Eletromagnetismo

CAPÍTULO 2
CARACTERÍSTICAS MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS.
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Na maior parte das vezes os campos magnéticos, antes de constituírem em um fim
em si mesmo, são um meio utilizado para alcançar um resultado; em outras palavras,
geralmente não há sentido em gerar um campo magnético sem que este se destine à
obtenção de algum outro tipo de fenômeno.
Uma das maiores utilidades de um campo magnético é servir como "intermediário"
para a transformação de energia elétrica em mecânica – e vice-versa -, em um processo
conhecido como conversão eletro-mecânica de energia, presente nas máquinas elétricas.
No caso de um gerador, por exemplo, a energia mecânica fornecida por uma fonte externa
(digamos, um motor a gasolina) é transformada em energia elétrica, como mostra a Fig. 2.1;
é o campo magnético quem propicia esta transformação, como veremos no próximo
capítulo.
Figura 2.1 - Fluxo de energia em um gerador elétrico
Máquinas que utilizam campos magnéticos têm seus elementos constitutivos
projetados de forma a proporcionar uma otimização na distribuição espacial destes campos.
Esses dispositivos se constituem em verdadeiros circuitos magnéticos, distribuindo os
fluxos magnéticos de maneira adequada ao bom funcionamento da máquina.
2.1 PERMEABILIDADE MAGNÉTICA
A permeabilidade magnética, simbolizada pela letra grega , é uma grandeza
característica de cada material e se refere à sua capacidade em "aceitar" a existência de
linhas de indução em seu interior. Assim, quanto maior for a permeabilidade de um
material, mais facilmente se "instalarão" linhas de indução em seu interior.
A permeabilidade magnética de um material pode ser comparada à condutância de
um corpo: enquanto esta exprime o grau de "facilidade" com que a corrente elétrica
percorre este corpo, aquela mede o grau de "facilidade" com que o fluxo magnético se
estabelece no interior de um material.

Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow
13
Figura 2.2 - Distribuição das linhas de indução geradas pela corrente i em um enrolamento:
(a) com núcleo de ar; (b) com núcleo de material de alta permeabilidade magnética relativa.
Denomina-se permeabilidade magnética relativa (r) de um material à relação
r
0

 

(2.1)
onde  é a permeabilidade do material e o = 4  10-7
Wb/A.m é a permeabilidade
magnética do vácuo. Então, um material com r = 1.000 é capaz de aceitar em seu interior
um número de linhas mil vezes maior que o vácuo.
Para melhor visualizar esta propriedade, observe-se a Fig. 2.2, que mostra dois
casos de distribuição de linhas de indução geradas pela corrente i que circula num
enrolamento. Em (a) não existe núcleo1
e as linhas se espalham por todo o espaço em torno
do enrolamento; já em (b), as linhas de indução se concentram no interior do núcleo em
torno do qual é feito o enrolamento, graças à elevada permeabilidade relativa do material,
resultando em um fluxo magnético mais intenso. As poucas linhas que "escapam" através
do espaço em torno do núcleo constituem o chamado fluxo de dispersão.
A classificação magnética dos materiais é feita de acordo com sua permeabilidade
magnética (ver Tab. 2.1):
a) Materiais paramagnéticos são aqueles que cuja permeabilidade relativa é pouco
maior que 1. Tais substâncias são levemente atraídas por campos magnéticos
excepcionalmente fortes, porém esta atração é tão fraca que são consideradas não-
magnéticas. Nessa classe se encontra um grande número de substâncias, como o ar, o
alumínio, o alumínio e a madeira.
b) Materiais diamagnéticos, como o bismuto, o cobre e a água, possuem
permeabilidade relativa um pouco menor que 1, sendo levemente repelidos por campos
magnéticos muito fortes. Também aqui estas forças são muito fracas, sendo esses materiais
considerados não-magnéticos.
1
Ou, como se costuma dizer, a bobina tem núcleo de ar.

