Análise Combinatória: Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações

BNB
BANCO DO NORDESTE DO BRASIL
matemática
Análise Combinatória
Livro Eletrônico

JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas
presenciais, telepresenciais e online de Matemá-
tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-
ceira e Estatística para processos seletivos em
concursos públicos estaduais e federais. Além
disso, é professor de Matemática e Raciocínio
Lógico em várias faculdades do Distrito Federal.
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de
diversas obras e palestrante.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para BRUNO PEREIRA GENTELUCI - 12538852730, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.

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MATEMÁTICA
Prof. Josimar Padilha
www.grancursosonline.com.br
SUMÁRIO
Princípio de Contagem.................................................................................4
Apresentação do Professor............................................................................4
Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações.........................7
Princípios de Contagem................................................................................7
Permutações.............................................................................................19
Arranjos...................................................................................................28
Combinações............................................................................................31
Questões de Concurso................................................................................36
Gabarito...................................................................................................41
Gabarito Comentado..................................................................................42
Autoavaliação...........................................................................................53
Gabarito...................................................................................................58

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PRINCÍPIO DE CONTAGEM
Neste módulo serão apresentados métodos para resolução de questões de con-
cursos públicos relacionados a problemas de Análise Combinatória – Princípios de
Contagem (aditivo e multiplicativo).
Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promo-
vendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a in-
terpretar tais questões por meio da prática.
Serão abordados: arranjos, permutações ou combinações, são os três tipos
principais de agrupamentos, podendo ser simples, com repetição ou circulares.
Apresentação do Professor
Olá, tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria
que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você,
que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 anos de experiência
em aulas presenciais e mais de 8 anos em aulas online, possuo 3 obras escritas,
dentre elas podemos citar: Raciocínio Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos
Práticos, Editora JUSPODIVM, 2ª edição, 2018; outra obra com questões comenta-
das: Mais de 400 Questões Comentadas de Raciocínio Lógico – CESPE, 3ª edição,
também pela Editora JUSPODIVM. E, por último, uma obra muito importante que é
o Revisaço, com mais de 500 questões comentadas, sendo a 1ª edição.
De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como as ban-
cas examinadoras exigem o assunto indicado nesta aula.

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O assunto deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos principais
assuntos cobrados nas provas de concursos públicos, ainda mais se tratando da
banca CESPE.
Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de
aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo in-
terpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores
métodos de resolução, uma vez que, no decorrer desses 16 anos como professor,
me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público
nos diversos processos seletivos em todo do Brasil.
No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem
dado muito certo, que se trata de:
1. exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada;
2. métodos e dicas de resolução rápida;
3. esquemas estratégicos;
4. questões comentadas;
5. autoavaliação.
Nesta nossa primeira aula, iremos abordar os seguintes assuntos:
• princípios de contagem:
− princípios de contagem (aditivo e multiplicativo) – análise combinatória.
Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promo-
vendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a in-
terpretar as questões por meio da prática.

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Antes de começarmos, vamos brincar um pouco, ok? E nada melhor que o bom
ânimo para respondermos um desafio. Vejamos:
Quem é bom de cartas?
André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das
faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a
mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como
se mostra:
André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal
mamífero”.
Para verificar se a afirmação de André está correta, é
a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.
b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.
c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.
d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.
e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.

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Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações
Vamos lá!
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem;
porém, quando aumentam o número de elementos dados e o número de elementos
em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois realizar sua
contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, partindo do con-
creto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos
são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles.
Frente a essa realidade nos concursos públicos e à necessidade de agilidade
para resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise
Combinatória, com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios básicos: o
princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo. Então, dessa forma, vamos começar
com os seguintes princípios, logo após iremos definir alguns tipos de agrupa-
mentos.
Princípios de Contagem
Os princípios de contagem, na matemática, incluem:
I. Princípio Aditivo: se um evento E1
pode ocorrer de N1
maneiras distintas, E2
, de
N2
maneiras distintas, ..., EK
, de Nk
maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos
não podem ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em N1
+
N2
+ ... + Nk
maneiras distintas.

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II. Princípio Multiplicativo: considere que E1
, E2
, ..., Ek
são eventos que ocorrem
sucessivamente; se o evento E1
pode ocorrer de N1
maneiras distintas, o evento E2
pode ocorrer de N2
maneiras distintas, ..., o evento Ek
pode ocorrer de Nk
maneiras
distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, em N1
×
N2
× ... × Nk
maneiras distintas.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.
Princípio Multiplicativo: resolveremos algumas questões neste momento para
que você possa entender o Princípio Multiplicativo.
Exemplo 1: uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1
, B2
e B3
), 2 sapatos
(S1
e S2
) e 2 calças (C1
e C2
). Logo ao chegar em casa, ele se pergunta: “De quantas
maneiras distintas eu posso me arrumar com as compras realizadas?”.
No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arru-
mar. O raciocínio utilizado é o seguinte: quantas possibilidades tem-se para blusas?

