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Aula 03 – Lógica
Ilustração de John Tenniel para o livro “Alice Através do
Espelho e o Que Ela Encontrou por Lá” de Lewis Carroll
O que é a lógica?
Lógica é o estudo da maneira correta de raciocinar.
Como a filosofia é uma atividade que busca responder
questões de maneira racional, a lógica é uma
ferramenta de extrema importância.
Origens da Lógica
A lógica nasce juntamente com o pensamento filosófico
da Grécia Antiga.
Já nos pré-socráticos havia uma tentativa de
compreender a realidade de modo mais racional.
Os sofistas utilizavam da lógica para elaborar argumentos
que vencessem uma discussão. Protágoras (481 aC –
420 aC) e Górgias (483 aC – 376 aC) foram os sofistas
mais conhecidos.
Origens da Lógica
Platão desenvolveu um modo de pensar baseado na
dialética, no entendimento da época, a arte do debate: os
textos dele eram feitos em formato de diálogo.
Mas foi com Aristóteles, discípulo de Platão, que a lógica
começou a ser estudada com mais cuidado.
Aristóteles
Lógica Aristotélica
Aristóteles pode ser considerado um precursor da lógica
formal, ou seja, uma lógica analisada de maneira mais
rigorosa.
A base da lógica aristotélica está nas proposições.
Proposições são sentenças que podem assumir um valor
de verdade (verdadeiro ou falso).
Proposições podem apresentar termos (como “homem”
ou “cão”), mas esses termos isolados não contém valor
de verdade.
Lógica Aristotélica
Exemplo:
A sentença “Algum homem tem um cão.”
Essa sentença completa é uma proposição que pode ser
verdadeira ou falsa.
Mas “homem” e “cão” isolados não assumem valor de
verdade.
Lógica Aristotélica
Proposições da lógica aristotélica que envolvam Todo,
Algum ou Nenhum são o que chamamos hoje de
proposições categóricas.
Quadrado lógico das quatro proposições categóricas básicas: A, E, I e O.
Lógica Aristotélica
A lógica aristotélica segue alguns princípios básicos.
Princípio da Negação
Uma proposição que é negada tem seu valor de verdade
invertido.
Exemplo:
Primeira proposição: “Uma galinha é uma ave”
Segunda proposição: “Uma galinha não é uma ave”
A segunda é negação da primeira. Se a primeira for
verdadeira, a segunda será falsa. Se a primeira for falsa,
a segunda será verdadeira.
Lógica Aristotélica
Princípio da Não-Contradição
Uma mesma proposição não pode ser verdadeira e ao
mesmo tempo também ser falsa.
Exemplo:
“Uma galinha é uma ave e uma galinha não é uma ave”
Lógica Aristotélica
Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Para
Aristóteles não há terceira opção!
Exemplo:
“Uma galinha é uma ave ou uma galinha não é uma ave”
Lógica Aristotélica
Silogismo
É um processo de raciocínio dedutivo. Partimos de uma
premissa (pressuposto) universal e de uma premissa
particular para tirarmos uma conclusão.
Exemplo:
Premissa 1 (universal): Todo homem é mortal.
Premissa 2 (particular): Sócrates é homem.
Conclusão: Sócrates é mortal.
Lógica Moderna
Com o passar dos séculos, a lógica se aproximou muito
da matemática.
Gottlob Frege (1848 - 1925), um lógico do século XX,
elaborou uma nova notação para falar em termos lógicos.
Nasce assim a lógica moderna, cujas principais divisões
são a lógica proposicional e a lógica quantificacional.
Frege
Lógica Moderna
Lógica proposicional
Denotamos cada proposição por uma letra minúscula.
p, q, r, …
Cada proposição pode assumir um valor de verdade:
verdadeiro (V) ou falso (F).
E ligamos essas proposições por conectivos lógicos.
Daí podemos analisar a tabela de verdade para cada
composição de proposições (fórmulas).
Lógica Moderna
Negação (¬): Inverte o valor de verdade da proposição p.
p ¬p
V F
F V
Lógica Moderna
Conjunção (&): Só é verdadeira quando as duas
proposições p e q forem verdadeiras. Leia p & q como
“p e q”.
p q
p & q
V V V
V F F
F V F
Lógica Moderna
Disjunção (v): Só é falsa quando as duas proposições p e
q forem falsas. Lemos p v q como “p ou q”.
p q
p v q
V V V
V F V
F V V
Lógica Moderna
Implicação (→): Só é falsa quando a primeira proposição
for verdadeira e a segunda for falsa. Leia p→q como “p
implica q” ou “se p, então q”.
p q
p → q
V V V
V F F
F V V
Lógica Moderna
Exemplos
O princípio aristotélico da não-contradição em lógica
moderna seria escrever p & ¬p. Só há duas linhas
possíveis de acordo com a tabela de verdade abaixo:
p ¬p
p & ¬p
V F F
F V F
Exercício: como ficaria a tabela de verdade do
princípio do terceiro excluído?
Lógica Moderna
Lógica Quantificacional
Lógica Quantificacional (ou Teoria de Quantificação ou
Lógica de Primeira Ordem) é mais ampla que a lógica
proposicional, englobando predicados e quantificadores.
Com essa lógica podemos expressar melhor as
proposições categóricas e os silogismos.
Lógica Moderna
Exemplo de quantificação universal.
Pegue a proposiçaõ “Todo homem é mortal.”
Em lógica quantificacional:
∀x (Hx → Mx)
Traduzindo: Para todo x temos que se x é homem, então
x é mortal.
∀x: para todo x
Hx: x é homem (predicado)
Mx: x é mortal (predicado)
Lógica Moderna
Exemplo de quantificação existencial.
Tome a proposição “Alguns homens são pais.”
Em lógica quantificacional:
∃x (Hx & Px)
Traduzindo: Existe algum x tal que x é homem e também
é pai.
