1. A - Introdução
1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1.0 - INTRODUÇÃO
1.1 – OBJETIVOS E MÉTODOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que
se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as pro-
porções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capa-
citá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em
condições econômicas.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é
chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise
nesta disciplina.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a
requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com
falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). A ca-
pacidade de um elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do elemento.
Muitas vezes, apesar de os elementos estruturais satisfazerem aos requisitos de
resistência e de rigidez sob a ação das cargas, a estrutura, como um todo, não é capaz
de manter o estado de equilíbrio, por instabilidade. A estabilidade das estruturas é
outro problema a ser analisado.
Estados perigosos provocados por descontinuidades na geometria dos elemen-
tos (concentração de tensões), por cargas alternativas (ressonância e fadiga do ma-
terial) e por cargas dinâmicas (choque mecânico) serão também estudados.
A escolha dos materiais, das proporções e das dimensões dos elementos de
construção deve ser feita baseada em critérios de otimização, visando, invariavelmen-
te, a custos mínimos, menores pesos (fundamental na indústria aeronáutica), facilida-
de de fabricação, de montagem, manutenção e reparo.
Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais estabelece
modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para descrever a complexa
realidade física, permitindo uma fácil resolução dos problemas, obtendo-se resultados
aproximados que, posteriormente, são corrigidos através de coeficientes que levam
em conta as simplificações feitas. Esses coeficientes de correção (coeficientes de se-
gurança) são estabelecidos experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas
Técnicas ou em função da habilidade e experiência do projetista.
A solução de problemas mais complexos, para os quais os esquemas simplifi-
cados da Resistência dos Materiais não se enquadram, é em geral tratada pela Teoria
da Elasticidade (outro ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe a
solucionar os mesmos problemas da Resistência dos Materiais, porém através da uti-
lização de métodos matemáticos mais complexos, mas de maior abrangência).

2. A - Introdução
2
1.2 – HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às
características dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais, tipos de
carregamento, vinculação etc. e, a menos que sejam estabelecidos esquemas de cálcu-
lo e hipóteses simplificadoras, a análise dos problemas seria impraticável. A validade
de tais hipóteses é constatada experimentalmente.
a) Quanto aos materiais:
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc) homo-
gêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais proprieda-
des em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementa-
res do cálculo infinitesimal para a solução matemática dos problemas. Deve-se ter
cautela, entretanto, quanto à sua aplicação para certos materiais de construção (como
o concreto ou a madeira), ou materiais de estrutura cristalina (como o granito) cujas
características heterogêneas e anisotrópicas nos levariam a resultados apenas aproxi-
mados. Outra suposição freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeita-
mente elásticos (sofrendo deformações cuja extensão é proporcional aos esforços a
que estão submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses esfor-
ços).
b) Quando à geometria dos elementos estruturais:
Os elementos estruturais serão reduzidos aos seguintes modelos simplificados
(Fig. 1.2.1):
BLOCOS – corpos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de
grandeza (a ~b ~c);
FOLHAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito
menor (*) que as outras duas (e << a ~b);
BARRAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada comprimento)
muito maior (*) que as outras duas (c >> a ~b).
(*) da ordem de 10 vezes ou mais.
A Resistência dos Materiais Elementar propõe métodos para resolução de pro-
blemas envolvendo elementos estruturais do tipo de barras. Estudos mais avançados
dão conta da solução de alguns problemas relativos às folhas. O estudo dos blocos
não é tratado pela Resistência dos Materiais, devendo-se recorrer aos métodos da Te-
oria da Elasticidade.

3. A - Introdução
3
BLOCOS a
c
e
CASCAS
b a
FOLHAS CHAPAS
PLACAS PLACAS
ARCOS
BARRAS
BARRAS BARRAS RETAS
VIGAS
PERFIS L
DELGADOS
Fig. 1.2.1 – Classificação dos elementos estruturais quanto a sua geometria.
c) Quanto ao carregamento:
Os esforços que atuam nas estruturas serão representados através dos seguintes mode-
los simplificados (Fig. 1.2.2):
Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as forças
de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de esforços sobre pla-
cas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como a ação ao longo de
vigas, q = dF/dx);
Forças Concentradas – ações localizadas em áreas de pequena extensão
quando comparadas com as dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito
b

4. A - Introdução
4
(uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de con-
tato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o que ne-
nhum material seria capaz de suportar sem se romper.
Fig. 1.2.2 – Tipos de Carregamento: forças distribuídas (a) em volumes, (b) em superfícies,
(c) em linha; (d) forças concentradas.
d) Quanto aos vínculos
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da estru-
tura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos cursos de
Mecânica dos Corpos Rígidos.
Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são
classificados em três categorias (Fig. 1.2.3)
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa
direção pré-determinada;
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo
em todas as direções;
(a)
(b)
(c)
(d)
W
P
q(x)
F

5. A - Introdução
5
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do
corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
Fig. 1.2.3 – Tipos de vínculos e reações de apoio
e) Inexistência de esforços iniciais –
Nos processos de conformação e tratamento térmico dos materiais (fundição, usina-
gem, laminação, forjamento, embutimento, têmpera, etc) surgem esforços localizados
cuja presença não será considerada em nossos estudos. Suporemos que não existem
esforços iniciais no corpo antes de seu carregamento. Quando existirem fortes razões
para que tais esforços precisem ser considerados, eles serão determinados experimen-
talmente.
f) Princípio de Saint’Venant –
Uma hipótese simplificadora que é sustentada pela observação experimental é a estabelecida por
Saint’Venant, indicando que em pontos suficientemente afastados das regiões de aplicação dos es-
forços, os efeitos internos se manifestam independentemente da forma de distribuição daqueles es-
forços. Este princípio permite o cálculo dos esforços no interior dos corpos utilizando a resultante
APOIO
MOVEL
SÍMBOLO
APOIO
FIXO
SÍMBOLO
SÍMBOLO
E
N
G
A
S
T
A
M
E
N
T
O
Pino deslizante
rodete
Biela ou
conectora
rótula
R
Ry
Rx
Ry
Rx
Mz

