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A UA U L A
     L A


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 65
              Eliminando
              denominadores

 Introdução                                 N    as equações que estudamos até agora, os
              coeficientes eram sempre números inteiros.
                  Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coefi-
              cientes fracionários.

                 Por exemplo:                x       x       1
                                                 +       -       = 50
                                             2       5       4
                  Antes de resolvermos esse tipo de equação, devemos igualar todos os
              denominadores e, em seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos a
              equação inicial em um equivalente a ela, sem denominadores. A equação com
              coeficientes inteiros já sabemos resolver.


 Nossa aula      Veja, a seguir, algumas situações que deverão ser resolvidas a partir de
              equações com coeficientes fracionários:


                 EXEMPLO 1

                  Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento do
              aluguel de R$ 110,00. Qual é o salário dessa pessoa?
                  Escrevendo a equação do problema enunciado, temos:
                                                 1
                                                   · x = 110
                                                 3
                                            1
                  O coeficiente do termo x é e o termo independente (110) é um número
              inteiro.                      3

                 Então, devemos escrever o número inteiro em forma de fração, com denomi-
              nador igual a 1:
                            x 110
                              =
                            3   1
                                                     Igualando os denominadores.
                            x       330
                                =
                            3        3
Numa equação, podemos multiplicar os dois membros                                 A U L A
             por um mesmo número, diferente de zero.


              3·
                   x
                       = 3·
                                330
                                                                                           65
                   3             3                    Multiplicar os dois membros por 3,
              x = 330                                 para cancelar os denominadores.

   Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00.

   Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada multiplicação
em cruz:      x 110
                =           ®      x = 3 . 110
              3     1              x = 330


   EXEMPLO 2

    Uma pessoa quer construir uma casa que ocupará 4 de seu terreno, sen-
                                                                        1

do que 3 será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área
       1
         2
de 375 m , responda: qual a área total do terreno?

   Área total do terreno: x
                                      x
   Área ocupada pela casa:
                                      4

                                             x
   Área reservada para jardim:
                                             3

                                     x       x
   Equação do problema:                  +       + 375 = x
                                     4       3

   Igualando os denominadores:

              3x       4x          .
                                375· 12              12x
                   +        +                    =
              12 12          12       12
              3x + 4x + 4500 12x
                               =
                      12         12
              7x + 4500 12x
                           =
                   12        12
                    7x + 4500
              12 .
                 ·                 . 12x
                              = 12 ·
                        12            12
              7x + 4500 = 12x
              4500 = 12x - 7x
              4500 = 5x
                   4500
              x=
                    5
              x = 900
A U L A      De acordo com a verificação da solução, substituindo x por 900 na equação,

    65
              temos:
                            900        900
                                   +         + 375 = 900
                              4         3
                            225 + 300 + 375 = 900

                            900 = 900                ®      igualdade verdadeira.
                                                                       2
                  Logo, a área total do terreno é de 900 m .


                  EXEMPLO 3

                 Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça parte de sua idade será a
              metade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa?

                  Equacionando o problema:
                                                                                 x
                  Idade atual: x                                     A metade:
                                                                                 2
                                                                                      x + 18
                  Idade daqui a 18 anos: x + 18                      A terça-parte:
                                                                                        3
                                                 x + 18       x
                  Equação do problema:                    =
                                                     3        2
                  Igualando os denominadores:

                             2(x + 18)           2α + 18 φ
                                                3x (x + )
                                                    x         3x
                                            =        ® 6·
                                                     _    =6·
                                6        6            6        6
                            2(x + 18) = 3x ®
                                           _ 2x + 36 = 3x

8                           36 = 3x - 2x
                            36 = x



                  Verificando a resolução:

                    Idade atual: 36 anos                             ® A metade: 18 anos.
                     Daqui a 18 anos: 54 anos                        ® A terça-parte: 18 anos.

                  Desse modo, sabemos que a idade atual da pessoa é 36 anos.


                  EXEMPLO 4

                 Determine as medidas de um retângulo cujo perímetro é 24 m, sabendo
                                         1
              que o lado menor é igual a 3 do lado maior.
                                                                     Lado maior: x
                                                                                 x
                                                                     Lado menor:
                                                                                 3                x
                                                                     Perímetro do retângulo: 2(x + )
                                                                                                  3
Equação do problema:                                                       A U L A


                                                                              65
                  x
            2(x + ) = 24
                  3
                 2x        2x 2x 24
            2x +    = 24 ®     +     +
                  3        1
                             3
                                 3
                                   1
                                       1
                                         3

                  6x        2x       24· 3       6x       2x       72
                        +        =           _
                                             ®        +        +
                   3    3             3  3   3                     3
                  6x + 2x   72       8x 72
                          =      _
                                 ®      =
                     3        3       3    3
                     8x        72
                  3·     = 3·
                      3         3
                                  72
                  8x = 72 ® x =
                          _
                                   8
                  x=9

   O lado maior do retângulo mede 9m.
                                     9
   O lado menor mede                   = 3m
                                     3

Exercício 1                                                                   Exercícios
   Resolva as equações:
        x+3       x - 10
   a)         +             =4
         2          3

        2x + 5
   b)            - 3x - 10 = 0
          3
Exercício 2                                                          1
                                                       2
   Uma construtora vai aproveitar um terreno de 1.275 m , reservando
   dessa área para estacionamento.                                   3
   Determine:

   a) A área ocupada pela construção.
   b) A área reservada para o estacionamento.