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Nesta situação temos 3. Quantas possibilidades tem-se para sapatos? Nesta situa-
ção temos 2. Quantas possibilidades tem-se para calças? Nesta situação temos 2.
Logo, podemos concluir que:
Pelo Princípio Multiplicativo, temos de multiplicar as POSSIBILIDADES.
3 × 2 × 2 = 12 (maneiras distintas)
Possibilidades Possibilidades Possibilidades
O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra “Possi-
bilidades”, pois ela trará o raciocínio correto.
Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do Princípio
Multiplicativo, utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:
Fique ligado(a)! Não se esqueça de pronunciar a todo instante a expressão: QUAN-
TAS POSSIBILIDADES.
Nas questões com termos referentes a códigos, senhas, matrículas, filas, núme-
ros telefônicos, etc., enfim, termos que indicam ideia de ordem, teremos grupos
nos quais a ordem importa, ou seja, se a ordem for modificada, teremos um novo
agrupamento. (“A Ordem dos Elementos Altera a Natureza”). Nesses casos iremos
multiplicar as possibilidades.

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1. (ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma pro-
babilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3
primeiros lugares é igual a:
a) 24.360.
b) 25.240.
c) 24.460.
d) 4.060.
e) 4.650.
Letra a.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”.
Para os três primeiros colocados, temos: 30 × 29 × 28 = 24.360 (maneiras dife-
rentes).
Nesse caso, as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a possibilidade utiliza-
da (dupla de tênis) não tem como ser utilizada novamente (ninguém pode ocupar
duas posições simultaneamente).
Possibilidades

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2. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não po-
dem começar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se
que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem
dígitos repetidos, então, o número de telefones que podem ser instalados nas far-
mácias é igual a:
a) 504.
b) 720.
c) 684.
d) 648.
e) 842.
Letra d.
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então temos 7 posições:
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Restrições: os números não podem começar com zero e os quatro últimos alga-
rismos são iguais a zero.
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Nesta posição, o zero
não é possibilidade. Nestas 4 posições,
somente o número 0
é possibilidade.

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Preenchendo as posições, temos:
9 × 9 × 8 × 1 × 1 × 1 × 1
Dessa forma, aplicando o Princípio Multiplicativo (multiplica as possibilidades), temos:
9 × 9 × 8 × 1 × 1 × 1 × 1 = 648 (números telefônicos).
3. (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuí
das senhas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para
se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras
(retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos
(escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas
sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de al-
garismos, é igual a:
a) 26³ x 10³.
b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8.
c) 26 x 25 x 24 x 10³.
d) 26³ x 10 x 9 x 8.
Não podemos ter algarismos repeti-
dos, logo a possibilidade que foi utiliza-
da não poderá ser usada novamente.
Com esse pensamento, temos para a
primeira posição 9 possibilidades, pois
o zero não pode ser utilizado; na se-
gunda, temos 9 possibilidades, pois o
zero neste caso voltou a ser possibi-
lidade e na terceira posição, temos 8
possibilidades, uma vez que já foram
usadas duas possibilidades.
Neste caso, todos os algarismos utiliza-
dos serão iguais a zero, logo percebe-
mos que não é o número zero que será
colocado nas posições, e, sim, quantas
possibilidades para a posição, portan-
to, temos 1 (uma) possibilidade para
cada posição, isto é, o número zero.

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Letra c.
As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras (retiradas do alfabeto com
26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos (escolhidos entre 0 e 9).
Os códigos possuem 6 posições, 3 letras (26 possibilidades) e 3 algarismos (10
possibilidades):
____ ____ ____ e(x) ____ ____ ____
Número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a re-
petição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos.
Quanto às três primeiras posições, temos: 26 × 25 × 24.
Quanto aos três últimos algarismos, temos: 10 × 10 × 10.
Nestas 3 posições, temos: 26 possibili-
dades na primeira, 25 possibilidades na
segunda, uma vez que uma já foi utili-
zada, e, por último, 24 possibilidades.
Nestas 3 posições, temos: 10 possibilidades
na primeira, 10 possibilidades na segunda e,
por último, 10 possibilidades. O número que
foi utilizado pode ser utilizado novamente,
logo, temos as mesmas possibilidades para
as 3 posições.

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Concluindo: os códigos possuem 6 posições – 3 letras (26 possibilidades) e 3 alga-
rismos (10 possibilidades):
_26_× _25_ × __24__ e(x) _10__ × __10__× __10__ = 26×25×24×103
.
4. (CESPE) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com
cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos,
escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas pri-
meiras posições, julgue os itens que se seguem.
a) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior
a 650.000.
b) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se
letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.
c) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que
em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é inferior a 470.000.
Certo/Errado/Certo.
Nesta questão, as letras do código ocupam as duas primeiras posições.
a) Certo. O número de processos que podem ser codificados é dado por 5 símbo-
los, logo 5 posições:
26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 26 possibilidades
na segunda e, por último, 10 possibilidades nas três últimas posições.
A letra e o número que foram utilizados podem ser utilizados novamen-
te, portanto, temos as mesmas possibilidades para as duas posições de
letras e para as três posições de algarismos.

