Eletromagnetismo

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Eletromagnetismo

  1. 1. CAPÍTULO 2 CARACTERÍSTICAS MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS. CIRCUITOS MAGNÉTICOS Na maior parte das vezes os campos magnéticos, antes de constituírem em um fim em si mesmo, são um meio utilizado para alcançar um resultado; em outras palavras, geralmente não há sentido em gerar um campo magnético sem que este se destine à obtenção de algum outro tipo de fenômeno. Uma das maiores utilidades de um campo magnético é servir como "intermediário" para a transformação de energia elétrica em mecânica – e vice-versa -, em um processo conhecido como conversão eletro-mecânica de energia, presente nas máquinas elétricas. No caso de um gerador, por exemplo, a energia mecânica fornecida por uma fonte externa (digamos, um motor a gasolina) é transformada em energia elétrica, como mostra a Fig. 2.1; é o campo magnético quem propicia esta transformação, como veremos no próximo capítulo. Figura 2.1 - Fluxo de energia em um gerador elétrico Máquinas que utilizam campos magnéticos têm seus elementos constitutivos projetados de forma a proporcionar uma otimização na distribuição espacial destes campos. Esses dispositivos se constituem em verdadeiros circuitos magnéticos, distribuindo os fluxos magnéticos de maneira adequada ao bom funcionamento da máquina. 2.1 PERMEABILIDADE MAGNÉTICA A permeabilidade magnética, simbolizada pela letra grega , é uma grandeza característica de cada material e se refere à sua capacidade em "aceitar" a existência de linhas de indução em seu interior. Assim, quanto maior for a permeabilidade de um material, mais facilmente se "instalarão" linhas de indução em seu interior. A permeabilidade magnética de um material pode ser comparada à condutância de um corpo: enquanto esta exprime o grau de "facilidade" com que a corrente elétrica percorre este corpo, aquela mede o grau de "facilidade" com que o fluxo magnético se estabelece no interior de um material.
  2. 2. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 13 Figura 2.2 - Distribuição das linhas de indução geradas pela corrente i em um enrolamento: (a) com núcleo de ar; (b) com núcleo de material de alta permeabilidade magnética relativa. Denomina-se permeabilidade magnética relativa (r) de um material à relação r 0     (2.1) onde  é a permeabilidade do material e o = 4  10-7 Wb/A.m é a permeabilidade magnética do vácuo. Então, um material com r = 1.000 é capaz de aceitar em seu interior um número de linhas mil vezes maior que o vácuo. Para melhor visualizar esta propriedade, observe-se a Fig. 2.2, que mostra dois casos de distribuição de linhas de indução geradas pela corrente i que circula num enrolamento. Em (a) não existe núcleo1 e as linhas se espalham por todo o espaço em torno do enrolamento; já em (b), as linhas de indução se concentram no interior do núcleo em torno do qual é feito o enrolamento, graças à elevada permeabilidade relativa do material, resultando em um fluxo magnético mais intenso. As poucas linhas que "escapam" através do espaço em torno do núcleo constituem o chamado fluxo de dispersão. A classificação magnética dos materiais é feita de acordo com sua permeabilidade magnética (ver Tab. 2.1): a) Materiais paramagnéticos são aqueles que cuja permeabilidade relativa é pouco maior que 1. Tais substâncias são levemente atraídas por campos magnéticos excepcionalmente fortes, porém esta atração é tão fraca que são consideradas não- magnéticas. Nessa classe se encontra um grande número de substâncias, como o ar, o alumínio, o alumínio e a madeira. b) Materiais diamagnéticos, como o bismuto, o cobre e a água, possuem permeabilidade relativa um pouco menor que 1, sendo levemente repelidos por campos magnéticos muito fortes. Também aqui estas forças são muito fracas, sendo esses materiais considerados não-magnéticos. 1 Ou, como se costuma dizer, a bobina tem núcleo de ar.