14
c) Materiais ferromagnéticos, ou simplesmente materiais magnéticos, possuem
permeabilidade relativa muito maior que 1, sendo fortemente atraídos por campos
magnéticos em geral. Nesta categoria se incluem substâncias como o ferro, o cobalto, o
níquel e algumas ligas industriais.
Material
Permeabilidade magnética relativa
(R)
Classificação
magnética
Bismuto 0,999833 diamagnética
Água 0,999991 diamagnética
Cobre 0,999995 diamagnética
Ar 1,000000 paramagnética
Oxigênio 1,000002 paramagnética
Alumínio 1,000021 paramagnética
Cobalto 170 ferromagnética
Níquel 1.000 ferromagnética
Ferro 7.000 ferromagnética
Permalloy1
100.000 ferromagnética
(1) Liga composta por ferro (17%), molibdênio (4%) e níquel (79%).
A Tab. 2.1 mostra o valor da permeabilidade magnética relativa de alguns materiais.
É importante observar que se tratam de valores médios de permeabilidade, já que, como se
verá adiante, esta pode variar significativamente de acordo com a intensidade dos campos
magnéticos a que são submetidos os materiais.
2.2. TEORIA DE GAUSS-EWING
Embora sejam usadas há muito tempo, as propriedades magnéticas dos materiais até
hoje não são perfeitamente explicadas. Acredita-se que a "fonte" do magnetismo está no
movimento orbital dos elétrons em torno dos núcleos, gerando campos magnéticos
infinitesimais.
A chamada Teoria de Gauss-Ewing postula que em grande parte dos materiais esses
campos se cancelam mutuamente devido ao movimento desordenado dos elétrons; nos
materiais ferromagnéticos, entretanto, certos grupos de átomos estão "pareados", de forma
que seus campos se somam, formando o que se chama de domínios magnéticos, cada um
dos quais pode ser representado por um dipolo magnético semelhante a um ímã. Porém,
numa dada amostra de material ferromagnético, o alinhamento dos domínios é também
desordenado, como se mostra na Fig. 2.3(a), de forma que o material como um todo não
apresenta qualquer característica magnética2
.
No entanto, se um campo magnético externo de intensidade H for aplicado à
amostra, os domínios tendem a se alinhar por ele, como se vê na Fig. 2.3(b), reforçando
assim as propriedades magnéticas do material. A amostra comporta-se como um ímã, cujos
pólos são mostrados na figura; como se verá na Seção 2.3, esta "imantação" poderá ou não
2
Uma exceção seria um mineral conhecido como magnetita, que naturalmente apresenta-se magnetizado; é,
portanto, o único ímã natural que se conhece.

15
ser permanente, isto é, subsistir após a retirada do campo externo, dependendo do valor do
mesmo.
Figura 2.3 - Domínios em uma amostra de material: (a) não-magnético ou não-
magnetizado; (b) magnetizado pela aplicação de um campo magnético externo H
Esta teoria explica satisfatoriamente algumas características dos materiais
magnéticos:
 imãs naturais (ver nota de rodapé) já teriam os domínios naturalmente alinhados, de
forma a produzir os efeitos magnéticos sem a necessidade de campo externo;
 não se consegue isolar os pólos de um ímã: se um desses for partido ao meio obtém-se
dois ímãs completos, cada um com um pólo N e outro S;
 quando um ímã é submetido a choque mecânico ou aquecimento, pode perder sua
imantação: é que a energia fornecida ao material nesses casos pode ser suficiente para
desarranjar a orientação dos domínios;
 para se magnetizar uma agulha deve-se "esfregá-la" com o pólo de um ímã passado
sempre no mesmo sentido: o ímã produz o papel de campo externo necessário e a
movimentação constante promove um alinhamento dos domínios sempre no mesmo
sentido.
Quando um material magnético é submetido a um campo externo H , a indução
magnética B é dada pela soma dos efeitos devidos ao campo externo e ao vetor chamado
polarização magnética M , isto é:
oB (H M)  
equação que, em módulo, pode ser colocada sob a forma
o
M
B 1 M
H
 
   
 
O termo entre parênteses representa a permeabilidade magnética relativa do material,
portanto
0 rB H  
portanto, de acordo com a Eq. 2.1
B H  (2.2)
que é a mesma Eq. 1.12 do capítulo anterior.

