1. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
Projeto
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I – PROGRESSÃO ARITMÉTICA : +Sn = an + (an - r)+(an - 2r)+ ... +(a1 + 2r)+(a1 + r)+ a1
2 Sn = (a1+an)+ (a1+an)+ …+(a1+an)+ (a1+an)+ (a1+an)
Uma P.A. é uma seqüência em que cada termo, a n vezes
partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r
dada.
Logo: 2 Sn = (a1+an) . n ⇒ S n =
(a1 + an ).n
2
Exemplos: Exercícios Resolvidos
F1 = (1, 3, 5, 7, 9, ...) em que a1 = 1 e r = 2 01) Vamos calcular o 20º termo da P.A. (26,31,36,41,...)
F2 = (0, -2, -4, -6, -8, ...) em que a1 = 0 e r = -2
F3 = (4, 4, 4, 4, 4, ...) em que a1 = 4 e r = 0 Sabemos que a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
1 3 5 7 9  1 Utilizando a expressão do termo geral, escrevemos:
F4=  , , , , ,... em que a1 = e r =1
 2 2 2 2 2  2 a20 = a1 + 19r ⇒ a20 = 26 + 19 . 5 ⇒ a20 = 121
 11 10 8  1
F5=  4, , ,3, ,... em que a1 = 4 e r = − 02) Vamos determinar a P.A. que possui as seguintes
 3 3 3  3
características: o 10º termo vale 16 e a soma do 5º com o 9º
termo é igual a 2.
Classificações:
De acordo com o enunciado, temos:
1) crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o
anterior. (r > 0)  a10 = 16  a1 + 9r = 16
 ⇔ ⇔
Exemplos: F1 e F4
 a 5 + a9 = 2 (a1 + 4r ) + (a1 + 8r ) = 2
2) constantes são as P.A. em que cada termo é igual ao  a + 9r = 16
⇔ 1
2a1 + 12r = 2
anterior. (r = 0)
Exemplo: F3
... r =5 e a1= -29 , assim a P.A. é (-29,-24,-19,...)
3) decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que
o anterior. (r < 0) 03) Vamos encontrar o primeiro termo negativo da P.A.
Exemplos: F2 e F5 (63,59,55,51,...).
Termo Geral Sabemos que a1 = 63 e r = - 4
Pelo termo geral teremos:
Dada uma P.A. an=63 + (n-1)(-4) ⇔ an =63 –4n +4 ⇔ an= 67 –4n
(a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an)
Sendo a1 o primeiro termo e an o último termo, Para descobrir o 1º termo negativo, façamos:
vemos que: 67
a2 = a1 + r an < 0 , isto é 67 – 4n < 0 ⇔ n> ⇔ n> 16,75
4
a3 = a2 + r >> a3 = a1 + 2r
Como n é natural concluímos que:
a4 = a3 + r >> a4 = a1 + 3r
...
a17 = 67 – 4 . 17 ⇔ a17 = -1
an = a1 + (n-1)r --- Termo geral da P.A.
2
04) Determinemos x de modo que a seqüência (x+5, 4x-1, x –
Soma dos Termos de uma P.A.
1) seja uma P.A.
Dada a P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an-2 ,an-1 ,an) de razão r,
podemos escreve-la na forma: ( x + 5) + ( x 2 − 1)
4x − 1 = ⇒ 8x – 2 = x2 + x + 4 ⇔
2
(a1 , a1 + r, a1 + 2r, ... , an –2r, an – r, an) ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x=1 ou x=6
Vamos calcular a soma dos n primeiros termos dessa P.A. , para x = 1 a PA é (6,3,0) e para x = 6 a PA é (11,23,35)
que indicaremos por Sn . Repetindo o raciocínio anterior,
temos:
Sn = a1 + (a1 + r)+(a1 + 2r)+ ... +(an –2r)+(an – r)+ an
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1

2. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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05) Vamos interpolar oito meios aritméticos entre 2 e 47. 05) (PUC-SP) Sendo f : ℝ →ℝ , definida por
“Interpolar” ou inserir oito meios aritméticos entre 2 e 47 f (x) = 2x + 3, então f (1) + f (2) + f (3) + ⋅ ⋅ ⋅ + f (25)
significa determinar oito números reais de modo que se tenha
uma P.A . em que a1 = 2 e a10 =47 e os oitos números sejam é igual a:
a2 , a3 , ... a9 :
(A) 725 (B) 753 (C) 653
2 _ _ _ _ _ _ _ _ 47
(D) 575 (E) 400
Daí a10 = a1 + 9r ⇒ 47 = 2 + 9r ⇒ 9r =45 ⇒ r =5
06) (UFRJ-00-PNE) Mister MM, o Mágico da Matemática,
Assim a PA é ( 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47). apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada
uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma,
excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética
01) (PUC-2011) Considere a progressão aritmética do número da anterior com o da posterior. Mister MM
(a1,a2,a3,...) com a1 + a5 = 9 e a2 + a3 = 8. Quanto vale a10? solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da
décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como
(A) 1 (B) 23/2 (C) 12 (D) 25/2 (E) 1024 resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da platéia,
Mister MM adivinhou então o valor da última ficha.
