Este documento apresenta estudos de caso sobre probabilidade, incluindo cálculos de probabilidade de ganhar na Mega-Sena, probabilidade genética, probabilidade de hipertensão e distribuições de Poisson e binomial.

1. Estudos de Caso
Probabilidade
Prof. Dr. Nilo Sampaio
André Aroucha
Bruno Andrade
Jamires Vasconcellos
Marcelo Santos
Thamiris Almeida
Thiago Figueiredo
1

2. Estudos de Caso
•Tempo de Operação
•Ganhar na Mega-Sena
•Probabilidade aplicada na genética
•Hipertensão
•Exercícios voltados para engenharia
2

3. Introdução
A probabilidade pode
ser
descrita
como
um
conceito
matemático
que
permite a quantificação da
incerteza, permitindo que ela
seja aferida, analisada e
usada para a realização de
previsões
ou
para
a
orientação de intervenções.
3

4. Tempo de Operação
Durante 30 dias foram medidos os tempos
relativos a montagem do March. Os dados medidos
seguem abaixo, em minutos:
Tempo da Operação
0,5
0,5
0,6
0,5
0,5
0,8
0,6
0,4
0,6
0,4
0,6
0,6
0,5
0,6
0,7
0,4
0,5
0,7
0,4
0,5
0,5
0,5
0,7
0,5
0,7
0,4
0,5
0,5
0,4
0,5
0,4
0,5
0,5
0,5
0,4
0,3
0,3
0,5
0,4
0,5
0,3
0,4
0,4
0,5
0,7
0,5
0,4
0,6
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,4
0,6
0,4
0,5
0,6
0,5
0,6
0,7
0,6
0,5
0,3
4

5. Para calcular a probabilidade de o operador
realizar a operação no tempo determinado utilizamos o
gráfico de distribuição normal.
Quantidade de amostra:
66
Desvio padrão:
0,106524
Média:
0,506061
5

6. Limite Limite
Frequência
Frequência
inferior Superior
relativa
Média
dos
limites
Padronização
Distribuição
normal padrão
0,3
0,4
18
0,2727
0,35
-1,4650
0,1364
0,5
0,6
36
0,5454
0,55
0,4124
0,3664
0,7
0,8
6
0,0909
0,75
2,28999
0,0289
6

7. Classe
Calculado
Real
0.3 - 0.4
0,136409261
0,272727273
0.5 - 0.6
0,366407132
0,545454545
0.7 - 0.8
0,028984724
0,090909091
7

8. GRÁFICO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL X REAL
0.6
0.5
0.4
Real
0.3
Calculado
0.2
0.1
0
0.3 - 0.4
0.5 - 0.6
0.7 - 0.8
8

9. Probabilidade de acerto na Mega-Sena
Para calcularmos a probabilidade de uma
pessoa ganhar na Mega-Sena usamos a fórmula da
combinação simples. Essa fórmula nos mostra que uma
pessoa com 2 reais tem 1 chance em 50.063.860.
9

10. Quantidade
Nº Jogados
Valor de
Aposta
6
Probabilidade de acerto (1 em...)
Sena
Quina
Quadra
2,00
50.063.86
0
154.518
2.332
7
14,00
7.151.980
44.981
1.038
8
56,00
1.787.995
17.192
539
9
10
11
168,00
420,00
924,00
595.998
238.399
108.363
7.791
3.973
2.211
312
195
129
12
1.848,00
54.182
1.317
90
13
3.432,00
29.175
828
65
14
6.006,00
16.671
544
48
15
10.010,00
10.003
370
37
10

11. A probabilidade de ganhar na Mega-Sena é de
uma em mais de 50 milhões de chances.
6 5 4 3 2 1
60 59 58 57 56 55
1
50063860
Isso significa que é 50 vezes mais fácil ser
atingido por um raio do que virar um milionário.
11

12. Caso faça a aposta máxima de 15 números sua
chance é de:
15 14 13 12 11 10
60 59 58 57 56 55
1
10003
12

13. Mais fácil que ganhar na Mega-Sena
Gravidez de quíntuplos, a chance é de uma em 40
milhões.
13

14. Probabilidade aplicada na genética
Um homem e uma mulher possuem pigmentação
normal. O homem é filho de um pai normal e uma mãe
albina. A mulher é filha de uma mãe normal e um pai
albino. Determine a probabilidade deles terem um filho
albino do sexo masculino.
Homem
Mulher
Aa
Gametas
A
Geração
AA
Probabilidade
¼
X
a
Aa
¼
Aa
A
Aa
¼
a
aa*
¼
*Criança albina
14

15. Probabilidade de criança albina: 1/4
Probabilidade de criança sexo masculino:
1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
Os
eventos criança albina e
criança
sexo
masculino
são
independentes, dessa forma temos que
para a criança ser albina e possuir o
sexo masculino a probabilidade é a
seguinte:
1
2
1
4
1
8
ou 12,5%.
15

16. Probabilidade e a 2ª Lei de Mendel
Mendel considerou a cor da
semente da ervilha, que pode ser
amarela ou verde, e a textura da casca
da semente, que pode ser lisa ou
rugosa.
Plantas originadas de sementes
amarelas e lisas, ambos traços
dominantes, foram cruzadas com
plantas originadas de sementes verdes
e rugosas, traços recessivos.
16

17. A geração F2, obtida pela autofecundação das
plantas originadas das sementes de F1, era composta
por quatro tipos de sementes:
amarelo-lisas
9
16
56,25%
3
18,75%
16
3
verde-lisas
18,75%
16
1
verde-rugosas
6,25%
16
amarelo-rugosas
17

18. Com isso, Mendel
aventou a hipótese de que,
na formação dos gametas,
os alelos para a cor da
semente (Vv) segregam-se
independentemente
dos
alelos que condicionam a
forma da semente (Rr).
Mendel concluiu que
a segregação independente
dos fatores para duas ou
mais características era um
princípio geral, constituindo
a segunda lei da herança.
18

19. Hipertensão
Segundo a SBH
(Sociedade Brasileira de
Hipertensão), 5% das crianças
e adolescentes, 25% dos
adultos e 50% dos idosos têm
pressão alta.

