
˜˜
dX p(S, ST , v, τ )ST eikX
˜
˜˜ ˜
dX p(X; S, v, τ )eikX
−∞
˜
onde p(X; v, τ ) = p(S, ST , v, τ )S exp(rτ − X)
˜ ˜
˜

22. Função Característica
H(k, v, τ ) é a Função Característica da densidade de
probabilidade p
˜
∞
˜
dST p(S, ST , v, τ )eikX
˜
H(k, v, τ ) =
0
∞
˜
˜˜ ˜
dX p(X; S, v, τ )eikX
H(k, v, τ ) =
−∞
Para k = 0
∞
H(0, v, τ ) =
dST p(S, ST , v, τ )
˜
0
∞
H(0, v, τ ) =
˜˜ ˜
dX p(X; S, v, τ )
−∞
Se H(0, v, τ ) = 1 a densidade de probabilidade p é
˜
normalizada.

23. Função Característica de BS vol. constante
Considerando λ = 0 e η = 0 na EDP de H temos
v
Hτ = − k(k − i)H
2
cuja solução
H(k, σ, τ ) = exp −
σ2
k(k − i)τ
2
Os prêmios das opções (b = 1 )
2
√
C(S, σ, τ ) = e
−rτ
P (S, σ, τ ) = e−rτ
KF
2π
√
KF
K−
2π
+∞
dke−ikX
F−
−∞
1
k2 +
1
4
1
+
1
4
+∞
dke−ikX
−∞
k2
exp −
σ2 2 1
(k + )τ
2
4
exp −
σ2 2 1
(k + )τ
2
4

24. Função Característica de BS vol. determinística
Considerando η = 0 na EDP de H temos
v
Hτ = −λ(v − v )Hv − k(k − i)H
¯
2
cuja solução
H(k, σ, τ ) = exp −
onde
2
Uτ
k(k − i)τ
2
τ
Uτ =
vs ds
0
e
dvt = −λ(vt − v )dt
¯

25. Função Característica de Heston
A EDP do modelo de Heston
k(k − i)
η2
Hτ = −v
H + [−λ(v − v ) − ikvρη]Hv + v Hvv
¯
2
2
cuja solução
H(k, v, τ ) = exp[W (k, τ ) + vT (k, τ )]
onde
W (k, τ ) = λ¯ τ T− (k) −
v
T (k, τ ) = T− (k)
1 − g(k)e−d(k)τ
2
log
2
η
1 − g(k)
1 − e−d(k)τ
1 − g(k)e−d(k)τ
e
b(k) − d(k)
b(k) + d(k)
b(k) ± d(k)
T± (k) =
η2
g(k) =
d(k) =
b2 (k) + η 2 k(k − i)
b(k) = λ + iρηk

26. Modelo de Heston com Saltos
Seja a EDE
√
vt St dZ1 + (eα+δ − 1)St dq
√
dvt = −λ(vt − v )dt + η vt dZ2
¯
dSt = µt St dt +
˜
P :
onde dq é o processo de Poisson
dq =
e
∼ N (0, 1)
0 com probabilidade 1 − λ(t)dt
1 com probabilidade λ(t)dt

27. Modelo de Heston com Saltos
Seja a EDE
√
vt St dZ1 + (eα+δ − 1)St dq
√
dvt = −λ(vt − v )dt + η vt dZ2
¯
dSt = µt St dt +
˜
P :
onde dq é o processo de Poisson
dq =
e
0 com probabilidade 1 − λ(t)dt
1 com probabilidade λ(t)dt
∼ N (0, 1)
Devemos encontrar a função característica H(k, v, τ ) do log-price,
x = log S.

28. Modelo de Heston com Saltos
Se o processo de saltos é independente do processo de difusão dos
preços temos a soma de variáveis aleatórias independentes.

29. Modelo de Heston com Saltos
Se o processo de saltos é independente do processo de difusão dos
preços temos a soma de variáveis aleatórias independentes.
Distribuição da soma de v.a. independentes
Sejam z ∼ Pz (Z) e w ∼ Pw (W ) variáveis aleatórias independentes. A
distribuição conjunta
Pzw (Z, W ) = Pz (Z)Pw (W )
Definindo u = z + w → w = u − z
Pzw (Z, W ) = Pz (Z)Pw (U − Z)
Obtemos a distribuição de u integrando em z
+∞
+∞
pu (U ) =
dZPz (Z)Pw (U − Z)
dZPzw (Z, W ) =
−∞
−∞
A integral acima é uma integral de convolução.

30. Modelo de Heston com Saltos
Integral de convolução
Seja a operação de convolução
+∞
f ⊗g =
dxf (x)g(y − x)
−∞
A transformada de Fourier de uma operação de convolução é o
produto das transformadas de Fourier
ˆ g
F f ⊗ g = F[f (x)]F[g(x)] = f (k)ˆ(k)

31. Modelo de Heston com Saltos
Integral de convolução
Seja a operação de convolução
+∞
f ⊗g =
dxf (x)g(y − x)
−∞
A transformada de Fourier de uma operação de convolução é o
produto das transformadas de Fourier
ˆ g
F f ⊗ g = F[f (x)]F[g(x)] = f (k)ˆ(k)
A Função Característica do modelo de Heston com Saltos é o
produto da função característica do modelo de Heston com a
do processo com Jumps.

32. Modelo de Heston com Saltos
A função característica do modelo de Heston com Saltos
H(k, v, τ ) = Hh (k, v, τ )Hj (k)
= exp[W (k, τ ) + vT (k, τ )] exp[ψ(k)T ]
Modelo de Heston
Termo com Saltos
onde
ψ(k) = −λJ ik(eα+δ
2 /2
− 1) + λJ (eikα−k
2 δ 2 /2
− 1)

33. Calibrando na Superfície de preços
600
400
200
0
1
3600
0.8
3400
0.6
3200
0.4
3000
0.2
2800
0
2600
Figura: Superfície com os preços calibrados com o modelos de Heston
(vermelho) e Heston com Saltos (azul)

34. Resultados para o Smile na volatilidade
0.205
BS Vol.
Heston Vol.
Heston w/ Jumps Vol.
0.2
0.195
0.19
0.185
0.18
0.175
0.17
0.165
0.16
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
Figura: Simulando processos com Saltos
2350

35. Simulação de processo com saltos
2600
2500
2400
2300
2200
2100
2000
1900
1800
0
50
100
150
200
250
Figura: Simulando processos com Saltos
300

36. Modelos de Volatilidade Estocástica no Processo de
Validação
149
Sim
Vanilla
Heston
Heston w/ Jumps
148
147
146
145
144
143
Const. Vol.
Heston
Heston w/ Jumps
Figura: Simulação de uma opção plain–vanilla em azul com barra de
erros.

37. Perguntas