1. Revisão de Matemática
Financeira
Professor- Danilo Pires

2. Conteúdo Programático
 MMC e MDC
 Razão e Proporção
 Regra de Três Simples e Composta
 Porcentagem
 Juros Simples
 Juros Composto

3. MMC- Mínimo Múltiplo Comum
MDC- Máximo Divisor Comum
 Dados dois ou mais números o Mínimo Múltiplo Comum, MMC
é o menor número que é múltiplo dos outros dois ( ou mais
números).
 Dado dois ou mais números, denomina-se Máximo Divisor
Comum ( M.D.C) desses números o maior desses divisores

4. Vamos encontrar o M.M.C.( 12, 36, 18)
Primeiro encontramos:
 Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...
 Múltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,...
 Múltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,...
 Os múltiplos comuns são: 0, 36, 72,....
 Sem contar o zero.
 m.m.c ( 12, 36, 18) = 36

5. Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)
 Primeiro Encontramos:
 D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}
 D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
 D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
 Divisores comuns= 1, 2, 3, 6
 Maior divisor comum 12, 36 e 18
 MDC(12, 36, 18) = 6

6. Vamos agora encontrar o MMC e o MDC
por um método muito prático!
Usaremos o método da Fatoração
Simultânea

7. Fatoração Simultânea
Dividimos todos os números por um primo
divisor de todos.
12, 36, 18 2
6, 18, 9 3
2, 6, 3 3
2, 2, 1 2
1, 1, 1
Dividimos novamente por um primo
divisor de todos.
Como não temos um primo divisor
de todos, Já temos o MDC, basta
fazer 2x3=6
Continuamos a fatoração
Agora fazendo 2x3x3x2 temos o MMC, que é
36
Então MMC(12, 36, 18)=36 e MDC(12,36,18)= 6

8. Observe agora o que acontece com o MMC e
com o MDC dos números 10 e 11
Números que tenham como MDC= 1, são chamados de números primos entre si!
Não há primo divisor comum!
Então o MDC(10, 11) = 1
O MMC(10,11)= 2x5x11= 10x11=110
10, 11 2
5, 11 5
1, 11 11
1, 1

9. Razão e Proporção
 A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”.
A razão representa-se por uma fracção:
a
b

10. Razão e Proporção
 Definição:
 Dados dois números a e b, com b diferente de
zero, a razão entre a e b representa-se por:
a
b
:a bou e lê-se razão de a para b.

11. Razão e Proporção
a
b
:a b
Termos Termos

12. Razão e Proporção
a
b
Termos
Antecedente
Consequente
Termos
Antecedente Consequente:a b

13. Exemplo
 Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres.
 Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres?
30
40
• Qual a razão entre o número de
mulheres e o número de homens?
40
30
Numa razão é muito importante verificar a ordem
pela qual estão referidas as duas grandezas

14. Grandezas directamente
proporcionais
Nº de galinhas 24 36 48 60
Alimentação
(€)
24 36 48 60
O Sr. Ramalho faz criação de galinhas. Observa a tabela.
1
60
60
;1
48
48
;1
36
36
;1
24
24

Notaque…
A relação número de galinhas/gastos com alimentação
é igual em todos os quocientes.
Dizemos, então, que o número de galinhas e os gastos
em € com alimentação são directamente proporcionais.
Duas grandezas são directamente proporcionais quando é constante o
quociente entre os valores correspondentes de ambas as grandezas.
A esse quociente chamamos constante de proporcionalidade.
Notaque…

15. Razão Proporção
lê-se
“a está para b assim como c está para d”…
…onde a, b, c e d são os termos da proporção: a
e d são extremos e b e c são os meios.
Definição:
a
b
c
d
=
Uma proporção é uma igualdade entre duas
razões.

