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Ger numaleat(1)

Iago Lira
Iago Lira
Iago LiraBolsista PRAEC em Universidade Federal do Piauí (UFPI)

Ger numaleat(1)

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Simulação: geração de números pseudo-aleatórios
         A ideia de gerar sequências aleatórias através dum algoritmo numérico pode
parecer inteiramente inadequada [Ecker & Kupferschmid, 1988]. Os algoritmos do
género que se podem implementar num programa de computador são, por definição,
completamente determinísticos e nunca podem, portanto, produzir um efeito aleatório
de qualquer tipo. Se um computador estiver a funcionar normalmente, oferece
precisamente o mesmo resultado de cada vez que executa uma operação sobre os
mesmos dados. Qualquer sequência de números gerados por um algoritmo terá, pois,
a propriedade de que uk+1 pode ser determinado com certeza a partir do conhecimento
de u1, u2, …, uk, e não será, portanto, aleatória, no sentido pretendido. Como pode
então tal comportamento, perfeitamente previsível, ser usado para produzir números
utilizáveis numa simulação ?
         A resposta está em que, na simulação, estamos interessados apenas em
estatísticas de longo prazo. Sob condições adequadas, uma sequência de números
gerados por um algoritmo pode ter as mesmas propriedades estatísticas que uma
sequência gerada por um processo aleatório natural.
         Uma sequência de números que seja gerada por um algoritmo mas seja
intermutável com outra sequência verdadeiramente aleatória é chamada
pseudo-aleatória.

          Uma sequência de números é pseudo-aleatória se qualquer
   subsequência suficientemente curta for intermutável com uma sequência
   comparável realmente aleatória.

        A única diferença inevitável entre uma sequência aleatória e uma pseudo-
-aleatória é que esta última se pode repetir — e isto justifica a expressão
“suficientemente curta” na definição. O período de repetição do algoritmo deve,
assim, ser mais longo que a sequência de números necessária à simulação.

Geradores de números aleatórios
       Feita a distinção entre sequências produzidas por processos aleatórios naturais
e sequências pseudo-aleatórias produzidas por algoritmos, é convencional usar uma
terminologia que ignora essa distinção. Assim, um algoritmo para geração duma
sequência de números pseudo-aleatórios é habitualmente chamado simplesmente
gerador de números aleatórios, sendo comum chamar números aleatórios aos
números das sequências pseudo-aleatórias, assim como número aleatório a um
elemento da sequência, embora o conceito de aleatoriedade se aplique
verdadeiramente à sequência como um todo.
       Há muitos algoritmos para gerar números aleatórios, diferindo na medida em
que exibem as seguintes propriedades desejáveis:
       • Comprimento do período de repetição
       • Independência estatística aparente de números sucessivos
       • Distribuição uniforme




2007 MC–IST OR {RandomNumGen.doc}
• Rapidez de obtenção
       • Repetibilidade (reprodutibilidade)
       As propriedades citadas são dificilmente conciliáveis, pelo que a selecção dum
gerador conveniente para uma dada simulação pode ser uma tarefa não-trivial.

1.     O algoritmo congruencial multiplicativo
       É o mais simples gerador de números aleatórios.
           0.   Fixe os parâmetros p e m
           1.   Seja u0 o número inicial, não-nulo e ímpar; k = 0
           2.   uk+1 = (m uk) mod p
           3.   k ← k + 1; goto 2
       Todos os números intervenientes no algoritmo são inteiros não-negativos. O
parâmetro m é o multiplicador, p é o módulo e o número u0 é a semente. O passo
principal do algoritmo é a fórmula de recorrência do Passo 2, sendo, como se sabe,
                         x mod p = resto da divisão (inteira) de x por p
        Se nenhum uk for zero, os inteiros que se podem gerar vão de 1 a p – 1, logo
(uk – 1) vai de 0 a p – 2 e os correspondentes números reais rk do intervalo [0, 1]
                     u −1
obter-se-ão por rk = k     . Para ver como o algoritmo funciona, considere-se o
                      p−2
seguinte exemplo, arbitrando-se p = 17, m = 5 e u0 = 7:
       u1 = (5 × 7) mod 17 = resto da divisão inteira de 35 17 = 1
       u2 = (5 × 1) mod 17 = 5
       u3 = (5 × 5) mod 17 = 8
Continuando o processo, obtém-se:
       7, 1, 5, 8, 6, 13, 14, 2, 10, 16, 12, 9, 11, 4, 3, 15, (R) 7, 1, 5, 8, …
Após R, verifica-se repetição, pelo que o período foi de 16 números. (Dir-se-á adiante
que p = 17 foi uma escolha feliz.) O período é sempre menor que o parâmetro p, logo
p deve ser escolhido tão grande quanto possível. Devido a considerações de
eficiência computacional, se o comprimento de “palavra” for w bits e fizermos p = 2w,
a multiplicação na fórmula de recorrência dá um resultado com comprimento de
“palavra dupla”, sendo a palavra de mais baixa ordem o produto módulo 2w. Outra
escolha corrente para p é 2w–1. Em qualquer dos casos, o facto de nenhuma divisão
(propriamente dita) ser necessária para efectuar a operação de “módulo” dá vantagem
sobre outros valores de p.
        É possível que o período seja muito menor que p, se o multiplicador m for
uma escolha “infeliz” (veja-se p = 10, m = 5, u0 = 5). Para obter o período máximo,
que é p – 1, m deve ser escolhido de modo a que m – 1 seja múltiplo de todos os
números primos submúltiplos de p. Por outro lado, para que a sequência gerada tenha
boas propriedades estatísticas, m deve ser próximo de p e a sequência usada
numa simulação não deve ser mais longa que a raiz quadrada do período de
repetição.
Investigação Operacional      Núm. pseudo-aleatórios • Pág. 3 de 4