02) (UNIRIO) O fichário da clínica médica de um hospital
possui 10.000 clientes cadastrados, em fichas numeradas de Determine você também este valor.
1 a 10.000. Um médico pesquisador, desejoso de saber a
incidência de hipertensão arterial entre pessoas que 07) (UERJ-2002-1f-1º exame)
procuravam o setor, fez um levantamento, analisando as Leia com atenção a história em quadrinhos.
fichas que tinham números múltiplos de 15. Quantas fichas
NÃO foram analisadas ?
(A) 666 (B) 1500 (C) 1666
(D) 8334 (E) 9334
03) (UERJ-06-2ºex) Durante uma experiência em laboratório,
observou-se que uma bola de 1 kg de massa, deslocando-se
com uma velocidade , medida em km/h, possui uma Considere que o leão da história acima tenha repetido o
determinada energia cinética E, medida em joules. convite por várias semanas. Na primeira, convidou a Lana
para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes;
1+ 5
Se ( v , E, 1) é uma progressão aritmética e φ= o na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre
2 aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na
valor de v corresponde a: semana anterior.
Imediatamente após ter sido feito o último dos 492
φ convites, o número de semanas já decorridas desde o
(A) (B) φ (C) 2φ (D) 3φ primeiro convite era igual a:
2
mv 2 (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
Lembre que E=
2
08) (UFRJ -2001-PNE) Um grupo de 40 moradores de uma
04) (UFRJ-96-PE) Os ângulos internos de um quadrilátero cidade decidiu decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou
convexo estão em progressão aritmética de razão igual a 20°. combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que
os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias que
Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero. precedem o Natal da seguinte forma: o morador número 1
colocará 1 enfeite por dia a partir do 1º dia; o morador
número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir do 2º dia e
assim sucessivamente (o morador número n colocará n
enfeites por dia a partir do n-ésimo dia).
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3. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o 11) (UERJ-2005-2f)
morador número 13?
b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m
enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará mais
enfeites do que a Sra. X, determine m.
09) (UFRJ-98-PNE) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua
inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de
construção de castelo de cartas.
Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular A figura acima apresenta 25 retângulos. Observe que quatro
no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar desses retângulos contêm números e um deles, a letra n.
apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números
base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada
apresenta um castelo com três níveis. coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco
termos.
Calcule:
A) a soma dos elementos da quarta linha da figura;
B) o número que deve ser escrito no lugar de n.
12) (UNICAMP – 2003) Considere o conjunto
S = {n ∈ N: 20 ≤ n ≤ 500}.
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. A) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7?
Determine o número de cartas que ele vai utilizar. B) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a
probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?
10) (UFRJ-2004-PE) Felipe começa a escrever os números
naturais numa folha muito grande, uma linha após a outra, 13) (UFRJ-09-PNE) Uma parede triangular de tijolos foi
como mostrado a seguir: construída da seguinte forma. Na base foram dispostos 100
tijolos, na camada seguinte, 99 tijolos, e assim
sucessivamente até restar 1 tijolo na última camada, como
mostra a figura. Os tijolos da base foram numerados de
acordo com uma progressão aritmética, tendo o primeiro
tijolo recebido o número 10, e o último, o número 490. Cada
tijolo das camadas superiores recebeu um número igual à
média aritmética dos números dos dois tijolos que o
sustentam.
Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em
todas as linhas:
a) determine quantos números naturais ele escreverá na
50ª linha.
b) determine a soma de todos os números escritos na 50ª Determine a soma dos números escritos nos tijolos.
linha.
14) (UFRJ-2001-PNE) Os números a, b e c são tais que seus
c) prove que a soma dos elementos de uma linha é sempre o
logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão
quadrado de um número ímpar.
em progressão aritmética.
Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.
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4. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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II – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA : respectivamente, e todas as outras parcelas são comuns às
duas igualdades; então subtraindo, teremos:
** - * → qSn - Sn = a1q – a1 → Sn (q – 1) = a1q – a1
n n
Uma P.G. é uma seqüência em que cada termo, a
partir do segundo, é o produto do anterior com uma
constante q dada. Supondo q ≠ 1, resulta:
Exemplos:
F1 = (1, 2, 4, 8, 16, ...) em que a1 = 1 e q = 2
F2 = (-1, -2, -4, -8, -16, ...) em que a1 = -1 e q = 2 Sn =
a1q n − a1
⇒ Sn = 1
(
a q n −1 )
 1 1 1 1  1 q −1 q −1
F3 = 1, , , , ,... em que a1 = 1 e q =
 3 9 27 81  3
ou ainda temos
2 1
F4= (-54, -18, -6 , -2, − ,...) em que a1 = -54 e q =
3 3 an q − a1
F5= (7,7,7,7,7,...) em que a1 = 7 e q = 1 Sn =
q −1
F6= (5,-5,5,-5,5,...) em que a1 = 5 e q = -1
Demosntração:
F7= (3,0,0,0,0,...) em que a1 = 3 e q = 0
Termo Geral Sn =
a1q n − a1
= 1
( )
a q n −1 q − a1 a1q n − a1
=
q −1 q −1 q −1
Dada uma P.G.
(a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) Soma dos termos de uma P.G. infinita
Sendo a1 o primeiro termo e an o último termo,
vemos que: a1
a2 = a1 . q S=
2 1− q
a3 = a2 . q >> a3 = a1 . q
a4 = a3 . q >> a4 = a1 . q
3 Esta demonstração usa vários conceitos da definição de
... limites e séries, conceitos elementares de Análise na Reta,
n-1
an = a1 . q --- Termo geral da P.G uma parte da matemática a nível de graduação, por este
motivo o teorema não será demonstrado.
Produto dos n termos de uma P.G.
Exercícios Resolvidos
a1 = a1 1
01)Vamos determinar o 10º termo da PG. ( ,1,3,9,...)
a2 = a1 . q 3
2
a3 = a1 . q
3 1
a4 = a1 . q Sabemos que a1 = e q = 3 , assim :
... 3
n-1
x an = a1 . q 1 9
a10 = a1 . q ⇒ a10 = . 3 ⇒ a10 = 3 =6.561
9 8
2 3 n-1
Pn = (a1 . a1 . a1 . ... . a1) . ( q . q .q . ... . q )
3
n fatores
1
02) Numa PG, o 4º termo é 32 e o 1º termo é . Vamos
n ( n −1) 2
Pn = a1 . q1+ 2 + 3 + ...+ n −1
n
Pn = a1 . q
n 2
determinar a razão da PG e, em seguida, obter seu 8º termo.
1 3
Como a4 = a1 . q ⇒ 32= . q ⇒ q = 64 ⇒ q = 4
3 3
Soma dos Termos de uma P.G. finita
2
Dada uma P.G.
Usando novamente a expressão do termo geral,
(a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) podemos escrevê-la como
determinemos o 8º termo:
soma desses elementos da seguinte maneira:
1 7 214 13
a8 = a1 . q ⇒ a8 = . 4 ⇒ a8=
7
2 3 n-2 n-1 =2 = 8.192
Sn=a1 + a1 q + a1 q + a1 q + ... + a1 q + a1 q * 2 2
Multiplicando ambos os membros por q , obtemos:
2 3 n-1 n
q Sn= a1 q + a1 q + a1 q + ... + a1 q + a1 q ** 03) Vamos determinar x afim de que a seqüência
Comparando os segundos membros de * e ** , podemos  9x + 5 
n
observar que a parcela a1 e a1 q só aparecem em * e **  , x + 1, x − 2  seja uma PG.