6. A - Introdução
6
dos esforços atuantes, como uma força concentrada equivalente, hipótese válida apenas para pontos
afastados em relação ao local onde os esforços são distribuídos, de uma distância d superior a 1,5 a
2,0 vezes a maior dimensão b da distribuição da carga.
Fig. 1.2.4 – Princípio de Saint’Venant.
g) Princípio da Superposição dos Efeitos
Os efeitos de um sistema de várias forças agindo em um corpo (ações internas ou de-
formações) será igual à soma dos efeitos parciais produzidos nesse corpo quando ca-
da esforço é aplicado isoladamente, independentemente da ordem de aplicação. Este
princípio, largamente utilizado na Mecânica dos Corpos Rígidos, pode ser estendido
aos corpos deformáveis desde que:
1º) os deslocamentos dos pontos de aplicação das forças sejam pequenos quando compara-
dos com as dimensões da estrutura (manutenção da geometria inicial);
2º) os deslocamentos devidos às deformações da estrutura variem linearmente com os esfor-
ços (proporcionalidade esforço-deformação).
Na Fig. 1.2.5 são apresentados dois exemplos sendo um (a) onde o princípio da
superposição pode ser aplicado e outro (b), onde não pode ser aplicado.
(a) (b)
P1 P 1
F1
P2 P 2
F2
P3 = P1 + P2 P3=P1+P2
F3 = F1 + F2 F3 ≠ F1 + F2
Fig. 1.2.5 – Princípio da Superposição dos Efeitos
d
b
d + b/2
q
q.besforços
internos

7. A - Introdução
7
1.3 - ESFORÇOS
Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma estrutura
podem ser classificados segundo o quadro:
Permanentes
ATIVOS
EXTERNOS Acidentais
REATIVOS
Força Normal
ESFORÇOS Força Cortante
SECCIONAIS
Momento Fletor
INTERNOS Momento Torçor (Torque)
Tensão Normal
LOCAIS
Tensão Tangencial
a) Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por
contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação
do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os esforços ativos
serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura
(como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do
vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.). Esses esforços são em
geral conhecidos a priori (através das Normas Técnicas, requisitos para o projeto,
etc). No projeto de novas estruturas o peso próprio é inicialmente desconhecido já
que as dimensões das partes não estão ainda estabelecidas. O peso próprio é levado
em conta nesses casos a partir de um peso estimado e utilizando-se um método de
cálculo iterativo, rapidamente convergente. Os esforços produzidos pelos vínculos,
também externos, são denominados de esforços reativos, ou reações dos apoios, sen-
do determinados pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre
um corpo em repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a:
Σ F x = 0 Σ F y = 0 Σ M z = 0
Quando o número de reações vinculares desconhecidas iguala o número de e-
quações da Estática utilizáveis, a estrutura é dita isostática (ou estaticamente deter-
minada). Caso o número de reações seja superior ao número de equações disponíveis,
estaremos diante de uma estrutura hiperestática. A determinação dos esforços reati-
vos nessas estruturas estaticamente indeterminadas será feito utilizando-se equações
suplementares que caracterizem a compatibilidade de deformações e que serão estu-
dadas no presente curso.
Como exemplo, a Fig. 1.3.1 apresenta um esquema da estrutura isostática de
um guindaste onde se pode reconhecer que o peso de 20 toneladas como um esforço
externo ativo permanente, a carga de 10 tf como um esforço externo ativo transitório.
A ponte móvel se apóia no mancal superior B (apoio fixo) e encosta-se em A (apoio
móvel) na pista circular fixa à torre. A determinação das reações nesses apoios, feita
através das equações da Estática, nos permite obter:
A = 10,0 tf ( ); B x = 10,0 tf (); B y = 30,0 tf ( ); B = 31,6 tf (71,6º )

8. A - Introdução
8
Pista circular
rodetes
8m
6m
20 tf
10 tf
A
B x
B y
B
A
10tf
20tf
2m
Fig. 1.3.1 – Estrutura isostática da Ponte Móvel de um Guindaste (AMRJ).

9. A - Introdução
9
b) Esforços Internos
Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou ele-
mento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. No exemplo da fig. 1.3.1
podemos reconhecer que a força exercida no rodete A, embora seja um esforço exter-
no para a ponte giratória, será um esforço interno para o guindaste como um todo.
Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado
pela Resistência dos Materiais) podemos analisar os esforços internos atuantes em
uma seção transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de
uma parte da barra sobre a outra pode ser reduzida a uma força F e a um conjugado
de momento G. Ao decompormos estes dois esforços na direção do eixo da barra (di-
reção normal) e no plano da seção (direção tangente), obtemos os chamados esforços
seccionais (ou solicitantes) a saber (fig. 1.3.2):
N Q M T
Fig. 1.3.2 – Esforços Seccionais (ou Solicitantes)
A determinação dos esforços seccionais é feita, da mesma forma que os esfor-
ços reativos, através das equações da Estática, analisando o equilíbrio dos esforços
que atuam na parte da estrutura que foi hipoteticamente secionada.
A seguir são apresentados alguns exemplos de determinação de esforços solici-
tantes.
N – Força Normal
F
Q – Força Cortante
M – Momento Fletor
G
T – Momento Torque
F
G
Q
N
F
G
M
T
A

10. A - Introdução
10
z
y
3 kN
600mm
x
300d
350
250
4kN
1 - Na seção flangeada do engaste:
F x = N = 4 kN (tração)
F y = Q y = 0
F z = Q z = 3 kN
M x = T = 3 x 0,750 = 2,25 kN.m
M y = 3 x 0,600 = 1,80 kN.m
M z = 4 x 0,500 = 2,00 kN.m
M = (22
+ 1,82
) ½
= 2,69 kN.m
0,80 kN/m 3,2kN
B
5m
4m
2 - Traçar os diagramas de es-
forços solicitantes N, Q e M
para o pórtico esquematizado:
2,4
kN
2,4
4,0 3,2
C
C
A
1 2
Ay
Ax

