Probabilidade

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Probabilidade

  1. 1. Introdução à Bioestatística Nutrição e Fisoterapia Primeiro Semestre/2013
  2. 2. Probabilidade • Sua origem está relacionada a jogos de azar; • Exemplo: • Jogar um dado; • Retirar uma carta de um baralho; • Lançar uma moeda; • ...
  3. 3. Probabilidade • Normalmente é impossível identificar com certeza o resultado de um evento futuro: • Qual lado da moeda vai sair, • A carta que vou puxar do baralho será de qual naipe, • Com quantos anos determinada pessoa vai morrer, • De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal, • Determinada pessoa vai desenvolver diabetes,... • Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a chance de um evento futuro ocorrer com base em informações obtidas de eventos passados.
  4. 4. Experimentos Aleatórios ou Determinísticos • Experimento aleatório: • Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições, produzem diferentes resultados: • Jogar um dado numa superfície plana; • Retirar uma carta de um baralho; • Lançar uma moeda. • Experimento determinístico: • Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições, produzem resultados iguais: • Ao deixarmos uma pedra cair de determinada altura, o tempo de queda será sempre igual; • Ao nível do mar, a água entra em ebolição sempre que atinge 100ºC.
  5. 5. Espaço Amostral • O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um experimento, é denominado espaço amostral. • Exemplos: • Lançamento de um dado (Existem 6 resultados possíveis) • Espaço amostral: 1, 2, 3, 4, 5, 6; • Retirar uma carta de um baralho (Existem 52 resultados possíveis - são 13 cartas de cada naipe e 4 naipes). • Espaço amostral: Ás de Copas, Ás de Ouros, ..., Rei de Paus, Rei de Espadas. • Lançar uma moeda (Existem 2 resultados possíveis). • Espaço amostral: Cara, Coroa.
  6. 6. Eventos • Um evento pode se referir a um único resultado, ou a um subconjunto de resultados, pertencente à um espaço amostral; • Exemplo: • Lançamento de um dado: • Evento 1 = sair 5; • Evento 2 = sair um valor menor do que 3. • Retirar uma carta de um baralho: • Evento 1 = Sair um 3 de espadas; • Evento 2 = Sair uma carta de paus. • Lançar uma moeda: • Evento 1 = sair cara; • Evento 2 = sair coroa.
  7. 7. Exercício 1 • Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: • Num hospital, conta-se o número de pacientes atendidos num intervalo de uma hora; • Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo; • Mede-se a duração de tubos de oxigênio, até que se esvaziem.
  8. 8. Como Estudar a Probabilidade de um Evento • Definir o objetivo do estudo; • Definir o objeto do estudo, aquilo que deverá ser repetido; • Descrever todos os resultados possíveis; • Repetir o experimento o maior número de vezes que puder; • Relatar todos os resultados obtidos; • Estudar a regularidade com a qual cada resultado ocorreu.
  9. 9. Exemplo - Rh • Em 1977 um pesquisador chamado Garcia se interessou pelo estudo da probabilidade dos indivíduos de São José do Rio Preto apresentarem Rh – ou +, em seus tipos sanguineos. • Objeto de estudo: moradores de São José do Rio Preto; • Resultados possíveis: Rh negativo ou Rh positivo; • Foram coletadas informação de 820 indivíduos: Rh Frequência Absoluta Freq. Relativa Positivo 737 0,8988 Negativo 83 0,1012 Total 820 1
  10. 10. Definição Frequentista de Probabilidade • Se um experimento é repetido ݊ vezes sob condições essencialmente iguais e se o evento ‫ܣ‬ ocorre ݉ vezes, então, conforme ݊ aumenta, a razão ௠ ௡⁄ se aproxima de um limite fixado, denominado probabilidade de ‫:ܣ‬ • ܲ ‫ܣ‬ ൌ ௠ ௡ ; • ݊ ൒ ݉ ൒ 0, logo, a probabilidade de um evento ocorrer é dada por um valor entre 0 e 1; • Se ܲ ‫ܣ‬ ൌ 0, ‫ܣ‬ é chamado de evento nulo ou impossível, e pode ser representado por ∅; • Se ܲ ‫ܣ‬ ൌ 1, ‫ܣ‬ é chamado de evento certo, e pode ser representado por ܵ, em que ܵ representa o espaço amostral.