∃x : existe algum x
Hx: x é homem (predicado)
Px: x é mortal (predicado)
Lógica Moderna
Mas silogismos também podem ser analisados em termos
de teoria de conjuntos.
M: conjuntos dos mortais.
H: conjuntos dos homens.
M
H
Nesse diagrama de Venn
expressamos a proposição “Todo
homem é mortal”.
Argumentação
A noção de implicação pode ser útil para a avaliação de
um argumento, ou seja, uma justificativa racional para a
aceitação do valor de verdade de uma proposição.
Um argumento certamente será válido se conseguir ser
encaixado em uma implicação necessária, ou seja, se
uma conjunção de premissas levar necessariamente a
uma conclusão verdadeira (como é o caso de um
silogismo).
Argumentação
Exemplo: Faltei na reunião, pois meu carro quebrou.
Premissa 1 (P1): Se meu carro quebrar, então não tenho
transporte.
Premissa 2 (P2): Se não tenho transporte, então não
tenho como ir à reunião.
Premissa 3 (P3): Meu carro quebrou.
Conclusão (C): Não posso ir à reunião.
O argumento será válido se a conjunção das três
premissas (P1&P2&P3) implicar necessariamente na
conclusão C.
Argumentação
Então:
(P1&P2&P3) → C
Pela tabela de verdade, a implicação será falsa quando
as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa.
Se alguma das premissas for falsa, a conclusão pode ser
verdadeira ou falsa (conferir tabela de verdade). Nesse
caso, a conclusão não seria necessária!
Sendo assim, para um argumento ser válido, tanto as
premissas quanto a conclusão precisam ser verdadeiras.
Argumentação
No exemplo dado, o argumento se tornará inválido se
uma das premissas for falsa ou se a conclusão for falsa.
Você pode, por exemplo, negar uma das premissas: se
seu carro quebrar, você não fica necessariamente sem
transporte (você pode pegar um táxi ou um ônibus).
Repare que validade não é a mesma coisa que verdade.
Um argumento pode ser verdadeiro e ainda assim ser
inválido (ele pode ter premissas falsas e uma conclusão
verdadeira, ou seja, uma implicação verdadeira de acordo
com a tabela de verdade).
Argumentação
Falácia
Um argumento não válido é chamado de falácia.
Sofisma
Sofisma é uma falácia elaborada com a intenção de
parecer verdadeira.
Tem esse nome por conta dos filósofos sofistas que
utilizavam de processo racional com a intenção de
sempre vencerem o debate.
Argumentação
Exemplo de Falácia
P1: Alguns biscoitos são feitos de água e sal.
P2: O mar é feito de água e sal.
C (Conclusão): O mar é um biscoito gigante!
P1 e P2 são verdadeiras, mas a conclusão é
evidentemente falsa.
Sendo assim, o argumento é inválido.
Paradoxos
Pelo princípio da não-contradição não podemos ter uma
proposição verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
No entanto, algumas proposições parecem contraditórias,
em especial, proposições autorreferenciais (que falam de
si mesmas).
Paradoxos
Paradoxo do Mentiroso
“Esta frase é uma mentira”
Se ela for verdadeira, então é falsa.
Se ela for falsa, então é verdadeira.
Mas se for verdadeira, então é falsa...
Paradoxos
Paradoxo de Russell
Bertrand Russell (1872 – 1970) trabalhou alguns
problemas relativos a questões de autorreferência.
Pela teoria de conjuntos, nada impede que se tenha um
conjunto de conjuntos.
Exemplo:
A = {{B}, {C}}
{B} ϵ A
Paradoxos
Paradoxo de Russell
Nada impede que se tenha um conjunto que seja
elemento de si mesmo.
Exemplo:
A = {{A}, {B}, {C}}
Sendo assim, há conjuntos que são elementos de si
mesmos (se pertencem) e outros que não.
Paradoxos
Paradoxo de Russell
Nesse caso, podemos ter um conjunto S de todos os
conjuntos que não se pertencem.
Mas S se pertencerá?
Se sim, S não será um conjunto fechado de todos os
conjuntos que não se pertencem.
Se não, S não tem todos os conjuntos que não se
pertencem (faltaria o próprio S!)
Paradoxo!
Paradoxos
Paradoxo do Barbeiro
Uma analogia que pode ajudar a entender o paradoxo de
Russell:
Um barbeiro de certa cidade barbeia todas as pessoas
que não se barbeiam. Ele se barbeia?
Se sim, então ele barbeia uma pessoa que se barbeia (ele
mesmo). Contradição.
Se não, então ele não barbeia todas as pessoas que não
se barbeiam (ele mesmo, de novo!). Outra contradição!
Paradoxos
Como resolver esses paradoxos?
Russell concluiu que sentenças autorreferenciais não
podem ser classificadas no mesmo nível que as
sentenças comuns.
Um conjunto que pertença a si mesmo deve ser estudado
em uma classe diferente de conjuntos.
Paradoxos
Teorema da Incompletude
Kurt Gödel (1906 – 1978) utilizou essa questão da
autorreferência para mostrar que nenhum sistema lógico
é completo e consistente, em outras palavras, não é
possível demonstrar todas as proposições geradas em
um sistema lógico sem cair em contradição.
Paradoxos
Teorema da Incompletude
Pense no sistema lógico da nossa própria linguagem.
Podemos elaborar a proposição: “É impossível provar que
esta proposição é verdadeira”
→ Se ela for verdadeira, então não pode ser provada.
→ Se ela for falsa, pode ser provada que é verdadeira,
mas seria uma contradição (pois estamos dizendo que ela
é falsa!).
Sendo assim, um sistema lógico terá proposições
inconsistentes.
Problemas Lógicos
A lógica pode ser utilizada para solucionar certos tipos de
problema.
Um exemplo típico é o problema das duas portas.
