polígrafo

1. ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
(ALGEBRICAMENTE)
Estudo completo da função:
1. Domı́nio e imagem
2. Pontos de interseção com os eixos coordenados
3. Intervalos onde a função tem sinal positivo e negativo
4. Simetrias (paridade e periodicidade)
5. Limitação e extremos
6. Intervalos de monotonia
7. Intervalos em que a função é contı́nua (pontos de descontinuidade, in-
dicando o seu tipo)
8. Comportamento da função nos extremos do eixo x
9. Assı́ntotas verticais e horizontais
10. Esboço do gráfico.
1. f(x) = x3
− 3x + 2
O domı́nio é o maior conjunto de números para o qual a função faz sentido.
Como não há nenhuma restrição para qualquer número real ser aplicado na
expressão da função, dom(f) = R.
Os valores da função variam sem sofrer pulos e não se observa tendência a
infinito em nenhum ponto do domı́nio, então podemos concluir que a função é
contı́nua em todo o conjunto R e não possui assı́ntotas verticais. Justificativa
completa e formal será dada apenas na disciplina de Cálculo I.
1

2. Determinação das raı́zes de f(x) por tentativa e erro:
f(−1) = (−1)3
− 3(−1) + 2 = 4
f(1) = 13
− 3.1 + 2 = 0
Dividindo o polinômio por x − 1:
x3
− 3x + 2 ÷ x − 1
−x3
+ x2
x2
0 + x2
− 3x
−x2
+ x x
0 − 2x + 2
2x − 2 −2
0
(x3
− 3x + 2) ÷ (x − 1) = x2
+ x − 2
∆ = 9 x0
= 1 x00
= −2
f(0) = 03
− 3.0 + 2 = 2
Logo, os pontos de interseção da curva do gráfico da função com os eixos
coordenados são (−2, 0), (1, 0) e (0, 2).
Determinação dos intervalos positivos e negativos:
Sabemos que f(x) = (x − 1)2
(x + 2), então:
• Intervalo (−∞, −2)
(x − 1)2
> 0 e x + 2 < 0, portanto f(x) < 0.
• Intervalo (−2, 1)
(x − 1)2
> 0 e x + 2 > 0, portanto f(x) > 0.
• Intervalo (1, +∞)
(x − 1)2
> 0 e x + 2 > 0, portanto f(x) > 0.
2

3. Consideremos
f(x2) − f(x1) = x3
2 − 3x2 + 2 − (x3
1 − 3x1 + 2) = x3
2 − x3
1 − 3x2 + 3x1 =
(x2 − x1)(x2
2 + x2x1 + x2
1) − 3(x2 − x1) = (x2 − x1)(x2
2 + x2x1 + x2
1 − 3)
• Intervalo (−∞, −2), x1 < x2 < −2
x2 −x1 > 0, x2
2 > 4, x2
1 > 4 e x2x1 > 4. Isso implica x2
2 +x2x1 +x2
1 −3 >
0. Portanto, f(x2) − f(x1) > 0 e o intervalo é de crescimento strito.
• Intervalo (−2, −1), −2 < x1 < x2 < −1
x2 −x1 > 0 e como x2
2 > 1, x2
1 > 1 e x2x1 > 1, então x2
2 +x2x1 +x2
1 −3 >
0. Portanto, f(x2) − f(x1) > 0 e o intervalo é de crescimento estrito.
• Intervalo (−1, 0), −1 < x1 < x2 < 0
x2 − x1 > 0 e como 0 < x2
2 < 1, 0 < x2
1 < 1 e 0 < x2x1 < 1, então
x2
2 + x2x1 + x2
1 − 3 < 0. Portanto, f(x2) − f(x1) < 0 e o intervalo é de
decrescimento estrito.
• Intervalo (0, 1), 0 < x1 < x2 < 1
x2 − x1 > 0 e como 0 < x2
2 < 1, 0 < x2
1 < 1 e 0 < x2x1 < 1, então
x2
2 + x2x1 + x2
1 − 3 < 0. Portanto, f(x2) − f(x1) < 0 e o intervalo é de
decrescimento estrito.
• Intervalo (1, +∞), 1 < x1 < x2
x2 −x1 > 0 e como x2
2 > 1, x2
1 > 1 e x2x1 > 1, então x2
2 +x2x1 +x2
1 −3 >
0. Portanto, f(x2) − f(x1) > 0 e o intervalo é de crescimento estrito.
f(−x) = (−x)3
− 3(−x) + 2 = −x3
+ 3x + 2 que não é igual a f(x) nem
a −f(x). Assim, a função não é par nem ı́mpar.
Como a função é crescente em todo o intervalo (1, +∞) então ela não
pode ser periódica.
Análise do comportamento da função nos extremos do eixo x:
lim
x→+∞
(x3
− 3x + 2) ≈ lim
x→+∞
x3
= +∞
lim
x→−∞
(x3
− 3x + 2) ≈ lim
x→−∞
x3
= −∞
A função não apresenta assı́ntotas horizontais.
3