16
2.3. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
Medidas realizadas em laboratório mostram que a relação B  H dada pela Eq. 2.2 é
essencialmente não-linear: se for traçado um gráfico relacionando o campo externo H com
a indução magnética B no material, obtém-se uma curva do tipo mostrado na Fig. 2.4,
conhecida como curva de magnetização ou característica BH do material.
A Teoria de Gauss-Ewing também explica o comportamento dessas curvas:
 Na região I acontece um crescimento
dos domínios favoravelmente
alinhados com o campo externo.
Nessa região as alterações são
reversíveis: se o campo externo for
retirado, os domínios voltarão a sua
situação original, sem haver
"fixação" das características
magnéticas na amostra.
 Se H for aumentado até a região II, o
aumento dos domínios é
acompanhado de uma tendência de
alinhamento de outros domínios com
o campo externo. A partir dessa
região, os efeitos magnéticos
tornam-se irreversíveis, de forma que
o material fica magnetizado mesmo
se o campo externo for anulado.
Figura 2.4 - Curva de magnetização típica de
materiais magnéticos
 Na região III, a maioria dos domínios já está alinhada com o campo externo, de modo
que é necessário um grande incremento de H para se conseguir um discreto aumento de
B.
Na região IV, todos os domínios da amostra estão alinhados com o campo externo; portanto
um aumento de H não produz qualquer alteração de B. Diz-se que, nesta situação, o
material atingiu a saturação magnética.
Se for estabelecida uma pequena alteração H no valor do campo magnético, haverá
um correspondente incremento B na indução magnética. A Eq. 2.2 permite concluir que
B
H

 

Se H  0, esta equação se transforma em uma derivada, que pode ser representada
geometricamente pela tangente à curva BH em cada ponto. Vê-se, então, que a
permeabilidade magnética não pode ser considerada uma constante: no ponto a mostrado na
Fig. 2.4 a permeabilidade é maior que no ponto b. A exceção é feita para o vácuo, onde a
permeabilidade é considerada constante e igual a 4  10-7
Wb/A.m.
Na Fig. 2.5 são mostradas as curvas de magnetização de alguns materiais
magnéticos usados em aplicações comerciais.

17
Figura 2.5 -- Curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos comerciais

18
2.4. HISTERESE
Suponha-se que uma amostra de material magnético seja submetida a um campo
magnético de intensidade H variável com o tempo (este é o caso típico de núcleos em torno
dos quais são feitos enrolamentos excitados por CA). Se a amostra estiver inicialmente
desmagnetizada e o campo for aumentando até o valor H1, a curva B  H segue a linha 0a
mostrada na Fig. 2.6. Caso o valor de H1 seja suficientemente elevado para atingir a região
II da curva de magnetização, quando o campo externo decrescer a curva seguirá pela linha
ab, de modo que para H = 0 o valor de B será dado pela ordenada 0b; este valor é chamado
de magnetização residual, pois é a magnetização que "resta" no material após o campo
externo ter-se reduzido a zero.
Para desmagnetizar a amostra será necessário inverter o sentido do campo e
aumentar sua intensidade até H2, valor conhecido
como força coercitiva3
. Se o campo continuar
aumentando até o valor – H1 (isto é, no sentido
contrário ao inicial), a curva B  B seguirá a linha
cd. No semiciclo seguinte o raciocínio é o mesmo,
de forma que após completado um ciclo obtém-se
uma curva semelhante à mostrada na Fig. 2.6,
chamada curva de histerese.
A forma do laço de histerese de um dado
material depende do máximo valor do campo
atingido no ciclo (H1). A curva obtida pela ligação
dos vértices dos laços de histerese obtidos para
diferentes valores de H1é chamada curva normal de
magnetização,.
Quando um material é submetido a um campo
magnético externo alternado, seus domínios estarão
em contínuo movimento, buscando alinhar-se com
H. Isso causa um "atrito" entre os domínios,
aquecendo o material e ocasionando as chamadas
perdas por histerese. Demonstra-se que essas
perdas são proporcionais à área encerrada na curva
de histerese.
Comprova-se experimentalmente que a
potência dissipada por unidade de volume de
material durante um ciclo de histerese é dada por
n
h h MP K .f.B (2.3)
onde Kh e n são constantes que dependem do
material e da própria densidade do campo
magnético, enquanto f é a freqüência do campo magnético (em Hz) e BM é o máximo valor
de B alcançado durante o ciclo.
3
Este termo é derivado do verbo coagir, que significa obrigar, forçar. De fato este valor de H2 obriga o
material a se desmagnetizar.
Figura 2.6 – Formação do laço de
histerese

