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Juros Compostos 
1
Juros Compostos 
• Considera que os juros formados em cada período 
• São acrescidos ao Capital formando o Montante 
do período 
• Montante = Capital + Juros 
• Este Montante passará a render juros no período 
seguinte formando um novo Montante, e assim por 
diante. 
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2
Juros Compostos 
• Tecnicamente, o regime de Juros Compostos é 
superior ao de Juros Simples, 
• principalmente pela possibilidade de fracionamento 
dos prazos. 
• No critério composto, a equivalência entre capitais 
pode ser apurada em qualquer data, 
• retratando, melhor que o regime linear, a realidade 
das operações. 
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3
Juros Compostos - Fórmulas 
• No regime de Juros Compostos, os Juros são 
capitalizados, 
• Produzindo "Juros sobre Juros” periodicamente. 
• Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa 
composta de 10% ao mês. 
• Identificando-se por PV o valor presente (capital) e 
FV o valor futuro (montante). 
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4
Juros Compostos - Fórmulas 
• Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa 
composta de 10% ao mês. 
• Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o 
valor futuro (montante). 
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5 
n Capital (PV) Juros (J) 
Montante 
(FV) 
final do 1º 
mês 
1.000,00 100,00 1.100,00 FV = 1000 * (1 + 0,10) 
final do 2º 
mês 
1.100,00 110,00 1.210,00 FV = 1000*(1+0,10) * (1 + 0,10) 
final do 3º 
mês 
1.210,00 121,00 1.331,00 FV = 1000*(1+0,10) 
final do 
enésimo mês 
FV = 1000 * (1+0,10) * (1+0,10)…(1+0,10) FV = 1000 * (1 + 0,10)
Juros Compostos - Fórmulas 
• Portanto: 
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6 
0 
n 
PV 
FV
Juros Compostos - Fórmulas 
• Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro) 
• Fator de Atualização (ou de Valor Presente) 
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7
Juros Compostos - Fórmulas 
• A movimentação do Capital ao longo de uma escala 
de tempo em juros compostos se processa mediante 
a aplicação destes fatores, 
• Como pode ser observado abaixo: 
PV FV 
PV FV 
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8
Juros Compostos - Fórmulas 
• O Valor Monetário dos Juros (J) é apurado pela diferença 
entre o Montante (FV) e o Capital (PV) 
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9 
• Portanto:
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Exemplos 
1. Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um 
ano, quanto deverá ela depositar hoje numa 
alternativa de poupança que rende 1,7% de juros 
compostos ao mês? 
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de 
$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à 
taxa de juros composta de 3,5% a.m.? 
10
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1º Exemplo 
• Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um 
ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de 
poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? 
11 
FV 27.500,00 
n 1 ano 12 meses 
i 1,7% a.m ao mês 
PV ? 
Portanto:
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1º Exemplo 
• Considerando-se uma taxa composta de 1,7% a.m., 
pelo conceito do valor presente (PV) é indiferente a 
essa pessoa 
• Receber $ 22.463,70 (PV) hoje; ou 
• Esse valor capitalizado ao final de 12 meses 
($27.500,00). 
• Efetivamente, esses valores, mesmo distribuídos em 
diferentes datas, são equivalentes para uma mesma 
taxa de juros de 1,7% a.m. 
12
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2º Exemplo 
• Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 
em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros 
composta de 3,5% a.m.? 
13 
PV 12.000,00 
n 8 meses meses 
i 3,5% a.m ao mês 
FV ?
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Exemplos 
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma 
aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de 
$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. 
4. Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data 
produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um 
montante de $ 26.596,40 em certa data futura. 
Calcular o prazo da operação. 
14
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3º Exemplo 
• Determinar a taxa mensal composta de juros de uma 
aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 
43.894,63 ao final de um quadrimestre. 
15 
PV 40.000,00 
FV 43.894,63 
n 4 meses 
i ? ao mês 
i = 0,0235 ou 2,35% a.m. 
Portanto:
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4º Exemplo 
• Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, 
à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 
26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 
16 
PV 22.000,00 
FV 26.596,40 
i 2,4% a.m. ao mês 
n ? meses 
n = 8 meses
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Exemplos 
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de 
$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta 
de 4,5% ao mês. 
17
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5º Exemplo 
• Determinar o juro pago de um empréstimo de 
$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 
4,5% ao mês. 
18 
J ? 
PV 88.000,00 
n 5 meses 
i 4,5% ao mês
Observação - Valor Presente 
• O Valor Presente (capital) não se refere 
necessariamente a um valor expresso no momento 
zero. 
• O Valor Presente pode ser apurado em qualquer 
data focal anterior à do Valor Futuro (montante). 
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19
Observação - PV - Exemplo 
• Deseja-se calcular quanto será pago por um 
empréstimo de $ 20.000,00 vencível de hoje a 14 
meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu 
pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a 
atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês. 