4. Como já provamos, a função é crescente no intervalo (1, +∞), f(1) = 0
com limx→+∞ f(x) = +∞. Ela também é crescente no intervalo (−∞, −2),
f(−2) = 0 com limx→−∞ f(x) = −∞. Levando ainda em conta a conti-
nuidade da função no seu domı́nio, podemos argumentar que a imagem da
função é R.
Como img(f) = R a função é ilimitada.
4

5. 2. Seja
f(x) =
x2
x2 + 1
Determinação do domı́nio:
x2
+ 1 6= 0 ⇒ x2
6= −1
Assim, dom(f) = R
Determinação da imagem:
y =
x2
x2 + 1
x2
= y(x2
+ 1)
Isso significa que y = 1 deve ser descartado da imagem, pois x2
= x2
+ 1
ou 0 = 1 é um absurdo. Então,
x2
= yx2
+ y
x2
− yx2
= y
x2
(1 − y) = y
x2
=
y
1 − y
Observemos que y = 1 já foi retirado da imagem, assim a expressão no
denominador da fração nunca é nula. Sabemos que x2
≥ 0, assim x2
=
y/(1 − y) significa que y/(1 − y) ≥ 0 e
y ≥ 0 e 1 − y > 0 ou y ≤ 0 e 1 − y < 0
y ≥ 0 e y < 1 ou y ≤ 0 e y > 1
0 ≤ y < 1
img(f) = [0, 1)
Interceptação da curva do gráfico da função com os eixos coordenados:
f(0) =
02
02 + 1
= 0
f(x) = 0 ⇒
x2
x2 + 1
= 0 ⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0
Intercepta os eixos apenas em (0, 0).
5

6. Analisando o sinal da função:
Considerando x ∈ R − {0}, x2
> 0 e x2
+ 1 > 0, então x2
x2+1
> 0. Logo, a
função é positiva em (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Investigando simetrias:
f(−x) =
(−x)2
(−x)2 + 1
=
x2
x2 + 1
= f(x)
A função é par e o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Investigando a periodicidade:
f(x) = f(x + t)
x2
x2 + 1
=
(x + t)2
(x + t)2 + 1
x2
((x + t)2
+ 1) = (x2
+ 1)(x + t)2
x2
(x + t)2
+ x2
= x2
(x + t)2
+ (x + t)2
x2
= (x + t)2
x2
= x2
+ 2xt + t2
t2
+ 2xt = 0
t(t + 2x) = 0
t = 0 ou t = −2x
Logo, a função não é periódica.
A partir de img(f) = [0, 1) concluimos que f(x) não é limitada superior-
mente, pois sempre existe um x2 que é maior que um dado x1 ∈ [0, 1). Basta
fazer x2 = 1+x1
2
. O valor mı́nimo da função ocorre em f(0) = 0. Portanto a
função é limitada inferiormente.
6

