![Série Discreta de Fourier
Se o sinal for discreto (discretizado com período de amostragem T ) e aperiódico no
tempo podemos representá-lo da seguinte maneira:
∑
∞
−∞=
−=
n
nTtnxtx )(][)( δ
calculando a transformada de Fourier deste sinal, obtemos
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que é um sinal contínuo e periódico (com período
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1
), cuja transformada inversa de
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3
Usando a regra L'Hôpital](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. Transformada de Fourier A Transformada de Fourier é definida por: ∫ ∞ ∞− − Δ = tetxfX tfj d)()( 2π (definição) Sua inversa pode ser obtida utilizando o seguinte procedimento; Partindo da transformada de Fourier, façamos: ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ′−− ∞ ∞− ′ ∞ ∞− ∞ ∞− ′− ∞ ∞− ′ ∞ ∞− ′−′ ∞ ∞− − = = = = tfetxffXe fteetxffXe teetxfXe tetxfX ttfjtfj tfjtfjtfj tfjtfjtfj tfj dd)(d)( dd)(d)( d)()( d)()( )(22 222 222 2 ππ πππ πππ π pode-se demonstrar que 1 )(d)(2 ttfe ttfj ′−=∫ ∞ ∞− ′−− δπ o que resulta em )(d)()(d)(2 txttttxffXe tfj ′=′−= ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ′ δπ Desta forma concluímos então que2 ∫ ∞ ∞− = fefXtx tfj d)()( 2π 1 A prova desta proposição é freqüentemente feita utilizando-se definições de operador funcional e distribuições. Em resumo, definindo a função delta desta maneira, a mesma permanece consistente com o resto do que se segue. Intuitivamente, basta observar que a área de uma senoide (e co-senoide) é sempre zero (não importa quantos períodos tomemos para integrar). 2 Observe que na definição inicial, a inversa é deduzida sem normalização. Algumas definições, utilizam o valor da transformada normalizada por π2 . Neste caso deve-se tomar cuidado pra utilizar a variável ϖ (freqüência angular). Além do mais, uma tem que levar a outra, não se pode definir ambas ao mesmo tempo.
- 2. Série Discreta de Fourier Se o sinal for discreto (discretizado com período de amostragem T ) e aperiódico no tempo podemos representá-lo da seguinte maneira: ∑ ∞ −∞= −= n nTtnxtx )(][)( δ calculando a transformada de Fourier deste sinal, obtemos ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= ∞ ∞− − ∞ ∞− − ∞ −∞= = −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= n nTfj n tfj tfj n enxfX tenTtnx tenTtnxfX π π π δ δ 2 2 2 ][)( d)(][ d)(][)( que é um sinal contínuo e periódico (com período T 1 ), cuja transformada inversa de Fourier pode ser representada apenas por e que pode ser calcula da seguinte forma ][nx ∑∫ ∑∫ ∑ ∫∫ ∑ ∑ ∞ −∞= ′−− ′ ∞ −∞= ′−− ′ ∞ −∞= ′−−′ ∞ −∞= ′−′ ∞ −∞= − ′−− − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′−− = = = = n nnjT Tnfj n TTnnfjT Tnfj n T Tnnfj T Tnfj n TnfjnTfjTnfj n nTfj Tnnj e nxfefX Tnnj e nxfefX fenxfefX eenxefX enxfX )(2 1 ][d)( )(2 ][d)( d][d)( ][)( ][)( )(2 1 0 2 1 0 )(2 1 0 2 1 0 )(2 1 0 2 222 2 π π π π π π ππ πππ π analisando o termo ∑ ∞ −∞= ′−− ′−− − n nnj Tnnj e nx )(2 1 ][ )(2 π π percebemos que3 3 Usando a regra L'Hôpital
- 3. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′≠ ′= = ′−− −′−− nn nn T Tnnj e nnj ,0 , 1 )(2 1)(2 π π portanto a soma torna-se ][ 1 )(2 1 ][ )(2 nx TTnnj e nx n nnj ′= ′−− − ∑ ∞ −∞= ′−− π π o que leva à expressão final da transformada inversa à ∫= T nTfj fefXTnx 1 0 2 d)(][ π