  3. 3. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 14 c) Materiais ferromagnéticos, ou simplesmente materiais magnéticos, possuem permeabilidade relativa muito maior que 1, sendo fortemente atraídos por campos magnéticos em geral. Nesta categoria se incluem substâncias como o ferro, o cobalto, o níquel e algumas ligas industriais. Material Permeabilidade magnética relativa (R) Classificação magnética Bismuto 0,999833 diamagnética Água 0,999991 diamagnética Cobre 0,999995 diamagnética Ar 1,000000 paramagnética Oxigênio 1,000002 paramagnética Alumínio 1,000021 paramagnética Cobalto 170 ferromagnética Níquel 1.000 ferromagnética Ferro 7.000 ferromagnética Permalloy1 100.000 ferromagnética (1) Liga composta por ferro (17%), molibdênio (4%) e níquel (79%). A Tab. 2.1 mostra o valor da permeabilidade magnética relativa de alguns materiais. É importante observar que se tratam de valores médios de permeabilidade, já que, como se verá adiante, esta pode variar significativamente de acordo com a intensidade dos campos magnéticos a que são submetidos os materiais. 2.2. TEORIA DE GAUSS-EWING Embora sejam usadas há muito tempo, as propriedades magnéticas dos materiais até hoje não são perfeitamente explicadas. Acredita-se que a "fonte" do magnetismo está no movimento orbital dos elétrons em torno dos núcleos, gerando campos magnéticos infinitesimais. A chamada Teoria de Gauss-Ewing postula que em grande parte dos materiais esses campos se cancelam mutuamente devido ao movimento desordenado dos elétrons; nos materiais ferromagnéticos, entretanto, certos grupos de átomos estão "pareados", de forma que seus campos se somam, formando o que se chama de domínios magnéticos, cada um dos quais pode ser representado por um dipolo magnético semelhante a um ímã. Porém, numa dada amostra de material ferromagnético, o alinhamento dos domínios é também desordenado, como se mostra na Fig. 2.3(a), de forma que o material como um todo não apresenta qualquer característica magnética2 . No entanto, se um campo magnético externo de intensidade H for aplicado à amostra, os domínios tendem a se alinhar por ele, como se vê na Fig. 2.3(b), reforçando assim as propriedades magnéticas do material. A amostra comporta-se como um ímã, cujos pólos são mostrados na figura; como se verá na Seção 2.3, esta "imantação" poderá ou não 2 Uma exceção seria um mineral conhecido como magnetita, que naturalmente apresenta-se magnetizado; é, portanto, o único ímã natural que se conhece.
  4. 4. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 15 ser permanente, isto é, subsistir após a retirada do campo externo, dependendo do valor do mesmo. Figura 2.3 - Domínios em uma amostra de material: (a) não-magnético ou não- magnetizado; (b) magnetizado pela aplicação de um campo magnético externo H Esta teoria explica satisfatoriamente algumas características dos materiais magnéticos:  imãs naturais (ver nota de rodapé) já teriam os domínios naturalmente alinhados, de forma a produzir os efeitos magnéticos sem a necessidade de campo externo;  não se consegue isolar os pólos de um ímã: se um desses for partido ao meio obtém-se dois ímãs completos, cada um com um pólo N e outro S;  quando um ímã é submetido a choque mecânico ou aquecimento, pode perder sua imantação: é que a energia fornecida ao material nesses casos pode ser suficiente para desarranjar a orientação dos domínios;  para se magnetizar uma agulha deve-se "esfregá-la" com o pólo de um ímã passado sempre no mesmo sentido: o ímã produz o papel de campo externo necessário e a movimentação constante promove um alinhamento dos domínios sempre no mesmo sentido. Quando um material magnético é submetido a um campo externo H , a indução magnética B é dada pela soma dos efeitos devidos ao campo externo e ao vetor chamado polarização magnética M , isto é: oB (H M)   equação que, em módulo, pode ser colocada sob a forma o M B 1 M H         O termo entre parênteses representa a permeabilidade magnética relativa do material, portanto 0 rB H   portanto, de acordo com a Eq. 2.1 B H  (2.2) que é a mesma Eq. 1.12 do capítulo anterior.