16. Razão e Proporção
Meio
Extremo
a
b
c
d
=
Extremo
Meio
:a b :c d=
Extremo
Extremo Meio
Meio

17. Razão e Proporção
Propriedade fundamental das proporções:
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.
a
b
c
d
= b c a d=
Meio
Meio

18. Razão e Proporção
Propriedade fundamental das proporções:
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a
b
c
d
= b c a d=
Meio
Extremo
Extremo
Meio

19. Razão e Proporção
Exemplos:
4 12
4 21 7 12
7 21
    
3 12
3 40 8 12
8 40
    
É proporção
Não é proporção

20. Exercícios de aplicação
1. Descobre o termo que falta em cada uma das proporções:
?
6
3
2

20
25
?
5

?
12
9
2

5 x 20 = ? x 25
100 = ? X 25
? = 100 : 25
? = 4
2 x ? = 9 x 12
2 x ? = 108
? = 108 : 2
? = 54
2 x ? = 3 x 6
2 x ? = 18
? = 18 : 2
? = 9

21. Regra de Três
 A regra de três é simplesmente um método para resolver as proporções sem
precisar de armá-las.
 A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um
quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles.
 Tabela de Valores
 A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

22. Regra de Três
 Pedro decide fazer um túnel de1Km de extensão.
 Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20
trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo.
 Como dispunha de 30 trabalhadores, Pedro resolveu dividi-los em 2 grupos
de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim
de aumentar produtividade.
 Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará
a escavação com o novo arranjo?

23. Regra de Três
 Primeiro colocamos o problema em uma tabela:
 Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste
caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou.
 Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente
proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.
 Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para
grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

24.  No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha
reta e igualando, obtendo:
 Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente
mostrada.

25. O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores
terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada
grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de
tempo?
 Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:
 Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

26. Regra de Três Composta
 Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:
 Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos
ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem
apenas a metade, 500m?
 Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso,
consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto
menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância,
menos tempo faz com que a distância diminua.

27. Regra de Três Composta
 Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de
multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três
simples, e neste caso será cruzada.
 Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais
(setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente
proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos
os caminhos.
 Obtemos então a solução:
2 meses

28. Porcentagem
A porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de
denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela.
Exemplos:
50 1
a) 50% 0,50
100 2
25 1
b) 25% 0,25
100 4
7
c) 7% 0,07
100
12 60
d) 12 alunos de uma sala com 20 alunos 60% 0,60
20 100
  
  
 
   

29. Porcentagem
100% representa o valor total de uma quantidade.
25% do total representa uma parte da quantidade.
Sendo assim, com 25% de 300 alunos, teremos:
300 alunos representa 100%
25
25% de 300 alunos 25% 300 300 0,25 300 75 alunos
100
      
Se o número de alunos aumentou em 25%, teremos a nova
quantidade de alunos igual a 300 + 75 = 375 alunos.
Caso tenha diminuído de 25%, será igual a 300 – 75 = 225
alunos.

30. Porcentagem
Para achar o valor total: 60% de quanto dá R$ 156,00?
60% de x = R$156,00
0,60 x 156,00
156,00
x 260,00
0,60
 
 
Sendo assim, 60%
de R$ 260,00 é
igual a R$ 156,00.
A quantia de 126 corresponde a quantos por cento de 420?
x de 420 = 126
x 420 126
126 30
x 0,3 0,30 30%
420 100
 
    
Sendo assim, 30% de
420 é igual a 126.

31. Termos Importantes da Matemática
Financeira
 Capital (C) ou valor principal é a quantia que será emprestada ou
aplicada e sofrerá o aumento dos juros.
 Juros (j) é o valor em dinheiro acrescido após um período ou tempo
de aplicação.
 Montante (M) é o valor do capital acrescido de juros.
 Taxa (i) de juros é a porcentagem que irá incidir sobre o capital.
 Período (t) ou tempo que o dinheiro ficará aplicado.