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b) Errado.
26 × 1 × 10 × 10 × 10 = 26.000.
c) Certo. Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos.
Logo, temos:
26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 468.000.
5. (FCC) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em
que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos
que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repe-
tidos, era um número par e o algarismo inicial era 8.
Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?
a) 224.
b) 210.
c) 168.
d) 144.
e) 96.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 1 possibilidade
na segunda (devido as duas letras serem iguais, o que faz com que a
segunda seja a mesma que a primeira) e nas três últimas posições, 10
possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos pos-
suam algarismos distintos.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 25 possibilidades
na segunda (devido as duas letras não serem iguais, o que faz com que
a possibilidade da segunda seja menor que a primeira, pois uma possi-
bilidade já foi utilizada) e, nas três últimas posições, 10 possibilidades
na primeira, 9 na segunda e 8 na terceira, uma vez que a questão traz
a ideia de que os códigos possuam algarismos distintos.

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Letra a.
A senha a ser digitada possui 4 algarismos, logo teremos 4 posições:
_____× _____× _____× _____=
1 × 8 × 7 × 4 = 224.
Nessas 4 posições, temos: algarismos distintos; o número formado é
par (a restrição é na última posição, pois um número par é aquele que
termina em {0, 2, 4, 6, 8}) e a senha começa com o número 8, ou
seja, uma possibilidade.
Nessa posição,
temos apenas 1
(uma) possibi-
lidade que é o
número 8.
Após preenchemos as
posições que se tratam
das restrições, vamos
colocar as possibilidades
sabendo que os algaris-
mos não se repetem.
Nessa posição, temos
4 possibilidades, uma
vez que o número 8
já foi utilizado na pri-
meira posição.

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De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o contrabando de armas
disparou nos países da América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos.
O crime é apontado como o principal problema desses países, provocando uma
grande quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000 habitantes na
América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador,
65 na Colômbia, 50 na Guatemala.
Internet: <www.noticias.uol.com.br>.
Tendo como referência as informações apresentadas no texto acima, julgue o
item que se segue.
6. (POLÍCIA FEDERAL/2009) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 ci-
dades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai,
para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500
maneiras diferentes de fazer essa escolha.
Errado.
No item acima, temos que uma organização criminosa escolhe seis das dezessete
cidades, ou seja, temos onze possibilidades para agrupar as seis cidades.
Pelo princípio multiplicativo: 462.

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Trata-se de uma questão de combinação, logo podemos utilizar a fórmula:
É comum não utilizar todos os elementos para a construção de novos grupos,
uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um grupo.
Obs.:
“A ordem dos elementos não altera a natureza.”
Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divi-
didas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes,
julgue os itens que se seguem.
7. (POLÍCIA FEDERAL/2009) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as
5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.
Errado.
Formamos agrupamentos com p elementos (pm), de forma que os p elementos
sejam distintos entre si apenas pela espécie.

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Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo
de p elementos.
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comis-
sões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos
nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos
um novo agrupamento. É comum não utilizar todos os elementos para construção
de novos grupos, uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um
grupo (“A Ordem dos Elementos não Altera a Natureza”).
Respondendo pela fórmula, temos:
Neste instante, iremos estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Aná-
lise Combinatória: Permutação, Arranjos e Combinações.
Permutações
Na permutação, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS) do grupo, re-
alizando uma permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar.
Obs.:
“A ordem altera a natureza.”

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Quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elemen-
tos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com
repetição ou circulares.
Permutação simples: são agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Fórmula: P(n) = n!. Em que: n = número de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: P(5) = 5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Exemplo: seja C = {A, B, C} e n = 3. As permutações simples desses 3 elementos
são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada
grupo, mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no
conjunto:
P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua
família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apre-
sentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como “Os doze
trabalhos de Hércules”. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Ne-
meia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere que
a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze
trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente alea-
tória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez.
Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue
os itens subsequentes.

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MATEMÁTICA
8. (CESPE/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia pre-
parar é superior a 12 × 10!
Certo.
O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a
12 x 10!
Pn = n! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12! (Número má-
ximo de diferentes listas).
Simplificando dos dois lados da igualdade: 12 × 11 12
9. (CESPE/2004) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar
o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
Certo.
O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Ne-
meia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.

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MATEMÁTICA
A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 1 (uma) possibilidade.
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
1 × 4 × 3 × 2 × 1 240
24 240
10. (CESPE/2004) O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a
corça de Cerineia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira
posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6.
Errado.
O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia”
na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior
a 72 × 42 × 20 × 6.
Simplificando dos dois lados da desigualdade:1 × 10 × 1 × 1 1
Capturar a corça
de Cerineia
Capturar o Javali
de Erimanto

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11. (CESPE/2004) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos
“capturar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas
posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.
Certo.
O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de
Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer
ordem, é inferior a 6! x 8!
Simplificando dos dois lados da desigualdade:
10 × 9 × 2 × 1 6!
10 × 9 × 2 × 1 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
180 720
Permutação com Repetição
Um bom exemplo para entendermos a permutação com repetição é a formação
de anagramas em que as “palavras” ou “conjunto de letras” possuem letras repeti-
das. Com as 6 letras da palavra ARARAT? A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre
2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elemen-
Nas duas últimas posições, em qualquer ordem (a corça e o javali)