11. A - Introdução
11
Ay
Solução
1) Cálculo das Reações:
Pelo Σ MA = 0 pode-se escrever:
4x5,5 + 3,2x2 – 2,4 x 4 = Cx8;
C = 2,35 kN ( )
Pelo Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0, obtem-se:
Ax = 2,40 kN () e Ay = 4,85 kN ( )
Força Normal (N)
O trecho AB estará comprimido (N=4,85kN),
como também o trecho BC (N= 2,40kN). Re-
lembra-se a convenção de sinais para a força
N:
[+] tração ; Compressão [-]
Força Cortante (Q)
Relembra-se a convenção de sinais para a for-
ça cortante Q:
[+] ; [-]
A seção onde se anula o valor de Q é impor-
tante (corresponde a um valor extremo de M,
já que Q = dM/dx):
No trecho CB, tal ocorre em x = 2,9375m.
Note que no “joelho” B, a força cortante se
converte em normal e vice-versa.
Momento Fletor (M)
Relembra-se a convenção de sinais para M:
Na seção crítica, onde a força Q é nula:
M*
= 2,35 x 2,9375 – 0,80 x (2,9375)2
/2
M*
= 3,45 kN.m
+-
C
2,4
4
3,2
B
AX
N
(kN)
-2,4
-4,85
+2,35
x
-1,65
-4,85
+2,4
Q
(kN)
B
x
3,45
9,60
M
KN.m
5 1 2
2
4

12. A - Introdução
12
1.4 – Conceito de Tensão.
Os esforços locais, em pontos de uma dada seção, serão analisados através de
seus valores específicos (por unidade de área) por meio do conceito de tensão.
A tensão ( S ) presente em um ponto de uma dada seção de uma barra carrega-
da é o limite da relação entre a força elementar ∆F e a área ∆A no entorno desse pon-
to, quando ∆A tende a zero:
S = Lim (∆F / ∆A) = dF / dA ............................. ( 1.4.1 )
∆A 0
É uma grandeza que tem a mesma dimensão de pressão (como veremos, o es-
tado de tensão denominado “pressão” é uma situação particular do caso geral da ten-
são), medida em N/m2
(Pascal – Pa), em kgf/cm2
, lbf/in2
(psi), dyn/cm2
(bar), etc.
Ao decompormos o vetor força elementar dF na direção normal (perpendicular
ao plano da seção – dFn) e na direção do plano da seção (dFt), obtemos as duas com-
ponentes da tensão:
tensão normal ......................... σ = dFn / dA ..............................( 1.4.2)
(sigma), que pode ser de tração ou compressão (esmagamento), e
tensão tangencial..................... τ = dFt / dA ............................(1.4.3)
(táu), também chamada de tensão de cisalhamento ou cisalhante.
Fig. 1.4.1 – Tensão. Tensão Normal. Tensão Tangencial.
Um fato que, desde o início, deve ser reconhecido é que a tensão que atua em
um certo ponto de um certo plano de um corpo carregado depende da orientação do
plano selecionado. Num mesmo ponto, porém em um plano diferente, a tensão, em
dFn
dF
dA dFt
σσσσ
S
ττττ

13. A - Introdução
13
geral, será diferente. Não são apenas as componentes que se modificam com a orien-
tação do plano, mas é o vetor tensão que se altera.
Assim é que, por exemplo, no caso simples de uma barra prismática (Fig.
1.4.2), de pequena seção transversal de área A0 e submetida a uma força de tração F
pelos topos, fácil será concluir que, em um certo ponto P do plano da seção transver-
sal, atuará uma tensão normal de tração cujo valor será, em média, σ = F/A0, sendo
τ = 0.
Fig. 1.4.2 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção.
Para uma outra seção, inclinada de um ângulo φ em relação à seção transversal
(a direção normal a esta seção formará também um ângulo φ em relação ao eixo da
barra), a sua área será maior, valendo Aφ = A0 / cos φ, e como a força total é a mesma
(F), a tensão será, em média, Sφ = F / A0 cos φ, e suas componentes valerão:
σφ = Sφ cos φ = (F/Α0) cos2
φ, e τφ = Sφ sen φ = (F/Α0) sen φ cos φ
Os casos limites em que φ = 0 e φ = 90, nos levam aos valores σ0 = F/A0 e
τ0 = 0, bem como, σ90 = 0 e τ90 = 0.
Observe o fato relevante de que, apesar de estar a barra simplesmente traciona-
da, nas seções em que φ = 45º (planos de clivagem), haverá uma tensão tangencial de
valor ½ (F/A0) (valor máximo dessa tensão tangencial - metade do valor máximo da
tensão normal, ocorrente no plano da seção transversal). Note também que nos planos
longitudinais da barra ( φ = 90 ), tanto a tensão normal como a tangencial são nulas.
Para identificar o estado de tensão em um ponto de um corpo carregado neces-
sário se torna o conhecimento das tensões ocorrentes em três planos ortogonais que se
interceptam no ponto considerado, e que são três vetores, totalizando nove compo-
nentes escalares. Uma grandeza deste tipo é designada como um tensor de 2ª ordem
F
A0
F
S0 = σ = F/A0
F
Sφ = F / (A0/cos φ)
φ
F
(A) (B)
φ