  5. 5. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 16 2.3. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO Medidas realizadas em laboratório mostram que a relação B  H dada pela Eq. 2.2 é essencialmente não-linear: se for traçado um gráfico relacionando o campo externo H com a indução magnética B no material, obtém-se uma curva do tipo mostrado na Fig. 2.4, conhecida como curva de magnetização ou característica BH do material. A Teoria de Gauss-Ewing também explica o comportamento dessas curvas:  Na região I acontece um crescimento dos domínios favoravelmente alinhados com o campo externo. Nessa região as alterações são reversíveis: se o campo externo for retirado, os domínios voltarão a sua situação original, sem haver "fixação" das características magnéticas na amostra.  Se H for aumentado até a região II, o aumento dos domínios é acompanhado de uma tendência de alinhamento de outros domínios com o campo externo. A partir dessa região, os efeitos magnéticos tornam-se irreversíveis, de forma que o material fica magnetizado mesmo se o campo externo for anulado. Figura 2.4 - Curva de magnetização típica de materiais magnéticos  Na região III, a maioria dos domínios já está alinhada com o campo externo, de modo que é necessário um grande incremento de H para se conseguir um discreto aumento de B. Na região IV, todos os domínios da amostra estão alinhados com o campo externo; portanto um aumento de H não produz qualquer alteração de B. Diz-se que, nesta situação, o material atingiu a saturação magnética. Se for estabelecida uma pequena alteração H no valor do campo magnético, haverá um correspondente incremento B na indução magnética. A Eq. 2.2 permite concluir que B H     Se H  0, esta equação se transforma em uma derivada, que pode ser representada geometricamente pela tangente à curva BH em cada ponto. Vê-se, então, que a permeabilidade magnética não pode ser considerada uma constante: no ponto a mostrado na Fig. 2.4 a permeabilidade é maior que no ponto b. A exceção é feita para o vácuo, onde a permeabilidade é considerada constante e igual a 4  10-7 Wb/A.m. Na Fig. 2.5 são mostradas as curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos usados em aplicações comerciais.
  6. 6. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 17 Figura 2.5 -- Curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos comerciais
  7. 7. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 18 2.4. HISTERESE Suponha-se que uma amostra de material magnético seja submetida a um campo magnético de intensidade H variável com o tempo (este é o caso típico de núcleos em torno dos quais são feitos enrolamentos excitados por CA). Se a amostra estiver inicialmente desmagnetizada e o campo for aumentando até o valor H1, a curva B  H segue a linha 0a mostrada na Fig. 2.6. Caso o valor de H1 seja suficientemente elevado para atingir a região II da curva de magnetização, quando o campo externo decrescer a curva seguirá pela linha ab, de modo que para H = 0 o valor de B será dado pela ordenada 0b; este valor é chamado de magnetização residual, pois é a magnetização que "resta" no material após o campo externo ter-se reduzido a zero. Para desmagnetizar a amostra será necessário inverter o sentido do campo e aumentar sua intensidade até H2, valor conhecido como força coercitiva3 . Se o campo continuar aumentando até o valor – H1 (isto é, no sentido contrário ao inicial), a curva B  B seguirá a linha cd. No semiciclo seguinte o raciocínio é o mesmo, de forma que após completado um ciclo obtém-se uma curva semelhante à mostrada na Fig. 2.6, chamada curva de histerese. A forma do laço de histerese de um dado material depende do máximo valor do campo atingido no ciclo (H1). A curva obtida pela ligação dos vértices dos laços de histerese obtidos para diferentes valores de H1é chamada curva normal de magnetização,. Quando um material é submetido a um campo magnético externo alternado, seus domínios estarão em contínuo movimento, buscando alinhar-se com H. Isso causa um "atrito" entre os domínios, aquecendo o material e ocasionando as chamadas perdas por histerese. Demonstra-se que essas perdas são proporcionais à área encerrada na curva de histerese. Comprova-se experimentalmente que a potência dissipada por unidade de volume de material durante um ciclo de histerese é dada por n h h MP K .f.B (2.3) onde Kh e n são constantes que dependem do material e da própria densidade do campo magnético, enquanto f é a freqüência do campo magnético (em Hz) e BM é o máximo valor de B alcançado durante o ciclo. 3 Este termo é derivado do verbo coagir, que significa obrigar, forçar. De fato este valor de H2 obriga o material a se desmagnetizar. Figura 2.6 – Formação do laço de histerese
