Aula 5: Probabilidade e estatística

1. Pág. 31
3. Moda
Quando os dados estão agrupados em una distribuição de frequências, a moda é o
ponto do eixo-x correspondente a ordenada máxima da distribuição. A moda (Mo) é o
valor que ocorre com mais frequência na distribuição, i. é, o mais comum.
Exemplo: Seja o conjunto de dados abaixo:
21 20 43 33 47 44 34 29
24 34 20 41 49 45 35 40
27 22 49 39 21 37 37 20
28 38 47 38 48 42 26 45
28 45 23 36 38 39 40 47
29 40 31 21 47 42 23 43
29 45 38 43 37 40 50 49
30 24 49 27 36 42 23 24
30 30 33 23 40 46 21 46
33 22 34 47 33 24 41 21
33 41 35 43 37 43 38 47
35 26 46 43 48 44 32 20
39 27 29 44 40 22 37 20
40 44 25 47 46 32 39 43
45 43 46 39 45 45 49 31
47 27 29 44 38 28 20 39
Colocando em ordem crescente, vem:
20 22 27 30 35 38 40 43 45 47
20 23 27 31 35 38 40 43 45 47
20 23 27 31 35 38 40 43 45 47
20 23 28 32 36 39 41 43 46 48
20 23 28 32 36 39 41 44 46 48
20 24 28 33 37 39 41 44 46 49
21 24 29 33 37 39 42 44 46 49
21 24 29 33 37 39 42 44 46 49
21 24 29 33 37 39 42 44 47 49
21 25 29 33 37 40 43 45 47 49
21 26 29 34 38 40 43 45 47 50
22 26 30 34 38 40 43 45 47
22 27 30 34 38 40 43 45 47

2. Pág. 32
Os números aparecem com a seguinte frequência:
Xi 25 50 26 36 48 22 28 30 34 35 41 42 23 24
fi 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4
Xi 27 21 29 37 44 46 49 20 38 39 40 45 47
fi 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8
Portanto, o conjunto tem moda 47.
É evidente que a moda pode não existir e, mesmo que exista não ser única (ser
múltipla, i. é, apareça em duplicidade, triplicidade, etc.).
É possível calcular a moda das seguintes formas:
Método Prático (Moda Bruta)
Pela média:
Mo =
Li + Ls
2
Onde:
Li – Limite inferior da classe modal; e
LS – Limite superior da classe modal (maior frequência).
Método de Czuber
Que se se baseia na influência que as classes adjacentes exercem sobre a moda, a qual
se desloca no sentido da classe com maior frequência.
Para determinar graficamente a moda Czuber utilizam-se os três retângulos
correspondente à classe modal e às classes adjacentes. A moda será o valor do limite
inferior da classe modal acrescida de um valor “x” determinado pela intersecção dos

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segmentos AA’ (que une o limite superior da classe que antecede a classe modal ao
limite superior da classe modal) e BB’ (que une o limite inferior da classe modal ao
inferior da classe posterior à modal).
Mo (Czuber) = Li + x e y = h  x (h é o intervalo da classe modal).
x
y
=
∆1
∆2
x
h − x
=
∆1
∆2
x.∆2 = (hx). ∆1
x =
h.∆1
(1+ 2)
x = (
∆1
1+ 2
) h
Como Mo (Czuber) = Li + x, então:
Mo = Li + [
𝑓𝑚𝑜  𝑓𝑎𝑛𝑡
2𝑓𝑚𝑜  (𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡)
] h

4. Pág. 34
Considere-se a distribuição das vendas diárias do setor de peças de uma determinada
loja para explicitar os processos de cálculo da moda.
Nº de peças (X) Corte(Xi) Nº de dias (fi) fac Xi.fi
5 ⊢ 10 7,5 3 3 22,5
10 ⊢ 15 13 9 12 112,5
15 ⊢ 20 18 12 24 210
20 ⊢ 25 23 26 50 585
25 ⊢ 30 28 15 65 412,5
30 ⊢ 35 33 13 78 422,5
35 ⊢ 40 38 2 80 75
Total - 80 - 1.840,00
1º Método: Pelo processo gráfico de Czuber, vem:
x
5  x
=
14
11
x =
14
5
= 2,8
Portanto, Mo = 20 + 2,8 = 22,8

5. Pág. 35
2º Método:
No exemplo da distribuição de frequência das peças vendidas, a moda de Czuber é:
Mo = Li + (
fmo  f(ant)
2fmo  (fant + fp)
)  h
Mo = 20 + (
26  12
52  (12 + 15)
)  5
Mo = 22,8
Exemplo:
Seja a distribuição:
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
No Excel, faça a distribuição de frequências:
N = 100
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 At = 39 Li Lf Xi
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 1 151 ⊢ 156 153,5
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 K = 8 2 156 ⊢ 161 158,5
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 3 161 ⊢ 166 163,5
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 w = 5 4 166 ⊢ 171 168,5
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 5 171 ⊢ 176 173,5
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 máx = 190 6 176 ⊢ 181 178,5
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 7 181 ⊢ 186 183,5
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190 mín = 151 8 186 ⊢ 191 188,5

6. Pág. 36
Habilite as ferramentas de análise:

7. Pág. 37
N = 100
At = 39 Li Lf Xi Bloco
1 151 ⊢ 156 153,5  155
K = 8 2 156 ⊢ 161 158,5  160
3 161 ⊢ 166 163,5  165
w = 5 4 166 ⊢ 171 168,5  170
5 171 ⊢ 176 173,5  175
máx = 190 6 176 ⊢ 181 178,5  180
7 181 ⊢ 186 183,5  185
mín = 151 8 186 ⊢ 191 188,5  190

8. Pág. 38
Li Lf Xi Frequência
1 151 ⊢ 156 78 4
2 156 ⊢ 161 158,5 4
3 161 ⊢ 166 163,5 11
4 166 ⊢ 171 168,5 33
5 171 ⊢ 176 173,5 17
6 176 ⊢ 181 178,5 17
7 181 ⊢ 186 183,5 9
8 186 ⊢ 191 188,5 5

9. Pág. 39
Mo = 168,8947368
De fato, pelo processo gráfico:
x
5 − 𝑥
=
22
16
𝑥 =
55
19
= 2,8947368421053
Mo = 166 + 2,8947368421053 = 168,8947368421053
Observe que uma boa aproximação é fazer: Mo = (Li + Ls)/2 = 168,5

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Exercício resolvido:
Os livros de uma biblioteca pública da comunidade estavam amontoados assim:
Narrativa Biografia Poesia Conto Biografia Narrativa
Conto Biografia Poesia Biografia Narrativa Poesia
Teatro Teatro Poesia Narrativa Poesia Narrativa
Poesia Conto Biografia Narrativa Narrativa Narrativa
Conto Biografia Poesia Biografia Poesia Narrativa
Narrativa Poesia Narrativa Conto Teatro Poesia
Poesia Narrativa Narrativa Poesia Teatro Narrativa
Biografia Narrativa Poesia Narrativa Biografia Narrativa
Narrativa Poesia Biografia Poesia Narrativa Poesia
Teatro Biografia Poesia Biografia Narrativa Poesia
Biografia Biografia Biografia Narrativa Teatro Teatro
Narrativa Poesia Narrativa Poesia Teatro Conto
Construa uma tabela com o conjunto de observações e responda qual é o valor de
ocorrência mais frequente?
Construindo uma lista de frequências, fica:
Narrativa 23
Teatro 8
Conto 4
Biografia 11
Poesia 13
Resposta: Narrativa.

11. Pág. 41
Outro exercício:
Para decidir a velocidade máxima num trecho de estrada armazenaram-se, de forma casual
em diferentes dias, as seguintes velocidades:
105 106 80 101 103 72 116 115 120 93 99
100 87 114 77 117 103 79 71 77 101 97
95 120 89 109 87 95 88 111 86 77 85
120 77 119 70 90 72 111 99 110 73 120
110 80 85 71 81 78 110 107 77 85 102
99 103 115 101 115 118 94 78 84 119 93
80 82 117 114 99 72 99 101 95 91 99
97 112 82 76 84 83 104 93 96 88 106
118 89 72 86 84 118 116 79 95 112 74
101 81 84 76 87 70 70 101 86 74 89
117 119 107 78 104 70 84 110 96 89 120
100 80 102 107 89 71 119 94 79 70 71
82 74 100 100 97 99 118 98 86 86 109
104 75 82 93 109 74 104 100 118 97 111
78 95 97 96 101 117 107 72 79 77 79
112 112 80 115 88 74 80 107 86 70 120
99 106 81 84 113 116 81 103 115 103 97
99 87 71 113 114 79 116 82 108 110 106
88 87 85 76 119 86 95 95 102 114 72
93 93 79 89 105 82 84 103 101 114 118
106 72 76 108 105 99 98 85 105 93 115
71 117 101 71 94 79 120 73 78 75 79
120 106 105 100 97 98 100 75 97 92 90
94 75 105 91 83 94 105 72 106 76 102
96 98 76 72 80 101 87 119 104 103 83
94 120 83 102 94 87 100 78 89 107 112
i Classe Xi Corte
1 70 ⊢ 75 29 72,5
2 75 ⊢ 80 31 77,5
3 80 ⊢ 85 28 82,5
4 85 ⊢ 90 30 87,5
5 90 ⊢ 95 19 92,5
6 95 ⊢ 100 33 97,5
7 100 ⊢ 105 35 102,5
8 105 ⊢ 110 25 107,5
9 110 ⊢ 115 20 112,5
10 115 ⊢ 120 27 117,5
11 120 ⊢ 125 9 122,5

12. Pág. 42
Calcule a moda.
Mo =95,58823529
29
31
28
30
19
33
35
25
20
27
9
0
5
10
15
20
25
30
35
40
72,5 77,5 82,5 87,5 92,5 97,5 102,5 107,5 112,5 117,5 122,5

13. Pág. 43
Outro exercício:
Calcule a moda dos seguintes dados brutos:
8,2 3,2 4,1 5,1
1,2 1,1 1,7 2,8
5,7 7 7 5,9
8,2 3,4 3,2 3,2
21,4 15,9 5,2 5,7
2 2,2 12,6 12,7
4 3,9 3,8 6,2
6,3 7,8 7,7 7,4
9,2 10,4 10,1 9,4
11,6 9,9 9,1 11
3 2,8 1,6 2,4
3,9 1,7 2,4 2
15 14,7 13,5 8,4
1,5 5,5 6,3 3,3
2,8 3,7 5,7 5,6
Fazendo a distribuição por frequências, vem:
i Classe fi
1 1,1 ⊢ 4,1 24
2 4,1 ⊢ 7,1 15
3 7,1 ⊢ 10,1 10
4 10,1 ⊢ 13,1 6
5 13,1 ⊢ 16,1 4
6 16,1 ⊢ 19,1 0
7 19,1 ⊢ 22,1 1
Observe que, nesse caso, nesse caso não é possível usarmos a fórmula de Czuber.
Usaremos, portanto, a média dos limites da classe modal.
Mo = (1,1 + 4,1)/2 = 2,6

14. Pág. 44
24
15
10
6
4
0
1
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7