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MATEMÁTICA
tos do conjunto C={A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que
contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr
={AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA,
AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA,
ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR}
Na permutação com repetição, iremos utilizar todos os elementos (DISTIN-
TOS E NÃO DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos ele-
mentos, em que a ordem irá influenciar parcialmente (algumas vezes, isto é,
quando não forem os elementos repetidos). Agora, é importante ressaltar que
alguns elementos são idênticos, o que não trará um novo agrupamento. Logo,
devemos perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos retirar aque-
les que se repetem.
Obs.:
“A ordem de alguns elementos não altera a natureza.”
12. (CESPE/ADAPTADA) A respeito de contagem, que constitui um dos principais
fundamentos da matemática, julgue o item a seguir.
O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas
com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 108
.

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MATEMÁTICA
Errado.
A palavra PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, que, se forem permutadas, não
formarão um novo anagrama. Logo, trata-se de permutação com letras repetidas.
Calculando, temos:
Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem e, de
acordo com a quantidade de letras repetidas, iremos calcular o fatorial, por exem-
plo: (letra P: 3×2×1); (letra O: 2×1); (letra A: 2×1); (letra I: 2×1); (letra S: 2×1)
14×13×11×10×9×7×6×5×4×3×2×1 108
13. (CESPE/ADAPTADA) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de
contagem.
Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais,
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas.
Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e
indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo,
140 formas diferentes com essas faixas.

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MATEMÁTICA
Certo.
Na questão temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas
decorações, mas temos faixas de mesma cor, em que a troca de posição não pro-
duzirá decorações novas. Logo, é interessante fazermos uma analogia como uma
palavra com letras repetidas, da seguinte maneira:
V V V A A A B
Temos 7 letras (faixas) sendo permutadas: P7 = 7! = 7×6×5×4×3×2×1
Sabendo que algumas decorações são as mesmas (devido a algumas faixas serem
iguais), temos que retirar essas decorações que se repetem. Assim, se o princípio
utilizado é a multiplicação que gera os novos agrupamentos, logo temos que dividir
para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira:
Número de decorações = , sendo que no denominador te-
mos 3x2x1(3!), que se refere às cores verdes que se repetem, e logo após 3x2x1
(3!), que se refere às cores amarelas que se repetem.
Usaremos a seguinte estratégia: dividir pelo fatorial da quantidade de letras que
se repetem. Isto é, temos nesta questão três letras “V” e três letras “A” repetidas.
Calculando, temos: = 140 formas diferentes de decorações.

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MATEMÁTICA
Permutação Circular
Será uma situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos
formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc
(n)=(n-1)!.
Em que: (n-1) = número total de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: Pc
(5)= 4!= 24
Exemplo: seja um conjunto com 4 pessoas K={A, B, C, D}. De quantos modos dis-
tintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retan-
gular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas,
teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc
={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC,
BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB,
DCBA}
Acontece que, junto a uma mesa “circular”, temos que:
ABCD = BCDA = CDAB = DABC
ABDC = BDCA = DCAB = CABD
ACBD = CBDA = BDAC = DACB
ACDB = CDBA = DBAC = BACD

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MATEMÁTICA
ADBC = DBCA = BCAD = CADB
ADCB = DCBA = CBAD = BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc
={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}
Obs.:
vimos que na permutação circular a troca de alguns elementos não cria um
novo agrupamento. Então, deveremos retirar aqueles que se repetem.
Obs.:
“A ordem de alguns elementos não altera a natureza.”
14. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6
participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para
se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.
Certo.
Nesta questão, temos uma permutação circular:
P6 = (6–1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos (p n) de forma que os p ele-
mentos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie.

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MATEMÁTICA
Arranjo simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo
de p elementos.
Fórmula: A (n,p) = , n = número total de elementos/
p = número de elementos a serem arranjados.
Cálculo para exemplo: A4,2
= = 12
4!
2!
15. (CESPE/ADAPTADA) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para
serem protocolados. Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos pro-
cessos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3 primeiros caracteres
são letras do conjunto {d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números
inteiros de 1024 a 1674.
Com base nessa situação, julgue o item subsequente.
É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do códi-
go referente às 3 letras iniciais, sem que haja repetição de letra.
Errado.
Referente às três letras iniciais, temos o seguinte:
1º pela fórmula
Temos: n = 8, {d, f, h, j, l, m, o, q} e p = 3, {primeira parte do código}.
2º pelo princípio multiplicativo

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MATEMÁTICA
8 × 7 × 6 = 336
16. (CESPE/BB/ADAPTADA) O número de países representados nos Jogos Pan-A-
mericanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central,
3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas
informações, julgue o item que se segue.
Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de
cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o nú-
mero de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi igual a 6.
Certo.
Referente às três primeiras posições:
1º pela fórmula
Temos: p = 3, {países da América do Norte} e n = 3, {três primeiras classificações}
, sabendo que 0! = 1
Temos 8 possibilidades para a primeira posição, 7
possibilidades para a segunda e 6 possibilidades
para a terceira posição, uma vez que não há re-
petição de caracteres.

