Estudos de Caso de Probabilidade - Prof.Dr. Nilo Sampaio

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ESTUDOS DE CASO - UERJ - CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Prof.Dr. Nilo Sampaio

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Estudos de Caso de Probabilidade - Prof.Dr. Nilo Sampaio

  1. 1. Estudos de Caso Probabilidade Prof. Dr. Nilo Sampaio André Aroucha Bruno Andrade Jamires Vasconcellos Marcelo Santos Thamiris Almeida Thiago Figueiredo 1
  2. 2. Estudos de Caso •Tempo de Operação •Ganhar na Mega-Sena •Probabilidade aplicada na genética •Hipertensão •Exercícios voltados para engenharia 2
  3. 3. Introdução A probabilidade pode ser descrita como um conceito matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de intervenções. 3
  4. 4. Tempo de Operação Durante 30 dias foram medidos os tempos relativos a montagem do March. Os dados medidos seguem abaixo, em minutos: Tempo da Operação 0,5 0,5 0,6 0,5 0,5 0,8 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,6 0,5 0,6 0,7 0,4 0,5 0,7 0,4 0,5 0,5 0,5 0,7 0,5 0,7 0,4 0,5 0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,5 0,5 0,4 0,3 0,3 0,5 0,4 0,5 0,3 0,4 0,4 0,5 0,7 0,5 0,4 0,6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,4 0,6 0,4 0,5 0,6 0,5 0,6 0,7 0,6 0,5 0,3 4
  5. 5. Para calcular a probabilidade de o operador realizar a operação no tempo determinado utilizamos o gráfico de distribuição normal. Quantidade de amostra: 66 Desvio padrão: 0,106524 Média: 0,506061 5
  6. 6. Limite Limite Frequência Frequência inferior Superior relativa Média dos limites Padronização Distribuição normal padrão 0,3 0,4 18 0,2727 0,35 -1,4650 0,1364 0,5 0,6 36 0,5454 0,55 0,4124 0,3664 0,7 0,8 6 0,0909 0,75 2,28999 0,0289 6
  7. 7. Classe Calculado Real 0.3 - 0.4 0,136409261 0,272727273 0.5 - 0.6 0,366407132 0,545454545 0.7 - 0.8 0,028984724 0,090909091 7
  8. 8. GRÁFICO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL X REAL 0.6 0.5 0.4 Real 0.3 Calculado 0.2 0.1 0 0.3 - 0.4 0.5 - 0.6 0.7 - 0.8 8
  9. 9. Probabilidade de acerto na Mega-Sena Para calcularmos a probabilidade de uma pessoa ganhar na Mega-Sena usamos a fórmula da combinação simples. Essa fórmula nos mostra que uma pessoa com 2 reais tem 1 chance em 50.063.860. 9
  10. 10. Quantidade Nº Jogados Valor de Aposta 6 Probabilidade de acerto (1 em...) Sena Quina Quadra 2,00 50.063.86 0 154.518 2.332 7 14,00 7.151.980 44.981 1.038 8 56,00 1.787.995 17.192 539 9 10 11 168,00 420,00 924,00 595.998 238.399 108.363 7.791 3.973 2.211 312 195 129 12 1.848,00 54.182 1.317 90 13 3.432,00 29.175 828 65 14 6.006,00 16.671 544 48 15 10.010,00 10.003 370 37 10
  11. 11. A probabilidade de ganhar na Mega-Sena é de uma em mais de 50 milhões de chances. 6 5 4 3 2 1 60 59 58 57 56 55 1 50063860 Isso significa que é 50 vezes mais fácil ser atingido por um raio do que virar um milionário. 11
  12. 12. Caso faça a aposta máxima de 15 números sua chance é de: 15 14 13 12 11 10 60 59 58 57 56 55 1 10003 12
  13. 13. Mais fácil que ganhar na Mega-Sena Gravidez de quíntuplos, a chance é de uma em 40 milhões. 13
  14. 14. Probabilidade aplicada na genética Um homem e uma mulher possuem pigmentação normal. O homem é filho de um pai normal e uma mãe albina. A mulher é filha de uma mãe normal e um pai albino. Determine a probabilidade deles terem um filho albino do sexo masculino. Homem Mulher Aa Gametas A Geração AA Probabilidade ¼ X a Aa ¼ Aa A Aa ¼ a aa* ¼ *Criança albina 14
  15. 15. Probabilidade de criança albina: 1/4 Probabilidade de criança sexo masculino: 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 Os eventos criança albina e criança sexo masculino são independentes, dessa forma temos que para a criança ser albina e possuir o sexo masculino a probabilidade é a seguinte: 1 2 1 4 1 8 ou 12,5%. 15
  16. 16. Probabilidade e a 2ª Lei de Mendel Mendel considerou a cor da semente da ervilha, que pode ser amarela ou verde, e a textura da casca da semente, que pode ser lisa ou rugosa. Plantas originadas de sementes amarelas e lisas, ambos traços dominantes, foram cruzadas com plantas originadas de sementes verdes e rugosas, traços recessivos. 16
  17. 17. A geração F2, obtida pela autofecundação das plantas originadas das sementes de F1, era composta por quatro tipos de sementes: amarelo-lisas 9 16 56,25% 3 18,75% 16 3 verde-lisas 18,75% 16 1 verde-rugosas 6,25% 16 amarelo-rugosas 17
