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LTC, Forense, Método, E.P.U. e Forense Universitária
O GEN-IO | GEN – Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras
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Capítulo 28
Campos Magnéticos
O Que Produz um Campo Magnético?
Os campos magnéticos podem ser produzidos de
duas formas.
A primeira forma é usar partículas eletricamente
carregadas em movimento, como os elétrons
responsáveis pela corrente elétrica em um fio, para
fabricar um eletroímã. A corrente produz um campo
magnético.
A outra forma de produzir um campo magnético é
usar partículas elementares, como os elétrons, que
possuem um campo magnético intrínseco.
Em alguns materiais, os campos magnéticos dos
elétrons se somam para produzir um campo magnético
no espaço que cerca o material. É por isso que um
ímã permanente possui um campo magnético
permanente.
Na maioria dos materiais, por outro lado, os campos
magnéticos dos elétrons se cancelam e o campo
magnético em torno do material é nulo.
A Definição de B
Podemos fazer uma analogia direta com a definição de campo elétrico.
A Definição de B
Podemos definir um campo magnético B fazendo uma partícula carregada passar
pelo ponto onde queremos definir o campo, usando várias direções e velocidades
para a partícula e medindo a força que age sobre a partícula nesse ponto. B é
definido como uma grandeza vetorial cuja direção coincide com aquela para a qual
a força é zero.
A força magnética que age sobre uma partícula carregada, FB, é definida através da
equação
onde q é a carga da partícula, v é a velocidade da partícula e B é o campo
magnético. O módulo da força é, portanto,
onde  é o ângulo entre os vetores v e B.
Determinação da Força Magnética
A unidade de campo magnético do SI é o tesla
(T), que equivale a um newton por coulomb-
metro por segundo ou um newton por
ampère-metro:
Uma unidade antiga de campo magnético,
que não pertence ao SI mas ainda é usada na
prática, é o gauss (G). A relação entre o gauss
e o tesla é a seguinte:
A Definição de B
Linhas de Campo Magnético
• A direção da tangente a uma linha de campo
magnético em qualquer ponto do espaço fornece a
direção de B nesseponto.
• O espaçamento das linhas representa o módulo de B ;
quanto mais intenso é o campo, mais próximas estão
as linhas, e vice-versa.
Exemplo: Força Magnética sobre uma Partícula em Movimento
Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron
1. Com E = 0 e B = 0 o ponto luminoso não sofre deflexão.
2. Aplicar o campo elétrico E e medir a deflexão resultante do feixe.
3. Mantendo E, ligar agora B e ajustar o seu valor até que o feixe retorne
à posição sem deflexão.
Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron
Substituindo ay e t, obtemos
Quando os dois campos são ajustados para que a força elétrica e a força magnética se
cancelem mutuamente, temos:
Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron
Campos Cruzados: O Efeito Hall
A figura mostra uma fita de cobre percorrida por uma corrente i e submetida a um campo
magnético. (a) Situação logo depois que o campo magnético é aplicado, mostrando a
trajetória curva de um elétron. (b) Situação após o equilíbrio ser atingido, o que acontece
rapidamente. Observe que cargas negativas se acumulam do lado direito da fita, deixando
cargas positivas não compensadas do lado esquerdo. Assim, o potencial é maior do lado
esquerdo. (c) Para o mesmo sentido da corrente, se os portadores de carga fossem positivos,
tenderiam a se acumular no lado direito, que ficaria com um potencial maior.
Campos Cruzados: O Efeito Hall
Ao campo elétrico E que se estabelece entre as bordas da fita está associada uma diferença de
potencial
onde d é a largura da fita. Quando as forças elétrica e magnética estão em equilíbrio,
onde vd é a velocidade de deriva. Além disso,
onde J é a densidade de corrente, n é o número de cargas por unidade de volume e A é a área da
seção reta dada pela expressão
Assim,
onde l = A/d é a espessura da fita.
Exemplo: Diferença de Potencial em um Condutor em Movimento
Exemplo: Diferença de Potencial em um condutor em movimento (continuação)
Uma Partícula Carregada em Movimento Circular
Considere uma partícula de carga |q| e massa m que
se mova com velocidade v perpendicularmente a
um campo magnético uniforme de módulo B.
A força magnética age continuamente sobre a
partícula; como B e v são sempre perpendiculares,
a força faz a partícula descrever uma trajetória
circular.
O módulo da força magnética que age sobre
a partícula é
No caso do movimento circular,
Elétrons circulando em uma câmara que contém uma
pequena quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é
o anel claro). Na câmara existe um campo magnético
uniforme que aponta para fora da tela. A força
magnética aponta para o centro do anel. (Cortesia de
John Le P.Webb, Sussex University, Inglaterra)
Uma Partícula Carregada em Movimento Circular
Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena
quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é o anel claro). Na
câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para
fora da tela. A força magnética aponta para o centro do anel.
(Cortesia de John Le P
.Webb, Sussex University,Inglaterra)
Substituindo o raio, temos
Trajetórias Helicoidais
Fig. 28.11 (a) Uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético uniforme B com a velocidade
da partícula fazendo um ângulo  com a direção do campo. (b) A partícula descreve uma trajetória helicoidal de
raio r e passo p. (c) Uma partícula carregada se move em espiral na presença de um campo magnético não
uniforme. (A partícula pode ser aprisionada, passando a descrever um movimento de vaivém entre as regiões em
que o campo é mais intenso.) Observe que nas duas extremidades a componente horizontal da força magnética
aponta para o centro da região.
O vetor velocidade de uma partícula pode ser separado em duas componentes, uma paralela e outra
perpendicular ao campo magnético, . A componente paralela determina
o passo p da hélice (distância entre espiras sucessivas na Fig. 28-11b). A componente perpendicular
determina o raio da hélice.
Na Fig. 28-11c, o espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo é mais
intenso nessas regiões. Se o campo for suficientemente intenso, a partícula será “refletida” de volta para o
centro. Quando a partícula é refletida nas duas extremidades, dizemos que está aprisionada em uma
garrafa magnética.
Exemplo: Movimento Helicoidal de uma Partícula em um Campo
Magnético
Exemplo: Movimento Circular Uniforme
de uma Partícula em um Campo Magnético
28.7 Cíclotrons
Suponha que um próton, injetado pela fonte S situada no centro do
cíclotron na Fig. 28-13, esteja inicialmente se movendo em direção ao
dê da esquerda, negativamente carregado. O próton é atraído pelo dê e
entra nele. Depois de entrar, fica isolado do campo elétrico pelas
paredes de cobre do dê; em outras palavras, o campo elétrico não
penetra nas câmaras. O campo magnético, porém, não está sujeito aos
efeitos das paredes de cobre (um metal não magnético) e, portanto,
age sobre o próton, fazendo com que descreva uma trajetória
semicircular cujo raio, que depende da velocidade, é dado por r =
mv/|q|B).
Suponha que no instante em que o próton chega ao espaço central,
proveniente do dê da esquerda, a diferença de potencial entre os dois
dês seja invertida. Nesse caso, o próton é novamente atraído por um
dê negativamente carregado e é novamente acelerado. O processo
continua, com o movimento do próton sempre em fase com as
oscilações do potencial, até que a trajetória em espiral leve a partícula
até a borda do sistema, onde uma placa defletora a faz passar por um
orifício e deixar um dos dês.
A frequência f com a qual a partícula circula sob o efeito do campo
magnético (e que não depende da velocidade) pode ser igual à
frequência fosc do oscilador elétrico, ou seja,
O Síncrotron
O cíclotron não funciona bem no caso de prótons com uma energia maior que
50 MeV.Além disso, para prótons de 500 GeV e um campo magnéticode
1,5 T, o raio da circunferência é 1,1 km, o que exigiria um eletroímã de
tamanho descomunal.
O síncrotron foi criado para resolver esses dois problemas. Em vez de possuírem
valores fixos como no cíclotron, o campo magnético e a frequência do oscilador
variam com o tempo enquanto as partículas estão sendo aceleradas.
Quando isso é realizado de forma correta,
(1) a frequência de revolução das partículas permanece em fase com a
frequência do oscilador;
(2) as partículas descrevem uma trajetória circular em vez de espiral.
Mesmo assim, no caso de partículas de alta energia, o raio da trajetória não pode
deixar de ser grande. O síncrotron do Fermi National Accelerator Laboratory
(Fermilab), em Illinois, desligado em 2011, tinha uma circunferência de 6,3 km
e podia produzir prótons com uma energia da ordem de 1 TeV (= 1012 eV).
Exemplo: Acelerando uma Partícula Carregada em um Cíclotron
Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente
Considere um trecho de fio de comprimento L.
Após um intervalo de tempo t = L/vd, todos os
elétrons de condução desse trecho passam pelo
plano xx da Fig. 28.15.
A carga que passa pelo plano nesse intervalo é
dada por
Nesse caso,
Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente
Para qualquer orientação de B em relação a vd obtemos
Em módulo, podemos escrever
Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente
Para um fio curvo, podemos calcular a força dFB em uma porção
infinitesimal dL do fio.
Exemplo: Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente
Torque em uma Espira Percorrida por Corrente
As duas forças magnéticas, F e –F, produzem um torque que faz a
espira girar em torno do eixo central.
Torque em uma Espira Percorrida por Corrente
Para definir a orientação da espira mostrada em (a) em relação ao campo magnético, usamos um vetor
normal n que é perpendicular ao plano da espira. A figura (b) ilustra o uso da regra da mão direita para
determinar a orientação de n . Na figura (c), o vetor normal é mostrado fazendo um ângulo  com a
direção do campo magnético.
No lado 2 da espira, o módulo da força é
mas essa força é cancelada pela força a que está submetido o lado 4.
O módulo das forças que agem sobre os lados 1 e 3 é o mesmo,
Torque em uma Espira Percorrida por Corrente
mas, como é mostrado em (c), as duas forças não estão aplicadas ao longo da mesma reta e por isso
produzem um torque, dado por
No caso de uma bobina formada por N espiras de área A = ab, o torque total que age sobre a bobina é
Onde
É o momento de dipolo magnético da espira
Torque em uma Espira Percorrida por Corrente
Sendo assim, podemos escrever
Que em notação vetorial pode ser escrito como
O que é análogo ao torque sobre um dipolo elétrico
O Momento Magnético Dipolar
Como no caso do dipolo elétrico, um dipolo magnético
submetido a um campo magnético externo tem uma energia
que depende da orientação relativa entre o momento
magnético dipolar e o campo magnético:
A energia do dipolo magnético tem o valor mínimo
(−B cos 0 = −B), quando o momento dipolar aponta na
direção do campo magnético, e o valor máximo (−B cos
180° = +B) quando o momento dipolar aponta na direção
oposta.
Definição:
onde N é um número de espiras da bobina, i é a corrente na bobina e A é a área
envolvida pelas espiras da bobina.
Direção: O momento magnético dipolar aponta na direção da normal ao plano da bobina.
A definição de torque pode ser escrita na forma
O Momento Magnético Dipolar
De acordo com as equações acima,
a unidade de momento dipolar
magnético pode ser o ampère-
metro quadrado (A.m2) ou o joule
por tesla (J/T).

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  • 2. O GEN | Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, LTC, Forense, Método, E.P.U. e Forense Universitária O GEN-IO | GEN – Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras www.grupogen.com.br http://gen-io.grupogen.com.br
  • 4. O Que Produz um Campo Magnético? Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas formas. A primeira forma é usar partículas eletricamente carregadas em movimento, como os elétrons responsáveis pela corrente elétrica em um fio, para fabricar um eletroímã. A corrente produz um campo magnético. A outra forma de produzir um campo magnético é usar partículas elementares, como os elétrons, que possuem um campo magnético intrínseco. Em alguns materiais, os campos magnéticos dos elétrons se somam para produzir um campo magnético no espaço que cerca o material. É por isso que um ímã permanente possui um campo magnético permanente. Na maioria dos materiais, por outro lado, os campos magnéticos dos elétrons se cancelam e o campo magnético em torno do material é nulo.
  • 5. A Definição de B Podemos fazer uma analogia direta com a definição de campo elétrico.
  • 6. A Definição de B Podemos definir um campo magnético B fazendo uma partícula carregada passar pelo ponto onde queremos definir o campo, usando várias direções e velocidades para a partícula e medindo a força que age sobre a partícula nesse ponto. B é definido como uma grandeza vetorial cuja direção coincide com aquela para a qual a força é zero. A força magnética que age sobre uma partícula carregada, FB, é definida através da equação onde q é a carga da partícula, v é a velocidade da partícula e B é o campo magnético. O módulo da força é, portanto, onde  é o ângulo entre os vetores v e B.
  • 8. A unidade de campo magnético do SI é o tesla (T), que equivale a um newton por coulomb- metro por segundo ou um newton por ampère-metro: Uma unidade antiga de campo magnético, que não pertence ao SI mas ainda é usada na prática, é o gauss (G). A relação entre o gauss e o tesla é a seguinte: A Definição de B
  • 9. Linhas de Campo Magnético • A direção da tangente a uma linha de campo magnético em qualquer ponto do espaço fornece a direção de B nesseponto. • O espaçamento das linhas representa o módulo de B ; quanto mais intenso é o campo, mais próximas estão as linhas, e vice-versa.