• O problema envolve o cálculo do Valor Presente, 
ou seja, um valor atualizado a uma data anterior à 
do montante (mês 9) 
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20
Observação - PV - Exemplo 
• Deseja-se calcular quanto será pago por um empréstimo de $ 
20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 
meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está 
disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês. 
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PV = $17.677,10 FV = $20.000,00 
21 
• Graficamente: 
0 9 Antecipação 14
Observação - PV e FV c/diversos valores 
• As expressões de cálculos de PV e FV permitem 
capitalizações e atualizações envolvendo diversos 
valores e não somente um único capital ou 
montante. 
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22
Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo 
• Peguemos um empréstimo que envolve os seguintes 
pagamentos: 
• $15mil de hoje a 2 meses; 
• $40mil de hoje a 5 meses; 
• $50mil de hoje a 6 meses; e 
• $70mil de hoje a 8 meses. 
• O devedor deseja apurar o Valor Presente (na data zero) 
destes fluxos de pagamento, 
• pois está negociando com o banco a liquidação 
imediata de toda a sua dívida. 
• A Taxa de Juros considerada nesta antecipação é de 3% ao 
mês. 
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23
Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo 
• Solução: 
15mil 40mil 50mil 70mil 
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24 
PV 
0 2 5 6 8 
PV = $ 145.776,15
Prazos não Inteiros 
• E caso o prazo não seja inteiro? Existem 2 
convenções: 
• Convenção Linear 
• Convenção Exponencial 
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25
• Convenção Linear 
• Menos adotada que a Convenção Exponencial. 
• Consiste na formação: 
• de Juros Compostos para a parte inteira do prazo; e 
• de Juros Simples para a parte fracionária. 
• Convenção Exponencial 
• Adota o mesmo regime de capitalização para todo o 
período. 
• Mais generalizadamente usada na prática, sendo 
considerada tecnicamente mais correta 
• por empregar somente juros compostos e taxas 
equivalentes para os período não inteiros. 
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Prazos não Inteiros 
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26
Prazos não Inteiros - Fórmulas 
• Convenção Linear 
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27 
• Convenção Exponencial 
m/k = parte fracionária do prazo
Prazos não Inteiros - Exemplo 
• Seja o capital de $ 100mil emprestado à taxa de 18% ao 
ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante 
deste empréstimo utilizando-se de cada convenção. 
• Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 1 anos e 5 
meses à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da 
aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final 
do período atinge $ 24.800,00. Resolver o problema 
utilizando as convenções linear e exponencial. 
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28
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Para Estudar 
• Mathias e Gomes (2010) 
• Capítulo 3 - Juro e Montante. 
• Fazer Exercícios propostos (página 121). 
! 
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. 
Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010. 
29
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Bibliografia 
• Bibliografia Básica 
• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São 
Paulo: Atlas, 2012. 
• ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração 
Financeira. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2014. 
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a 
ed., São Paulo: Atlas, 2010. 
• Hoji, Masakazu. Administração Financeira na prática: guia para para educação 
financeira corporativa e gestão financeira pessoal. 4a ed., São Paulo: Atlas, 2012. 
• Bibliografia Complementar 
• KUHNEN, Osmar Leonardo. Finanças Empresariais. 2a ed., São Paulo: Atlas, 
2008. 
• VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: 
tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, Adriano leal. 
Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010. 
• CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. 
• BOGGIS, George Josep. Matemática Financeira. São Paulo, 2009. 
30

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Juros Compostos Grupo FB

  • 1. Grupo da Disciplina: www.facebook.com/groups/gesfin/ Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Gestão Financeira Juros Compostos 1
  • 2. Juros Compostos • Considera que os juros formados em cada período • São acrescidos ao Capital formando o Montante do período • Montante = Capital + Juros • Este Montante passará a render juros no período seguinte formando um novo Montante, e assim por diante. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 2
  • 3. Juros Compostos • Tecnicamente, o regime de Juros Compostos é superior ao de Juros Simples, • principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. • No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, • retratando, melhor que o regime linear, a realidade das operações. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 3
  • 4. Juros Compostos - Fórmulas • No regime de Juros Compostos, os Juros são capitalizados, • Produzindo "Juros sobre Juros” periodicamente. • Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês. • Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante). Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 4
  • 5. Juros Compostos - Fórmulas • Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês. • Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante). Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 5 n Capital (PV) Juros (J) Montante (FV) final do 1º mês 1.000,00 100,00 1.100,00 FV = 1000 * (1 + 0,10) final do 2º mês 1.100,00 110,00 1.210,00 FV = 1000*(1+0,10) * (1 + 0,10) final do 3º mês 1.210,00 121,00 1.331,00 FV = 1000*(1+0,10) final do enésimo mês FV = 1000 * (1+0,10) * (1+0,10)…(1+0,10) FV = 1000 * (1 + 0,10)
  • 6. Juros Compostos - Fórmulas • Portanto: Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 6 0 n PV FV
  • 7. Juros Compostos - Fórmulas • Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro) • Fator de Atualização (ou de Valor Presente) Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 7
  • 8. Juros Compostos - Fórmulas • A movimentação do Capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicação destes fatores, • Como pode ser observado abaixo: PV FV PV FV Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 8
  • 9. Juros Compostos - Fórmulas • O Valor Monetário dos Juros (J) é apurado pela diferença entre o Montante (FV) e o Capital (PV) Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 9 • Portanto:
  • 10. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Exemplos 1. Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? 2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? 10
  • 11. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 1º Exemplo • Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? 11 FV 27.500,00 n 1 ano 12 meses i 1,7% a.m ao mês PV ? Portanto:
  • 12. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 1º Exemplo • Considerando-se uma taxa composta de 1,7% a.m., pelo conceito do valor presente (PV) é indiferente a essa pessoa • Receber $ 22.463,70 (PV) hoje; ou • Esse valor capitalizado ao final de 12 meses ($27.500,00). • Efetivamente, esses valores, mesmo distribuídos em diferentes datas, são equivalentes para uma mesma taxa de juros de 1,7% a.m. 12
  • 13. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 2º Exemplo • Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? 13 PV 12.000,00 n 8 meses meses i 3,5% a.m ao mês FV ?