14. A - Introdução
14
(a ordem [O] de um tensor é o expoente n da relação [O] = 3
n
que fornece o número
de componentes escalares da grandeza – uma grandeza escalar, como a temperatura, é
um tensor de ordem zero, enquanto uma grandeza vetorial, como a força, é um tensor
de 1ª ordem).
A figura 1.4.3 apresenta um estado de tensão genérico num ponto P de um cor-
po carregado, definido pelas tensões que atuam em três planos ortogonais que se in-
terceptam no ponto P.
Fig. 1.4.3 – Estado de tensão em um ponto P de um corpo carregado (coloque os índices das
duas tensões assinaladas com *, seguindo a convenção exposta no texto a seguir).
Utilizou-se uma notação de dupla indexação, na qual o 1º índice informa o pla-
no onde a tensão atua (definido pelo eixo que lhe é perpendicular) e o 2º indica a
direção da tensão propriamente dita (por exemplo, τyz é a tensão, tangencial, que atua
em um plano perpendicular ao eixo y e é orientada na direção do eixo z). As tensões
normais terão sempre índices iguais, por tal convenção, sendo designadas pela letra
σ.
Quanto aos sinais dessas tensões, adotaremos a seguinte convenção:
- para uma tensão atuante em uma “face positiva” (aquela cuja normal exterior
está orientada no sentido positivo do eixo que lhe é perpendicular), será esta tensão
positiva se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e negativa se orien-
tada no sentido oposto;
τxy
σxx
σyy
τyxτ *
σzz
τ *
τzy
τxz
x
z
y
P
dz
dx
dy

15. A - Introdução
15
- para uma tensão atuante em uma “face negativa” (aquela cuja normal exterior
está orientada no sentido negativo do eixo que lhe é perpendicular), será ela
negativa se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e positiva se
orientada no sentido oposto. A Figura 1.4.4 a seguir mostra exemplos onde a
nomenclatura e os sinais das tensões são indicados.
Fig. 1.4.4 – Nomenclatura e sinais das tensões (os eixos x,y,z devem formar triedros dire-
tos).
A tensão τ1 é tangencial, atua numa face que tem o eixo x como normal ex-
terna (face positiva), é paralela ao eixo y, em seu sentido negativo. Logo, a tensão
será designada pelo símbolo τxy e terá sinal negativo;
A tensão τ2 é tangencial, atua numa face que tem o eixo z como normal externa
(face positiva), é paralela ao eixo x, em seu sentido positivo. Logo, a tensão será de-
signada pelo símbolo τzx e terá sinal positivo;
A tensão τ3 é normal, atua numa face que tem o eixo y como perpendicular,
porém é uma face negativa; a tensão é paralela ao mesmo eixo y, e em seu sentido
negativo. A tensão será nomeada como σy, e terá sinal positivo.
Observe que as tensões τij para as quais i=j são tensões normais σ, sendo posi-
tivas, se de tração, e negativas, se de compressão, independentemente do sinal das
faces, não necessitando ter seus índices repetidos (seria uma redundância).
Fica como exercício mostrar que: τ4 = τzy (sinal +); τ5 = τyx (sinal -); τ6 = σx
(sinal -).
O tensor das tensões [S], com suas 9 componentes escalares, é representado por
uma matriz quadrada (3 x 3), sendo a diagonal principal composta pelas tensões nor-
mais e os elementos secundários pelas tensões tangenciais.
x
y
z
x
y
z
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
τ6

16. A - Introdução
16
.............................................( 1.4.4 )
Convém realçar que, ao se modificar a orientação dos eixos coordenados, as
componentes τij sofrerão alterações, porém o estado de tensão no ponto considerado
(dependente do carregamento aplicado ao corpo) se mantém invariante.
É também importante caracterizar desde logo que a matriz em (1.4.4) é simétri-
ca em relação à diagonal principal, ou seja:
τxy = τyx
τyz = τzy
τzx = τxz
A demonstração das equações (1.4.5) pode ser feita analisando-se o equilíbrio
de momentos das forças atuantes sobre as faces do paralelepípeto elementar mostrado
na Fig. 1.4.3, momentos esses tomados em relação a 3 eixos paralelos aos eixos
coordenados, passando pelos pontos médios das faces (equilíbrio de momentos
válido, inclusive, para o caso de o elemento estar acelerado, já que o momento de
inércia da massa elementar em relação a um seu eixo é nulo – “M = I α”).
Assim, para um eixo paralelo ao z, passante pelo ponto médio da face que lhe é
perpendicular, de área dx.dy, as únicas forças atuantes nas demais faces e que provo-
cam momentos em relação a tal eixo (as que não o cruzam ou que não lhe são parale-
las) serão:
τxy (dy.dz) e τyx (dx.dz), que, multiplicadas pelos respectivos braços para to-
mada de momentos nos permite escrever:
τxy (dy.dz). (dx/2) = τyx (dx.dz). (dy/2),
ficando demonstrado que τxy = τyx . O mesmo procedimento repetido para os outros
dois eixos, na mesma condição, nos levará ao que consta nas equações (1.4.5).
Uma conseqüência importante dessa propriedade do tensor das tensões é o fato
de que a tensão tangencial no contorno livre de peças carregadas é sempre tangente
ao contorno (como mostrado na Fig. 1.4.5)
σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
S =
.......................................... (1.4.5)

17. A - Introdução
17
Fig. 1.4.5 – Tensões tangenciais nos contornos livres das peças.
Outro fato que será analisado em detalhe mais adiante é que a simetria da ma-
triz (1.4.4) nos indica a possibilidade de, por uma conveniente mudança da orientação
dos eixos coordenados (x, y, z), obter-se uma matriz equivalente diagonalizada (τij =
0), obtendo-se na diagonal principal as tensões chamadas principais que descrevem o
estado de tensão no ponto considerado.
Assim como o conceito de força, a idéia de tensão é puramente abstrata, não
podendo essa grandeza ser medida diretamente. Como veremos, as tensões são avali-
adas indiretamente, através de seus efeitos, as deformações (caberia a pergunta: é a ten-
são que provoca a deformação ou o inverso – a deformação – fato físico mensurável, é que provoca
a tensão – conceito abstrato)
1.5 – Tensões em peças sob carregamento centrado.
Como aplicações iniciais para o estudo do cálculo de tensões em casos mais
simples, trataremos de peças que, por suas condições de simetria geométrica e de car-
regamento centrado, nos permitem admitir uma distribuição uniforme para as tensões
ao longo da área em que atuam (em seções afastadas dos esforços localizados, segun-
do Saint’Venant). Tal valor, embora possa não representar a distribuição real das ten-
sões nos diversos pontos da área considerada, pelo menos, nos indica um valor médio
para tais tensões, dando-nos idéia de sua ordem de grandeza. No caso de tra-
ção/compressão ou corte (cisalhamento) puros, calcularemos as tensões simplesmente
fazendo:
σ = N/A e τ = Q/A .................. (1.5.1)
Q
T
τ = 0
Esta componente de τ não pode existir

