Lista de Exercícios Radiciação

Lista de Exercícios - Radiciação
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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo
Matemática Zero 2.0 - Aula 15 - Radiciação - (parte 1 de 2)
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=X6fw1EeQs2w
Gabaritos nas últimas páginas!
Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Potenciação
também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos
muito ligados!
• Nota 1: Para todos os exercícios, considere U = ℝ
• Nota2: Pequenas variações na resposta são normais. Assim, para um
exercício cuja resposta final seja , as respostas 0,5 ou 2 são
corretas também. “Diferente” não significa necessariamente
“errado”. Na dúvida, pergunte.
• Nota 3: Alguns exercícios são particularmente difíceis e podem
exigir conhecimentos adicionais (fatoração, equações etc). Caso não
saiba, tente entender a resolução e/ou pergunte. Tais questões servem
para que você consiga aumentar o próprio nível desde já.
E1: Simplifique:

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E2: Simplifique (quando possível):
E3: Simplifique:
E4: Considere Verdadeiro ou Falso:
E5: Qual o maior número? √27 ou √3 ? Justifique.
E6(Unicamp): Dados dois números positivos, √3 e √4, determine o
maior.

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E7: Simplifique: (para 0 e 0).
E8: Simplifique: 20 21 8 √64
E9: Simplifique: 3√7 2√5 4√7 √20 √28 √45
E10 (UEPB): Efetuando !
2
2 " !2
0,25
"
2
#
6
6
3
$
3 1
temos por
resultado:
a)
%
&
b)
71
2
c)
&
'
d) 1 e)
1
2
E11: Simplifique a expressão: ( √( ⋅ ( √(
E12 (Colégio Naval):
Efetuando
*√
√
√
*√
obtém-se:
a) 4 b) √3 c) √2 d) e) 1
E13 (Colégio Naval): 3 2 2√2 3 2 2√2 é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 d) 5

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Complementos de aula – Radical Duplo.
A expressão + √, ou + √, é um radical duplo. Em muitos
casos, tal expressão pode ser convertida para a forma √- . ou
√- ..Por exemplo: considere a expressão / √0 . Ela é
equivalente à expressão 1 √2. Note como elas são (aparentemente)
muito diferentes! Justamente por não ser uma transformação “óbvia”, a
simplificação de radicais duplos é muito cobrada em vestibulares militares
(ITA, EN...).
Como simplificar radicais duplos (quando possível):

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Exemplo:
Simplifique 3 √8 :
Lembrete: 3 4 √5 6
7*8
4
7 8
e 9 6 √3 5
9 6 3 8 ⇒ 9 6 1
3 √8 6
3 1
2
3 1
2
3 √8 6
4
2
2
2
3 √8 6 √2 √1
3 √8 6 1 √2
E14: Simplifique.

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E15: Qual o valor da expressão:
;
<
<
<
=
>3?, …A %
2
B C239
448
7
E√3F
G
H
H
H
I
√J
B
a) 0,3 b) √3 c) 1 d) 0 e) 1
E16 (EPCAr Modificado): Simplifique: 1,111 … K2√ L
√ *
E17 (Desafio): Determine os números racionais x e y tais que:
10 6√3 6

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Gabarito:
E1:
E2:

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E3:

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E4:
E5: Lembrando da propriedade: √bNO
6 bNP
OQ
e que 27 = 3³, temos:
√27 6 3 6 3 ⋅⋅
6 3
√3 6 √3'⋅
6 √3'.
Observe que agora ambas as raízes possuem mesmo índice (55). Podemos
então comparar os radicandos:
Como 3 3'
, então √27 √3