 2 
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5. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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Utilizando a propriedade da média geométrica (três termos 2 6
a7 = a1 . q ⇒ 486 = .q ⇒ q = 729 ⇒ q = ±3
6 6
consecutivos), podemos escrever:
3
x +1 x−2  9x + 5 
= ⇒ ( x + 1) = ( x − 2). ⇒
2
2
9x + 5 x + 1  2  Para q = 3 a PG. é ( ,2,6,18,54,162,486)
3
2 2
Para q = -3 a PG é ( ,-2,6,-18,54,-162,486)
⇒ 7 x 2 − 17 x − 12 = 0 3
4
As raízes dessa equação são 3 e − .
7
Para x = 3 a PG é (16,4,1) e 06) Vamos calcular o valor da soma dos dez primeiros termos
4  1 3 18  da PG. (80,40,20,...).
Para x = − , a PG é  − , ,−  1
7  14 7 7  Sabemos que a1 = 80 e q = :
2
04) Vamos construir a PG em que a soma do 3º com o 5º  1 10 
5 80.  − 1
termo é e a soma do 7º com o 9º termo é 20. a1 .(q 10 − 1)  2 
 
=
4 S10 = =
q −1 1
Do enunciado −1
vem: 2
 5  5  1   1023 
 a 3 + a5 =  a1 q 2 + a1 q 4 = 80. − 1 80. − 
 4 ⇒ 4 ⇒
=  1.024  =  1024  = 5115
a 7 + a 9 = 20 a1q 6 + a1 q 8 = 20
  1 1 32
− −
 5 2 2
 a1 q 2 (1 + q 2 ) = (I )
 4 Dividindo − se : I por II
a1 q (1 + q ) = 20 ( II )
6 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

15) (UFF-97) - Sendo x um número real não nulo, a soma do
3º termo da Progressão Aritmética (x,2x,...) com o 3º termo
5 da Progressão Geométrica (x,2x,...) é igual a:
a1 q (1 + q ) 4
2 2
1
= ⇒ 4 = 16 ⇒ q = ±2 (A) 4x (B) 5x (C) 6x (D) 7x (E) 8x
a1 q (1 + q ) 20
6 2
q
Para q = 2 , substituindo em (I), vem: 16) (UERJ-2005) Um veículo com velocidade constante de V
km/h percorre S km em um intervalo de tempo de T horas,
5 1 1 1 1 sendo T diferente de 1. Considere que T, V e S estejam em
2 2
a1 . 2 . (1 + 2 ) = ⇒ a1 = e a PG ( , , ,...) progressão geométrica, nessa ordem.
4 16 16 8 4 A alternativa que indica a relação entre o espaço
percorrido S e a velocidade V é:
Para q = -2, substituindo em (I), vem:
5 1 (A) S =V3 (B) S =V2
2 2
a1(-2) . [1 + (-2) ]= ⇒ a1= e a PG:
4 16 (C) S =V (D) 3 S = V
1 1 1 1
( ,− , ,− ...) 17) (PUC-RJ) A soma:
16 8 4 2
05) Vamos interpolar cinco meios geométricos entre
2
e 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2999 + 21000 é igual a:
3
−1 −1
1001 1002
486. (A) 2 (B) 2
Devemos formar uma PG, de sete termos na qual :
−1
1001 1000
2 (C) 2 (D) 2
a1 = e a7 = 486. Temos:
3 (E) 2
1001
+1
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6. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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18)(UFF) Os retângulos R1, R2 e R3, representados na figura, O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa seqüência
são congruentes e estão divididos em regiões de mesma é:
área. 44 44 45
(A) 4 (B) 5 (C) 4
3 3 3
35 34
(D) 5 (E) 4
4 4
Ao se calcular o quociente entre a área da região
22) Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200 m . Ao
pintada e a área total de cada um dos retângulos R1, R2 e R3,
atingir o solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de
verifica-se que os valores obtidos formam uma progressão
100 m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma
geométrica ( P.G. ) decrescente de três termos.
altura de 50 m, e assim por diante até perder energia e cessar
o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo ?