18. A - Introdução
18
Para exemplificar, veja-se a união de chapas mostrada na Fig. 1.5.1, transmi-
tindo uma força de tração de 72 kN, provocando tração nas chapas, corte no pino e
compressão (esmagamento) no corpo do pino e nos furos das chapas.
Fig. 1.5.1 – Cálculo de tensões em peças simétricas sob carregamento centrado.
As tensões críticas de tração nas chapas ocorrerão nas seções onde há os furos
(menor área) e valerão:
d = 25mm
100
15075
15
15
20
TRAÇÃO NA CHAPA CORTE NA CHAPA
CORTE DO PINO COMPRESSÃO (ESMAGAMENTO)
do furo e do corpo lateral (efeito mancal)
Área proje-
tada
80
A B
36 kN
36 kN
72 kN 72 kN
72 kN
P

19. A - Introdução
19
σA
T
= (36 x 103
N) / [(100 – 25) x 15 x 10-6
m2
] = 32 x 106
N/m2
= 32,0 MPa
σΒ
Τ
= (72 x 103
N) / [(150 – 25) x 20 x 10-6
m2
] = 28,8 x 106
N/m2
= 28,8 MPa
As tensões críticas de cisalhamento nas chapas (nos planos em que seriam ras-
gadas tangencialmente) valerão:
τΑ = (36 x 103
N) / [(2) x 75 x 15 x 10-6
m2
] = 16 x 106
N/m2
= 16,0 MPa
τΒ = (72 x 103
N) / [(2) x 80 x 20 x 10-6
m2
] = 22,5 x 106
N/m2
= 22,5 MPa
A tensão de compressão (esmagamento) nos furos das chapas será
calculada dividindo-se o valor da força de compressão por uma área menor
do que a área em que os esforços se distribuem, a saber, a área projetada
num plano perpendicular à direção da força. O valor assim obtido, demons-
tra-se, é até ligeiramente superior ao valor máximo atingido pelo valor da
tensão variável, ocorrente na aresta mediatriz da área solicitada (tensões de
Hertz). Teremos então (a favor da segurança):
σA
C
= (36 x 103
N) / [25 x 15 x 10-6
m2
] = 96 x 106
N/m2
= 96,0 MPa (C)
σB
C
= (72 x 103
N) / [25 x 20 x 10-6
m2
] = 144 x 106
N/m2
= 144 MPa (C)
Para o pino de união das chapas, teremos uma tensão tangencial cal-
culada por:
τP = (36 x 103
N) / [(/4) x [25]2
x 10-6
m2
] = 73,34 x 106
N/m2
= 73,3 MPa
As tensões de compressão (esmagamento) no corpo médio do pino
(em contato com a chapa B) e em suas duas extremidades (em contato com
as chapas A), valerão, respectivamente 144 e 96 MPa (conforme se pode
presumir, calcado no princípio da Ação e Reação – já que as áreas de conta-
to se superpõem).
OBSERVAÇÃO: os resultados numéricos devem ser apresentados com 3 (três) alga-
rismos significativos (compatível com a precisão dos dados em geral disponíveis na
Engenharia – como por exemplo: g = 9,81 m/s2
, γaço = 7,83 tf/m3
, etc).

20. A - Introdução
20
1.6 – Deformações.
Os corpos são constituídos de pequenas partículas ou moléculas entre as quais
existem forças de interação. Se forças externas são aplicadas ao corpo, as partículas
se deslocam, umas em relação às outras, até que as forças interiores estabeleçam uma
nova configuração de equilíbrio. A composição desses deslocamentos microscópicos
produz modificações volumétricas e de forma que caracterizam as chamadas defor-
mações do corpo.
A Fig. 1.6.1 apresenta como exemplo uma barra prismática onde foi marcada
uma extensão de comprimento inicial l0 que, sob a ação de uma força de tração N,
sofre uma elongação δl.
Fig. 1.6.1 – Deformação axial. Elongação ( δl)
A magnitude da deformação axial sofrida por uma barra será avaliada pela
chamada deformação específica longitudinal (ε), grandeza adimensional (epsilon)
definida como:
............................ (1.6.1)
(de valor muito pequeno, medida em % ou em micros - µ = 10-6
), positiva, no caso
de tração, e negativa, no caso de compressão. O comprimento final da fibra (tracio-
nada, ou comprimida) será expresso por:
l = l0 ( 1 + ε ) .......................................(1.6.2)
δl
l0
l = l0 + δl
N
N
ε = δl / l0 = ( l − l0 ) / l0

21. A - Introdução
21
Verifica-se também que, além da deformação longitudinal, ocorre simultanea-
mente uma modificação das dimensões transversais da barra, de sinal oposto, sendo a
deformação específica transversal (ou lateral) dada por:
εt = δa / a0 .....................................................(1.6.3)
Para peças em forma de chapas é relevante assinalar a variação de sua área,
através da deformação específica superficial dada por:
εs = δS / S0 = (S – S0) / S0
e, portanto: S = S0 ( 1 + εs ) .......................................(1.6.4)
Da mesma maneira, a variação volumétrica de uma peça será mensurada pela
deformação específica volumétrica:
εv = δV / V0 = (V – V0) / V0
e, portanto: V = V0 ( 1 + εv ) ......................................(1.6.5)
As modificações de forma associadas aos esforços tangenciais são medidas a-
través da denominada deformação específica de distorção, dada por:
εd = δu / c0 = tg γ ∼ γ ...........................................(1.6.6)
Fig. 1.6.2– Deformações específicas.
É fácil demonstrar, diante da pequena extensão dos valores atingidos pelas de-
formações dos corpos sólidos solicitados, que:
εs = εx + εy
εv = εx + εy + εz
Realmente: S = a x b = a0 (1 + εx) b0 (1 + εy) = a0 b0 ( 1+εx+εy+εx εy) = S0 (1 + εs ).
l0
δl
a0
a
a0
δa
b0
δb
S0
δu
c0
γ
Desprezível em
presença de ε(1.6.7) .....................
ττττ
σσσσ

