O documento discute medidas separatrizes como quartis, decis e percentis. Explica como calcular esses valores para dados agrupados ou não agrupados, e fornece exemplos detalhados de como aplicar as fórmulas.

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4. Separatrizes (Quartis, Decis e Percentis ou Centis)
O conceito da mediana pode ser generalizado para outras percentagens além dos
50%.
Podemos querer saber, por exemplo, qual é o valor abaixo do qual estão 1%
(nomeado percentil 1); 20% (nomeado percentil 20), ou 75% dos indivíduos
(nomeado percentil 75), e assim por diante. A mediana é o percentil 50 (P50).
Alguns percentis têm uma designação específica, como os percentis 25, 50 e 75, que
são referidos como o 1º quartil , 2º Quartil e 3º quartil, pois são múltiplos da quarta
parte da distribuição.
Os percentis 10, 20, 30, …,90 também podem ser designados por Decil 1, Decil 2,
Decil 3 …, Decil 9. Como o próprio nome indica, os Decis dividem a distribuição em
dez partes iguais e os Percentis em cem.
Para simbolizar cada uma dessas medidas separatrizes, faremos:
Qi = quartis i = 1; 2; 3
Di = decis i = 1; 2; 3; ... ; 9
Ci = centis i = 1; 2; 3; ... ; 99

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Assim,
 Primeiro Percentil (C1) é o valor situado de tal modo na série de dados que 1%
das observações são menores que ele e 99% são maiores;
 Segundo Percentil (C2) é o valor situado de tal modo na série de dados que 2%
das observações são menores que ele e 98% são maiores, etc.;
 Nonagésimo Nono Percentil (C99) é o valor situado de tal modo na série de
dados que 99% das observações são menores que ele e 1% são maiores.
4.1. Cálculo dos Quartis, Decis e Percentis.
 Passo: Determinar as frequências acumuladas (fac) da distribuição;
 Passo: Calcular a posição do Quartil, Decil ou Percentil desejado, por uma das
fórmulas:
Quartil: Pi=
i . ∑ fi
4
(i =1, 2, 3, …)
Decil: Pi=
i . ∑ fi
10
(i =1, 2, 3, …, 9)
Centil: Pi=
i . ∑ fi
100
(i =1, 2, 3, …, 99)
4.2. Quartis em dados não agrupados
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis,
calculando-se " 3 medianas " em uma mesma série.
Exemplo:
Seja o conjunto:
105 100 95 120 110 99 80 97 118 101 117 100 82 104 78 112 96

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O conjunto ordenado (ordem crescente) de valores fica:
78 80 82 95 96 97 99 100 100 101 104 105 110 112 117 118 120
Como temos 17 elementos, a mediana é o elemento de posição central (a 9ª nona
posição), o número 100.
Ou seja:
Será o quartil 2, Q2 = Md = 100.
Tomando as duas séries à direita e à esquerda da mediana e suas medianas, vêm:
P = (17+1)/2
|
9ª pos.
|
78 80 82 95 96 97 99 100 100 101 104 105 110 112 117 118 120
| |
78
80
82
95 95 + 96
2
= 95,5
96
97
99
100
101
104
105
111 =
110 + 112
2
110
112
117
118
120
Em {78, 80, 82, 95, 96, 97, 99, 100} a mediana é 95,5.
Ou seja:
Será o quartil 1, Q3=95,5.
Em {101, 104, 105, 110, 112, 117, 118, 120} a mediana é 111.
Ou seja:
Será o quartil 3, Q3=111.
Assim tem-se:
Q1 = 95,5; Q2 = 100; Q3 = 111, que são os três quartis.

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Outro exemplo:
Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2
Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5
O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md :
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5 }
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
O quartil 3 será a mediana da série à direita de Md :
{6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Q3 = (9+9)/2 = 9
4.3. Quartis para dados agrupados em classes
Usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da
mediana:
Qi=Li+ (
P − fant
fQ
) . h
Onde
{
Li-Limite inferior do quartil
Lant-frequência acumulada anterior a classe do quartil
fQ-frequência simples da classe do quartil
h -amplitutuda da lasse do quartil
Di=Li+ (
P − fant
fD
) . h
Onde
{
Li-Limite inferior do quartil
Lant-frequência acumulada anterior a classe do quartil
fD-frequência simples da classe do quartil
h -amplitutuda da lasse do quartil
Ci=Li+ (
P − fant
fC
) . h Onde
{
Li-Limite inferior do quartil
Lant-frequência acumulada anterior a classe do quartil
fC- frequência simples da classe do quartil
h -amplitutuda da lasse do quartil