Problemas Lógicos
Problema das duas portas
Você está preso em um labirinto e encontra duas portas. Uma leva para a saída e
a outra para uma armadilha que certamente irá te matar. Você não sabe qual é a
certa. Cada porta é protegida por uma guardiã. As duas sabem qual porta é qual.
Mas você só pode fazer uma, e apenas uma, pergunta que tenha Sim ou Não
como resposta para apenas uma delas. Acontece que uma dessas guardiãs
sempre mente e a outra sempre fala a verdade, mas você não sabe quem é
quem. Que pergunta você deve fazer?
Problemas Lógicos
Solução
Precisamos ter em mente que queremos saber qual é a
porta correta e não qual guardiã fala a verdade.
Sendo assim, se tivermos uma resposta que nos oriente
para a porta correta, solucionaremos o problema.
Não sabemos quem mente, mas sabemos que a
mentirosa sempre inverterá a resposta correta.
Assim, podemos pensar nas possibilidades.
Problemas Lógicos
Se falar a
verdade
e guardar a
saída, ela
responde:
Se mentir e
guardar a
saída, ela
responde:
Se falar a
verdade
e não
guardar a
saída, ela
responde:
Se mentir e
não guardar
a saída, ela
responde:
Guarda a
saída?
Sim Não Não Sim
A outra
guardiã guarda
a saída?
Não Sim Sim Não
A outra guardiã
diria que
guarda a
saída?
Sim Sim Não Não
Problemas Lógicos
Se falar a
verdade
e guardar a
saída
Se mentir e
guardar a
saída
Se falar a
verdade
e não
guardar a
saída
Se mentir e
não
guardar a
saída
Guarda a
saída?
Sim Não Não Sim
A outra
guardiã
guarda a
saída?
Não Sim Sim Não
A outra
guardiã diria
que guarda a
saída?
Sim Sim Não Não
Problemas Lógicos
De acordo com a tabela anterior, a pergunta “A outra
guardiã diria que guarda a saída?” terá Sim como
resposta se ela guardar a saída,
independente da guardiã que você perguntar
ser mentirosa ou não.
Sendo assim, uma solução possível seria perguntar
justamente “A outra guardiã diria que guarda a saída?”
Raymond Smullyan é um lógico contemporâneo
responsável pela criação de vários enigmas desse
tipo. Obras famosas: Alice no País dos Enigmas, O
Enigma de Sheherazade, A Dama e o Tigre.
Exercícios
1) Construa a tabela de verdade das seguintes fórmulas:
p & (p v q)
p → (p&q)
p & ¬q
(p → q) & (q → p)
Exercícios
2)
Leia o texto abaixo:
“A população mundial quadruplicou desde 1900 e o consumo de água,
no mesmo período, aumentou quase dez vezes, esse crescimento
populacional exige maior demanda de recursos hídricos, que não pode
ser atendida pelo ciclo natural hidrográfico e consequentemente a
qualidade da água é progressivamente prejudicada.”
Marcus Augusto da Silva Braga. Texto original publicado em:
http://www.sermelhor.com.br/ecologia/sobre-a-agua-e-a-falta-dagua.html
Identifique o argumento (premissas e conclusão) apresentado.
Exercícios
3) Um homem precisa levar uma raposa, uma galinha e uma
espiga de milho para a outra margem de um rio utilizando um
barco. No entanto, ele não pode levar mais do que dois deles
ao mesmo tempo neste barco. Se ele deixar a raposa
sozinha com a galinha, a raposa devora a galinha. Se ele
deixar a galinha sozinha com a espiga de milho, a ave come
o milho. Como ele poderá levar os três (raposa, galinha e
milho) para o outro lado do rio?
Exercícios
4) Em certo local há um hospício onde os pacientes sofrem da seguinte loucura: eles acreditam
que todas as proposições falsas são verdadeiras e que todas as proposições verdadeiras são
falsas. Sendo assim, um louco desse local acreditaria que 2 + 2 = 4 é mentira, mas que
1 + 1 = 3 é verdade. Os médicos do local são mentalmente saudáveis e acreditam que
proposições verdadeiras são verdadeiras e proposições falsas são falsas.
Imagine que você chegue nesse local e não saiba reconhecer quem são os médicos e quem
são os pacientes. Ao se aproximar de dois dos habitantes (vamos chamá-los de A e B) do
hospício, A diz que ambos são pacientes (ou seja, ambos loucos). Isso é verdade?
Exercícios
5) Um grupo de pessoas com olhos de diferentes cores mora numa ilha. Elas são perfeitas em seus pensamentos
lógicos, se uma conclusão pode ser deduzida logicamente, elas a farão instantaneamente. Ninguém sabe a cor de
seus próprios olhos. Toda noite, à meia-noite, uma balsa chega na ilha. Qualquer uma que descobrir a cor de seus
próprios olhos deixa a ilha e o resto fica. Qualquer uma pode ver qualquer uma o tempo todo e sabem a contagem
do número de pessoas que elas veem com cada cor dos olhos (excluindo a si próprias), mas elas não podem se
comunicar. Todos na ilha conhecem as regras deste parágrafo.
Nessa ilha há 100 pessoas de olhos azuis, 100 pessoas de olhos castanhos e a Guru (ela tem olhos verdes).
Então, qualquer pessoa de olhos azuis pode ver 100 pessoas de olhos castanhos e 99 de olhos azuis (e uma de
olhos verdes), mas isso não lhe diz a cor de seus próprios olhos. Podem imaginar que os totais são 101 castanhos e
99 azuis, ou 100 castanhos, 99 azuis e ela pode ter olhos vermelhos.
A Guru pode falar apenas uma vez (digamos, ao meio-dia) em um único dia de toda eternidade delas na ilha. Em
pé em frente aos habitantes da ilha, ela diz o seguinte:
"Eu posso ver alguém que tem olhos azuis."