Exercício 3
                                             1                        1
   Ao receber seu salário, André gastou 3 com despesas médicas, 2 com
                       1
   com-pras diversas e 4 com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André
   se, após pagar todas essas contas, ele ficou devendo R$ 40,00?

Exercício 4
   Descubra os números do seguinte circuito:

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  • 1. A UA U L A L A 65 65 Eliminando denominadores Introdução N as equações que estudamos até agora, os coeficientes eram sempre números inteiros. Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coefi- cientes fracionários. Por exemplo: x x 1 + - = 50 2 5 4 Antes de resolvermos esse tipo de equação, devemos igualar todos os denominadores e, em seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos a equação inicial em um equivalente a ela, sem denominadores. A equação com coeficientes inteiros já sabemos resolver. Nossa aula Veja, a seguir, algumas situações que deverão ser resolvidas a partir de equações com coeficientes fracionários: EXEMPLO 1 Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento do aluguel de R$ 110,00. Qual é o salário dessa pessoa? Escrevendo a equação do problema enunciado, temos: 1 · x = 110 3 1 O coeficiente do termo x é e o termo independente (110) é um número inteiro. 3 Então, devemos escrever o número inteiro em forma de fração, com denomi- nador igual a 1: x 110 = 3 1 Igualando os denominadores. x 330 = 3 3
  • 2. Numa equação, podemos multiplicar os dois membros A U L A por um mesmo número, diferente de zero. 3· x = 3· 330 65 3 3 Multiplicar os dois membros por 3, x = 330 para cancelar os denominadores. Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00. Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada multiplicação em cruz: x 110 = ® x = 3 . 110 3 1 x = 330 EXEMPLO 2 Uma pessoa quer construir uma casa que ocupará 4 de seu terreno, sen- 1 do que 3 será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área 1 2 de 375 m , responda: qual a área total do terreno? Área total do terreno: x x Área ocupada pela casa: 4 x Área reservada para jardim: 3 x x Equação do problema: + + 375 = x 4 3 Igualando os denominadores: 3x 4x . 375· 12 12x + + = 12 12 12 12 3x + 4x + 4500 12x = 12 12 7x + 4500 12x = 12 12 7x + 4500 12 . · . 12x = 12 · 12 12 7x + 4500 = 12x 4500 = 12x - 7x 4500 = 5x 4500 x= 5 x = 900
  • 3. A U L A De acordo com a verificação da solução, substituindo x por 900 na equação, 65 temos: 900 900 + + 375 = 900 4 3 225 + 300 + 375 = 900 900 = 900 ® igualdade verdadeira. 2 Logo, a área total do terreno é de 900 m . EXEMPLO 3 Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça parte de sua idade será a metade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa? Equacionando o problema: x Idade atual: x A metade: 2 x + 18 Idade daqui a 18 anos: x + 18 A terça-parte: 3 x + 18 x Equação do problema: = 3 2 Igualando os denominadores: 2(x + 18) 2α + 18 φ 3x (x + ) x 3x = ® 6· _ =6· 6 6 6 6 2(x + 18) = 3x ® _ 2x + 36 = 3x 8 36 = 3x - 2x 36 = x Verificando a resolução: Idade atual: 36 anos ® A metade: 18 anos. Daqui a 18 anos: 54 anos ® A terça-parte: 18 anos. Desse modo, sabemos que a idade atual da pessoa é 36 anos. EXEMPLO 4 Determine as medidas de um retângulo cujo perímetro é 24 m, sabendo 1 que o lado menor é igual a 3 do lado maior. Lado maior: x x Lado menor: 3 x Perímetro do retângulo: 2(x + ) 3
  • 4. Equação do problema: A U L A 65 x 2(x + ) = 24 3 2x 2x 2x 24 2x + = 24 ® + + 3 1 3 3 1 1 3 6x 2x 24· 3 6x 2x 72 + = _ ® + + 3 3 3 3 3 3 6x + 2x 72 8x 72 = _ ® = 3 3 3 3 8x 72 3· = 3· 3 3 72 8x = 72 ® x = _ 8 x=9 O lado maior do retângulo mede 9m. 9 O lado menor mede = 3m 3 Exercício 1 Exercícios Resolva as equações: x+3 x - 10 a) + =4 2 3 2x + 5 b) - 3x - 10 = 0 3 Exercício 2 1 2 Uma construtora vai aproveitar um terreno de 1.275 m , reservando dessa área para estacionamento. 3 Determine: a) A área ocupada pela construção. b) A área reservada para o estacionamento. Exercício 3 1 1 Ao receber seu salário, André gastou 3 com despesas médicas, 2 com 1 com-pras diversas e 4 com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André se, após pagar todas essas contas, ele ficou devendo R$ 40,00? Exercício 4 Descubra os números do seguinte circuito: