aula sobre logica matematica

1. Introdução a Lógica

2. Estudar Lógica... para quê?
 Pensar “corretamente” encadeando o
raciocínio.
 Formalizar o raciocínio lógico: tornar explícito
aquilo que é implícito.
 Facilitar a programação lógica: Circuitos
lógicos, Fluxogramas, Modelagem de dados,
Linguagens de montagem e linguagens
estruturadas de computação.
 Solucionar problemas com uso de técnicas de
inteligência artificial: Lógica “fuzzy”, Redes
Neurais, Algoritmos genéticos.

3. História e evolução da lógica
 A lógica iniciou-se com Aristóteles (384-322
A.C.), em sua obra Organum (“ferramenta”)
estabeleceu os princípios gerais e sólidos que
domina o pensamento ocidental há mais de 2
mil anos.
 Os filósofos gregos utilizavam a Lógica em suas
discussões sob formas de sentenças afirmativas
ou negativas.
 Leibniz, por volta de 1666, a utilizou em vários
trabalhos chamando-a de calculus ratiotinator
originando a idéia da lógica matemática.

4. História e evolução da lógica
 Euler, no século XVIII, fez a 1a representação
gráfica entre sentenças (proposições).
 Entre 1847 a 1859 DeMorgan e Boole publicaram
vários tratados e livros que deram uma base
algébrica e formal para a lógica.
 Em 1879, Fregue provoca uma revolução ao
desenvolver um sistema de representação
simbólica: a lógica de predicados.
 Em 1937/1938 Nakashima e Shannon aplicam a
álgebra de Boole em circuitos com relés dando
origem ao 1o computador eletro-mecânico.

5. História e evolução da lógica
 A representação gráfica de Euler é ampliada
por Venn no século XIX, Veitch em 1952 e
Karnaugh em 1953 (mapas Veitch- Karnaugh).
 Na década de 60 Zadek estabeleceu a base
formal da teoria de conjuntos para a lógica
“fuzzy” ou difusa.
“A Lógica tem por objeto o estudo das leis
gerais do pensamento e as formas de aplicá-
las corretamente na investigação da
verdade”.

6. Evolução da lógica: argumentos
 Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio
que, a partir de conhecimentos anteriores considerados
verdadeiros (axiomas), permitiam obter novos
conhecimentos (novas verdades):
– Essa forma de encadeamento é chamado, em
Lógica, de argumento.
Argumento é coleção de informações (sentenças ou
proposições) em que uma delas, chamada
conclusão, é obtida a partir das outras, chamadas
premissas.
– As afirmações envolvidas são chamadas proposições;
– Usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão,
e as demais, são as premissas.

7.  Em um argumento válido, as premissas são
provas da verdade da conclusão.
 Eis um exemplo de argumento válido:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu ganhei na Loteria
Logo, sou rico
 Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das
duas premissas, esse argumento é considerado válido.
“A Lógica formal se preocupa com o relacionamento
entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a
forma do raciocínio, e não com seu conteúdo”.
“O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é
ou não uma conseqüência lógica das premissas”.
Evolução da lógica: argumentos

8. Evolução da lógica: argumentos
 A validade do argumento está ligada à forma
pela qual ele se apresenta, como mostrado no
enunciado:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico
 Embora seja semelhante ao anterior, tem outra
forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue
logicamente das premissas, portanto, não é um
argumento válido.
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10

9. Argumentos: dedução e indução
 Argumentos dedutivos: as premissas fornecem
uma prova conclusiva da veracidade da
conclusão.
– Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se
verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão.
 Argumentos indutivos: as premissas nem sempre
apresentam provas da veracidade da conclusão, mas,
apenas indicações dessa veracidade:
Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
“ Eles não são válidos ou inválidos, mas costumam ser
avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade
com que suas conclusões sejam estabelecidas”.

10. EXEMPLOS
Todos os homens são mortais Todos os homens são mortais
Todos os atenienses são homens. Sócrates é homem.
Todos os atenienses são mortais. Sócrates é mortal
Nenhum astro é perecível Nenhum tirano é amado.
Todas as estrelas são astros Dionísio é tirano.
Nenhuma estrela é perecível. Dionísio não é amado.

11. Proposições e Predicados
 Como a Lógica das proposições singulares é mais
simples que a lógica que trata também com conjuntos
de objetos, o estudo é separado em duas partes:
– O Cálculo Proposicional, ou Lógica Sentencial, que se
ocupa das proposições singulares.
Se o cão é mamífero, então mama; Premissa Se A, então B
O cão é mamífero; Premissa Vale para A
Logo, o cão mama. Conclusão Então, vale B
– O Cálculo de Predicados, ou Lógica dos Predicados, que
trata dos conjuntos de objetos e suas propriedades.
Todos os homens são mortais. Premissa Todo B é A
Sócrates é um homem. Premissa Algum B é C
Logo, Sócrates é mortal. Conclusão Logo, algum C é A.

12. A Lógica e seus “Princípios”
 A Lógica Formal repousa sobre três princípios
fundamentais. São eles:
– Principio da Identidade: toda proposição é
idêntica a si próprio, (se uma afirmação é
verdadeira, ela é um axioma).
– Princípio da Não Contradição: Uma proposição
não pode, simultaneamente, ser verdadeira e
falsa. Isto é, de duas afirmações contraditórias,
uma necessariamente é falsa.
– Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição
é verdadeira ou falsa, não existindo uma terceira
opção.

13. Proposições: linguagem e dicotomia
 A lógica estuda a validade de argumentos.
 A linguagem utilizada é fundamental, pois por meio
dela expressamos as idéias em nossos raciocínios.
 O mundo apresenta situações dicotômicas, com duas
condições ou dois estados que mutuamente se
excluem:
Verdadeiro (V) Falso (F)
Ligado Desligado
Sim (S) Não (N)
Branco Preto
1 0

14.  Conectivos são expressões usadas para,a partir de
proposições conhecidas, gerar novas proposições.
 Em geral usam-se letras latinas A, B, C,... (a,b,c,..) para
indicar proposições arbitrárias.
Conectivo Função Símbolo (a, b) Significado
Não negação ¬a ou a ou a’ não a
e conjunção a ۸ b ou a • b a e b
ou disjunção a ۷ b ou a + b a ou b
se .....não condicional a  b ou a  b Se a, então b
se..e somente..se bicondicional a  b ou a  b a se, e somente se b
Proposições e conectivos

15. Tabelas-verdade
 Tabela-verdade é uma forma de representar todas as
combinações lógicas possíveis. Assim dados dois
interruptores/portas lógicas a e b, teremos:
 1) s = a 2) s = a + b (a ۷ b) 3) s = a • b (a ۸ b)
a s = a
0 (F) 1 (V)
1 (V) 0 (F)
a b s = a + b
0 (F) 0 (F) 0 (F)
0 (F) 1(V) 1 (V)
1 (V) 0 (F) 1 (V)
1 (V) 1 (V) 1 (V)
a b s = a • b
0 (F) 0 (F) 0 (F)
0 (F) 1 (V) 0 (F)
1 (V) 0 (F) 0 (F)
1 (V) 1 (V) 1 (V)