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Outro exemplo:
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos
conforme a tabela a seguir.
Calcule o Q1, D4 e o C85 e interprete os resultados.
Salários N. º de prof.
(fi)
1 ├ 3 20
3 ├ 5 40
5 ├ 7 60
7 ├ 9 30
9 ├ 11 10
Temos:
i
1
2
3
4
5
Salários
N. º de prof.
(fi)
fac
1 ├ 3 20 20 Quartil P1 = 1.160/4 = 40 º elem.
3 ├ 5 40 60
5 ├ 7 60 120 Decil D4 = 4.160/10 = 64 º elem.
7 ├ 9 30 150
9 ├ 11 10 160 Centil C85 = 85.160/100 = 136 º elem.
Total: 160 510

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Portanto,
Qi=Li+ (
P − fant
fQ
) . h
Q1 = 5 + (
40 − 20
40
) ×2 = 4 salários mínimos
Di=Li+ (
P − fant
fD
) . h
D4 = 5 + (
64 − 60
60
) ×2 = 5,15 salários mínimos
Ci=Li+ (
P − fant
fC
) . h
C85 = 7 + (
136 − 120
30
) ×2 = 8,07 salários mínimos
Interpretação:
1ª - 25% dos professores da escola ganham até 4 salários mínimos ou 75% dos
professores ganham mais de 4 salários mínimos;
2ª - 40% dos professores da escola ganham até 5,13 salários mínimos ou 60% dos
professores ganham mais de 5,13 salários mínimos;
3ª - 85% dos professores da escola ganham até 8,07 salários mínimos ou 15% dos
professores ganham mais de 8,07 salários mínimos.
Outro exemplo:
Passou-se um teste de 80 perguntas a 600 pessoas. O número de respostas é apontado no
seguinte quadro:
[0,10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50,60) [60,70) [70,80)
| | | | | | | |
40 60 75 90 105 85 80 65

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Pergunta-se:
Calcular a mediana, os quartis e os percentis 20 e 85?
Agrupando os valores em classes, vem:
Classe
Intervalo
de classe
f fa fr fra
1 [0,10) 40 40 0,07 7%
2 [10, 20) 60 100 0,10 17%
3 [20, 30) 75 175 0,13 29%
4 [30, 40) 90 265 0,15 44%
5 [40, 50) 105 370 0,18 62%
6 [50,60) 85 455 0,14 76%
7 [60,70) 80 535 0,13 89%
8 [70,80) 65 600 0,11 100%
Total 600 1,00
Fazendo a descrição gráfica dos dados, vem:
Para a mediana:
Pmd = 600/2 = 300ª posição,
ou 265 + (35).
Logo,
o intervalo da classe medianal é o [40 50),
e ela se encontra a 35/105 avos de 10 (a amplitude de classe).

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Essa divisão (35/105) advém da proporção:
105⏞
fmd
10
=
35⏞
300-265
x
x = 3,33
Md = 40 + (
35
105
) . 10 = 43,33
Para Q1:
P1 =(1/4). 600 = 150 ª posição, logo o intervalo da classe é o [20, 30)
Q1 = 20 + (
50
75
) . 10 = 26,66
Para Q3:
P3 = (3/4). 600 = 450 ª posição, logo o intervalo da classe é o [50, 60)
Q3 = 50 + (
70
85
) . 10 = 59,41
Para P20:
P20 = (20/100). 600 =120 ª posição, logo o intervalo da classe é o [20, 30)
P20 = 20 + (
120  100
175  100
) . 10 = 22,66
Para P85:
P80 = (85/100). 600 =510 ª posição (455 + 55), logo o intervalo da classe é o
[60, 70)
P80 = 60 + (
510  455
535  455
) . 10 = 68,88
Como os valores são proporcionais, esse resultado pode ser alcançado por interpolação,
da seguinte forma:

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P85  60
10
=
55
80
Exercício:
Uma fabrica de agasalhos infanto-juvenis realiza uma pesquisa sobre as estaturas dos
adolescentes que participam de um acampamento, durante o período de férias. Os dados
obtidos estão representados na Tabela abaixo.
i
Estaturas
(cm)
Adolescentes
(fi)
1 120 ˫130 14
2 130 ˫140 19
3 140 ˫150 17
4 150 ˫160 21
5 160 ˫170 16
6 170 ˫180 5
Total 92
Calcule e interprete os resultados dos decis D1; D2; e D7.