Quem deixa a ilha, e em que noite?
Lá não há espelhos ou superfícies refletivas. Não é uma pegadinha e a resposta é lógica. Não depende de truque
de palavras ou alguém mentindo ou supondo e não envolve pessoas fazendo coisas como comunicação por sinais
etc. A Guru não fez sinal com os olhos para alguém em particular, ela simplesmente disse "eu contei pelo menos
uma pessoa de olhos azuis nesta ilha que não sou eu".
E finalmente, a resposta não é "ninguém deixou a ilha".
Exercícios
6) Esse problema é conhecido como o problema de lógica mais difícil de todos os
tempos.
Três deuses A, B e C são chamados, em alguma ordem, Verdadeiro, Falso, e
Acaso. Verdadeiro sempre fala a verdade, Falso sempre fala mentindo, mas se
Acaso fala a verdade ou mente é uma questão completamente aleatória. Sua tarefa
é determinar a identidade de A, B e C, fazendo três perguntas do tipo sim-não;
cada pergunta deve ser colocada para exatamente um deus. Os deuses entendem
Português, mas irão responder todas as perguntas na sua própria língua, em que
as palavras para sim e não são 'da' e 'ja', em alguma ordem. Você não sabe qual
palavra significa sim e por conseguinte qual significa não.
Você pode fazer mais de uma pergunta para o mesmo deus (não é necessário que
todos os deuses respondam uma das três perguntas). Essa história do Acaso falar
a verdade ou mentir aleatoriamente pode ser entendida como uma moeda que o
deus joga mentalmente antes de responder. Se der cara ele fala a verdade, mas se
der coroa ele mente. Você não tem como saber o resultado desse lançamento. De
qualquer maneira, Acaso responderá Da ou Ja. A resposta de uma pergunta pode
depender da pergunta anterior.
Respostas
p q p v q p&q ¬q p → q q → p p & (p v q) p → (p&q) p & ¬q (p → q) &
(q → p)
V V V V F V V V V F V
V F V F V F V V F V F
F V V F F V F F V F F
F F F F V V V F V F V
1)
Respostas
2) “A população mundial quadruplicou desde 1900 e o consumo de água,
no mesmo período, aumentou quase dez vezes,
esse crescimento populacional exige maior demanda
de recursos hídricos, que não pode ser atendida pelo
ciclo natural hidrográfico e consequentemente a qualidade da água
é progressivamente prejudicada.”
Premissa 1: Se a população e o consumo de água aumentam, então há
maior demanda por recursos hídricos.
Premissa 2: Se há maior demanda de recursos hídricos, então o ciclo
natural hidrográfico não consegue atender essa demanda.
Premissa 3: Se o ciclo natural hidrográfico não consegue atender a
demanda, então a qualidade da água é prejudicada.
Conclusão: Se a população e o consumo de água aumentam, então a
qualidade da água é prejudicada.
Respostas
3)
* Levar a galinha (pois a raposa não vai comer o milho);
* Voltar;
* Levar o milho e pegar a galinha (para ela não comer o milho);
* Voltar com a galinha e pegar a raposa;
* Levar a raposa;
* Voltar;
* Pegar a galinha e levar a galinha.
Respostas
4)
Suponha que A seja médico. Isso significa que ele acredita que proposições
verdadeiras são verdadeiras e que proposições falsas são falsas. Se ele diz
que ambos (ele e B) são loucos, então ele acredita que isso seja verdade. Se
ele for médico, só poderia acreditar em proposições verdadeiras. Mas se for
verdade que ambos são loucos, então A não poderia ser médico. Sendo assim,
A deve ser louco. Mas um louco acreditaria que uma proposição falsa é
verdadeira. Sendo assim, se A é louco, então é falso que ambos sejam loucos.
Portanto, A é louco, mas B não é.
Respostas
5)
Suponha exatamente o mesmo enigma, mas ao invés de 201 pessoas
tivessemos apenas três: uma de olhos azuis, uma de olhos castanhos e a Guru.
Quando a Guru dissesse que há uma pessoa de olhos azuis, a pessoa de olhos
azuis poderia pensar o seguinte: “há uma pessoa de olho azul. Se isso é
verdade e nenhuma das outras pessoas tem olho azul, logo o meu olho deve
ser azul.” Com isso, podemos dizer que com uma pessoa de olho azul na ilha,
ela sairá da ilha na primeira noite após o pronunciamento da Guru.
Agora imagine que há duas pessoas de olhos azuis na ilha. Após o
pronunciamento da guru, uma das pessoas de olhos azuis (vamos chamá-la de
A) poderia pensar o seguinte: “se o meus olhos não forem azuis, então só há
mais uma pessoa de olhos azuis na ilha. Como ela perceberá apenas pessoas
que não tem olhos azuis, concluirá que os olhos delas são azuis e sairá”. Passa
a primeira noite e aquela pessoa não sai. A pensará o seguinte: “Se os meus
olhos não fossem azuis, então ela deveria ter saído ontem. Ela não saiu. Logo,
os meus olhos devem ser azuis.”
Respostas
5 - Continuação)
Portanto, se há duas pessoas de olhos azuis na ilha, a primeira sairá na
segunda noite.
E se houvesse três pessoas de olhos azuis na ilha? Uma delas iria ver as
outras duas com olhos azuis e raciocinaria de modo semelhante ao caso acima,
com duas pessoas e considerando que o olho dela não deve ser azul. Mas se
nenhuma das duas na segunda noite após o pronunciamento da Guru, então
significa que o olho dela deve ser azul e poderia sair na terceira noite. Nesse
caso, com três pessoas, a primeira sairá na terceira noite após o
pronunciamento.
Expandindo esse raciocínio, você perceberá que para n pessoas de olhos
azuis, a primeira pessoa de olhos azuis sairá na n-sima noite após o
pronunciamento da Guru. Sendo assim, para 100 pessoas de olhos azuis, uma
pessoa de olhos azuis sairá na centésima noite.
Respostas
4)
A solução é um pouquinho complexa...
Acesse http://criticanarede.com/puzzle.html para conferir.
Até a próxima aula!

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Aula03 - Lógica

  • 1. Aula 03 – Lógica Ilustração de John Tenniel para o livro “Alice Através do Espelho e o Que Ela Encontrou por Lá” de Lewis Carroll
  • 2. O que é a lógica? Lógica é o estudo da maneira correta de raciocinar. Como a filosofia é uma atividade que busca responder questões de maneira racional, a lógica é uma ferramenta de extrema importância.
  • 3. Origens da Lógica A lógica nasce juntamente com o pensamento filosófico da Grécia Antiga. Já nos pré-socráticos havia uma tentativa de compreender a realidade de modo mais racional. Os sofistas utilizavam da lógica para elaborar argumentos que vencessem uma discussão. Protágoras (481 aC – 420 aC) e Górgias (483 aC – 376 aC) foram os sofistas mais conhecidos.
  • 4. Origens da Lógica Platão desenvolveu um modo de pensar baseado na dialética, no entendimento da época, a arte do debate: os textos dele eram feitos em formato de diálogo. Mas foi com Aristóteles, discípulo de Platão, que a lógica começou a ser estudada com mais cuidado. Aristóteles
  • 5. Lógica Aristotélica Aristóteles pode ser considerado um precursor da lógica formal, ou seja, uma lógica analisada de maneira mais rigorosa. A base da lógica aristotélica está nas proposições. Proposições são sentenças que podem assumir um valor de verdade (verdadeiro ou falso). Proposições podem apresentar termos (como “homem” ou “cão”), mas esses termos isolados não contém valor de verdade.
  • 6. Lógica Aristotélica Exemplo: A sentença “Algum homem tem um cão.” Essa sentença completa é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa. Mas “homem” e “cão” isolados não assumem valor de verdade.
  • 7. Lógica Aristotélica Proposições da lógica aristotélica que envolvam Todo, Algum ou Nenhum são o que chamamos hoje de proposições categóricas. Quadrado lógico das quatro proposições categóricas básicas: A, E, I e O.
  • 8. Lógica Aristotélica A lógica aristotélica segue alguns princípios básicos. Princípio da Negação Uma proposição que é negada tem seu valor de verdade invertido. Exemplo: Primeira proposição: “Uma galinha é uma ave” Segunda proposição: “Uma galinha não é uma ave” A segunda é negação da primeira. Se a primeira for verdadeira, a segunda será falsa. Se a primeira for falsa, a segunda será verdadeira.
  • 9. Lógica Aristotélica Princípio da Não-Contradição Uma mesma proposição não pode ser verdadeira e ao mesmo tempo também ser falsa. Exemplo: “Uma galinha é uma ave e uma galinha não é uma ave”
  • 10. Lógica Aristotélica Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Para Aristóteles não há terceira opção! Exemplo: “Uma galinha é uma ave ou uma galinha não é uma ave”
  • 11. Lógica Aristotélica Silogismo É um processo de raciocínio dedutivo. Partimos de uma premissa (pressuposto) universal e de uma premissa particular para tirarmos uma conclusão. Exemplo: Premissa 1 (universal): Todo homem é mortal. Premissa 2 (particular): Sócrates é homem. Conclusão: Sócrates é mortal.
  • 12. Lógica Moderna Com o passar dos séculos, a lógica se aproximou muito da matemática. Gottlob Frege (1848 - 1925), um lógico do século XX, elaborou uma nova notação para falar em termos lógicos. Nasce assim a lógica moderna, cujas principais divisões são a lógica proposicional e a lógica quantificacional. Frege
  • 13. Lógica Moderna Lógica proposicional Denotamos cada proposição por uma letra minúscula. p, q, r, … Cada proposição pode assumir um valor de verdade: verdadeiro (V) ou falso (F). E ligamos essas proposições por conectivos lógicos. Daí podemos analisar a tabela de verdade para cada composição de proposições (fórmulas).
  • 14. Lógica Moderna Negação (¬): Inverte o valor de verdade da proposição p. p ¬p V F F V
  • 15. Lógica Moderna Conjunção (&): Só é verdadeira quando as duas proposições p e q forem verdadeiras. Leia p & q como “p e q”. p q p & q V V V V F F F V F
  • 16. Lógica Moderna Disjunção (v): Só é falsa quando as duas proposições p e q forem falsas. Lemos p v q como “p ou q”. p q p v q V V V V F V F V V
  • 17. Lógica Moderna Implicação (→): Só é falsa quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. Leia p→q como “p implica q” ou “se p, então q”. p q p → q V V V V F F F V V
  • 18. Lógica Moderna Exemplos O princípio aristotélico da não-contradição em lógica moderna seria escrever p & ¬p. Só há duas linhas possíveis de acordo com a tabela de verdade abaixo: p ¬p p & ¬p V F F F V F Exercício: como ficaria a tabela de verdade do princípio do terceiro excluído?
  • 19. Lógica Moderna Lógica Quantificacional Lógica Quantificacional (ou Teoria de Quantificação ou Lógica de Primeira Ordem) é mais ampla que a lógica proposicional, englobando predicados e quantificadores. Com essa lógica podemos expressar melhor as proposições categóricas e os silogismos.
  • 20. Lógica Moderna Exemplo de quantificação universal. Pegue a proposiçaõ “Todo homem é mortal.” Em lógica quantificacional: ∀x (Hx → Mx) Traduzindo: Para todo x temos que se x é homem, então x é mortal. ∀x: para todo x Hx: x é homem (predicado) Mx: x é mortal (predicado)
  • 21. Lógica Moderna Exemplo de quantificação existencial. Tome a proposição “Alguns homens são pais.” Em lógica quantificacional: ∃x (Hx & Px) Traduzindo: Existe algum x tal que x é homem e também é pai. ∃x : existe algum x Hx: x é homem (predicado) Px: x é mortal (predicado)
  • 22. Lógica Moderna Mas silogismos também podem ser analisados em termos de teoria de conjuntos. M: conjuntos dos mortais. H: conjuntos dos homens. M H Nesse diagrama de Venn expressamos a proposição “Todo homem é mortal”.
  • 23. Argumentação A noção de implicação pode ser útil para a avaliação de um argumento, ou seja, uma justificativa racional para a aceitação do valor de verdade de uma proposição. Um argumento certamente será válido se conseguir ser encaixado em uma implicação necessária, ou seja, se uma conjunção de premissas levar necessariamente a uma conclusão verdadeira (como é o caso de um silogismo).
  • 24. Argumentação Exemplo: Faltei na reunião, pois meu carro quebrou. Premissa 1 (P1): Se meu carro quebrar, então não tenho transporte. Premissa 2 (P2): Se não tenho transporte, então não tenho como ir à reunião. Premissa 3 (P3): Meu carro quebrou. Conclusão (C): Não posso ir à reunião. O argumento será válido se a conjunção das três premissas (P1&P2&P3) implicar necessariamente na conclusão C.
  • 25. Argumentação Então: (P1&P2&P3) → C Pela tabela de verdade, a implicação será falsa quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa. Se alguma das premissas for falsa, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (conferir tabela de verdade). Nesse caso, a conclusão não seria necessária! Sendo assim, para um argumento ser válido, tanto as premissas quanto a conclusão precisam ser verdadeiras.
  • 26. Argumentação No exemplo dado, o argumento se tornará inválido se uma das premissas for falsa ou se a conclusão for falsa. Você pode, por exemplo, negar uma das premissas: se seu carro quebrar, você não fica necessariamente sem transporte (você pode pegar um táxi ou um ônibus). Repare que validade não é a mesma coisa que verdade. Um argumento pode ser verdadeiro e ainda assim ser inválido (ele pode ter premissas falsas e uma conclusão verdadeira, ou seja, uma implicação verdadeira de acordo com a tabela de verdade).
  • 27. Argumentação Falácia Um argumento não válido é chamado de falácia. Sofisma Sofisma é uma falácia elaborada com a intenção de parecer verdadeira. Tem esse nome por conta dos filósofos sofistas que utilizavam de processo racional com a intenção de sempre vencerem o debate.
  • 28. Argumentação Exemplo de Falácia P1: Alguns biscoitos são feitos de água e sal. P2: O mar é feito de água e sal. C (Conclusão): O mar é um biscoito gigante! P1 e P2 são verdadeiras, mas a conclusão é evidentemente falsa. Sendo assim, o argumento é inválido.
  • 29. Paradoxos Pelo princípio da não-contradição não podemos ter uma proposição verdadeira e falsa ao mesmo tempo. No entanto, algumas proposições parecem contraditórias, em especial, proposições autorreferenciais (que falam de si mesmas).
  • 30. Paradoxos Paradoxo do Mentiroso “Esta frase é uma mentira” Se ela for verdadeira, então é falsa. Se ela for falsa, então é verdadeira. Mas se for verdadeira, então é falsa...
  • 31. Paradoxos Paradoxo de Russell Bertrand Russell (1872 – 1970) trabalhou alguns problemas relativos a questões de autorreferência. Pela teoria de conjuntos, nada impede que se tenha um conjunto de conjuntos. Exemplo: A = {{B}, {C}} {B} ϵ A
  • 32. Paradoxos Paradoxo de Russell Nada impede que se tenha um conjunto que seja elemento de si mesmo. Exemplo: A = {{A}, {B}, {C}} Sendo assim, há conjuntos que são elementos de si mesmos (se pertencem) e outros que não.
  • 33. Paradoxos Paradoxo de Russell Nesse caso, podemos ter um conjunto S de todos os conjuntos que não se pertencem. Mas S se pertencerá? Se sim, S não será um conjunto fechado de todos os conjuntos que não se pertencem. Se não, S não tem todos os conjuntos que não se pertencem (faltaria o próprio S!) Paradoxo!
  • 34. Paradoxos Paradoxo do Barbeiro Uma analogia que pode ajudar a entender o paradoxo de Russell: Um barbeiro de certa cidade barbeia todas as pessoas que não se barbeiam. Ele se barbeia? Se sim, então ele barbeia uma pessoa que se barbeia (ele mesmo). Contradição. Se não, então ele não barbeia todas as pessoas que não se barbeiam (ele mesmo, de novo!). Outra contradição!
  • 35. Paradoxos Como resolver esses paradoxos? Russell concluiu que sentenças autorreferenciais não podem ser classificadas no mesmo nível que as sentenças comuns. Um conjunto que pertença a si mesmo deve ser estudado em uma classe diferente de conjuntos.
  • 36. Paradoxos Teorema da Incompletude Kurt Gödel (1906 – 1978) utilizou essa questão da autorreferência para mostrar que nenhum sistema lógico é completo e consistente, em outras palavras, não é possível demonstrar todas as proposições geradas em um sistema lógico sem cair em contradição.
  • 37. Paradoxos Teorema da Incompletude Pense no sistema lógico da nossa própria linguagem. Podemos elaborar a proposição: “É impossível provar que esta proposição é verdadeira” → Se ela for verdadeira, então não pode ser provada. → Se ela for falsa, pode ser provada que é verdadeira, mas seria uma contradição (pois estamos dizendo que ela é falsa!). Sendo assim, um sistema lógico terá proposições inconsistentes.
  • 38. Problemas Lógicos A lógica pode ser utilizada para solucionar certos tipos de problema. Um exemplo típico é o problema das duas portas.
  • 39. Problemas Lógicos Problema das duas portas Você está preso em um labirinto e encontra duas portas. Uma leva para a saída e a outra para uma armadilha que certamente irá te matar. Você não sabe qual é a certa. Cada porta é protegida por uma guardiã. As duas sabem qual porta é qual. Mas você só pode fazer uma, e apenas uma, pergunta que tenha Sim ou Não como resposta para apenas uma delas. Acontece que uma dessas guardiãs sempre mente e a outra sempre fala a verdade, mas você não sabe quem é quem. Que pergunta você deve fazer?
  • 40. Problemas Lógicos Solução Precisamos ter em mente que queremos saber qual é a porta correta e não qual guardiã fala a verdade. Sendo assim, se tivermos uma resposta que nos oriente para a porta correta, solucionaremos o problema. Não sabemos quem mente, mas sabemos que a mentirosa sempre inverterá a resposta correta. Assim, podemos pensar nas possibilidades.
  • 41. Problemas Lógicos Se falar a verdade e guardar a saída, ela responde: Se mentir e guardar a saída, ela responde: Se falar a verdade e não guardar a saída, ela responde: Se mentir e não guardar a saída, ela responde: Guarda a saída? Sim Não Não Sim A outra guardiã guarda a saída? Não Sim Sim Não A outra guardiã diria que guarda a saída? Sim Sim Não Não
  • 42. Problemas Lógicos Se falar a verdade e guardar a saída Se mentir e guardar a saída Se falar a verdade e não guardar a saída Se mentir e não guardar a saída Guarda a saída? Sim Não Não Sim A outra guardiã guarda a saída? Não Sim Sim Não A outra guardiã diria que guarda a saída? Sim Sim Não Não
  • 43. Problemas Lógicos De acordo com a tabela anterior, a pergunta “A outra guardiã diria que guarda a saída?” terá Sim como resposta se ela guardar a saída, independente da guardiã que você perguntar ser mentirosa ou não. Sendo assim, uma solução possível seria perguntar justamente “A outra guardiã diria que guarda a saída?” Raymond Smullyan é um lógico contemporâneo responsável pela criação de vários enigmas desse tipo. Obras famosas: Alice no País dos Enigmas, O Enigma de Sheherazade, A Dama e o Tigre.
  • 44. Exercícios 1) Construa a tabela de verdade das seguintes fórmulas: p & (p v q) p → (p&q) p & ¬q (p → q) & (q → p)
  • 45. Exercícios 2) Leia o texto abaixo: “A população mundial quadruplicou desde 1900 e o consumo de água, no mesmo período, aumentou quase dez vezes, esse crescimento populacional exige maior demanda de recursos hídricos, que não pode ser atendida pelo ciclo natural hidrográfico e consequentemente a qualidade da água é progressivamente prejudicada.” Marcus Augusto da Silva Braga. Texto original publicado em: http://www.sermelhor.com.br/ecologia/sobre-a-agua-e-a-falta-dagua.html Identifique o argumento (premissas e conclusão) apresentado.
  • 46. Exercícios 3) Um homem precisa levar uma raposa, uma galinha e uma espiga de milho para a outra margem de um rio utilizando um barco. No entanto, ele não pode levar mais do que dois deles ao mesmo tempo neste barco. Se ele deixar a raposa sozinha com a galinha, a raposa devora a galinha. Se ele deixar a galinha sozinha com a espiga de milho, a ave come o milho. Como ele poderá levar os três (raposa, galinha e milho) para o outro lado do rio?
  • 47. Exercícios 4) Em certo local há um hospício onde os pacientes sofrem da seguinte loucura: eles acreditam que todas as proposições falsas são verdadeiras e que todas as proposições verdadeiras são falsas. Sendo assim, um louco desse local acreditaria que 2 + 2 = 4 é mentira, mas que 1 + 1 = 3 é verdade. Os médicos do local são mentalmente saudáveis e acreditam que proposições verdadeiras são verdadeiras e proposições falsas são falsas. Imagine que você chegue nesse local e não saiba reconhecer quem são os médicos e quem são os pacientes. Ao se aproximar de dois dos habitantes (vamos chamá-los de A e B) do hospício, A diz que ambos são pacientes (ou seja, ambos loucos). Isso é verdade?
  • 48. Exercícios 5) Um grupo de pessoas com olhos de diferentes cores mora numa ilha. Elas são perfeitas em seus pensamentos lógicos, se uma conclusão pode ser deduzida logicamente, elas a farão instantaneamente. Ninguém sabe a cor de seus próprios olhos. Toda noite, à meia-noite, uma balsa chega na ilha. Qualquer uma que descobrir a cor de seus próprios olhos deixa a ilha e o resto fica. Qualquer uma pode ver qualquer uma o tempo todo e sabem a contagem do número de pessoas que elas veem com cada cor dos olhos (excluindo a si próprias), mas elas não podem se comunicar. Todos na ilha conhecem as regras deste parágrafo. Nessa ilha há 100 pessoas de olhos azuis, 100 pessoas de olhos castanhos e a Guru (ela tem olhos verdes). Então, qualquer pessoa de olhos azuis pode ver 100 pessoas de olhos castanhos e 99 de olhos azuis (e uma de olhos verdes), mas isso não lhe diz a cor de seus próprios olhos. Podem imaginar que os totais são 101 castanhos e 99 azuis, ou 100 castanhos, 99 azuis e ela pode ter olhos vermelhos. A Guru pode falar apenas uma vez (digamos, ao meio-dia) em um único dia de toda eternidade delas na ilha. Em pé em frente aos habitantes da ilha, ela diz o seguinte: "Eu posso ver alguém que tem olhos azuis." Quem deixa a ilha, e em que noite? Lá não há espelhos ou superfícies refletivas. Não é uma pegadinha e a resposta é lógica. Não depende de truque de palavras ou alguém mentindo ou supondo e não envolve pessoas fazendo coisas como comunicação por sinais etc. A Guru não fez sinal com os olhos para alguém em particular, ela simplesmente disse "eu contei pelo menos uma pessoa de olhos azuis nesta ilha que não sou eu". E finalmente, a resposta não é "ninguém deixou a ilha".