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MATEMÁTICA
2º pelo princípio multiplicativo
3 × 2 × 1 = 6
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos (p m), de forma que os p
elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada
grupo de p elementos.
Fórmula: Cm,p
= em que m = número total de elementos/
p = número de elementos a serem combinados
Cálculo para exemplo: C4,2
= = 6
4!
(4 – 2)!2!
Exemplo: seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4
elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer
elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão
no conjunto:
Cs
= {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
Temos 3 possibilidades para a primeira posição,
2 possibilidades para a segunda e 1 possibilidade
para a terceira posição, uma vez que as possi-
bilidades vão diminuindo, pois não há como um
atleta ocupar duas posições simultaneamente.

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MATEMÁTICA
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, co-
missões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos
nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos
um novo agrupamento.
É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma
vez que, se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.”
Obs.:
“A ordem dos elementos não altera a natureza.”
Veja algumas questões envolvendo combinação:
17. Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez. Dessa
forma, são possíveis quantos apertos de mão?
190.
Nessa questão, a ordem não altera a natureza, uma vez que se a pessoa “A” cum-
primentar a pessoa “B”, não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa
“A”. Para que haja um aperto de mão, são necessárias duas pessoas (p = 2).
Sendo assim, trata-se de combinação, podemos resolver de duas maneiras:
1ª pela fórmula
apertos de mão.

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MATEMÁTICA
2ª sem fórmula
Para obter um aperto de mão, é necessária a presença de duas pessoas. Logo,
iremos utilizar dois espaços: “_____X_____”; e para que possamos retirar os agru-
pamentos que se repetem, iremos dividir pelo fatorial da quantidade de espaços
utilizados.
, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e
19 para a segunda pessoa. No denominador, temos 2 × 1, uma vez que representa
o fatorial de 2 = 2!. O denominador tem a função de retirar os agrupamentos re-
petidos.
18. Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os ou-
tros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia na reunião,
se foram trocados 55 apertos de mão?
11.
Esta questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de
pessoas presentes na reunião.
x2
– x = 110 – equação do 2º grau. x2
– x – 110 = 0, resolvendo a equação teremos:
S {–10, 11}, logo, iremos considerar a solução positiva.

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MATEMÁTICA
19. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas de um conjunto de 60 pos-
síveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta simples (ou apos-
ta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que
as 6 dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão
entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apos-
tas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para
ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja
correto é:
a) 8.
b) 28.
c) 40.
d) 60.
e) 84.
Letra b.
Esta questão trata de uma combinação, uma vez que a ordem dos números não
altera a aposta. Pedro sonhou com 8 números, sendo que 6 fazem parte de uma
aposta simples. Logo, podemos ter:
apostas simples
diferentes (quantidade total)

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MATEMÁTICA
20. (CESPE/ADAPTADA) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética
seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens.
Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas
por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a
quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior
a 12.
Errado.
A questão indica a formação de comissões, na qual a ordem dos integrantes não
altera a natureza da comissão. Sendo assim, trata-se de combinação.
Temos 10 comissões distintas.

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MATEMÁTICA
QUESTÕES DE CONCURSO
21. (CESPE/MPENAP/2015) Se, entre onze servidores previamente selecionados,
forem escolhidos: sete para compor determinada divisão, um para chefiar essa
divisão, um para a chefia da coordenação correspondente, um para a diretoria e
um para a secretaria, haverá menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas
escolhas.
A partir dessas informações, julgue os itens seguintes considerando que, em cada
fila, a ordem das pedras é definida de cima para baixo.
22. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter
uma jogada válida em que as primeiras pedras de 2 filas sejam amarelas é inferior
a 700.

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MATEMÁTICA
uma jogada válida é superior a 1.200.
uma jogada válida em que as primeiras pedras de cada fila sejam sempre verdes
é inferior a 20.
Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um ór-
gão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis
de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem
das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordena-
dor, um relator e um técnico, julgue os próximos itens.
25. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A quantidade de
maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores para a monta-
gem de uma equipe de análise é superior a 2.500.
26. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Considerando-se
que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e
que cada equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo
tempo, é correto afirmar que a capacidade operacional do órgão está limitada ao
acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo.

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MATEMÁTICA
maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanha-
dos pelo órgão é inferior a 4.000.
De um grupo de seis servidores de uma organização, três serão designados para o
conselho de ética como membros titulares, e os outros três serão os seus respec-
tivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no conselho, somente poderá
assumir seu lugar o respectivo suplente.
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
28. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Tão logo os
membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem esco-
lhidos os suplentes.
29. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) O número de
maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos su-
plentes é superior a 100.
O colegiado do Supremo Tribunal Federal (STF) é composto por 11 ministros, res-
ponsáveis por decisões que repercutem em toda a sociedade brasileira. No jul-
gamento de determinados processos, os ministros votam pela absolvição ou pela
condenação dos réus de forma independente uns dos outros. A partir dessas in-
formações e considerando que, em determinado julgamento, a probabilidade de
qualquer um dos ministros decidir pela condenação ou pela absolvição do réu seja
a mesma, julgue os itens seguintes.