A razão dessa P.G. é:
1 1 1
(A) (B) (C)
8 4 2 200m
100m
(D) 2 (E) 4 ... 25m
19) (UFRJ-97-PNE) Uma progressão geométrica de 8 termos (Dica: PG infinita)
tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do
produto de seus termos vale 36. (A) 0 (B) 1.000 m (C) 375 m
(D) 600 m (E) 500 m
Ache a razão da progressão.
23) (UFRJ-97-PNE) Uma progressão geométrica de 8 termos
20) (FGV) Na equação: tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do
produto de seus termos vale 36.
Ache a razão da progressão.
O 1º membro é a soma dos termos de uma PG infinita.
Qual a soma das raízes dessa equação?
24) Uma determinada figura espacial é construída da
seguinte maneira:
21) (UFF-2002-1F) Certas imagens captadas por satélites
− Pega-se um determinado cubo de aresta 3cm;
espaciais, quando digitalizadas, são representadas por formas
geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, − Depois são colocados 6 cubos menores de aresta
conhecidas por fractais. Podem-se obter tais fractais pela 1cm (um terço da aresta do cubo maior), um em cada face do
alteração da forma original de uma curva por meio de um primeiro cubo, conforme mostra a figura;
processo em que os resultados de uma etapa são utilizados − E a partir daí, em cada passo, são sempre acrescidos
como ponto de partida para a etapa seguinte. cubos menores ainda (de aresta igual a um terço da aresta
Considere o processo tal que, em todas as etapas, cada dos cubos que foram inseridos anteriormente) em cada face
segmento de reta é transformado em uma poligonal cujo exposta dos cubos que foram colocados no passo anterior.
comprimento é quatro vezes a terça parte do segmento
original, como ilustrado na figura a seguir:
Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de
lado, obtém-se a seqüência de
figuras: Desse modo, o volume total do sólido obtido
executando esse processo infinitamente, é:
3 3 729 3
(A) 36cm (B) 54cm (C) cm
22
378 3
(D) cm (E) impossível de ser quantificado
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7. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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25) (UFF-10-1ªF) Com o objetivo de criticar os processos Um corte transversal nesse molusco permite visualizar,
infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua geometricamente, uma seqüência de
época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses
paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais semicírculos.
famosos do mundo matemático.
( )
Fonte: http://culturaclassica.blogspot.com/2008/05/aquiles-ainda-corre-os-
paradoxos-de.html Admita que as medidas dos raios AB, BC , CD, DE , EF , FG,...
formem uma progressão tal que:
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor  AB BC CD DE EF 
 
argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:  BC = CD = DE = EF = FG = ... 
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga,  
símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido
que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles Assim, considerando AB = 2 , a soma:
corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a:
esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre
esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles (A) 2 + 3 (B) 2 + 5 (C) 3 + 3 (D) 3 + 5
corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles
corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e o
27) (AFA-03) Considere uma P.G. onde o 1 termo é a, a > 1, a
assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para razão é q, q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se
sempre, sem alcançá-la. loga b = 4, logq b = 2 e logc b = 0,01, então a soma
dos termos da P.G. é
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por
Aquiles nessa fábula é igual a a 41 − a a 40 − a a 41 − 1 a 40 − 1
(A) (B) (C) (D)
n a2 −1 a2 −1 a2 − 1 a2 −1
∞
1 1 1
d = 10 + 1 + + 2 + ... = 10 + ∑   .
10 10 n =0  10 
28) (UFRJ-2001-PE) Seja x0 , x1 , ... , xn , ... uma seqüência
É correto afirmar que: infinita de números reais. Sabendo que x0 =10 e que os
logaritmos decimais:
91
(A) d = +∞ (B) d = 11,11 (C) d= a0 = log x0 ; a1 = log x1 ; ... ; a n = log xn
9
10 formam uma PG de razão 1/2, calcule o valor limite do
(D) d = 12 (E) d= produto : Pn = x0 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xn quando n tende a infinito.
9
26) (UERJ-07-01ºEX.QUAL) A figura a seguir mostra um 29) (UFF – 2005 – 2ª fase) A soma dos n primeiros termos da
molusco Triton tritonis sobre uma estrela do mar. n2
seqüência de números reais a1, a2, ..., an, ...é para todo
3
inteiro positivo n.
a) Verifique se a seqüência é uma progressão geométrica ou
uma progressão aritmética ou nenhuma das duas. Justifique
sua resposta.
b) Calcule o milésimo termo da seqüência.