       O gerador congruencial multiplicativo mais vulgar, disponível em Fortran
como sub-rotina RANDU, tem p = 231 = 2 147 483 648 (note-se que este inteiro excede
em 1 o máximo habitualmente representável) e m = 216 + 3 = 65 539. Estas escolhas
dão um período de 229 (ca. 109) números e o algoritmo corre rapidamente em
computadores com um comprimento de palavra de 32 bits. No entanto, as sequências
produzidas têm propriedades estatísticas inconvenientes para muitas situações.

2.     Outros geradores de números aleatórios uniformes
       Obtêm-se propriedades estatísticas melhoradas adicionando uma constante à
fórmula de recorrência congruencial multiplicativa:
                                 uk+1 = (a + m uk) mod p
O número a é o incremento e um algoritmo com esta fórmula da recorrência chama-
-se um gerador congruencial linear ou congruencial misto. Um destes algoritmos
que apresenta boas propriedades estatísticas usa:
       p = 2 147 483 648               = 231

       m = 843 314 861                 [J p (π / 8) + 5 =? 843 314 861,5]

       a = 453 816 693                         (      )
                                       [J p 3 − 3 6 = 453 816 692,9]

        Outro método com boas propriedades estatísticas é o algoritmo GPSS.
Ilustrar-se-á com um exemplo de inteiros decimais, embora seja realmente efectuado
em aritmética binária em computador. Suponhamos que se pretendem gerar números
rk entre 0,0000 e 0,9999. Começamos com um multiplicador m, fixo, e uma semente
u0:
                                        m = 5167

                                        u0 = 3729
O produto terá oito dígitos.
                           m u0 = 19 267 743       (19 2677 43)
Os quatro dígitos centrais formarão o primeiro número aleatório r1 e os quatro dígitos
da direita serão usados como u1. Assim,
                                        r1 = 0,2677
                                       u1 = 7743
Em seguida, é formado o produto m u1, extraídos os seus quatro dígitos centrais como
dígitos de r2 e os quatro dígitos da direita como u2 e assim por diante.
        Um algoritmo aparentado, o do quadrado do meio (“mid-square algorithm”),
muito simples mas de propriedades insatisfatórias, é o que se exemplifica adiante.
Seja r1 = 9876; r2 será formado pelos quatro algarismos centrais do número de oito
algarismos que é r12 (eventualmente completado à esquerda com zeros).
r2 = {4 algarismos centrais de r12 } = {4 alg. c. de 97 5353 76} = 5353

       r3 = {4 algarismos centrais de r22 } = {4 alg. c. de 28 6546 09} = 6546
Além da questão da repetição de período, poderá chegar-se a uma situação como a
seguinte (se fosse rk = 2001)
       rk+1 = {4 algarismos centrais de rk2 } = {4 alg. c. de 04. 004.0 01} = 40

       rk+2 = {4 alg. c. de 00 001.6 00} = 16

       rk+3 = {4 alg. c. de 00 0002 56} = 2

       rk+4 = {4 alg. c. de 00 0000 04} = 0
e daí em diante sempre 0.

3.     Aplicação a uma distribuição especificada
        Na situação mais frequente de a variável aleatória a simular não seguir a
distribuição uniforme, a técnica a utilizar é a seguinte, aqui ilustrada com uma
distribuição exponencial de parâmetro c.
        f ( x ) = c e − cx                  com       0≤x≤1

                    x
       F( x ) = ∫ f (t ) d t = 1 − e − cx
                   0

pois que, obviamente, F(0) = 0. Invertendo a função, vem
                                                 ln(1 − F )
                                            x=
                                                    −c
Fazendo F = u, com u número aleatório uniforme, será
                                                 ln(1 − u)
                                            x=
                                                    −c
ou —visto que, se u é uniforme em [0, 1], 1 – u também o é—, mais simplesmente,
                                                   ln u
                                             x=
                                                    −c
Assim, conhecido c, obtida uma série de números aleatórios u (uniformes), dispor-se-
á duma série de números aleatórios x, com uma distribuição exponencial especificada.

                                                 §o§

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Ger numaleat(1)

  • 1. Simulação: geração de números pseudo-aleatórios A ideia de gerar sequências aleatórias através dum algoritmo numérico pode parecer inteiramente inadequada [Ecker & Kupferschmid, 1988]. Os algoritmos do género que se podem implementar num programa de computador são, por definição, completamente determinísticos e nunca podem, portanto, produzir um efeito aleatório de qualquer tipo. Se um computador estiver a funcionar normalmente, oferece precisamente o mesmo resultado de cada vez que executa uma operação sobre os mesmos dados. Qualquer sequência de números gerados por um algoritmo terá, pois, a propriedade de que uk+1 pode ser determinado com certeza a partir do conhecimento de u1, u2, …, uk, e não será, portanto, aleatória, no sentido pretendido. Como pode então tal comportamento, perfeitamente previsível, ser usado para produzir números utilizáveis numa simulação ? A resposta está em que, na simulação, estamos interessados apenas em estatísticas de longo prazo. Sob condições adequadas, uma sequência de números gerados por um algoritmo pode ter as mesmas propriedades estatísticas que uma sequência gerada por um processo aleatório natural. Uma sequência de números que seja gerada por um algoritmo mas seja intermutável com outra sequência verdadeiramente aleatória é chamada pseudo-aleatória. Uma sequência de números é pseudo-aleatória se qualquer subsequência suficientemente curta for intermutável com uma sequência comparável realmente aleatória. A única diferença inevitável entre uma sequência aleatória e uma pseudo- -aleatória é que esta última se pode repetir — e isto justifica a expressão “suficientemente curta” na definição. O período de repetição do algoritmo deve, assim, ser mais longo que a sequência de números necessária à simulação. Geradores de números aleatórios Feita a distinção entre sequências produzidas por processos aleatórios naturais e sequências pseudo-aleatórias produzidas por algoritmos, é convencional usar uma terminologia que ignora essa distinção. Assim, um algoritmo para geração duma sequência de números pseudo-aleatórios é habitualmente chamado simplesmente gerador de números aleatórios, sendo comum chamar números aleatórios aos números das sequências pseudo-aleatórias, assim como número aleatório a um elemento da sequência, embora o conceito de aleatoriedade se aplique verdadeiramente à sequência como um todo. Há muitos algoritmos para gerar números aleatórios, diferindo na medida em que exibem as seguintes propriedades desejáveis: • Comprimento do período de repetição • Independência estatística aparente de números sucessivos • Distribuição uniforme 2007 MC–IST OR {RandomNumGen.doc}
  • 2. • Rapidez de obtenção • Repetibilidade (reprodutibilidade) As propriedades citadas são dificilmente conciliáveis, pelo que a selecção dum gerador conveniente para uma dada simulação pode ser uma tarefa não-trivial. 1. O algoritmo congruencial multiplicativo É o mais simples gerador de números aleatórios. 0. Fixe os parâmetros p e m 1. Seja u0 o número inicial, não-nulo e ímpar; k = 0 2. uk+1 = (m uk) mod p 3. k ← k + 1; goto 2 Todos os números intervenientes no algoritmo são inteiros não-negativos. O parâmetro m é o multiplicador, p é o módulo e o número u0 é a semente. O passo principal do algoritmo é a fórmula de recorrência do Passo 2, sendo, como se sabe, x mod p = resto da divisão (inteira) de x por p Se nenhum uk for zero, os inteiros que se podem gerar vão de 1 a p – 1, logo (uk – 1) vai de 0 a p – 2 e os correspondentes números reais rk do intervalo [0, 1] u −1 obter-se-ão por rk = k . Para ver como o algoritmo funciona, considere-se o p−2 seguinte exemplo, arbitrando-se p = 17, m = 5 e u0 = 7: u1 = (5 × 7) mod 17 = resto da divisão inteira de 35 17 = 1 u2 = (5 × 1) mod 17 = 5 u3 = (5 × 5) mod 17 = 8 Continuando o processo, obtém-se: 7, 1, 5, 8, 6, 13, 14, 2, 10, 16, 12, 9, 11, 4, 3, 15, (R) 7, 1, 5, 8, … Após R, verifica-se repetição, pelo que o período foi de 16 números. (Dir-se-á adiante que p = 17 foi uma escolha feliz.) O período é sempre menor que o parâmetro p, logo p deve ser escolhido tão grande quanto