  18. 18. Com isso, Mendel aventou a hipótese de que, na formação dos gametas, os alelos para a cor da semente (Vv) segregam-se independentemente dos alelos que condicionam a forma da semente (Rr). Mendel concluiu que a segregação independente dos fatores para duas ou mais características era um princípio geral, constituindo a segunda lei da herança. 18
  19. 19. Hipertensão Segundo a SBH (Sociedade Brasileira de Hipertensão), 5% das crianças e adolescentes, 25% dos adultos e 50% dos idosos têm pressão alta.
  20. 20. Dados Relativos à Distribuição de Brasileiros Hipertensos e Não Hipertensos (em milhões) Faixa Etária Hipertensos Não Hipertensos Total 0 a 18 anos (jovens) 2,985 56,715 59,7 19 a 59 anos (adultos) 27,625 82,875 110,5 60 anos ou mais (idosos) 10,3 10,3 20,6 Total 40,91 149,89 190,8
  21. 21. Qual a probabilidade de um brasileiro escolhido ao acaso ser jovem e hipertenso? E dele ser adulto e hipertenso? E de ser idoso e hipertenso?
  22. 22. Probabilidade de Ser Jovem e Hipertenso 1º- probabilidade de ser jovem: 2º- probabilidade de um jovem escolhido ao acaso (dado da estatística) ser Hipertenso:
  23. 23. Probabilidade de Ser Adulto e Hipertenso 1º- probabilidade de ser adulto: 2º- probabilidade de um adulto escolhido ao acaso (dado da estatística) ser Hipertenso:
  24. 24. Probabilidade de Ser Idoso e Hipertenso 1º- probabilidade de ser adulto: 2º- probabilidade de um idoso escolhido ao acaso (dado da estatística) ser Hipertenso:
  25. 25. Exercícios voltados para engenharia Um lote com 1000 peças foi recebido na empresa e sabe-se que este tem 200 defeituosas. Se for retirada (com reposição) uma amostra de 10 peças, qual a chance de obter uma defeituosa? •Distribuição binomial Destina-se a produtos descontínuos. É uma distribuição discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso. 25
  26. 26. Probabilidade de x sucessos em n ensaios. onde: n=número de tentativas X=número de sucesso P=possibilidade de sucesso D= defeitos 1 9 P( x 1) C10,1 (0,2) (1 0,2) 9 P( x 1) 10 0,2 (0,8) 0,27 26
  27. 27. Distribuição de Poisson Distribuição discreta para produtos contínuos, aplicável às ocorrências de um evento em um intervalo especificado. Fórmula: P(X=x) = eλt . (λt)x Onde: E = número de Euler (2,72); λ = frequência média de sucessos; t= intervalo de observação. x! 27
  28. 28. Exemplos de aplicação • Usuários de computador ligados à Internet; • Clientes chegando ao caixa de um supermercado; • Acidentes com automóveis em uma determinada estrada; • Número de carros que chegam a um posto de gasolina; • Número de falhas em componentes por unidade de tempo; • Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t; 28
  29. 29. Ocorrências que satisfazem a distribuição de Poisson: • O número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (espaço) são independentes umas das outras; • A probabilidade de duas ou simultâneas é praticamente zero; mais ocorrências • O número médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é constante ao longo do tempo (espaço); • O número de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo; quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrências; 29
  30. 30. Distribuição de Poisson difere da Distribuição Binomial em dois aspectos: • A BINOMIAL é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, enquanto a POISSON é afetada apenas pela taxa de ocorrência (média) λ; • Em uma BINOMIAL, os valores possíveis da variável aleatória X são 0, 1, 2, ..., n (limite máximo), enquanto que em uma POISSON os valores possíveis de X são 0,1,2,3 ... (sem limite superior). 30
  31. 31. Na laminação de aço, em média ocorrem 0,75 defeitos/m². Qual é a probabilidade de em 10 m² ocorrerem exatamente 10 defeitos? P( x 10 ) e 7 ,5 (7,5)10 10! P( x 10 ) 5,5 10 3,097 10 10! 4 5,63 10 9 10! 5 0,085 ou 8,5% 31
  32. 32. Conclusão Nesse trabalho vimos que a probabilidade está presente em diversas situações que envolvem resultados possíveis (espaço amostral) e resultados favoráveis (eventos). O trabalho contribui para reforçar a matéria dada em sala, com aplicações práticas em atividades que fazem parte do nosso cotidiano. 32
  33. 33. Bibliografia • <http://www.brasilescola.com/matematica/probabilida de-genetica.htm>. Acesso em 14 de Out de 2013. • http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Genetica/2le idemendel.php • http://www.insa.gov.br/censosab/images/stories/cens o/tabelaspng/5.9.png • http://www.sbh.org.br/geral/oque-e-hipertensao.asp 33

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