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E6: Lembrando da propriedade: √bNO
6 bNP
OQ
temos:
√3 6 3
⋅
6 3 6 √81
√4 6 √4
⋅
6 √4 6 √64
Observe que agora ambas as raízes possuem mesmo índice (12). Podemos
então comparar os radicandos:
Como 81 64, então √3 √4
E7:
R S
R S
6
R S
R S
6 2' ⋅ x ⋅ y 6
2 x y 6 2 2y
E8: 20 21 8 √64 6 20 21 √8 8 6
20 21 √16 6 20 √21 4 6 20 √25 =
√20 5 = 5
E9: Nota: você pode fatorar os números 20, 28 e 45 (de forma idêntica ao
que fizemos no E3). Outra alternativa, mais rápida – se você tiver prática –
é tentar “quebrar” os números em produtos, de forma que a simplificação
seja mais imediata. Se for complexo demais para você, use a fatoração
utilizada no E3.
3√7 2√5 4√7 √20 √28 √45 6
3√7 2√5 4√7 √5 ⋅ 4 √7 ⋅ 4 √9 ⋅ 5 =
3√7 2√5 4√7 2√5 2√7 3√5 =
(Reordenando)
3√7 4√7 2√7 2√5 2√5 3√5
5√7 3√5

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E10: ALTERNATIVA A
!
2
2 " !2
0,25
"
2
#
6
6
3
$
3 1
=
!
2
2 " ⋅ 2
0,5
#
6
1
6
3
$
3 1
=
√
⋅ K L
?,'
K
&√ ⋅&V
L
√ *
=
√
⋅ K L K
&√ ⋅&V
L
√ *
=
√
⋅
√
√
K
&√ V
L
√ *
=
Lembrando que
WX
6 a Z
temos:
K6 E√ F
L
√ *
= K6E √ * F
L
√ *
=
6E √ * F>√ * A
= 6E √ F> *√ A
Lembrando que >3 5A >3 5A 6 3 5 , temos:
6 √
= 6 =
&
=
[
&
=
%
&

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E11: Lembrando que >3 5A >3 5A 6 3 5 , temos:
( √( ⋅ ( √( 6 E( √(F ⋅ >( √(A 6 K(2 (2L 6
√2( ( 6 √2 6 √] ⋅ ( 6 2√(
E12: Alternativa A

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E13: Alternativa B

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E14: Lembrete: 3 4 √5 6
7*8
4
7 8
e 9 6 √3 5

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E14 (continuação):

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E15: ALTERNATIVA C
^>3?, …A %
2
B
239
[
%
E√3F _
√J
B
=
`K3 L
%
2
239 √64 E√3F
%
a
√J
B
=
b3
B
2 239 √2& 3
B
c
√J
B
=
d3J
2 √239 2 3J
e
√J
B
=
d 2 √243e
√J
B
= d 2 √3'e
√J
B
= f 2 3g √J
B
=
f1g √J
B
6 1
E16: 1,111 … K2√ L
√ *
=
1 0,111 … K2√2 1
L
√2 1
6
1
1
9
2E√2 1F⋅>√2 1A
6
10
9
2E√ F
6
10
9
2 6
10
9
2 6
8
9

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E17: 10 6√3 6
Elevando-se ao cubo dos dois lados, temos:
10 6√3 6 E F ⇔
Lembrando que >3 5A 6 3 33 5 335 5 , temos:
10 6√3 6 3 3 ⇔
10 6√3 6 3 3 ⇔
Note que 6 ⋅ 6
10 6√3 6 3 3 ⇔
Agrupando (no segundo membro) os termos semelhantes, temos:
10 6√3 6 > 3 A >3 A ⇔
Colocando em evidência:
10 6√3 6 > 3 A >3 A ⇔
Por comparação entre os dois membros, podemos concluir que:
i
3 6 10 >jA
3 6 6 >jjA
6 3 >jjjA
⇔
Substituindo o valor de y (y = 3) na equação II, temos:
3 3 6 6 ⇔ (Por Bhaskara, as raízes são 1 e -1).
No entanto, ao substituirmos y =3 (único valor de y) e 6 1 na primeira
equação, vemos que ela não é satisfeita. Logo, x = 1 e y = 3.
Portanto, 10 6√3 6 1 √3

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