22. A - Introdução
22
A determinação experimental das deformações e seu relacionamento com as
tensões são feitos através de ensaios, sendo os mais importantes os de tração e de
compressão, realizados na máquina universal esquematizada na Fig. 1.6.3.
A peça a ser ensaiada (corpo de prova) é padronizada e, dependendo das características do material,
obtem-se um gráfico da força normal (N) em função da elongação (δl) conforme apresentado abaixo
x
x
1
7
2
3 4
5
6
1 – cilindro e êmbolo
2 – bomba hidráulica (medidor de vazão)
3 – mesa (chassi) móvel
4 – corpo de prova para tração
5 – corpo de prova para compressão
6 – mesa (chassi) fixa
7 – manômetro (medidor de pressão)
8 – fluido hidráulico
8
Fig. 1.6.3 – Máquina Universal de Ensaios de Tração e Compressão. O manôme-
tro mede a pressão permitindo avaliar a FORÇA aplicada ao corpo de prova. O medidor de vazão da
bomba hidráulica mede o volume de fluido (incompressível) injetado no cilindro, permitindo avaliar o
deslocamento do êmbolo, e portanto a DEFORMAÇÃO do corpo de prova. Os chassis (mesas) são
suficientemente robustos a fim de que suas deformações sejam desprezíveis.
1 2 3 4 5 6 7
elongação
1
2
3
4
5
6
7
Força Normal
Material Frágil
Material Dútil
Borracha
Fig. 1.6.4 – Gráfico Força x elongação.
δl

23. A - Introdução
23
Quando os valores de N são divididos pela área inicial (A0) da seção reta e as elonga-
ções δl pelo comprimento inicial l0 do corpo de prova, obtem-se um gráfico para as
tensões normais (σ) em função da deformação específica longitudinal (ε) idêntico ao
anterior (a menos de um fator de escala).
Se, após ter sido atingido o ponto E2 (Fig. 1.6.5), por exemplo, o corpo de pro-
va for descarregado, o gráfico de carga segue a linha E2 T, apresentando o corpo de
prova, ao final, uma deformação residual permanente.
As tensões reais atuantes no corpo de prova diferem daquelas mostradas no
gráfico, já que a deformação lateral, provocando a estricção, diminui o valor da área
da seção transversal, fazendo com que a tensão verdadeira seja sempre crescente
(como indicado na linha pontilhada até R*
). É a favor da segurança adotar-se como
valores das tensões limites aqueles calculados como se a área mantivesse sua exten-
são original A0 , obtendo-se valores para a tensão ligeiramente menores do que aque-
les que realmente estão presentes no material, quando do ensaio realizado.
1 2 3 4 5 6 7 x10−4
(ε)
50
100
200
250
300
350
150
A análise da curva da Fig. 18 (típica de
um material dútil como o aço com baixo teor de
Carbono) nos permite assinalar os seguintes
pontos notáveis:
(P) – limite de proporcionalidade (até onde a
tensão é proporcional à deformação)
(e) – limite de elasticidade (até este limite,
quando descarregado, o corpo de prova re-
cupera suas dimensões iniciais);
(E1-E2) – limite de escoamento (grandes
deformações sem o correspondente aumento
da tensão);
(S) – limite de resistência – estricção –
(brusca diminuição da área da seção);
(R) - limite de ruptura (fase final do estira-
mento: o corpo de prova se rompe).
P
e
E1 E2
S
R
R*
T
(ε)
σOs materiais para os quais o dia-
grama tensão-deformação não apresenta
claramente todos os pontos citados
(como os materiais frágeis), o limite de
escoamento é adotado arbitrariamente
como aquele que, quando atingido, pro-
voca uma deformação permanente pa-
dronizada (0,2%, no caso de metais e
ligas metálicas em geral – Fig. 1.6.6).
É importante reafirmar que o que
se provoca diretamente no ensaio não
são as tensões, mas sim as deformações,
que são feitas crescentes de forma line-
ar. A relação entre as deformações
promovidas e as tensões conseqüentes
será estabelecida através da propriedade
denominada elasticidade dos materiais.
0,2%
Fig. 1.6.5 – Diagrama Tensão x Deformação
Fig. 1.6.6 – Limite de “escoamento” (arbitrário)
para materiais frágeis.
σ
(MPa)