19
2.5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Nos dispositivos eletromecânicos – e aí se incluem geradores, motores, contactores,
relés, etc. – a utilização de enrolamentos e núcleos objetiva o estabelecimento de fluxos
magnéticos como meio de acoplamento na transformação de energia elétrica em mecânica,
ou vice-versa. Nesses dispositivos, a função do núcleo é "canalizar" para os pontos
desejados as linhas de indução do campo magnético geradas pelos enrolamentos. Fazendo
uma analogia com os circuitos elétricos, os enrolamentos seriam como fontes, os fluxos
magnéticos equivaleriam a correntes e os núcleos fariam o papel de condutores.
Para tornar mais evidente esta analogia, tome-se um núcleo toroidal, como o da Fig.
2.7(a), com seção transversal circular de raio r, confeccionado com um material de elevada
permeabilidade magnética . Em torno do mesmo é feito um enrolamento de N espiras
onde circula a corrente constante I, gerando um campo magnético. Como a permeabilidade
do material magnético é muito maior que a do ar que o circunda, é válido pensar que as
linhas de indução estará confinadas ao núcleo.
Figura 2.6 - Bobina toroidal: (a) aspecto físico; (b) circuito elétrico análogo
Pode-se deduzir que o campo magnético no interior desse núcleo não é uniforme, já
que as espiras estão mais próximas entre si na parte interna do que na externa, o que
significa que o campo vai enfraquecendo em direção à parte exterior do núcleo. Para
contornar esse problema, que dificulta o processo de cálculos, toma-se a linha de indução
correspondente a um raio médio R, representada por uma linha tracejada na Fig. 2.7(a) e
aplica-se a Lei de Ampère (Eq. 1.13). Como cada uma das espiras transporta a corrente I e
contribui para a formação do campo no interior do núcleo, a corrente total é NI, então
  NIHdH ll

onde l = 2R corresponde ao comprimento médio do núcleo.
Uma vez que a corrente no enrolamento é a "fonte" geradora do magnetismo, o
termo NI é chamado de força magnetomotriz (abreviadamente f.m.m.), simbolizada por F.
Então
lHNI F (2.4)

20
As principais unidades de f.m.m. são:
Ampère-espira (A-e) – usada no Sistema Internacional
e Gilbert = 0,7958 A-e.
O fluxo magnético  no interior do núcleo será
F
l
S
HSBS 
ou, ainda








l
S
1
F (2.5)
O termo entre parênteses nessa equação lembra a expressão para o cálculo da resistência
elétrica R de um corpo, dada por
1
R
S


l
onde  é a condutividade elétrica do material, l é o comprimento do condutor e S é a área
de sua seção transversal. Por esta razão, denomina-se relutância (R) à relação
S
1 l

R (2.6)
cuja unidade no Sistema Internacional é o Ampère-espira/Webber (A-e/Wb). Assim, a
Eq. 2.5 pode ser reescrita como
 RF (2.7)
que é a chamada Lei de Ohm para circuitos magnéticos, dada sua semelhança com a lei
homônima para circuitos elétricos.
A semelhança entre os circuitos magnéticos e elétricos é evidente. Na Tab. 2.2
mostra-se a analogia entre as grandezas mais comumente encontradas em um e outro tipo
de circuito. O circuito elétrico análogo ao da Fig. 2.7(a) é mostrado na Fig. 2.7(b).
Tabela 2.1 - Analogia entre grandezas dos circuitos elétricos e magnéticos
Circuito elétrico Circuito magnético
Grandeza Símbolo Grandeza Símbolo
Corrente I Fluxo magnético 
Densidade de corrente J Densidade de fluxo magnético B
Força eletromotriz (tensão) V Força magnetomotriz F
Intensidade de campo elétrico E Intensidade de campo magnético H
Condutividade elétrica  Permeabilidade magnética 
Resistência R Relutância R