  • 10. Exemplo: Força Magnética sobre uma Partícula em Movimento
  • 11. Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron 1. Com E = 0 e B = 0 o ponto luminoso não sofre deflexão. 2. Aplicar o campo elétrico E e medir a deflexão resultante do feixe. 3. Mantendo E, ligar agora B e ajustar o seu valor até que o feixe retorne à posição sem deflexão.
  • 12. Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron Substituindo ay e t, obtemos Quando os dois campos são ajustados para que a força elétrica e a força magnética se cancelem mutuamente, temos:
  • 13. Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron
  • 14. Campos Cruzados: O Efeito Hall A figura mostra uma fita de cobre percorrida por uma corrente i e submetida a um campo magnético. (a) Situação logo depois que o campo magnético é aplicado, mostrando a trajetória curva de um elétron. (b) Situação após o equilíbrio ser atingido, o que acontece rapidamente. Observe que cargas negativas se acumulam do lado direito da fita, deixando cargas positivas não compensadas do lado esquerdo. Assim, o potencial é maior do lado esquerdo. (c) Para o mesmo sentido da corrente, se os portadores de carga fossem positivos, tenderiam a se acumular no lado direito, que ficaria com um potencial maior.
  • 15. Campos Cruzados: O Efeito Hall Ao campo elétrico E que se estabelece entre as bordas da fita está associada uma diferença de potencial onde d é a largura da fita. Quando as forças elétrica e magnética estão em equilíbrio, onde vd é a velocidade de deriva. Além disso, onde J é a densidade de corrente, n é o número de cargas por unidade de volume e A é a área da seção reta dada pela expressão Assim, onde l = A/d é a espessura da fita.
  • 16. Exemplo: Diferença de Potencial em um Condutor em Movimento
  • 17. Exemplo: Diferença de Potencial em um condutor em movimento (continuação)
  • 18. Uma Partícula Carregada em Movimento Circular Considere uma partícula de carga |q| e massa m que se mova com velocidade v perpendicularmente a um campo magnético uniforme de módulo B. A força magnética age continuamente sobre a partícula; como B e v são sempre perpendiculares, a força faz a partícula descrever uma trajetória circular. O módulo da força magnética que age sobre a partícula é No caso do movimento circular, Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é o anel claro). Na câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para fora da tela. A força magnética aponta para o centro do anel. (Cortesia de John Le P.Webb, Sussex University, Inglaterra)
  • 19. Uma Partícula Carregada em Movimento Circular Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é o anel claro). Na câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para fora da tela. A força magnética aponta para o centro do anel. (Cortesia de John Le P .Webb, Sussex University,Inglaterra) Substituindo o raio, temos
  • 20. Trajetórias Helicoidais Fig. 28.11 (a) Uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético uniforme B com a velocidade da partícula fazendo um ângulo  com a direção do campo. (b) A partícula descreve uma trajetória helicoidal de raio r e passo p. (c) Uma partícula carregada se move em espiral na presença de um campo magnético não uniforme. (A partícula pode ser aprisionada, passando a descrever um movimento de vaivém entre as regiões em que o campo é mais intenso.) Observe que nas duas extremidades a componente horizontal da força magnética aponta para o centro da região. O vetor velocidade de uma partícula pode ser separado em duas componentes, uma paralela e outra perpendicular ao campo magnético, . A componente paralela determina o passo p da hélice (distância entre espiras sucessivas na Fig. 28-11b). A componente perpendicular determina o raio da hélice. Na Fig. 28-11c, o espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo é mais intenso nessas regiões. Se o campo for suficientemente intenso, a partícula será “refletida” de volta para o centro. Quando a partícula é refletida nas duas extremidades, dizemos que está aprisionada em uma garrafa magnética.