possível. Devido a considerações de eficiência computacional, se o comprimento de “palavra” for w bits e fizermos p = 2w, a multiplicação na fórmula de recorrência dá um resultado com comprimento de “palavra dupla”, sendo a palavra de mais baixa ordem o produto módulo 2w. Outra escolha corrente para p é 2w–1. Em qualquer dos casos, o facto de nenhuma divisão (propriamente dita) ser necessária para efectuar a operação de “módulo” dá vantagem sobre outros valores de p. É possível que o período seja muito menor que p, se o multiplicador m for uma escolha “infeliz” (veja-se p = 10, m = 5, u0 = 5). Para obter o período máximo, que é p – 1, m deve ser escolhido de modo a que m – 1 seja múltiplo de todos os números primos submúltiplos de p. Por outro lado, para que a sequência gerada tenha boas propriedades estatísticas, m deve ser próximo de p e a sequência usada numa simulação não deve ser mais longa que a raiz quadrada do período de repetição.
  • 3. Investigação Operacional Núm. pseudo-aleatórios • Pág. 3 de 4 O gerador congruencial multiplicativo mais vulgar, disponível em Fortran como sub-rotina RANDU, tem p = 231 = 2 147 483 648 (note-se que este inteiro excede em 1 o máximo habitualmente representável) e m = 216 + 3 = 65 539. Estas escolhas dão um período de 229 (ca. 109) números e o algoritmo corre rapidamente em computadores com um comprimento de palavra de 32 bits. No entanto, as sequências produzidas têm propriedades estatísticas inconvenientes para muitas situações. 2. Outros geradores de números aleatórios uniformes Obtêm-se propriedades estatísticas melhoradas adicionando uma constante à fórmula de recorrência congruencial multiplicativa: uk+1 = (a + m uk) mod p O número a é o incremento e um algoritmo com esta fórmula da recorrência chama- -se um gerador congruencial linear ou congruencial misto. Um destes algoritmos que apresenta boas propriedades estatísticas usa: p = 2 147 483 648 = 231 m = 843 314 861 [J p (π / 8) + 5 =? 843 314 861,5] a = 453 816 693 ( ) [J p 3 − 3 6 = 453 816 692,9] Outro método com boas propriedades estatísticas é o algoritmo GPSS. Ilustrar-se-á com um exemplo de inteiros decimais, embora seja realmente efectuado em aritmética binária em computador. Suponhamos que se pretendem gerar números rk entre 0,0000 e 0,9999. Começamos com um multiplicador m, fixo, e uma semente u0: m = 5167 u0 = 3729 O produto terá oito dígitos. m u0 = 19 267 743 (19 2677 43) Os quatro dígitos centrais formarão o primeiro número aleatório r1 e os quatro dígitos da direita serão usados como u1. Assim, r1 = 0,2677 u1 = 7743 Em seguida, é formado o produto m u1, extraídos os seus quatro dígitos centrais como dígitos de r2 e os quatro dígitos da direita como u2 e assim por diante. Um algoritmo aparentado, o do quadrado do meio (“mid-square algorithm”), muito simples mas de propriedades insatisfatórias, é o que se exemplifica adiante. Seja r1 = 9876; r2 será formado pelos quatro algarismos centrais do número de oito algarismos que é r12 (eventualmente completado à esquerda com zeros).
  • 4. r2 = {4 algarismos centrais de r12 } = {4 alg. c. de 97 5353 76} = 5353 r3 = {4 algarismos centrais de r22 } = {4 alg. c. de 28 6546 09} = 6546 Além da questão da repetição de período, poderá chegar-se a uma situação como a seguinte (se fosse rk = 2001) rk+1 = {4 algarismos centrais de rk2 } = {4 alg. c. de 04. 004.0 01} = 40 rk+2 = {4 alg. c. de 00 001.6 00} = 16 rk+3 = {4 alg. c. de 00 0002 56} = 2 rk+4 = {4 alg. c. de 00 0000 04} = 0 e daí em diante sempre 0. 3. Aplicação a uma distribuição especificada Na situação mais frequente de a variável aleatória a simular não seguir a distribuição uniforme, a técnica a utilizar é a seguinte, aqui ilustrada com uma distribuição exponencial de parâmetro c. f ( x ) = c e − cx com 0≤x≤1 x F( x ) = ∫ f (t ) d t = 1 − e − cx 0 pois que, obviamente, F(0) = 0. Invertendo a função, vem ln(1 − F ) x= −c Fazendo F = u, com u número aleatório uniforme, será ln(1 − u) x= −c ou —visto que, se u é uniforme em [0, 1], 1 – u também o é—, mais simplesmente, ln u x= −c Assim, conhecido c, obtida uma série de números aleatórios u (uniformes), dispor-se- á duma série de números aleatórios x, com uma distribuição exponencial especificada. §o§