21
Exemplo 2.1
Uma bobina é confeccionada com 500 espiras enroladas em torno de um núcleo
toroidal semelhante ao da Fig. 2.7(a), sendo a = 11 cm e b = 9 cm. Desejando-se
estabelecer no interior desse núcleo um fluxo magnético médio igual a 0,2 mWb,
determinar a corrente I necessária, supondo-se que o material é: (a) plástico; (b) ferro
fundido; (c) aço fundido.
Solução
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.7(b), Pelas dimensões dadas, segue-
se que o raio médio é R = 10 cm = 0,1 m e o comprimento médio do núcleo é
2 R 0,63 m  l
Como o raio da área de seção transversal é r = 1 cm = 0,01 m, a área desta seção será
2 4 2
S r 3,14 10 m
   
Qualquer que seja o material do núcleo, a indução magnética em seu interior é dada pela
Eq. 1.2
B 0,64 T
S

 
(a) No caso de plástico, bem como qualquer material não-magnético, pode-se considerar o
valor da permeabilidade magnética muito próxima ao do vácuo; logo, conforme a Eq. 1.13
o
B A e
H 506.862,88
m

 

Então
lHNI F  638,65 A
N
H
I 
l
(b) Na curva de magnetização do ferro-fundido (Fig. 2.5) vê-se que a saturação é atingida
para valores de B ligeiramente superiores a 0,4 T; assim, um núcleo desse material, com as
dimensões dadas, não é capaz de atingir o valor desejado de 0,64 T, o que significa, em
outras palavras, que não é possível obter-se o fluxo de 0,2 mWb nesse núcleo.
(c) Na curva de magnetização do aço fundido, para B = 0,64 T  H = 420 A-e/m, logo
420 0,63
I 0,53 A
500

 
Em circuitos magnéticos práticos, tais como em máquinas elétricas, normalmente
existem peças móveis, de modo que os núcleos possuem espaços livres chamados
entreferros. Ao cruzarem o entreferro, as linhas de indução se deformam - criando o
chamado efeito de espalhamento – devido ao aumento da relutância neste trecho, como se
vê na Fig. 2.8(a). Na maioria das situações esse efeito pode ser desconsiderado; porém, se
forem necessários cálculos mais precisos pode-se corrigir a influência dessa deformação
somando-se à cada uma das dimensões relativas à seção do entreferro o comprimento do
mesmo. Assim, se a e b forem respectivamente a largura e a profundidade do núcleo e g for
o comprimento do entreferro, como se mostra na Fig. 2.8(b), a seção reta do entreferro será
dada por
S = (a + g)  (b + g) (2.8)

22
Figura 2.7 - Efeito de espalhamento: (a) deformação das linhas de indução no entreferro;
(b) dimensões usadas para a correção.
Outro fator que deve ser considerado em cálculos mais precisos é o fluxo de
dispersão, já mencionado na Seção 2.1. Porém, desde que o material tenha permeabilidade
magnética relativa muito alta, este fluxo tem valor muito baixo e sua influência nos
resultados é desprezível.
Figura 2.8 - Laminação do núcleo
Um último aspecto a ser considerado nos
cálculos em circuitos magnéticos é que
normalmente os núcleos são laminados, como
forma de redução das correntes parasitas. Então, a
espessura do isolamento que separa cada par de
lâminas deve ser descontada no cálculo da área; em
outras palavras, a área efetivamente disponível para
o fluxo (Sf) é menor que a área total do núcleo (S).
A relação entre essas duas áreas é chamada de fator de empilhamento4
(f), isto é
fS
f
S
 (2.9)
valor que também pode ser expresso em termos percentuais.
A analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos pode ser estendida. A relutância
ao longo de um dispositivo eletromagnético pode variar, devido à mudança de dimensões,
de permeabilidade (quando se usam materiais diferentes, por exemplo) ou à existência de
entreferros. Então, a relutância de cada um desses trechos pode ser considerada um
"elemento", de sorte que haverá circuitos série ou paralelo.
a) Circuito magnético série: quando todos os elementos são "atravessados" pelo mesmo
fluxo magnético . Se n for o número de elementos associados em série, a f.m.m. total será
dada pela soma das f.m.m. parciais, isto é
nT FFFF  ...21 (2.10)
4
Est relação também é conhecida como fator de ferro ou fator de laminação.