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MATEMÁTICA
30. (CESPE/TÉCNICO JUDICIÁRIO – TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO/STF/2013)
Se, no julgamento de determinado réu, 8 ministros votarem pela absolvição e 3
ministros votarem pela condenação, a quantidade de maneiras distintas de se atri-
buir os votos aos diferentes ministros será inferior a 170.
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o
trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes
imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassa-
gens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial
ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informa-
ções, julgue o item.
31. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então,
a partir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se for-
mar essas equipes será superior a 200.
Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agen-
tes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas
equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por
um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
32. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilita-
dos a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se
organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais
quatro passageiros – será superior a 100.

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MATEMÁTICA
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o
trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes
33. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Existem 12!/(3!)4 maneiras de se montar quatro
equipes, cada uma delas com 3 agentes.
34. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as
referidas equipes.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

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MATEMÁTICA
GABARITO
21. C
22. E
23. C
24. C
25. C
26. C
27. E
28. E
29. C
30. C
31. C
32. C
33. C
34. E
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

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MATEMÁTICA
GABARITO COMENTADO
21. (CESPE/MPENAP/2015) Se, entre onze servidores previamente selecionados, fo-
rem escolhidos: sete para compor determinada divisão, um para chefiar essa divisão,
um para a chefia da coordenação correspondente, um para a diretoria e um para a
secretaria, haverá menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas escolhas.
Certo.
Temos uma questão de Combinação:
Pelo princípio multiplicativo, temos:
Pela fórmula, temos: C11,7
. C4,1
. C3,1
. C2,1
.C1,1

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MATEMÁTICA
A partir dessas informações, julgue os itens seguintes considerando que, em cada
fila, a ordem das pedras é definida de cima para baixo.
uma jogada válida em que as primeiras pedras de 2 filas sejam amarelas é inferior
a 700.
Errado.
Os valores que estão nos quadradinhos significam as possibilidades de fichas para
aquele local.

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MATEMÁTICA
uma jogada válida é superior a 1.200.
Certo.
uma jogada válida em que as primeiras pedras de cada fila sejam sempre verdes
é inferior a 20.
Certo.

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MATEMÁTICA
Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um ór-
gão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis
de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem
das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordena-
dor, um relator e um técnico, julgue os próximos itens.
maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores para a monta-
gem de uma equipe de análise é superior a 2.500.
Certo.
Nesse item temos que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um
relator e um técnico, ou seja, a ordem de escolha é importante devido ao cargo.
Logo teremos o seguinte:
15 × 14 × 13 = 2730
26. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Considerando-se
que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e
que cada equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo
tempo, é correto afirmar que a capacidade operacional do órgão está limitada ao
acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo.
Nessas posições temos 15 possibilidades para o
primeiro servidor, 14 possibilidades para o segun-
do e 13 possibilidades para o terceiro servidor.
Não há divisões pois a ordem altera a natureza.

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MATEMÁTICA
Certo.
Temos 15 programas de governo:
1 programa
2 programas
3 programas
4 programas
5 programas
6 programas
7 programas
8 programas
9 programas
10 programas
11 programas
12 programas
13 programas
14 programas
15 programas
Dessa forma, é correto afirmar que a capacidade operacional do órgão está limitada
ao acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo, cada programa
por uma única equipe.
EQUIPE 01
EQUIPE 02
EQUIPE 03
EQUIPE 04
EQUIPE 05

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MATEMÁTICA
maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanha-
dos pelo órgão é inferior a 4.000.
Errado.
Neste item, temos que a ordem da escolha dos programas de governo não altera a
natureza, conforme fundamentação teórica.
Vejamos:
30 × 29 × 28 = 4.060
3 2 1
De um grupo de seis servidores de uma organização, três serão designados para o
conselho de ética como membros titulares, e os outros três serão os seus respec-
tivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no conselho, somente poderá
assumir seu lugar o respectivo suplente.
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
28. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Tão logo os
membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem esco-
lhidos os suplentes.
Nessas posições temos 30 possibilidades para o pri-
meiro programa, 29 possibilidades para o segundo
e 28 possibilidades para o terceiro programa. Há
divisões pois a ordem não altera a natureza.

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MATEMÁTICA
Errado.
Para a escolha dos suplementes, é interessante perceber que a ordem importa,
uma vez que, na falta do membro titular no conselho, somente poderá assumir seu
lugar o respectivo suplente.
3 × 2 × 1 = 6
29. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) O número de
maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos su-
plentes é superior a 100.
Certo.
6 × 5 × 4 = 20 e (x) 3 × 2 × 1 = 6
3 2 1
Iremos multiplicar os resultados: 20 x 6 = 120 maneiras de serem selecionados.
meiro suplemente, 2 possibilidades para o segun-
do e 1 possibilidade para o terceiro suplemente.
do e 1 possibilidade para o terceiro suplemente.
do e 4 possibilidades para o terceiro suplemente.
Há divisões pois a ordem não altera a natureza.