- 4. Série de Fourier Se o sinal no domínio da freqüência for discreto (discretizado na freqüência com período )0f 4 e aperiódico, podemos escrever sua transformada de Fourier como ∑ ∞ −∞= −= k kffkXfX )(][)( 0δ , onde aplicando-se a transformada inversa de Fourier obtemos ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ −∞= = −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= k tfjk k tfj tfj k o ekXtx fekffkX fekffkXtx π π π δ δ 2 2 0 2 0 ][)( d)(][ d)(][)( que é um sinal contínuo e periódico (de período 0 1 f ), cuja transformada de Fourier pode ser representada apenas por e que pode ser calculada da seguinte maneira:][kX ∑∫ ∑∫ ∑ ∫∫ ∫ ∑∫ ∑ ∑ ∞ −∞= −′− ′− ∞ −∞= −′− ′− ∞ −∞= −′−′− ∞ −∞= ′−′− ∞ −∞= ′−′− ∞ −∞= −′− − = −′− = = = = = k o kkjf tkfj k f o tkkfjf tkfj k f tkkfj f tkfj f k tkfjtkfj f tkfj k tkfjtkfjtkfj k tkfj kkfj e kXtetx kkfj e kXtetx tekXtetx teekXtetx eekXetx ekXtx o o ooo o o o o o o oo o o ooo o )(2 1 ][d)( )(2 ][d)( d][d)( d][d)( ][)( ][)( 2)( 1 0 2 1 0 )(2 1 0 2 1 0 )(2 1 0 2 1 0 22 1 0 2 222 2 π π π π π π ππ πππ πππ π 4 Observe que a idéia de "período" no domínio da freqüência requer atenção. Uma função que seja periódica (ou amostrada periodicamente) no domínio da freqüência se repete a cada valor inteiro de uma freqüência (já que o eixo das ordenadas tem unidade de freqüência) e, portanto, o período de uma função periódica no domínio da freqüência é em si um valor de freqüência.
- 5. da mesma maneira procedida na Série Discreta de Fourier para o somatório do lado direito, percebe-se que a inversa é dada por tetxfkX o o f tkfj d)(][ 1 0 2 0 ∫ − = π
- 6. Transformada Discreta de Fourier Se o sinal for discreto e periódico no tempo (com período ) teremos a seguinte situação; 0T Inicialmente suponha um sinal limitado no tempo (discretizado com período de amostragem T e tamanho , onde é o número de amostras da discretização) TNT =0 N ∑ − = −= 1 0 )(][)(ˆ N n nTtnxtx δ agora o sinal periódico pode ser formado a partir de por)(ˆ tx ∑ ∞ −∞= −= m mTtxtx )(ˆ)( 0 , o que nos leva a representar um sinal genérico discreto e periódico como ∑ ∑ ∞ −∞= − = −−= m N n nTmTtnxtx 1 0 0 )(][)( δ sua transformada de Fourier pode ser calculada da seguinte maneira: ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∫∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∞ −∞= − − = − −− ∞ −∞= − = +− ∞ −∞= − = ∞ ∞− − ∞ −∞= − = ∞ ∞− − ∞ −∞= − = = = = −−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= m mfTj N n fTnj fTnjmfTj m N n nTmTfj m N n tfj m N n tfj m N n eenx eenx enx tenTmTtnx tenTmTtnxfX 0 0 0 2 1 0 2 22 1 0 )(2 1 0 2 0 1 0 2 1 0 0 ][ ][ ][ d)(][ d)(][)( ππ ππ π π π δ δ usando a propriedade da função "pente de Dirac" identificamos5,6 5 Esta igualdade pode ser demonstrada escrevendo-se a série de Fourier do pente de Dirac e verificando que todos os coeficientes são iguais a (o que leva à expressão do lado direito da igualdade).T/1 6 Esta propriedade vem da Transformada de Fourier da função "pende de Dirac" que é definida como a soma de deltas de Dirac espaçadas no tempo. Sua Transformada de Fourier também resulta em uma soma de deltas espaçada na freqüência.