32. Juros Simples
 É o cálculo do rendimento do capital por meio de uma taxa de juros
estabelecida num período de tempo considerado. Este regime era mais
utilizado nas situações de curto prazo, hoje os juros compostos são os mais
presentes.
 Os cálculos são baseados na utilização da fórmula extraída do conceito, não
se esqueça das letrinhas do slide anterior, certo?
j C i t  

33. Montante
 Montante é o valor acumulado após um determinado período, referente a uma
operação financeira, é também conhecido como Valor Futuro (VF);
 É justamente a soma do Capital (C) e dos Juros (J).
M C j  M C (1 i t)   

34. Juros Simples
j C i t   M C j  M C (1 i t)   
Quanto rendeu um capital de
R$4000,00 aplicado a juros simples,
com taxa de 2% ao mês ao final de
1 ano e meio?
Qual o montante que terei?
2j ?, C 4000, i 2% 0,02,
100
t 1 ano e meio 18 meses
j 4000 0,02 18 R$1440,00
    
 
   
M 4000 1440 R$ 5440,00  
Um capital de R$ 5000,00, aplicado a
juros simples com uma taxa de 1,5% ao
mês, resultou em um montante de R$
5750,00 após um período de aplicação.
Qual foi este período?
t ?, C 5000, M 5750,
1,5i 1,5% 0,015
100
M C (1 i t) 5750 5000 (1 0,015 t)
5750 5000 1 0,015 t 1,15 1 0,015 t
0,15 0,015 t t 10 meses
  
  
        
      
  

35. Juros Composto
 O capital aplicado, como já sabemos, é remunerado, a partir dos juros que
vão se acumulado, ao longo período considerado. Já trabalhamos com os juros
simples, no qual somente o principal rende juros. Vamos observar, agora, o
que muda:

36. Juros Composto
 Para facilitar as construções, vamos ilustrar a diferença entre o crescimento de um capital
através de juros simples e de juros compostos. Que tal? Lembre-se de que:
 M = C *(1 + i*n), assim na tabela simularemos cada período, ficando n=1, teremos: M = C*
(1 + i), ou seja, C + C*i.
 Suponha que R$1.000,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m, assim, teremos:
 CAPITAL (R$1000,00) JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTO
 MÊS MONTANTE SIMPLES MONTANTE COMPOSTO
 1 1000 + 0,1*1000 = 1.100,00 1000 + 0,1*1000 = 1.100,00
 2 1100 + 0,1*1000 = 1.200,00 1100+0,1*1100=1.210,00
 3 1200 + 0,1*1000 = 1.300,00 1210+0,1*1210=1.331.00

37. Juros Composto
 Podemos observar que nas letras em vermelho, que o
crescimento do capital, segundo juros simples, é
simplesmente linear, enquanto que o crescimento,
segundo juros compostos, é exponencial, o que implica
em ganhos maiores.
 Por esse motivo, as empresas e os indivíduos da sociedade
preferem investir seu capital em aplicações financeiras,
que praticam os juros compostos.

38. Exemplo:

39. Juros Composto
M C j ou j M C    t
M C (1 i)  
Quanto rendeu um capital de
R$4000,00 aplicado a juros
compostos, com taxa de 2% ao mês
ao final de 1 ano e meio?
t
18 18
2j ?, C 4000, i 2% 0.02,
100
t 1 ano e meio 18 meses
M C (1 i)
M 4000 (1 0,02) 4000 (1,02)
M 4000 1,428246 R$ 5712,98
j M C
j 5712,98 4000,00 R$ 1712,98
    
 
  
    
  
 
  
Um capital de R$ 5000,00, aplicado a
juros simples com uma taxa de 1,5% ao
mês, resultou em um montante de R$
5750,00 após um período de aplicação.
Qual foi este período?
     
       
t t
t t
t ?, C 5000, M 5750,
1,5i 1,5% 0,015
100
M C (1 i) 5750 5000 (1 0,015)
5750 5000 1,015 log 1,15 log 1,015
log 1,15 t log 1,015 t log 1,15 log 1,015
t 9,4 meses 9 meses e 12 dias
  
  
      
  
   
 

40. Professor Danilo Pires
slideshare.net/danilospires
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