O documento descreve três modelos para linhas de transmissão: curta, média e longa. O modelo da linha curta ignora a capacitância e representa a impedância como função da resistência e indutância. O modelo da linha média divide a capacitância em duas partes e representa a impedância e admitância. O modelo da linha longa usa equações diferenciais para tensão e corrente.

1. Linhas de Transmissão
Professor Jim Naturesa
Modelo da Linha
Todos os modelos serão por fase. As tensões serão expressas por tensões de fase. Os modelos
podem ser para linha curta, média e longa.
1) Modelo da Linha Curta
A capacitância pode ser ignorada para linhas com até 80 km ou se a tensão for inferior a 69
kV. A impedância pode ser calculada como:
Z = ( r + jωL) l, onde:
r é a resistência por fase (Ohms);
L é a indutânica por fase (mH) e
l é o comprimento da linha (km)
Logo:
Z = R + jX (Ohms)
O modelo fica:
Onde:
S (sending) ou fonte e
R (receiving) ou carga.
A corrente IR pode ser obtida por:
∗
S (3φ )
IR = R ∗
3VR
A tensão da fonte (sending) pode ser calculada por:
VS = VR + Z IR
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2. Como o efeito capacitivo pode ser excluído (IS = IR) temos:
Onde:
VS = A VR + B IR
IS = C VR + D IR
Na forma matricial temos:
VS   A B  VR 
 I  = C D   I 
 S    R
Para o modelo da linha curta temos: A = 1; B = Z; C = 0 e D =1 ou:
VS  1 Z  VR 
 I  = 0 1   I 
 S   R
Resolvendo temos:
VR   D − B  VS 
 I  = − C A   I 
 R   S
Ou
VR  1 − Z  VS 
 I  = 0 1   I 
 R   S
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3. A regulação do sistema pode ser escrita como:
VR ( SC ) − VR ( PC )
Re g (%) = 100
VR ( PC )
Onde:
SC significa sem carga e PC plena carga
Sem carga IR = 0, logo:
VS = A VR(SC) ou VR(SC) = VS / A como A=1, VR(SC) = VS
A potência da fonte (sending) pode ser obtida por:
SS (3Φ) = 3 VS IS*
As perdas na linhas são:
SL(3Φ) = SS(3Φ) – SR(3Φ)
A eficiência da linha vale:
PR (3φ ) P
η= 100 ou η = saída 100
PS (3φ ) Pentrada
2) Modelo da Linha Média
Para linhas acima de 80 km e abaixo de 250 km podemos utilizar o modelo de linha média. A
capacitância pode ser dividida em duas partes iguais – uma próxima a fonte (sending) e outra próxima
a carga (receiving).
Novamente a impedância Z vale:
Z = ( r + jωL) l, onde:
r é a resistência por fase (Ohms);
L é a indutânica por fase (mH) e
l é o comprimento da linha (km).
A admitância vale (lembrando que a admitância é o inverso da impedância ou Y = 1/Z):
Y = (g + jωC) l, onde:
g normalmente é considerado nulo;
C é a capacitância da linha (F) e
l é o comprimento da linha (km).
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4. O modelo π da linha média está indicado abaixo:
A corrente IL pode ser escrita como:
IL = IR + (Y/2) VR
A tensão VS vale:
VS = VR + ZIL
Substituindo o valor de IL na equação anterior temos:
 ZY 
VS = 1 +  VR + ZI R
 2
A corrente IS pode ser escrita como:
IS = IL + (Y/2) VS
Substituindo os valores de IL e VS em IS temos:
ZY ZY
I S = Y (1 + )VR + (1 + )I R
4 2
Os parâmetros A, B, C e D ficam iguais a:
ZY
A =(1 + ) B=Z
2
ZY ZY
C = Y (1 + D = (1 +
) )
2
4
Na forma matricial temos:
4

5. VS   A B  VR 
 I  = C D   I 
 S    R
Resolvendo a equação anterior temos:
VR   D − B  VS 
 I  = − C A   I 
 R   S
3) Modelo da Linha Longa
Para linhas acima de 250 km temos o seguinte modelo abaixo. A tensão e a corrente do
sistema são dadas por equações diferenciais:
dI
dV
= yV
= zI e
dx dx
Onde:
z é a impedância por unidade de comprimento e
y é a admitância por unidade de comprimento.
Podemos definir as seguintes constantes:
Z0 = √ (z/y) = impedância de surto e
γ = √ (zy) = constante de propagação.
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6. O modelo fica igual a:
VS = A VR + B IR
IS = C VR + D IR
Onde:
(e )
γl
+e −γl
= cosh(γl )
A =D =
2
Z 0 ( eγl − e −γl )
= Z 0 sinh(γl )
B=
2
(eγl − e −γl ) sinh(γl )
C= =
2Z 0 Z0
Na forma matricial temos:
VS   A B  VR 
 I  = C D   I 
 S    R
Na figura a seguir temos o modelo da linha longa. Detalhes sobre o modelo podem ser
encontrados em (Kundur, 1994), (Saadat, 2002) e (Zanetta, 2005).
Referências
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7. Kundur, P. Power System Stability and Control. Editora McGraw-Hill. 1994.
Monticelli, A. & Garcia, A. Introdução a sistemas de energia elétrica. Editora da Unicamp. 1999.
Saadat, H. Power System Analysis – Second Edition. Editora McGraw-Hill. 2002.
Zanetta Jr., L. Fundamentos de Sistemas de Potência. Editora Livraria da Física. 2005.
Yamayee, Z. & Bala Jr., J. Electromechanical Energy Devices and Power Systems. John Wiley &
Sons. 1994.
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