1. Circunferência e círculo
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Revisão............................................................................................................................ 1
Circunferência e Círculo .......................................................................................... 1
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo ....................................... 2
Raio, corda e diâmetro.............................................................................................. 2
Posições relativas de uma reta e uma circunferência ............................................... 3
Relações métricas na circunferência............................................................................... 3
Relação entre as cordas ............................................................................................ 4
Relação entre secantes.............................................................................................. 4
Relação entre secante e tangente .............................................................................. 4
Polígonos regulares inscritos na circunferência.............................................................. 7
Elementos de um polígono regular inscrito.............................................................. 8
Propriedades ............................................................................................................. 9
Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência ................................... 12
Quadrado inscrito na circunferência ...................................................................... 12
Hexágono regular inscrito na circunferência ......................................................... 14
Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência ..................................................... 15
Comprimento da circunferência.................................................................................... 18
Referências bibliográficas............................................................................................. 21

2. 1
Circunferência e círculo
Revisão
Circunferência e Círculo
Circunferência Círculo
A circunferência é o lugar geométrico É o conjunto de todos os pontos de
de todos os pontos de um plano que um plano cuja distância a um ponto
estão localizados a uma mesma fixo O é menor ou igual que uma
distância r de um ponto fixo distância r dada. Quando a distância é
denominado o centro da nula, o círculo se reduz a um ponto. O
circunferência. Esta talvez seja a círculo é a reunião da circunferência
curva mais importante no contexto com o conjunto de pontos localizados
das aplicações. dentro da mesma. Na figura abaixo, a
circunferência é a linha de cor preta
que envolve a região cinza, enquanto
o círculo é toda a região pintada de
cinza reunida com a circunferência.

3. 2
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores Pontos exteriores
Os pontos interiores de um círculo são Os pontos exteriores a um círculo são
os pontos do círculo que não estão na os pontos localizados fora do círculo.
circunferência.
Raio, corda e diâmetro
Raio Corda Diâmetro
Raio de uma Corda de uma Diâmetro de uma
circunferência (ou de um circunferência é um circunferência (ou de um
círculo) é um segmento segmento de reta cujas círculo) é uma corda que
de reta com uma extremidades pertencem passa pelo centro da
extremidade no centro à circunferência. Na circunferência.
da circunferência e a figura, os segmentos de Observamos que o
outra extremidade num reta AC e DE são diâmetro é a maior corda
ponto qualquer da cordas. da circunferência. Na
circunferência. Na figura, o segmento de
figura, os segmentos de reta AC é um diâmetro.
reta OA, OB e OC são
raios.

4. 3
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante Reta tangente
Uma reta é secante a uma Uma reta tangente a uma
circunferência se essa reta intercepta a circunferência é uma reta que
circunferência em dois pontos intercepta a circunferência em um
quaisquer, podemos dizer também que único ponto P. Este ponto é conhecido
é a reta que contém uma corda. como ponto de tangência ou ponto de
contato. Na figura ao lado, o ponto P
é o ponto de tangência e a reta que
passa pelos pontos E e F é uma reta
tangente à circunferência.
Relações métricas na circunferência
A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos.
Vejamos essas relações.

5. 4
Relação entre as cordas
Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o
produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das
medidas das duas partes da outra corda.
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
Relação entre secantes
Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o
produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é
constante.
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
Relação entre secante e tangente
O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do
segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa.
PC 2 = PA ⋅ PB

6. 5
Exemplos:
a) Na circunferência abaixo, determine a medida x do segmento PD , sabendo
que PA = 7 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm.
Através da relação entre secante e tangente,
temos:
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
De acordo com os dados do problema,
podemos escrever:
7⋅4 = 2⋅ x
2 x = 28
28
x=
2
x = 14
Logo, a medida do segmento PD é 14 cm.
b) Calcular o comprimento r do raio da circunferência abaixo, sendo dados
PA = 20 cm e PC = 10 cm.
Através da relação das cordas, temos:
PA 2 = PB ⋅ PC
De acordo com os dados do problema,
podemos escrever:
20 2 = (10 + 2 r ) ⋅ 10
400 = 100 + 20 r
20 r = 400 − 100
20 r = 300
300
r=
20
r = 15
Logo, o comprimento do raio é 15 cm.

7. 6
EXERCÍCIOS A
(1) Determine a medida x indicada nas figuras abaixo:
a) c)
b) d)
(2) Na figura abaixo, determine as medidas x e y indicadas.

8. 7
(3) De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento
de tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine o
comprimento do raio dessa circunferência.
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre
si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de
lados.
Nomenclatura

9. 8
Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que:
• o polígono está inscrito na circunferência;
• a circunferência está circunscrita ao polígono
Elementos de um polígono regular inscrito
Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).
Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele ( OC ).
Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto
médio de um de seus lados ( OM ).
Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são
semi-retas que contêm dois raios consecutivos.
360º
A medida do ângulo central é dada por: a c = (n = número de lados).
n
Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono.
(n - 2) ⋅ 180º
A medida do ângulo interno é dada por: a i = (n = número de
n
lados).
Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um polígono
regular de n lados é dada por: Si = (n − 2) ⋅ 180º (n = número de lados).