  • 21. Exemplo: Movimento Helicoidal de uma Partícula em um Campo Magnético
  • 22. Exemplo: Movimento Circular Uniforme de uma Partícula em um Campo Magnético
  • 23. 28.7 Cíclotrons Suponha que um próton, injetado pela fonte S situada no centro do cíclotron na Fig. 28-13, esteja inicialmente se movendo em direção ao dê da esquerda, negativamente carregado. O próton é atraído pelo dê e entra nele. Depois de entrar, fica isolado do campo elétrico pelas paredes de cobre do dê; em outras palavras, o campo elétrico não penetra nas câmaras. O campo magnético, porém, não está sujeito aos efeitos das paredes de cobre (um metal não magnético) e, portanto, age sobre o próton, fazendo com que descreva uma trajetória semicircular cujo raio, que depende da velocidade, é dado por r = mv/|q|B). Suponha que no instante em que o próton chega ao espaço central, proveniente do dê da esquerda, a diferença de potencial entre os dois dês seja invertida. Nesse caso, o próton é novamente atraído por um dê negativamente carregado e é novamente acelerado. O processo continua, com o movimento do próton sempre em fase com as oscilações do potencial, até que a trajetória em espiral leve a partícula até a borda do sistema, onde uma placa defletora a faz passar por um orifício e deixar um dos dês. A frequência f com a qual a partícula circula sob o efeito do campo magnético (e que não depende da velocidade) pode ser igual à frequência fosc do oscilador elétrico, ou seja,
  • 24. O Síncrotron O cíclotron não funciona bem no caso de prótons com uma energia maior que 50 MeV.Além disso, para prótons de 500 GeV e um campo magnéticode 1,5 T, o raio da circunferência é 1,1 km, o que exigiria um eletroímã de tamanho descomunal. O síncrotron foi criado para resolver esses dois problemas. Em vez de possuírem valores fixos como no cíclotron, o campo magnético e a frequência do oscilador variam com o tempo enquanto as partículas estão sendo aceleradas. Quando isso é realizado de forma correta, (1) a frequência de revolução das partículas permanece em fase com a frequência do oscilador; (2) as partículas descrevem uma trajetória circular em vez de espiral. Mesmo assim, no caso de partículas de alta energia, o raio da trajetória não pode deixar de ser grande. O síncrotron do Fermi National Accelerator Laboratory (Fermilab), em Illinois, desligado em 2011, tinha uma circunferência de 6,3 km e podia produzir prótons com uma energia da ordem de 1 TeV (= 1012 eV).
  • 25. Exemplo: Acelerando uma Partícula Carregada em um Cíclotron
  • 26. Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente
  • 27. Considere um trecho de fio de comprimento L. Após um intervalo de tempo t = L/vd, todos os elétrons de condução desse trecho passam pelo plano xx da Fig. 28.15. A carga que passa pelo plano nesse intervalo é dada por Nesse caso, Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente Para qualquer orientação de B em relação a vd obtemos
  • 28. Em módulo, podemos escrever Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente Para um fio curvo, podemos calcular a força dFB em uma porção infinitesimal dL do fio.
  • 29. Exemplo: Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente
  • 30. Torque em uma Espira Percorrida por Corrente As duas forças magnéticas, F e –F, produzem um torque que faz a espira girar em torno do eixo central.
  • 31. Torque em uma Espira Percorrida por Corrente Para definir a orientação da espira mostrada em (a) em relação ao campo magnético, usamos um vetor normal n que é perpendicular ao plano da espira. A figura (b) ilustra o uso da regra da mão direita para determinar a orientação de n . Na figura (c), o vetor normal é mostrado fazendo um ângulo  com a direção do campo magnético. No lado 2 da espira, o módulo da força é mas essa força é cancelada pela força a que está submetido o lado 4. O módulo das forças que agem sobre os lados 1 e 3 é o mesmo,
  • 32. Torque em uma Espira Percorrida por Corrente mas, como é mostrado em (c), as duas forças não estão aplicadas ao longo da mesma reta e por isso produzem um torque, dado por No caso de uma bobina formada por N espiras de área A = ab, o torque total que age sobre a bobina é Onde É o momento de dipolo magnético da espira
  • 33. Torque em uma Espira Percorrida por Corrente Sendo assim, podemos escrever Que em notação vetorial pode ser escrito como O que é análogo ao torque sobre um dipolo elétrico
  • 34. O Momento Magnético Dipolar Como no caso do dipolo elétrico, um dipolo magnético submetido a um campo magnético externo tem uma energia que depende da orientação relativa entre o momento magnético dipolar e o campo magnético: A energia do dipolo magnético tem o valor mínimo (−B cos 0 = −B), quando o momento dipolar aponta na direção do campo magnético, e o valor máximo (−B cos 180° = +B) quando o momento dipolar aponta na direção oposta. Definição: onde N é um número de espiras da bobina, i é a corrente na bobina e A é a área envolvida pelas espiras da bobina. Direção: O momento magnético dipolar aponta na direção da normal ao plano da bobina. A definição de torque pode ser escrita na forma
  • 35. O Momento Magnético Dipolar De acordo com as equações acima, a unidade de momento dipolar magnético pode ser o ampère- metro quadrado (A.m2) ou o joule por tesla (J/T).