20. Dados Relativos à Distribuição de Brasileiros
Hipertensos e Não Hipertensos (em milhões)
Faixa Etária
Hipertensos
Não Hipertensos
Total
0 a 18 anos
(jovens)
2,985
56,715
59,7
19 a 59 anos
(adultos)
27,625
82,875
110,5
60 anos ou mais
(idosos)
10,3
10,3
20,6
Total
40,91
149,89
190,8

21. Qual a probabilidade de um brasileiro escolhido
ao acaso ser jovem e hipertenso? E dele ser adulto e
hipertenso? E de ser idoso e hipertenso?

22. Probabilidade de Ser Jovem e Hipertenso
1º- probabilidade de ser jovem:
2º- probabilidade de um jovem escolhido ao acaso
(dado da estatística)
ser Hipertenso:

23. Probabilidade de Ser Adulto e Hipertenso
1º- probabilidade de ser adulto:
2º- probabilidade de um adulto escolhido ao acaso
(dado da estatística)
ser Hipertenso:

24. Probabilidade de Ser Idoso e Hipertenso
1º- probabilidade de ser adulto:
2º- probabilidade de um idoso escolhido ao acaso
(dado da estatística)
ser Hipertenso:

25. Exercícios voltados para engenharia
Um lote com 1000 peças foi recebido na
empresa e sabe-se que este tem 200 defeituosas. Se
for retirada (com reposição) uma amostra de 10
peças, qual a chance de obter uma defeituosa?
•Distribuição binomial
Destina-se a produtos descontínuos. É uma
distribuição discreta do número de sucessos numa
sequência de n tentativas tais que as tentativas são
independentes; cada tentativa resulta apenas em duas
possibilidades, sucesso ou fracasso.
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26. Probabilidade de x sucessos em n ensaios.
onde:
n=número de tentativas
X=número de sucesso
P=possibilidade de sucesso
D= defeitos
1
9
P( x 1) C10,1 (0,2) (1 0,2)
9
P( x 1) 10 0,2 (0,8) 0,27
26

27. Distribuição de Poisson
Distribuição
discreta
para
produtos
contínuos, aplicável às ocorrências de um evento em
um intervalo especificado.
Fórmula:
P(X=x) = eλt . (λt)x
Onde:
E = número de Euler (2,72);
λ = frequência média de sucessos;
t= intervalo de observação.
x!
27

28. Exemplos de aplicação
•
Usuários de computador ligados à Internet;
• Clientes chegando ao caixa de um supermercado;
• Acidentes com automóveis em uma determinada
estrada;
• Número de carros que chegam a um posto de gasolina;
• Número de falhas em componentes por unidade de
tempo;
• Número de requisições para um servidor em um
intervalo de tempo t;
28

29. Ocorrências que satisfazem a
distribuição de Poisson:
• O número de ocorrências de um evento em um intervalo
de tempo (espaço) são independentes umas das outras;
• A probabilidade de duas ou
simultâneas é praticamente zero;
mais
ocorrências
• O número médio de ocorrências por unidade de tempo
(espaço) é constante ao longo do tempo (espaço);
• O número de ocorrências durante qualquer intervalo
depende somente da duração ou tamanho do intervalo;
quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrências;
29

30. Distribuição de Poisson difere da
Distribuição Binomial em dois aspectos:
• A BINOMIAL é afetada pelo tamanho da amostra n e pela
probabilidade p, enquanto a POISSON é afetada apenas
pela taxa de ocorrência (média) λ;
• Em uma BINOMIAL, os valores possíveis da variável
aleatória X são 0, 1, 2, ..., n (limite máximo), enquanto que
em uma POISSON os valores possíveis de X são 0,1,2,3 ...
(sem limite superior).
30

31. Na laminação de aço, em média ocorrem 0,75
defeitos/m². Qual é a probabilidade de em 10 m²
ocorrerem exatamente 10 defeitos?
P( x 10 )
e
7 ,5
(7,5)10
10!
P( x 10 )
5,5 10
3,097 10
10!
4
5,63 10 9
10!
5
0,085
ou 8,5%
31

32. Conclusão
Nesse trabalho vimos que a probabilidade está
presente em diversas situações que envolvem resultados
possíveis (espaço amostral) e resultados favoráveis
(eventos).
O trabalho contribui para reforçar a matéria dada
em sala, com aplicações práticas em atividades que
fazem parte do nosso cotidiano.
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33. Bibliografia
• <http://www.brasilescola.com/matematica/probabilida
de-genetica.htm>. Acesso em 14 de Out de 2013.
• http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Genetica/2le
idemendel.php
• http://www.insa.gov.br/censosab/images/stories/cens
o/tabelaspng/5.9.png
• http://www.sbh.org.br/geral/oque-e-hipertensao.asp
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