10. 9
Propriedades
1ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios.
2ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.
Exemplos:
a) Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um
pentágono regular inscrito.
Indicando por a c a medida do ângulo Indicando por a i a medida do ângulo
central, temos: interno, temos:
360º (n - 2) ⋅ 180º
ac = ai =
n n
360º (5 - 2) ⋅ 180º
ac = ai =
5 5
a c = 72º 3 ⋅ 180º
ai =
5
540º
ai =
5
a i = 108º
Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.

11. 10
b) Dois hexágonos regulares estão incritos em circunferências de raios 14 cm e
21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar
o perímetro do outro hexágono.
Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos:
14 84
=
21 x
14 x = 1764
1764
x=
14
x = 126
Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.
EXERCÍCIOS B
(1) Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada
um dos seguintes polígonos regulares inscritos:
a) triângulo eqüilátero
b) quadrado
c) hexágono regular
d) octógono regular

12. 11
(2) O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio
mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de
lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de
perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência?
(3) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados
medem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo se
o apótema do primeiro mede 4 3 cm?
(4) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados
são, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o apótema
do primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e
3,5 cm?

13. 12
Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência
Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do
apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o
polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas
medidas.
Quadrado inscrito na circunferência

14. 13
Exemplo:
► Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas
condições, determine:
a) a medida do lado do quadrado:
l=r 2
l = 24 2 cm
b) a medida do apótema do quadrado:
r 2
a=
2
24 2
a=
2
a = 12 2 cm
c) o perímetro (P) do quadrado:
P = 4l
P = 4 ⋅ 24 2
P = 96 2 cm
d) a área (S) do quadrado:
S = l2
S = (24 2 ) 2
S = 1152 cm 2

15. 14
Hexágono regular inscrito na circunferência
Exemplo:
► Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de raio 30 cm.
a) a medida do lado do quadrado:
l=r
l = 30 cm
b) a medida do apótema:
r 3
a=
2
30 2
a=
2
a = 15 2 cm

16. 15
Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência
Exemplo:
► Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60 3 cm.
Determine:
a) a medida do lado do triângulo:
l=r 3
l = 60 3 ⋅ 3
l = 180 cm
b) a medida do apótema do triângulo:
r
a=
2
60 3
a=
2
a = 30 3 cm

17. 16
EXERCÍCIOS C
(1) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a
medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares
inscritos nessa circunferência:
a) quadrado
b) hexágono regular
c) triângulo eqüilátero
(2) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência.
Determine o comprimento r do raio dessa circunferência.

18. 17
(3) Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero incrito em uma
circunferência de raio r mede 15 cm, determine:
a) o comprimento do raio
b) a medida do lado do triângulo, fazendo 3 = 1,73
(4) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede
15 3 cm .
a) Qual é a medida do raio dessa circunferência?
b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa
circunferência?

19. 18
Comprimento da circunferência
Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu
perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo
comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é
contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades
de uma linha aberta.
O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte
forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas
pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C)
de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma
mesma constante.
C
Assim: ≅ 3,14
D
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi").
Costuma-se considerar π = 3,14.
Logo:
C
=π
D
C = D⋅π
C = 2r π
C = 2πr
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer
circunferência.

20. 19
Exemplos:
a) Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.
C = 2πr
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9
C = 56,52 cm
Logo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm.
b) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de
comprimento?
C = 2πr
18,84 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r
18,84 = 6,28 r
18,84
r=
6,28
r = 3 cm
Logo, o raio da circunferência é de 3 cm.
c) Qual é o comprimento x de um arco de 60º numa circunferência que tem 21
cm de raio?
Sabemos que a medida completa da circunferência, 360º 2 π r
=
em graus, é 360. Portanto, para resolver esse 60º x
problema vamos usar uma regra de três simples e 6 2 ⋅ 3,14 ⋅ 21
direta: =
1 x
360º 2πr 6 x = 131,88
131,88
60º x x=
6
x = 21,98 cm
Logo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.

21. 20
EXERCÍCIOS D
Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.
(1) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos
centímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla?
(2) No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deu
cada roda?
(3) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância da
casa de Carla fica o clube?

22. 21
Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
MATEMATICA ESSENCIAL. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br>.
Acesso em: 15 de outubro de 2008.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São
Paulo: Saraiva, 1997.
MUNDO EDUCAÇÃO. Disponível em: < http://www.mundoeducacao.com.br>.
Acesso em: 16 de outubro de 2008.
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>.
Acesso em: 16 de outubro de 2008.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA. Disponível em:
<http://www.moodle.ufba.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008.