7. Consideremos
f(x2) − f(x1) =
x2
2
x2
2 + 1
−
x2
1
x2
1 + 1
=
x2
2(x2
1 + 1) − x2
1(x2
2 + 1)
(x2
2 + 1)(x2
1 + 1)
=
x2
2 − x2
1
(x2
2 + 1)(x2
1 + 1)
=
(x2 + x1)(x2 − x1)
(x2
2 + 1)(x2
1 + 1)
Sabemos que x2
2 + 1 > 0 e x2
1 + 1 > 0.
• Intervalo (−∞, 0), x1 < x2 < 0. Neste intervalo, x2 −x1 > 0 e x2 +x1 <
0. Assim f(x2) − f(x1) < 0 e o intervalo é de decrescimento estrito.
• Intervalo (0, +∞), 0 < x1 < x2. Neste intervalo, x2 −x1 > 0 e x2 +x1 >
0. Assim f(x2) − f(x1) > 0 e o intervalo é de crescimento estrito.
A função está definida em todo o conjunto R e não há evidências que
possua saltos, então f é contı́nua em todo o conjunto R.
lim
x→±∞
x2
x2 + 1
≈
x2
x2
= 1
A função possui uma assı́ntota horizontal em y = 1. Não existem assı́n-
totas verticais.
7

8. 3. Seja
f(x) =
2x
x + 1
Determinação do domı́nio:
x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1
dom(f) = R − {−1}
O gráfico da função apresenta uma descontinuidade infinita em x = −1.
Determinação da imagem:
y =
2x
x + 1
2x = y(x + 1)
2x = yx + y
2x − yx = y
x(2 − y) = y
x =
y
2 − y
e y 6= 2
img(f) = R − {2}
Pontos de interseção com os eixos coordenados:
f(0) =
2.0
0 + 1
= 0
f(x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
Concluimos que a curva do gráfico da função intercepta os eixos apenas
em (0, 0).
Sinal da função:
Consideraremos os intervalos entre os valores −1 e 0 do domı́nio pois já
sabemos que estes pontos são candidatos a serem os pontos onde a função
muda de sinal. O primeiro por ser uma descontinuidade infinita e o segundo
por ser um zero da função.
8

9. • Intervalo (−∞, −1)
Neste caso, x < −1, que implica 2x < 0 e x + 1 < 0, então f(x) > 0.
• Intervalo (−1, 0)
Neste caso, −1 < x < 0, que implica 2x < 0 e x+1 > 0, então f(x) < 0.
• Intervalo (0, +∞)
Neste caso, x > 0, que implica 2x > 0 e x + 1 > 0, então f(x) > 0.
Como f(−2) = 4 e f(2) = 4/3, a função não é par nem ı́mpar.
Verificação de periodicidade:
f(x) = f(x + t)
2x
x + 1
=
2(x + t)
x + t + 1
2x(x + t + 1) = 2(x + 1)(x + t)
2x2
+ 2xt + 2x = 2x2
+ 2xt + 2x + 2t
2t = 0
t = 0
Como t deve ser diferente de zero para que a função seja periódica, con-
cluimos que a função não é periódica.
Como a imagem da função é R − {2}, a função é ilimitada.
Consideremos x2 > x1 e
f(x2) − f(x1) =
2x2
x2 + 1
−
2x1
x1 + 1
=
2x2(x1 + 1) − 2x1(x2 + 1)
(x2 + 1)(x1 + 1)
=
2x2 − 2x1
(x2 + 1)(x1 + 1)
=
2(x2 − x1)
(x2 + 1)(x1 + 1)
> 0
Pois 2(x2 − x1) > 0 e (x2 + 1)(x1 + 1) > 0.
Então a função é crescente estritamente em todo o seu domı́nio.
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10. Análise de assı́ntotas verticais:
lim
x→−1−
2x
x + 1
= +∞
pois limx→−1− 2x = −2 < 0 e limx→−1− (x + 1) < 0.
lim
x→−1+
2x
x + 1
= −∞
pois limx→−1+ 2x = −2 < 0 e limx→−1+ (x + 1) > 0.
Análise de comportamento nos extremos do eixo x:
lim
x→±∞
2x
x + 1
≈
2x
x
= 2
Assı́ntota horizontal em y = 2.
10