24. A - Introdução
24
1.7 – ELASTICIDADE
A análise dos gráficos que relacionam tensões e deformações nos leva a
concluir que, até certo limite (o de proporcionalidade) a tensão σ varia linearmente
com a deformação específica ε, nos permitindo escrever a relação:
..........................(1.7.1)
(Lei de Hooke da elasticidade) sendo a constante de proporcionalidade E denominada
módulo de elasticidade longitudinal (ou módulo de Young) do material. Esta
propriedade é uma grandeza com a mesma dimensão de tensão (para o aço, E = 210 x
109
N/m2
= 210 GPa).
A elongação δl sofrida por uma barra reta de comprimento inicial l0 e área de
seção reta A0, será obtida de 1. 6.7, levando em conta 1.5.1 e 1.6.1, como:
................................... (1.7.2)
No caso de materiais para os quais a equação 1.6.7 não se aplica (materiais
frágeis, fig. -1.6.6) define-se um módulo de elasticidade inicial (E0 = dσ/dε]ε = 0).
Observa-se, também experimentalmente, que as deformações transversais
(εt) são proporcionais às longitudinais (ε), ou seja:
....................................... (1.7.3)
relação que define outra propriedade elástica do material, o coeficiente de Poisson
ν, (nî - ο sinal negativo caracteriza o fato de que as deformações lateral e longitudinal
têm sempre sentidos opostos). O coeficiente de Poisson é uma grandeza adimensional
(que para a maioria dos materiais varia entre 0,25 e 0,33, tendo o valor 0,30 para o
aço).
Supondo um elemento volumétrico submetido a tensões normais nas três
direções ortogonais (Fig. 1.6.7) e, levando em conta o princípio da superposição dos
efeitos, podemos escrever as equações que exprimem a Lei de Hooke na forma
generalizada para materiais isótropos:
....... (1.7.4)
σ =σ =σ =σ = E εεεε
N l0
δl =
Ε Α0
εt = − ν ε
σz
σx
σx
σy
σy
σz
εx = (1/E) [ σx - ν (σy + σz )]
εy = (1/E) [ σy - ν (σz + σx )]
εz = (1/E) [ σz - ν (σx + σy )]
Fig. 1.7.1– Lei de Hooke Generalizada

25. A - Introdução
25
A deformação volumétrica εv pode ser obtida, utilizando as equações 1.6.7 e
1.7.4, como:
εv = [(1 – 2ν)/E] [σx + σy + σz ].
Designando por σm a tensão média, definida por (1/3) [σx + σy + σz ], obte-
mos:
εv = [3(1 – 2ν)/E] [ σm ], o que nos permite escrever:
σm = K εv onde K = E / 3(1 – 2ν) (K – módulo de elasticidade volumétrico)
O fato de as propriedades elásticas citadas serem grandezas necessariamente
positivas, indica que o coeficiente de Poisson ν é um número compreendido entre 0 e
0,500 (0 para a cortiça – com vazios internos que se fecham, não provocando a de-
formação transversal e 0,5 para os líquidos – praticamente incompressíveis – volume
constante).
Observações experimentais através de ensaios por torção, também dão conta da
constatação de que as tensões tangenciais (τ) são proporcionais às deformações por
distorção (γ), até certos limites, ou seja:
.......................... (1.7.5)
sendo G o chamado módulo de elasticidade transversal (ou módulo de rigidez) que,
para o caso dos corpos fluidos, tem um valor nulo.
A compatibilidade geométrica dos deslocamentos lineares e distorções de um
elemento permite estabelecer uma relação entre as propriedades elásticas acima
definidas (levando em conta o fato representado na Fig. 1.7.2), a saber:
....................................(1.7.6)
τ = G γ
G = E / 2(1 + ν)
a
a(1+ε)
a
a(1- νε)
σσ
τ45 = σ/2
90º - γ
já que tg (45º - γ/2) = (1 − γ/2)/(1 + γ/2 =
= (1 − νε) / (1 + ε) ;
levando em conta 1.7.1 e 5, além de que
τ45 = σ/2
e que são pequenas as deformações.
Fig. 1.7.2 – Relação entre as deformações longi-
tudinal, lateral e a distorção.

26. A - Introdução
26
1.8 – Energia de deformação.
Na fase elástica, o trabalho realizado pelas forças externas é armazenado no
corpo deformado sob a forma de energia potencial elástica.
No caso de uma barra prismática, de comprimento l0, de seção com área A0 ,
tracionada por uma força crescente, de zero até o valor final N (Fig 1.7.1), o trabalho
W de deformação será dado por:
δl
W = N d(δl).
o
que pode ser representado pela área abaixo do gráfico N x δl.
Desde que não seja ultrapassado o limite de proporcionalidade, pode-se es-
crever:
W = (1/2) N (δl) = (1/2) (N2
l0 / E A0 ) = (1/2) σ ε (A0 l0).
Fig. 1.8.1 – Energia de deformação . Resiliência. Tenacidade.
O trabalho realizado pela força normal será igual à energia potencial armaze-
nada pela peça (U), nos permitindo escrever que, a energia específica (por unidade
de volume V = A0l0) será dada por:
u = U/V = (1/2) σ ε = (1/2) σ2
/ Ε = (1/2) Ε ε2
.........................(1.8.1)
grandeza medida em Joules/m3
= N/m2
= Pa.
A energia que um corpo armazena, por unidade de volume, quando, a partir do
zero, se eleva o valor da tensão até o limite de proporcionalidade, é a chamada resili-
ência do material. A energia total despendida (por unidade de volume) até o limite de
ruptura é a chamada tenacidade do material (representadas pelas áreas hachuradas na
figura 1.7.1).
Analogamente se mostra que a energia específica armazenada por distroção
será dada por: ud = (1/2) τ γ = (1/2) τ2
/ G = (1/2) G γ2
................... (1.8.2)
1.9 - Propriedades mecânicas dos materiais
Os materiais comumente utilizados na construção civil ou mecânica podem ser
classificados, de maneira genérica, em dois grandes grupos: os materiais dúteis e os
materiais frágeis. A propriedade de um material apresentar grandes deformações
N
(δl)
N
(δl)
σ σ
εε
Resiliência
Tenacidade
W = U