  8. 8. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 19 2.5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS Nos dispositivos eletromecânicos – e aí se incluem geradores, motores, contactores, relés, etc. – a utilização de enrolamentos e núcleos objetiva o estabelecimento de fluxos magnéticos como meio de acoplamento na transformação de energia elétrica em mecânica, ou vice-versa. Nesses dispositivos, a função do núcleo é "canalizar" para os pontos desejados as linhas de indução do campo magnético geradas pelos enrolamentos. Fazendo uma analogia com os circuitos elétricos, os enrolamentos seriam como fontes, os fluxos magnéticos equivaleriam a correntes e os núcleos fariam o papel de condutores. Para tornar mais evidente esta analogia, tome-se um núcleo toroidal, como o da Fig. 2.7(a), com seção transversal circular de raio r, confeccionado com um material de elevada permeabilidade magnética . Em torno do mesmo é feito um enrolamento de N espiras onde circula a corrente constante I, gerando um campo magnético. Como a permeabilidade do material magnético é muito maior que a do ar que o circunda, é válido pensar que as linhas de indução estará confinadas ao núcleo. Figura 2.6 - Bobina toroidal: (a) aspecto físico; (b) circuito elétrico análogo Pode-se deduzir que o campo magnético no interior desse núcleo não é uniforme, já que as espiras estão mais próximas entre si na parte interna do que na externa, o que significa que o campo vai enfraquecendo em direção à parte exterior do núcleo. Para contornar esse problema, que dificulta o processo de cálculos, toma-se a linha de indução correspondente a um raio médio R, representada por uma linha tracejada na Fig. 2.7(a) e aplica-se a Lei de Ampère (Eq. 1.13). Como cada uma das espiras transporta a corrente I e contribui para a formação do campo no interior do núcleo, a corrente total é NI, então   NIHdH ll  onde l = 2R corresponde ao comprimento médio do núcleo. Uma vez que a corrente no enrolamento é a "fonte" geradora do magnetismo, o termo NI é chamado de força magnetomotriz (abreviadamente f.m.m.), simbolizada por F. Então lHNI F (2.4)
  9. 9. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 20 As principais unidades de f.m.m. são: Ampère-espira (A-e) – usada no Sistema Internacional e Gilbert = 0,7958 A-e. O fluxo magnético  no interior do núcleo será F l S HSBS  ou, ainda         l S 1 F (2.5) O termo entre parênteses nessa equação lembra a expressão para o cálculo da resistência elétrica R de um corpo, dada por 1 R S   l onde  é a condutividade elétrica do material, l é o comprimento do condutor e S é a área de sua seção transversal. Por esta razão, denomina-se relutância (R) à relação S 1 l  R (2.6) cuja unidade no Sistema Internacional é o Ampère-espira/Webber (A-e/Wb). Assim, a Eq. 2.5 pode ser reescrita como  RF (2.7) que é a chamada Lei de Ohm para circuitos magnéticos, dada sua semelhança com a lei homônima para circuitos elétricos. A semelhança entre os circuitos magnéticos e elétricos é evidente. Na Tab. 2.2 mostra-se a analogia entre as grandezas mais comumente encontradas em um e outro tipo de circuito. O circuito elétrico análogo ao da Fig. 2.7(a) é mostrado na Fig. 2.7(b). Tabela 2.1 - Analogia entre grandezas dos circuitos elétricos e magnéticos Circuito elétrico Circuito magnético Grandeza Símbolo Grandeza Símbolo Corrente I Fluxo magnético  Densidade de corrente J Densidade de fluxo magnético B Força eletromotriz (tensão) V Força magnetomotriz F Intensidade de campo elétrico E Intensidade de campo magnético H Condutividade elétrica  Permeabilidade magnética  Resistência R Relutância R