11. 4. Seja
f(x) =
x2
+ 1
x2 − 1
Determinação do domı́nio:
x2
− 1 6= 0 ⇒ x2
6= 1 ⇒ x 6= ±1
dom(f) = R − {−1, 1}
A função possui assı́ntotas em x = −1 e x = 1.
Determinação da imagem:
y =
x2
+ 1
x2 − 1
(x2
− 1)y = x2
+ 1
x2
=
y + 1
y − 1
Então, como x2
≥ 0,
y + 1
y − 1
≥ 0
y + 1 ≥ 0 e y − 1 > 0 ou y + 1 ≤ 0 e y − 1 < 0
y > 1 ou y ≤ −1
Logo, img(f) = (−∞, −1] ∪ (1, +∞).
Isso significa que não existem um valor mı́nimo e um valor máximo da
função e a função é ilimitada.
f(0) =
02
+ 1
02 − 1
= −1
f(x) = 0 ⇒ x2
+ 1 = 0 ⇒ x2
= −1
Logo a função intercepta os eixos coordenados apenas em (0, −1).
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12. Determinação do sinal da função:
• intervalo (−∞, −1)
Neste caso, como x2
+ 1 > 0 e x2
− 1 > 0, então f(x) > 0.
• intervalo (−1, 1)
Neste caso, como x2
+ 1 > 0 e x2
− 1 < 0, então f(x) < 0.
• intervalo (1, +∞)
Neste caso, como x2
+ 1 > 0 e x2
− 1 > 0, então f(x) > 0.
Determinação da paridade:
f(−x) =
(−x)2
+ 1
(−x)2 − 1
=
x2
+ 1
x2 − 1
= f(x)
A função é par e apresenta simetria em relação ao eixo y.
Verificação se a função é periódica:
f(x) = f(x + t)
x2
+ 1
x2 − 1
=
(x + t)2
+ 1
(x + t)2 − 1
x2
+ 1
x2 − 1
=
x2
+ 2xt + t2
+ 1
x2 + 2xt + t2 − 1
2t2
+ 4xt = 0
t(2t + 4x) = 0
t = 0 ou t = 2x
Logo, a função não é periódica.
Determinação dos intervalos de monotonia:
f(x2) − f(x1) =
x2
2 + 1
x2
2 − 1
−
x2
1 + 1
x2
1 − 1
=
(x2
2 + 1)(x2
1 − 1) − (x2
2 − 1)(x2
1 + 1)
(x2
2 − 1)(x2
1 − 1)
=
2x2
1 − 2x2
2
(x2
2 − 1)(x2
1 − 1)
=
2(x1 − x2)(x1 + x2)
(x2
2 − 1)(x2
1 − 1)
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13. • Intervalo (−∞, −1), x1 < x2 < −1
Neste caso, x1 − x2 < 0, x1 + x2 < 0, x2
2 − 1 > 0, x2
1 − 1 > 0, então
f(x2) − f(x1) > 0 e o intervalo é de crescimento estrito.
• Intervalo (−1, 0), −1 < x1 < x2 < 0
Neste caso, x1 − x2 < 0, x1 + x2 < 0, x2
2 − 1 < 0, x2
1 − 1 < 0, então
f(x2) − f(x1) > 0 e o intervalo é de crescimento estrito.
• Intervalo (0, 1), 0 < x1 < x2 < 1
Neste caso, x1 − x2 < 0, x1 + x2 > 0, x2
2 − 1 < 0, x2
1 − 1 < 0, então
f(x2) − f(x1) < 0 e o intervalo é de decrescimento estrito.
• Intervalo (1, +∞), 1 < x1 < x2
Neste caso, x1 − x2 < 0, x1 + x2 > 0, x2
2 − 1 > 0, x2
1 − 1 > 0, então
f(x2) − f(x1) < 0 e o intervalo é de decrescimento estrito.
Determinação das assı́ntotas verticais:
lim
x→−1−
x2
+ 1
x2 − 1
= +∞
lim
x→−1+
x2
+ 1
x2 − 1
= −∞
lim
x→1−
x2
+ 1
x2 − 1
= −∞
lim
x→1+
x2
+ 1
x2 − 1
= +∞
Análise da função nos extremos do eixo x:
lim
x→±∞
x2
+ 1
x2 − 1
≈
x2
x2
= 1
Então, existe uma assı́ntota horizontal em y = 1.
13

14. 14