- 7. ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − m mTfj m e T m f T 02 00 1 π δ obtemos então ∑ ∑ ∑∑ ∞ −∞= − = − ∞ −∞= − = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= m N n T nTm j m N n Tnfj T m fenx T T m f T enxfX 1 0 0 2 0 00 1 0 2 0 ][ 1 1 ][)( δ δ π π que pode ser representada apenas nas freqüências discretas 0T m como ∑ − = − = 1 0 2 0 0 ][ 1 ][ N n T kTn j enx T kX π Como temosTNT =0 ∑ − = − = 1 0 2 ][ 1 ][ N n N kn j enx NT kX π É muito comum considerar o tempo de amostragem igual à unidade7 , o que leva a expressão a Transformada Discreta de Fourier à ∑ − = − = 1 0 2 ][ 1 ][ N n N kn j enx N kX π que é um sinal também discreto e periódico (de período discreto )N A inversa pode ser obtida da seguinte maneira (ainda considerando amostragem unitária) 7 Esta consideração é perfeitamente aceitável quando se trabalha com ambas as transformadas, direta e inversa, nas suas formas discretas. Desta maneira, tanto o tempo quando a freqüência são representados por índices, que não tem unidade.
- 8. ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑ − = − = ′− −− = ′ − = − = ′ −− = ′ − = ′ − ′ − = − = = = = 1 0 1 0 )(21 0 2 1 0 1 0 221 0 2 1 0 222 1 0 2 ][ 1 ][ ][ 1 ][ ][ 1 ][ ][ 1 ][ N n N k N knn jN k N nk j N k N n N kn j N kn jN k N nk j N n N kn j N kn j N nk j N n N kn j enx N kXe eenx N kXe eenx N kXe enx N kX ππ πππ πππ π analisando a expressão ∑ − = ′− −1 0 )(2N k N knn j e π percebemos que, se nn ′≠ 0 1 1 1 1 1 1 )(2 )(2 )(2 )(2 1 0 )(2 )(2 1 0 = − − = − − = = − − = ′− − ′−− ′− − ′− − − = ′− − ′− − − = ∑ ∑ N nn j nnj N nn j N Nnn j N k N knn j N nn j NN k k e e e e e er r r r π π π π π π Quando nn ′= temos Ne N k N k N knn j == ∑∑ − = − = − − 1 0 1 0 )(2 1 π portanto, a Transformada Discreta de Fourier inversa torna-se ∑ − = = 1 0 2 ][][ N k N kn j ekXnx π
- 9. RESUMO T contínuo discreto aperiódico Transformada de Fourier ∫ ∞ ∞− − Δ = tetxfX tfj d)()( 2π ∫ ∞ ∞− = fefXtx tfj d)()( 2π t é o tempo em segundos f é a freqüência em Hz Série Discreta de Fourier ∑ ∞ −∞= − = n nTfj enxfX π2 ][)( ∫= T nTfj fefXTnx 1 0 2 d)(][ π T é o período de amostragem no tempo n é o índice da amostra no tempo f é a freqüência em Hz contínuo periódico Série de Fourier tetxfkX o o f tkfj d)(][ 1 0 2 0 ∫ − = π ∑ ∞ −∞= = k tkfj o ekXtx π2 ][)( of é a freqüência do sinal no tempo em Hz t é o tempo em segundos k é o índice da amostra na freqüência Transformada Discreta de Fourier ∑ − = − = 1 0 2 ][ 1 ][ N n N kn j enx N kX π ∑ − = = 1 0 2 ][][ N k N kn j ekXnx π N é o número de amostras de cada sinal n é o índice da amostra no tempo k é o índice da amostra na freqüência discreto aperiódico periódico F