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MATEMÁTICA
O colegiado do Supremo Tribunal Federal (STF) é composto por 11 ministros, res-
ponsáveis por decisões que repercutem em toda a sociedade brasileira. No jul-
gamento de determinados processos, os ministros votam pela absolvição ou pela
condenação dos réus de forma independente uns dos outros. A partir dessas in-
formações e considerando que, em determinado julgamento, a probabilidade de
qualquer um dos ministros decidir pela condenação ou pela absolvição do réu seja
a mesma, julgue os itens seguintes.
30. (CESPE/TÉCNICO JUDICIÁRIO – TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO/STF/2013)
Se, no julgamento de determinado réu, 8 ministros votarem pela absolvição e 3
ministros votarem pela condenação, a quantidade de maneiras distintas de se atri-
buir os votos aos diferentes ministros será inferior a 170.
Certo.
Podemos ilustrar a situação da seguinte maneira: A (absolvição) e C (condenação):
Temos uma permutação com repetição: AAAAAAAACCC
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para
o trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes

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MATEMÁTICA
31. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então,
a partir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se for-
mar essas equipes será superior a 200.
Certo.
A questão trata de uma combinação em que teremos , isto é, uma equipe
com 3 agentes, em que teremos pelo Princípio Multiplicativo as possibilidades mul-
tiplicadas no numerador e, como se trata de combinação, dividimos por fatorial 3
no denominador para retirar as equipes repetidas.
Pela fórmula podemos ter: C12,3
Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agen-
tes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas
equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por
um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
32. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilita-
dos a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se
organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais
quatro passageiros – será superior a 100.

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MATEMÁTICA
Certo.
São cinco posições, pelo Princípio Multiplicativo, temos:
______ x _______x _______x_______x______.
Para cada posição acima temos o seguinte:
__5__ x __4___x __3___x__2___x__1___. = 120 Possibilidades
Podemos também concluir que se trata de uma permutação de 5 pessoas, isto é,
P5= 5!
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o trân-
sito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes impruden-
tes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassagens indevidas
e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial ofensivo tão pe-
rigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informações, julgue o item.
33. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Existem 12!/(3!)4 maneiras de se montar quatro
equipes, cada uma delas com 3 agentes.
Certo.
A questão trata de uma combinação em que teremos ,
isto é, quatro equipes com 3 agentes, em que teremos pelo Princípio Multiplicativo
as possibilidades multiplicadas no numerador e, como se trata de uma combinação,
dividimos por fatorial 3 no denominador para retirar as equipes repetidas.
Pela fórmula podemos ter:
C12,3. C9,3. C6,3 C3,3.

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MATEMÁTICA
34. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as
referidas equipes.
Errado.
Se as equipes devem ser formadas por um delegado, um perito, um escrivão e dois
agentes, temos que realizar uma combinação:
C2,1 . C2,1 . C2,1 . C4,2 = 48

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MATEMÁTICA
AUTOAVALIAÇÃO
1. (CESPE/2016) Julgue o seguinte item, relativos a raciocínio lógico, a princípios
de contagem e probabilidade e a operações com conjuntos.
Situação hipotética: A ANVISA, com objetivo de realizar a regulação de um novo
medicamento, efetua as análises laboratoriais necessárias. Essas análises são as-
sistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos farmacêuticos. Desses técnicos,
3 possuem cargo de chefia de equipe e por isso não trabalham juntos. Asserti-
va: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipes participa sempre
apenas um dos três técnicos farmacêuticos chefes, então a quantidade de equipes
distintas com 4 técnicos farmacêuticos que poderão ser formadas é inferior a 25.
2. (CESPE/2016)
A questão da mobilidade urbana é um dos problemas que mais preocupam a popu-
lação de grandes centros, como a cidade de São Paulo. A figura apresentada mos-
tra as possibilidades de vias, em um centro urbano, para se deslocar de um ponto
inicial até um ponto final, passando pelos pontos intermediários A, B, C, D, E, F, G,

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MATEMÁTICA
H ou I. Cada seta indica o sentido do fluxo de uma via ligando dois desses pontos.
Dois caminhos que permitem o deslocamento desde o ponto inicial até o ponto final
são denominados distintos se um deles incluir pelo menos uma via distinta. Con-
siderando essas informações, a quantidade de caminhos distintos que permitem o
deslocamento do ponto inicial até o ponto final é
a) inferior a 7.
b) igual a 7.
c) igual a 8.
d) igual a 9.
e) superior a 9.
3. (CESPE/2015) Em um campeonato de futebol amador de pontos corridos, do
qual participam 10 times, cada um desses times joga duas vezes com cada ad-
versário, o que totaliza exatas 18 partidas para cada. Considerando-se que o time
vencedor do campeonato venceu 13 partidas e empatou 5, é correto afirmar que
a quantidade de maneiras possíveis para que esses resultados ocorram dentro do
campeonato é.
a) superior a 4.000 e inferior a 6.000.
b) superior a 6.000 e inferior a 8.000.
c) superior a 8.000.
d) inferior a 2.000.
e) superior a 2.000 e inferior a 4.000
4. (CESPE/2015) Determinado órgão público é composto por uma diretoria geral
e quatro secretarias; cada secretaria é formada por três diretorias; cada diretoria
tem quatro coordenações; cada coordenação é constituída por cinco divisões, com
um chefe e sete funcionários subalternos em cada divisão.