  10. 10. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 21 Exemplo 2.1 Uma bobina é confeccionada com 500 espiras enroladas em torno de um núcleo toroidal semelhante ao da Fig. 2.7(a), sendo a = 11 cm e b = 9 cm. Desejando-se estabelecer no interior desse núcleo um fluxo magnético médio igual a 0,2 mWb, determinar a corrente I necessária, supondo-se que o material é: (a) plástico; (b) ferro fundido; (c) aço fundido. Solução O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.7(b), Pelas dimensões dadas, segue- se que o raio médio é R = 10 cm = 0,1 m e o comprimento médio do núcleo é 2 R 0,63 m  l Como o raio da área de seção transversal é r = 1 cm = 0,01 m, a área desta seção será 2 4 2 S r 3,14 10 m     Qualquer que seja o material do núcleo, a indução magnética em seu interior é dada pela Eq. 1.2 B 0,64 T S    (a) No caso de plástico, bem como qualquer material não-magnético, pode-se considerar o valor da permeabilidade magnética muito próxima ao do vácuo; logo, conforme a Eq. 1.13 o B A e H 506.862,88 m     Então lHNI F  638,65 A N H I  l (b) Na curva de magnetização do ferro-fundido (Fig. 2.5) vê-se que a saturação é atingida para valores de B ligeiramente superiores a 0,4 T; assim, um núcleo desse material, com as dimensões dadas, não é capaz de atingir o valor desejado de 0,64 T, o que significa, em outras palavras, que não é possível obter-se o fluxo de 0,2 mWb nesse núcleo. (c) Na curva de magnetização do aço fundido, para B = 0,64 T  H = 420 A-e/m, logo 420 0,63 I 0,53 A 500    Em circuitos magnéticos práticos, tais como em máquinas elétricas, normalmente existem peças móveis, de modo que os núcleos possuem espaços livres chamados entreferros. Ao cruzarem o entreferro, as linhas de indução se deformam - criando o chamado efeito de espalhamento – devido ao aumento da relutância neste trecho, como se vê na Fig. 2.8(a). Na maioria das situações esse efeito pode ser desconsiderado; porém, se forem necessários cálculos mais precisos pode-se corrigir a influência dessa deformação somando-se à cada uma das dimensões relativas à seção do entreferro o comprimento do mesmo. Assim, se a e b forem respectivamente a largura e a profundidade do núcleo e g for o comprimento do entreferro, como se mostra na Fig. 2.8(b), a seção reta do entreferro será dada por S = (a + g)  (b + g) (2.8)
  11. 11. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 22 Figura 2.7 - Efeito de espalhamento: (a) deformação das linhas de indução no entreferro; (b) dimensões usadas para a correção. Outro fator que deve ser considerado em cálculos mais precisos é o fluxo de dispersão, já mencionado na Seção 2.1. Porém, desde que o material tenha permeabilidade magnética relativa muito alta, este fluxo tem valor muito baixo e sua influência nos resultados é desprezível. Figura 2.8 - Laminação do núcleo Um último aspecto a ser considerado nos cálculos em circuitos magnéticos é que normalmente os núcleos são laminados, como forma de redução das correntes parasitas. Então, a espessura do isolamento que separa cada par de lâminas deve ser descontada no cálculo da área; em outras palavras, a área efetivamente disponível para o fluxo (Sf) é menor que a área total do núcleo (S). A relação entre essas duas áreas é chamada de fator de empilhamento4 (f), isto é fS f S  (2.9) valor que também pode ser expresso em termos percentuais. A analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos pode ser estendida. A relutância ao longo de um dispositivo eletromagnético pode variar, devido à mudança de dimensões, de permeabilidade (quando se usam materiais diferentes, por exemplo) ou à existência de entreferros. Então, a relutância de cada um desses trechos pode ser considerada um "elemento", de sorte que haverá circuitos série ou paralelo. a) Circuito magnético série: quando todos os elementos são "atravessados" pelo mesmo fluxo magnético . Se n for o número de elementos associados em série, a f.m.m. total será dada pela soma das f.m.m. parciais, isto é nT FFFF  ...21 (2.10) 4 Est relação também é conhecida como fator de ferro ou fator de laminação.