  • 14. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Exemplos 3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. 4. Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 14
  • 15. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 3º Exemplo • Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. 15 PV 40.000,00 FV 43.894,63 n 4 meses i ? ao mês i = 0,0235 ou 2,35% a.m. Portanto:
  • 16. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 4º Exemplo • Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 16 PV 22.000,00 FV 26.596,40 i 2,4% a.m. ao mês n ? meses n = 8 meses
  • 17. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Exemplos 5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. 17
  • 18. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 5º Exemplo • Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. 18 J ? PV 88.000,00 n 5 meses i 4,5% ao mês
  • 19. Observação - Valor Presente • O Valor Presente (capital) não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. • O Valor Presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do Valor Futuro (montante). Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 19
  • 20. Observação - PV - Exemplo • Deseja-se calcular quanto será pago por um empréstimo de $ 20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês. • O problema envolve o cálculo do Valor Presente, ou seja, um valor atualizado a uma data anterior à do montante (mês 9) Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 20
  • 21. Observação - PV - Exemplo • Deseja-se calcular quanto será pago por um empréstimo de $ 20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima PV = $17.677,10 FV = $20.000,00 21 • Graficamente: 0 9 Antecipação 14
  • 22. Observação - PV e FV c/diversos valores • As expressões de cálculos de PV e FV permitem capitalizações e atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou montante. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 22
  • 23. Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo • Peguemos um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos: • $15mil de hoje a 2 meses; • $40mil de hoje a 5 meses; • $50mil de hoje a 6 meses; e • $70mil de hoje a 8 meses. • O devedor deseja apurar o Valor Presente (na data zero) destes fluxos de pagamento, • pois está negociando com o banco a liquidação imediata de toda a sua dívida. • A Taxa de Juros considerada nesta antecipação é de 3% ao mês. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 23
  • 24. Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo • Solução: 15mil 40mil 50mil 70mil Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 24 PV 0 2 5 6 8 PV = $ 145.776,15
  • 25. Prazos não Inteiros • E caso o prazo não seja inteiro? Existem 2 convenções: • Convenção Linear • Convenção Exponencial Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 25
  • 26. • Convenção Linear • Menos adotada que a Convenção Exponencial. • Consiste na formação: • de Juros Compostos para a parte inteira do prazo; e • de Juros Simples para a parte fracionária. • Convenção Exponencial • Adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. • Mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta • por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os período não inteiros. Gestão Financeira Prazos não Inteiros www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 26
  • 27. Prazos não Inteiros - Fórmulas • Convenção Linear Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 27 • Convenção Exponencial m/k = parte fracionária do prazo
  • 28. Prazos não Inteiros - Exemplo • Seja o capital de $ 100mil emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo utilizando-se de cada convenção. • Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 1 anos e 5 meses à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final do período atinge $ 24.800,00. Resolver o problema utilizando as convenções linear e exponencial. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 28
  • 29. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Para Estudar • Mathias e Gomes (2010) • Capítulo 3 - Juro e Montante. • Fazer Exercícios propostos (página 121). ! • MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010. 29
  • 30. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Bibliografia • Bibliografia Básica • ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, 2012. • ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração Financeira. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2014. • MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010. • Hoji, Masakazu. Administração Financeira na prática: guia para para educação financeira corporativa e gestão financeira pessoal. 4a ed., São Paulo: Atlas, 2012. • Bibliografia Complementar • KUHNEN, Osmar Leonardo. Finanças Empresariais. 2a ed., São Paulo: Atlas, 2008. • VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010. • CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. • BOGGIS, George Josep. Matemática Financeira. São Paulo, 2009. 30