23
que equivale à Lei das Tensões de Kirchoff dos circuitos elétricos
Exemplo 2.2
O circuito magnético da Fig. 2.10(a) tem enrolamento de 1.500 espiras. Determinar
a corrente I necessária para estabelecer um fluxo de 10 mWb nos entreferros, sabendo que o
fator de empilhamento do elemento de aço-silício é igual a 90%, enquanto que o elemento
de aço fundido é maciço. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão.
Solução
Na Fig. 2.10(b) é mostrado o circuito elétrico análogo. A f.m.m. deve ser calculada
em cada um dos elementos.
Figura 2.9 - Exemplo 2.2: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo
 Entreferros
lef = 0,1 cm = 10-3
m Sef = 10 cm  20 cm = 200 cm2
= 0,02 m2
3
ef
ef
f
ef 7
o
3
f ef f
10 10
Eq. 1.2 : B 0,5T
S 0,02
B 0,5 A e
Eq. 1.12 : H 397.887,36
m4 10
Eq. 2.1: H 397.887,36 10 397,89A e (para cadaentreferro)



 
  

  
 
    lF
 Elemento de aço-silício:
las = 2  (30 + 5) + 30 + (2  5) = 110 cm = 1,1 m
Sas = f  (10  20) = 180 cm2
= 0,018 m2
3
as
as
10 10
B 0,56T
S 0,018

 
  
Entrando com este valor na curva BH do aço-silício (Fig. 2.5): Has = 80 A-e/m
Fas = Haslas = 80  1,1 = 88 A-e.

24
 Elemento de aço fundido:
laf = 2  7,5 + (25) + 30 = 55 cm = 0,55 m
Saf = 15  20 = 300 cm2
= 0,03 m2
3
af
af
10 10
B 0,33T
S 0,03

 
  
Entrando com este valor na curva BH do aço fundido(Fig. 2.5): Has = 260 A-e/m
Faf = Haflaf = 260  0,55 = 143 A-e.
Aplicando a Eq. 2.10, encontra-se a f.m.m. total
FT = 2  F1 + Fas + Faf = 1.026,78 A-e
Entrando com este valor na Eq. 2.4
A680
1500
781026
N
I T
,
,

F
b) Circuito magnético paralelo: a f.m.m. em cada um dos elementos é a mesma; o fluxo
magnético total é dado pela soma algébrica dos fluxos magnéticos individuais, isto é
T = 1 + 2 + ... + n (2.11)
onde n é o número de elementos (percursos) do núcleo.
Exemplo 2.3
O núcleo da Fig. 2.11(a) é de aço fundido maciço, sendo o enrolamento dividido em
duas partes, cada qual com número N de espiras. Sabendo que uma corrente de 0,8 A
produz no entreferro um fluxo magnético igual a 5 mWb, determinar o valor de N.
Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão.
Solução
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.11(b). Considerando que os
enrolamentos são idênticos e que existe total simetria do núcleo, pode-se deduzir que cada
parte do enrolamento fornecerá a metade do fluxo magnético na "perna" central. Assim

25
c
e d 2,5mWb
2

    
onde e, d e c correspondem, respectivamente ao fluxo nas pernas esquerda, direita e
central do núcleo.
 Entreferro
lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 10  10 = 100 cm2
= 0,01 m2
c
ef
ef
ef
ef
o
B 0,5 T
S
B A e
H 397.887,36
m

 

 