27. A - Introdução
27
residuais sem se romper é a chamada dutilidade ou plasticidade. É uma propriedade
primordial para as operações de conformação, como a laminação, embutimento,
estrusão, usinagem, etc, normalmente presentes nos processos de fabricação de peças
metálicas. Os materiais dúteis são flexíveis, macios, com grande capacidade de
absorver energia por deformação (tenacidade). A característica oposta à dutilidade é a
chamada fragilidade, típica de materiais quebradiços e duros, que sofrem ruptura
sem passar por deformações residuais notáveis.
A dureza é uma terceira propriedade importante, caracterizada pela capacidade
de o material se opor à penetração mecânica de outros corpos.
A seguir é apresentada uma Tabela que indica valores médios de certas
propriedades mecânicas de alguns materiais utilizados na construção de estruturas e
máquinas. Esses valores variam largamente em função da composição química (teor
de elementos de liga), de tratamentos térmicos (aços), temperaturas elevadas (tubos
de caldeiras), do tempo (concreto), etc., e devem ser tomados aqui apenas como
indicativos de sua ordem de grandeza, para efeito de aplicações em problemas.
Materiais
Massa
Específ.
(ton/m3
)
Módulo
Elast.Long.
(GPa)
Módulo
El.Transv.
(GPa)
σ
(Tração)
(MPa)
σ
Compres
(MPa)
τ
Cisalh.
(MPa)
σ
(Tração)
(MPa)
σ
Compres
(MPa)
τ
Cisalh.
(MPa)
Elong.
Percent
(%)
Coef.
Dil.Tér.
(10-6
C-1
Aço Estrutural 7,87 200 76 250 250 150 450 450 270 28 11,7
Aço 1020 (temp) 7,87 210 80 230 230 138 620 620 370 22 11,7
Aço 1040(lamn) 7,87 210 80 360 360 215 580 580 350 29 11,7
AçoInox (recoz) 7,92 190 78 510 510 305 1300 1300 780 12 11,7
Ferro Fundido 7,37 165 69 - - - 210 800 - 4 12,1
Alumínio trab. 2,77 70 28 300 300 215 410 410 240 20 23,6
Latão 8,75 105 39 100 100 60 270 270 130 50 17,6
Bronze 8,86 100 45 140 140 85 340 340 200 50 16,9
Concreto 2,41 24 - - - - - 25 - - 10
Vidro 2,50 75 27 - - - 5 10 - - 950
Madeira(Pinho) 0,55 13 - - - - - 51 7,6 - -
Carvalho 0,69 12 - - - - - 48 13 - -
Polietileno 0,91 3 - - - - 48 90 55 - -
1.10 – Tensões Admissíveis. Coeficiente de Segurança.
As tensões de trabalho nos elementos de uma estrutura ou máquina devem ser
mantidos suficientemente afastados dos valores limites do material, a fim de se obter
certa márgem de segurança para compensar as simplificações feitas nos esquemas de
cálculo, na incerteza nos valores dos carregamentos admitidos e nas propriedades
mecânicas dos materiais utilizados, e ainda visando à salvaguarda contra danos
materiais e pessoais oriundos de uma ruína. É recomendável ainda que a construção
não apresente sinais que lancem suspeita sobre sua segurança (deformações
exageradas compromentem a confiabilidade) mas apresente sinais visíveis de
advertência de estados perigosos, sem que qualquer desses sinais seja evidente sob a
ação das cargas de projeto.
As tensões que serão consideradas como limites são específicas para cada caso.
Por exemplo: aço para molas (a tensão limite é a de proporcionalidade); aço estrutural
(a tensão limite é a de escoamento); ferro fundido (a tensão limite é a de ruptura).
Tensão Limite Escoamento Tensão Limite RupturaGEρ ε α
Tabela I – Propriedades Mecânicas de alguns materiais comuns

28. A - Introdução
28
A tensão máxima de trabalho que se vai admitir estar presente num elemento
carregado é a chamada tensão admissível, dada por:
....................(1.10.1)
onde S é a tensão (seja normal σ ou tangencial τ) e C.S. é o chamado coeficiente de
segurança, parâmetro adimensional que é introduzido no projeto, baseado na
experiência do projetista e em normas técnicas reguladoras.
A avaliação do valor do coeficiente de segurança C.S. pode ser norteada pela
interação de três fatores cumulativos, através da expressão:
C.S = k1 . k2 . k3 ............................................(1.10.2)
O fator k1 está relacionado com o controle (confiabilidade) quando às
propriedades dos materiais utilizados e quanto à eficácia (precisão) dos modelos de
cálculo simplificado assumidos e dos critérios de resistência adotados (minoração da
resistência dos materiais adotados).
O fator k2 é selecionado em função da natureza e do controle do carregamento
admitido (majoração das cargas previstas).
O fator k3 é estimado em função da gravidade dos danos, pessoais e materiais,
advindos de uma possível ruína (minoração de riscos).
A Tabela II a seguir apresenta a ordem de grandeza de valores para os fatores
k, algumas vezes utilizados no projeto de estruturas e máquinas.
Na construção de elementos de máquinas (materiais metálicos) o coeficiente de segurança
utilizado varia, em geral, entre 1,5 e 2,0 (na construção aeronáutica o C.S. chega a ser próximo de
1,0, já que as peças são testadas, uma a uma, antes da montagem, enquanto que para um cabo de
elevador residencial seu valor pode chegar a 7,0). Na construção mecânica, se verá mais adiante, o
fenômeno da fadiga é de especial relevância.
Estruturas de madeira ou em concreto, normalmente, são projetadas com coeficiente de
segurança entre 2 e 4, enquanto para construção em pedra, esse coeficiente pode atingir valor entre
4 e 6.
As normas técnicas (NBR) estabelecem os critérios para o estabelecimento de tais
coeficientes.
Sadm = Slim / C.S.
Controle Materiais
K1
B R M
B 1,0 2,0 3,0
R 1,5 2,5 3,5
M 2,0 3,0 4,0
C
á
l
c
u
l
o
s
Cargas Controle
K2
B R M
Estática 1,0 1,5 2,0
Cíclica 1,5 2,0 2,5
Dinâmica
(choque)
2,0 2,5 3,0
G.D. Materiais
K3
PG G MG
PG 1,5 1,8 2,0
G 2,0 2,5 3,0
MG 2,5 3,0 4,0
a
p
l
i
c
a
ç
ã
o
p
e
s
s
o
a
i
s
Tabela II – Fatores contribuintes para a estimativa do Coeficiente de Segurança.
B – Bom ; R – Regular; M – Mau; G.D. – Gravidade dos Danos; PG – Pouco Grave;
G – Grave; MG – Muito Grave.