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MATEMÁTICA
A respeito desse órgão público, julgue o item seguinte, sabendo que cada executivo
e cada funcionário subalterno só pode ocupar um cargo nesse órgão.
Se, entre onze servidores previamente selecionados, forem escolhidos: sete para
compor determinada divisão, um para chefiar essa divisão, um para a chefia da
coordenação correspondente, um para a diretoria e um para a secretaria, haverá
menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas escolhas.
5. (CESPE/2015) As prestações de contas das campanhas dos 3 candidatos a go-
vernador de determinado estado foram analisadas por 3 servidores do TRE desse
estado. Considerando que um servidor pode analisar nenhuma, uma ou mais de
uma prestação de contas e que, por coincidência, cada um dos 3 candidatos é pa-
rente de um dos 3 servidores, julgue o item que se segue.
A quantidade de maneiras distintas de se distribuírem as prestações de contas en-
tre os 3 servidores de modo que nenhum deles analise as contas de um parente é
superior a 5.
6. (CESPE/2014) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino
e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras
e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais polícia cada uma das quadras.
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.
Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiam as
quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinado dia,
essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seis meses após
aquele dia.

56 de 61
MATEMÁTICA
7. (CESPE/2014) Um grupo de 15 turistas que planeja passear pelo rio São Fran-
cisco, no Canyon do Xingó, em Sergipe, utilizará, para o passeio, três barcos: um
amarelo, um vermelho e um azul. Cada barco tem capacidade máxima para 8 ocu-
pantes e nenhum deles deixará o porto com menos de 3 ocupantes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
A quantidade de maneiras distintas de distribuir os 15 turistas pelos 3 barcos, de
forma que cada barco seja ocupado por exatamente 5 turistas, é superior a 22
× 32
× 72
× 112
.
8. (CESPE/2014) Um grupo de 15 turistas que planeja passear pelo rio São Fran-
cisco, no Canyon do Xingó, em Sergipe, utilizará, para o passeio, três barcos: um
amarelo, um vermelho e um azul. Cada barco tem capacidade máxima para 8 ocu-
pantes e nenhum deles deixará o porto com menos de 3 ocupantes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
A quantidade de maneiras distintas de escolher 8 turistas para ocupar o barco azul
e 7 para ocupar o barco amarelo é inferior a 82
× 72
.
9. (CESPE/2014) Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a
direção de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de
governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores
para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta
por um coordenador, um relator e um técnico, julgue os próximos itens.
A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores
para a montagem de uma equipe de análise é superior a 2.500.

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MATEMÁTICA
10. (CESPE/2014) A análise de requerimentos de certificação de entidades educa-
cionais, no âmbito do Ministério da Educação, será realizada por uma equipe for-
mada por, no mínimo, um analista contábil, um analista educacional e um analista
processual.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos.
A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas
processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente um
analista de cada especialidade em cada equipe.
11. (CESPE/2014) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10
do sexo feminino, julgue o item abaixo.
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição
de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.

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MATEMÁTICA
GABARITO
1. E
2. e
3. c
4. C
5. C
6. C
7. C
8. E
9. C
10. E
11. E

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MATEMÁTICA
Desafio – Comentário
Por incrível que pareça, temos uma questão de lógica proposicional.
Vejamos!
Letra c.
A questão trata de uma aplicação de tabela-verdade em que devemos analisar a
proposição condicional:
P: “Se na face de uma carta há um número par, então no verso há um animal ma-
mífero”.
De acordo com a tabela-verdade da condicional temos:
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Quando a questão pergunta quais cartas devem ser viradas para que a afirmação
seja verdadeira, temos que verificar qual situação não torna a proposição P ver-
dadeira:
Figura A:

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MATEMÁTICA
Valorando as proposições simples que compõem a proposição P temos:
P: [face de uma carta há um número par (V/F)]  [no verso há um animal ma-
mífero”(F)] = (F/V)
Neste caso, temos que virar a carta A, pois não temos a certeza de que a pro-
posição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela pode
ser verdadeira ou falsa.
Figura B:
Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos:
P: [face de uma carta há um número par (V/F)]  [no verso há um animal ma-
mífero” (V)] = (V)
Neste caso, não precisamos virar a carta B, pois temos a certeza de que a pro-
sempre será verdadeira.
Figura C:

61 de 61
MATEMÁTICA
P: [face de uma carta há um número par (F)]  [no verso há um animal mamífe-
ro” (V/F)] = (V)
Neste caso, não precisamos virar a carta C, pois temos a certeza de que a pro-
posição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sem-
pre será verdadeira.
Figura D:
P: [face de uma carta há um número par (V)]  [no verso há um animal mamí-
fero” (V/F)] = (V/F)
Neste caso, temos que virar a carta D, pois não temos a certeza de que a pro-
ser verdadeira ou falsa.

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