  12. 12. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 23 que equivale à Lei das Tensões de Kirchoff dos circuitos elétricos Exemplo 2.2 O circuito magnético da Fig. 2.10(a) tem enrolamento de 1.500 espiras. Determinar a corrente I necessária para estabelecer um fluxo de 10 mWb nos entreferros, sabendo que o fator de empilhamento do elemento de aço-silício é igual a 90%, enquanto que o elemento de aço fundido é maciço. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão. Solução Na Fig. 2.10(b) é mostrado o circuito elétrico análogo. A f.m.m. deve ser calculada em cada um dos elementos. Figura 2.9 - Exemplo 2.2: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo  Entreferros lef = 0,1 cm = 10-3 m Sef = 10 cm  20 cm = 200 cm2 = 0,02 m2 3 ef ef f ef 7 o 3 f ef f 10 10 Eq. 1.2 : B 0,5T S 0,02 B 0,5 A e Eq. 1.12 : H 397.887,36 m4 10 Eq. 2.1: H 397.887,36 10 397,89A e (para cadaentreferro)                   lF  Elemento de aço-silício: las = 2  (30 + 5) + 30 + (2  5) = 110 cm = 1,1 m Sas = f  (10  20) = 180 cm2 = 0,018 m2 3 as as 10 10 B 0,56T S 0,018       Entrando com este valor na curva BH do aço-silício (Fig. 2.5): Has = 80 A-e/m Fas = Haslas = 80  1,1 = 88 A-e.
  13. 13. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 24  Elemento de aço fundido: laf = 2  7,5 + (25) + 30 = 55 cm = 0,55 m Saf = 15  20 = 300 cm2 = 0,03 m2 3 af af 10 10 B 0,33T S 0,03       Entrando com este valor na curva BH do aço fundido(Fig. 2.5): Has = 260 A-e/m Faf = Haflaf = 260  0,55 = 143 A-e. Aplicando a Eq. 2.10, encontra-se a f.m.m. total FT = 2  F1 + Fas + Faf = 1.026,78 A-e Entrando com este valor na Eq. 2.4 A680 1500 781026 N I T , ,  F b) Circuito magnético paralelo: a f.m.m. em cada um dos elementos é a mesma; o fluxo magnético total é dado pela soma algébrica dos fluxos magnéticos individuais, isto é T = 1 + 2 + ... + n (2.11) onde n é o número de elementos (percursos) do núcleo. Exemplo 2.3 O núcleo da Fig. 2.11(a) é de aço fundido maciço, sendo o enrolamento dividido em duas partes, cada qual com número N de espiras. Sabendo que uma corrente de 0,8 A produz no entreferro um fluxo magnético igual a 5 mWb, determinar o valor de N. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão. Figura 2.10 - Exemplo 2.3: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo Solução O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.11(b). Considerando que os enrolamentos são idênticos e que existe total simetria do núcleo, pode-se deduzir que cada parte do enrolamento fornecerá a metade do fluxo magnético na "perna" central. Assim
  14. 14. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 25 c e d 2,5mWb 2       onde e, d e c correspondem, respectivamente ao fluxo nas pernas esquerda, direita e central do núcleo.  