Aula 4: Probabilidade e estatística

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2. Mediana
A mediana (Md) é um valor que separa uma distribuição em duas partes, deixando à
sua esquerda o mesmo número de elementos que à sua direita.
2.1. Mediana para dados brutos ou rol
 Para o cálculo da mediana deve-se inicialmente colocar em ordem crescente os
dados;
 Quando a série de dados é constituída de um número (n) ímpar de elementos, a
mediana ocupa a seguinte posição:
(
𝑛 + 1
2
)
º
posição
Exemplo:
O conjunto de números 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 9 tem como mediana:
PMd =
9+1
2
= 5 (quinto elemento)
Md=4
 Quando a série de dados é constituída de um número (n) par de elementos tem-se
2 elementos centrais, que ocupam as posições:
(
n
2
)
º
e (
n
2
+1)
º
posição
Nesse caso a mediana é convencionada como sendo a média dos valores centrais.
Exemplo: O conjunto de números 0, 1, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 9 tem mediana:
𝑃Md
1
=
9+1
2
= 5 (quinto elemento) e PMd
2
=
10
2
+1 = 6 (sexto elemento)
Portanto, Md =
4+5
2
= 4,5

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2.2. Mediana para dados agrupados em frequência simples
Para o cálculo da mediana de dados agrupados em frequência (variável discreta ou
que se pode numerar, finita), basta verificar se o número de elementos da série é par
ou ímpar e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior. De modo a facilitar a
localização dos termos centrais, devemos construir a frequência acumulada da série.
Exemplo:
Sejam os conjuntos (já ordenados):
350 350 600 600 600 600 600 600 600 600
600 600 600 600 600 600 600 600 600 600
600 600 800 800 800 800 7.000 7.000 7.000
0.71 1.53 1.94 2.16 2.39 2.67 3.06 3.34 3.57 3.93
0.75 1.57 2.04 2.16 2.48 2.75 3.09 3.37 3.63 3.94
1.20 1.67 2.06 2.18 2.48 2.77 3.26 3.55 3.69 4.05
1.42 1.80 2.06 2.22 2.63 2.78 3.32 3.56 3.77 5.41
No primeiro N = 29,
PMd = (29 + 1)/2 = 15º
Md = 600
Construindo a tabela de distribuição de frequências, vem:
Classes
Frequência
(fi)
Marca de
classe
(mi)
Frequência
Acumulada
(fa)
Frequência
relativa (fr)
Frequência
Relativa
Acumulada
(fra)
[0.71 - 1.41) 3 1.06 3 0.075 0.075
[1.41 - 2.11) 9 1.76 12 0.225 0.300
[2.11 - 2.81) 12 2.46 24 0.300 0.600
[2.81 - 3.51) 6 3.16 30 0.150 0.750
[3.51 - 4.21) 9 3.86 39 0.225 0.975
[4.21-4.91) 0 4.56 39 0.000 0.975
[4.91 - 5.61) 1 5.26 40 0.025 1.000
40 1.000

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Nesse caso usa-se o método da interpolação (Teorema de Tales). A mediana
O número de elementos da série é n = ∑ fi = 40
A mediana, por definição, separa o número de elementos da série em dois grupos,
contendo cada um deles 50% dos elementos.
Portanto, a posição da mediana na série é n/2. No exemplo (40/2)º = 20º elemento
da série.
Como a soma das 2 primeiras frequência de classe é 12. Então para obter o 20º
elemento são necessários mais 8 dos 12 elementos existentes na terceira classe. Como
o terceiro intervalo de classe, [2.11 - 2.81), corresponde realmente aos pesos 2.11 e
2.81, a mediana situa-se a 8/12 = 2/3 da distância entre 2,11 e 2,81.
Então:
2,11 +
8
12
( 2,81-2,11)= 2,5766666666667

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Generalizando, podemos empregar a seguinte fórmula:
Md = Li + (
(
N
2
) -fi-1
fi
) × k
Onde:
Li – limite inferior da classe onde se encontra a mediana;
f i-1 - frequência acumulada anterior a classe medianal;
k – Amplitude de classe; e
f i – frequência absoluta da classe medianal.
Exercício:
Calcule a mediana da seguinte distribuição de frequência:
Classe Frequência
3 |⎯⎯ 6 2
6 |⎯⎯ 9 5
9 |⎯⎯ 12 8
12|⎯⎯15 3
15|⎯⎯18 1
Resp.: 9,9375