(www.wikimedia.org)
2011
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8. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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30) A figura a seguir representa o gráfico da função:
y = 2X , x ≤ 0 , e os primeiros elementos de uma seqüência
infinita de retângulos. A soma das áreas de todos os
retângulos dessa seqüência infinita é:
(A) 0,5ua (B) 1ua (C) 1,5ua
(D) 2ua (E) maior do que 2ua.
31) (UFRJ-2003) A região fractal F, construída a partir de um
quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade de 33) (IME-2003) Dada uma circunferência de raio R, inscreve-
quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada se nela um quadrado. A seguir, inscreve-se uma
nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado (l) circunferência neste quadrado. Este processo se repete
acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada indefinidamente para o interior da figura de maneira que
um destes, três novos quadrados de lado l / 3. As três cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência
primeiras etapas de construção de F são apresentadas a e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em função
seguir. de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos
quadrados e pelas circunferências que os circunscrevem,
conforme mostra a figura.
Calcule a área de F.
32) (UFRJ – 2004)
2011
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9. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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GABARITO: QUESTÃO 10)
01) B 02) E 03) B 04) 120º 05) A a) 99
A primeira linha contém um número, a segunda 3, a terceira
06) x50 = 1 07) B 08) a) 364 b) 420
5, e assim por diante. Se q(n) é a quantidade de números na
n-ésima linha, temos q(n) = 2n – 1. Portanto, q(50) = 99.
09) 2420 10) a) 99 b) 9801 c) dem
a
b) S = 9 801. Como o último número escrito na 50 linha é
11) a) 375 b) 15 12) a) 23 b ) 206/481
50 + 98 = 148,
13) 1 262 500 14) 1 000 000 15) D 16) D
temos que S = 50 + 51 + ..... + 148 = 9 801.
17) A 18) C 19) Q=10 20) {1,-1}
21) D 22) D 23) 24) D
25) E 26) D 27) A 28) 100
29) 30) 31) 3/2 32) a
Questão 11)
33) a) S = (a 1 + a 5 )× 5 = (75) × 5 = 375
5
2
Resolução de algumas questões: b)
Questão 6) n
65
2x y 130
x z 75
0
 65 − x
Na 3ª linha 130 = 2x + 4r ⇒ r = 2

⇒
 y = 2x + 65 − x = 65 + 3x

 2 2
Questão 8)
Na 4ª linha x + 75
⇒z=
2
Na 2ª coluna ⇒ 2y = 65 + z
x + 75
65 + 3x = 65 +
2
x = 15
Questão 12)
Os múltiplos de 3 e 7 são os múltiplos de 21.
Temos a PA: (21, 42, …, 483)
Questão 9) an = a1 + (n - 1)r ∴ 483 = 21 + (n - 1) · 21 ∴ n = 23
Nível 1 à 1 triângulo (3 cartas)
Nível 2 à 2 triângulos (3 cartas) A) O número de elementos do espaço amostral é:
.................................................... 500 – 19 = 481
nível 39 à 39 triângulos (3 cartas)
O número de elementos do evento A (múltiplos 3 ou de
nível 40 à 40 triângulos (2 cartas)
7) é obtido somando-se o número de múltiplos de 3 com
Total de Cartas = 3 x (1+2+...+39) + 2 x 40 = 3 x (40 x 39)/2 + o número de múltiplos de 7 e descontando-se o número
80 = 2420 de múltiplos de 21 (múltiplos de 3 e 7):
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10. MÓDULO II – PARTE 11 MATEMÁTICA
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PA (21, 24, ..., 498) Questão 33)
m(3) 
498 = 21 + (n - 1) ⋅ 3 ∴ n = 160
PA (21, 28, ... , 497)
m(7) 
497 = 21 + (n - 1) ⋅ 7 ∴ n = 69
m(21) {n = 23
Assim:
n(A) = 160 + 69 – 23 = 206
A probabilidade é:
206
P(A) =
481
Questão 13)
Questão 14)
Questão 31)
Questão 32)
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