Entreferro lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 10  10 = 100 cm2 = 0,01 m2 c ef ef ef ef o B 0,5 T S B A e H 397.887,36 m        Fef = Heflef = 397,89 A-e  Perna esquerda le = 30 + 40 + 30 = 100 cm = 1 m Se = 10  10 = 100 cm2 = 0,01 m e e e e A e B 0,25 T H 230 S m       Fe = Hele = 230 A-e  Perna central (trecho bghe), excetuando o entreferro lc = 40 – 0,1 = 39,9 cm = 0,399 m Sc = 10  10 = 100 cm2 = 0,01 m c c c c A e B 0,5 T H 350 S m       Fc = Hclc = 139,65 A-e Aplicando a Eq. 2.10 ao trecho abghde: FT = Fe + Fc + Fef = 767,54 A-e. O número de espiras é dado pela Eq. 2.4: espiras43959 I N T , F  960 espiras Nos exemplos anteriores observa-se que, apesar de seu pequeno comprimento, o entreferro "concentra" uma f.m.m. bastante elevada; isto se deve à sua elevada relutância a qual, por sua vez, resulta da baixa permeabilidade magnética do ar. Esta constatação é útil na solução de outro tipo de problema: a determinação do fluxo magnético uma vez conhecida a f.m.m. Nesse caso, como não se conhece o valor de B no núcleo, não é possível o cálculo de H – e conseqüentemente de F – no elemento. Um método simplificado para a solução nesses casos é o das aproximações sucessivas: supõe-se, inicialmente, que toda a relutância do circuito está contida no entreferro e calcula-se a F requerida, comparando-a à F real. Ajusta-se, então, o valor de B para mais ou para menos e repete-se os cálculos. Prossegue-se assim até que a f.m.m. dada e a calculada atinjam uma diferença pré-fixada (por exemplo, 5%) e, por fim, calcula-se o fluxo
  15. 15. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 26 Exemplo 2.4 Dado o núcleo maciço de aço fundido da Fig. 2.12(a), determinar o fluxo magnético em seu entreferro, sabendo-se que I = 0,5 A e N = 1.000 espiras. Desconsiderar os efeitos do espelhamento e do fluxo de dispersão. Solução O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.12(b). A f.m.m. real é F = NI = 500 A-e. As medidas neste exemplo são:  Entreferro: lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 5  10 = 50 cm2 = 0,005 m2  Núcleo : ln = 4  15 – 0,1 = 59,9 cm = 0,599 m Sn = 5  10 = 50 cm2 = 0,005 m2 1a Aproximação – desconsidera-se a relutância do núcleo, portanto Fn = 0 e Fef = F = Heflef  m eA 000500H ef f   . l F Bef = oHef = 0,63 T Vê-se, porém, que o valor de Bef será menor do que este, já que a f.m.m. no núcleo deve ser considerada. Figura 2.11 - Exemplo 2.4: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo 2a Aproximação – fazendo Bef = 0,6 T Entreferro: ef ef o B A e H 477.464.83 m     Fef = Heflef = 477,46 A-e Núcleo: Bn = Bef = 0,6 T  Hn = 400 A e m  Fn = Hnln = 239,60 A-e Aplicando a Eq. 2.10: F = Fn + Fef = 717,06. Este valor é cerca de 43% maior que o valor da f.m.m. real, logo é necessária nova aproximação.
  16. 16. Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 27 3a Aproximação – fazendo Bef = 0,5 T e refazendo os cálculos Entreferro: Hef = 397.887,36 A-e/m Fef = 397,89 A-e Núcleo: Hn = 350 A-e/m Fn = 209,65 A-e F = Fn + Fef = 607,54 A-e (cerca de 21,5% maior que o valor real). 4a Aproximação – fazendo Bef = 0,4 T e refazendo os cálculos Entreferro: Hef = 318.309,896 A-e/m Fef = 318,31 A-e Núcleo: Hn = 300 A-e/m Fn = 179,70 A-e F = Fn + Fef = 498,01 A-e (valor apenas 0,4% menor que o real). Portanto, adotando-se Bef = 0,4 T: ef = Bef Sef = 2 mwB

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