Fef = Heflef = 397,89 A-e
 Perna esquerda
le = 30 + 40 + 30 = 100 cm = 1 m Se = 10  10 = 100 cm2
= 0,01 m
e
e e
e
A e
B 0,25 T H 230
S m
 
   
Fe = Hele = 230 A-e
 Perna central (trecho bghe), excetuando o entreferro
lc = 40 – 0,1 = 39,9 cm = 0,399 m Sc = 10  10 = 100 cm2
= 0,01 m
c
c c
c
A e
B 0,5 T H 350
S m
 
   
Fc = Hclc = 139,65 A-e
Aplicando a Eq. 2.10 ao trecho abghde: FT = Fe + Fc + Fef = 767,54 A-e. O número de
espiras é dado pela Eq. 2.4:
espiras43959
I
N T
,
F
 960 espiras
Nos exemplos anteriores observa-se que, apesar de seu pequeno comprimento, o
entreferro "concentra" uma f.m.m. bastante elevada; isto se deve à sua elevada relutância a
qual, por sua vez, resulta da baixa permeabilidade magnética do ar. Esta constatação é útil
na solução de outro tipo de problema: a determinação do fluxo magnético uma vez
conhecida a f.m.m. Nesse caso, como não se conhece o valor de B no núcleo, não é possível
o cálculo de H – e conseqüentemente de F – no elemento.
Um método simplificado para a solução nesses casos é o das aproximações
sucessivas: supõe-se, inicialmente, que toda a relutância do circuito está contida no
entreferro e calcula-se a F requerida, comparando-a à F real. Ajusta-se, então, o valor de B
para mais ou para menos e repete-se os cálculos. Prossegue-se assim até que a f.m.m. dada
e a calculada atinjam uma diferença pré-fixada (por exemplo, 5%) e, por fim, calcula-se o
fluxo

26
Exemplo 2.4
Dado o núcleo maciço de aço fundido da Fig. 2.12(a), determinar o fluxo magnético
em seu entreferro, sabendo-se que I = 0,5 A e N = 1.000 espiras. Desconsiderar os efeitos
do espelhamento e do fluxo de dispersão.
Solução
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.12(b). A f.m.m. real é F = NI = 500
A-e. As medidas neste exemplo são:
 Entreferro: lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 5  10 = 50 cm2
= 0,005 m2
 Núcleo : ln = 4  15 – 0,1 = 59,9 cm = 0,599 m Sn = 5  10 = 50 cm2
= 0,005 m2
1a
Aproximação – desconsidera-se a relutância do núcleo, portanto Fn = 0 e
Fef = F = Heflef 
m
eA
000500H
ef
f

 .
l
F
Bef = oHef = 0,63 T
Vê-se, porém, que o valor de Bef será menor do que este, já que a f.m.m. no núcleo deve ser
considerada.
2a
Aproximação – fazendo Bef = 0,6 T
Entreferro: ef
ef
o
B A e
H 477.464.83
m

 

Fef = Heflef = 477,46 A-e
Núcleo: Bn = Bef = 0,6 T  Hn = 400
A e
m

Fn = Hnln = 239,60 A-e
Aplicando a Eq. 2.10: F = Fn + Fef = 717,06. Este valor é cerca de 43% maior que o valor
da f.m.m. real, logo é necessária nova aproximação.

27
3a
Aproximação – fazendo Bef = 0,5 T e refazendo os cálculos
Entreferro: Hef = 397.887,36 A-e/m Fef = 397,89 A-e
Núcleo: Hn = 350 A-e/m Fn = 209,65 A-e
F = Fn + Fef = 607,54 A-e (cerca de 21,5% maior que o valor real).
4a
Aproximação – fazendo Bef = 0,4 T e refazendo os cálculos
Entreferro: Hef = 318.309,896 A-e/m Fef = 318,31 A-e
Núcleo: Hn = 300 A-e/m Fn = 179,70 A-e
F = Fn + Fef = 498,01 A-e (valor apenas 0,4% menor que o real).
Portanto, adotando-se Bef = 0,4 T: ef = Bef Sef = 2 mwB

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