  • 49. Exercícios 6) Esse problema é conhecido como o problema de lógica mais difícil de todos os tempos. Três deuses A, B e C são chamados, em alguma ordem, Verdadeiro, Falso, e Acaso. Verdadeiro sempre fala a verdade, Falso sempre fala mentindo, mas se Acaso fala a verdade ou mente é uma questão completamente aleatória. Sua tarefa é determinar a identidade de A, B e C, fazendo três perguntas do tipo sim-não; cada pergunta deve ser colocada para exatamente um deus. Os deuses entendem Português, mas irão responder todas as perguntas na sua própria língua, em que as palavras para sim e não são 'da' e 'ja', em alguma ordem. Você não sabe qual palavra significa sim e por conseguinte qual significa não. Você pode fazer mais de uma pergunta para o mesmo deus (não é necessário que todos os deuses respondam uma das três perguntas). Essa história do Acaso falar a verdade ou mentir aleatoriamente pode ser entendida como uma moeda que o deus joga mentalmente antes de responder. Se der cara ele fala a verdade, mas se der coroa ele mente. Você não tem como saber o resultado desse lançamento. De qualquer maneira, Acaso responderá Da ou Ja. A resposta de uma pergunta pode depender da pergunta anterior.
  • 50. Respostas p q p v q p&q ¬q p → q q → p p & (p v q) p → (p&q) p & ¬q (p → q) & (q → p) V V V V F V V V V F V V F V F V F V V F V F F V V F F V F F V F F F F F F V V V F V F V 1)
  • 51. Respostas 2) “A população mundial quadruplicou desde 1900 e o consumo de água, no mesmo período, aumentou quase dez vezes, esse crescimento populacional exige maior demanda de recursos hídricos, que não pode ser atendida pelo ciclo natural hidrográfico e consequentemente a qualidade da água é progressivamente prejudicada.” Premissa 1: Se a população e o consumo de água aumentam, então há maior demanda por recursos hídricos. Premissa 2: Se há maior demanda de recursos hídricos, então o ciclo natural hidrográfico não consegue atender essa demanda. Premissa 3: Se o ciclo natural hidrográfico não consegue atender a demanda, então a qualidade da água é prejudicada. Conclusão: Se a população e o consumo de água aumentam, então a qualidade da água é prejudicada.
  • 52. Respostas 3) * Levar a galinha (pois a raposa não vai comer o milho); * Voltar; * Levar o milho e pegar a galinha (para ela não comer o milho); * Voltar com a galinha e pegar a raposa; * Levar a raposa; * Voltar; * Pegar a galinha e levar a galinha.
  • 53. Respostas 4) Suponha que A seja médico. Isso significa que ele acredita que proposições verdadeiras são verdadeiras e que proposições falsas são falsas. Se ele diz que ambos (ele e B) são loucos, então ele acredita que isso seja verdade. Se ele for médico, só poderia acreditar em proposições verdadeiras. Mas se for verdade que ambos são loucos, então A não poderia ser médico. Sendo assim, A deve ser louco. Mas um louco acreditaria que uma proposição falsa é verdadeira. Sendo assim, se A é louco, então é falso que ambos sejam loucos. Portanto, A é louco, mas B não é.
  • 54. Respostas 5) Suponha exatamente o mesmo enigma, mas ao invés de 201 pessoas tivessemos apenas três: uma de olhos azuis, uma de olhos castanhos e a Guru. Quando a Guru dissesse que há uma pessoa de olhos azuis, a pessoa de olhos azuis poderia pensar o seguinte: “há uma pessoa de olho azul. Se isso é verdade e nenhuma das outras pessoas tem olho azul, logo o meu olho deve ser azul.” Com isso, podemos dizer que com uma pessoa de olho azul na ilha, ela sairá da ilha na primeira noite após o pronunciamento da Guru. Agora imagine que há duas pessoas de olhos azuis na ilha. Após o pronunciamento da guru, uma das pessoas de olhos azuis (vamos chamá-la de A) poderia pensar o seguinte: “se o meus olhos não forem azuis, então só há mais uma pessoa de olhos azuis na ilha. Como ela perceberá apenas pessoas que não tem olhos azuis, concluirá que os olhos delas são azuis e sairá”. Passa a primeira noite e aquela pessoa não sai. A pensará o seguinte: “Se os meus olhos não fossem azuis, então ela deveria ter saído ontem. Ela não saiu. Logo, os meus olhos devem ser azuis.”
  • 55. Respostas 5 - Continuação) Portanto, se há duas pessoas de olhos azuis na ilha, a primeira sairá na segunda noite. E se houvesse três pessoas de olhos azuis na ilha? Uma delas iria ver as outras duas com olhos azuis e raciocinaria de modo semelhante ao caso acima, com duas pessoas e considerando que o olho dela não deve ser azul. Mas se nenhuma das duas na segunda noite após o pronunciamento da Guru, então significa que o olho dela deve ser azul e poderia sair na terceira noite. Nesse caso, com três pessoas, a primeira sairá na terceira noite após o pronunciamento. Expandindo esse raciocínio, você perceberá que para n pessoas de olhos azuis, a primeira pessoa de olhos azuis sairá na n-sima noite após o pronunciamento da Guru. Sendo assim, para 100 pessoas de olhos azuis, uma pessoa de olhos azuis sairá na centésima noite.
  • 56. Respostas 4) A solução é um pouquinho complexa... Acesse http://criticanarede.com/puzzle.html para conferir. Até a próxima aula!