  11. 11. Exemplo - Rh • Evento A = o indivíduo apresentar Rh – em seu tipo sanguíneo; • ܲ ‫ܣ‬ ൌ ଼ଷ ଼ଶ଴ ൌ 0,1012; • Evento B = o indivíduo apresentar Rh + em seu tipo sanguíneo; • ܲ ‫ܤ‬ ൌ ଻ଷ଻ ଼ଶ଴ ൌ 0,8988. Rh Frequência Absoluta Positivo 737 Negativo 83 Total 820
  12. 12. Exemplo: Evento Nulo e Evento Certo • Lançamento de um dado: • Evento 1 = sair um número menor ou igual a 6 – Evento Certo; • Evento 2 = sair um valor menor do que 1 – Evento Nulo. • Retirar uma carta de um baralho: • Evento 1 = Sair uma carta de paus, ou de ouros ou de espadas ou de copas – Evento Certo; • Evento 2 = Sair um 14 de paus – Evento Nulo. • Lançar uma moeda: • Evento 1 = sair cara ou coroa – Evento Certo; • Evento 2 = sair o número 13 – Evento Nulo.
  13. 13. Operações entre Eventos – Teoria dos Conjuntos • A reunião de dois eventos é denotada por: ‫ܣ‬ ∪ ‫;ܤ‬ • A interseção entre dois eventos é dada por: ‫ܣ‬ ∩ ‫;ܤ‬ • O complementar do evento ‫,ܣ‬ denotado por ‫ܣ‬௖ , é o evento que ocorre quando ‫ܣ‬ não ocorre; • ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∩ ‫ܥ‬ ൌ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܥ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∩ ‫ܥ‬ ; • ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ∪ ‫ܥ‬ ൌ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܥ‬ ∩ ‫ܤ‬ ∪ ‫ܥ‬ ; • ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ௖ ൌ ‫ܣ‬௖ ∩ ‫ܤ‬௖ ; • ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ௖ ൌ ‫ܣ‬௖ ∪ ‫ܤ‬௖.
  14. 14. Operações entre Eventos – Teoria dos Conjuntos ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬‫ܣ‬௖ ‫ܣ‬௖ ‫ܣ‬‫ܣ‬ ‫ܤ‬ ‫ܣ‬ ‫ܤ‬
  15. 15. Exercício 2 • Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações: • Pelo menos um dos eventos ocorre; • O evento A ocorre, mas B não; • Nenhum deles ocorre; • Exatamente um dos eventos ocorre.
  16. 16. Algumas Propriedades • ܲ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܣ‬௖ ൌ 1; • ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܣ‬௖ ൌ 0; • ܲ ‫ܣ‬ ൌ 1 െ ܲ ‫ܣ‬௖ . ܵ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௖ ‫ܣ‬௖ ‫ܣ‬௖ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ൌ 1 െ ‫ܣ‬௖ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௖
  17. 17. Algumas Propriedades • ܲ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܣ‬ ൅ ܲ ‫ܤ‬ െ ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ; = + - +‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬
  18. 18. Eventos Mutuamente Exclusivos • Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais podem ocorrer ao mesmo tempo. • Exemplo: • Lançamento de um dado: Evento A = sair 2; Evento B = sair um valor maior do que 4. ‫ܣ‬ ‫ܤ‬ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ൌ ∅
  19. 19. Eventos Mutuamente Exclusivos • ܲ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܣ‬ ൅ ܲ ‫ܤ‬ . = +‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬
  20. 20. Exemplo - Rh • Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, já que um indivíduo não pode apresentar Rh – e Rh +, em seu tipo sanguíneo, ao mesmo tempo; • ܲ ‫ܣ‬ ൌ ଼ଷ ଼ଶ଴ ൌ 0,1012; • ܲ ‫ܤ‬ ൌ ଻ଷ଻ ଼ଶ଴ ൌ 0,8988; • ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ൌ 0; • ܲ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܣ‬ ൅ ܲ ‫ܤ‬ ൌ 0,1012 ൅ 0,8988 ൌ 1; • ‫ܣ‬௖ ൌ ‫;ܤ‬ • ‫ܤ‬௖ ൌ ‫.ܣ‬
  21. 21. Exercício 3 • Em uma universidade, 2000 estudantes do curso de medicina, em determinado ano, foram classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de: • Praticar somente musculação; • Praticar pelo menos um destes esportes; • Praticar pelo menos dois destes esportes; • Não praticar nenhum destes esportes.
  22. 22. Probabilidade Condicional • Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilidade de um evento ‫,ܤ‬ dado que já se conhece o resultado de um outro evento A; • A probabilidade de ocorrer o evento ‫,ܤ‬ dado que ocorreu o evento A ܲ ‫ܣ|ܤ‬ é dada pela seguinte expressão: • ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ൌ ௉ ஺∩஻ ௉ ஺ , desde que ܲ ‫ܣ‬ ് 0.
  23. 23. Probabilidade Condicional ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ‫ܤ‬ ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ൌ ܲሺ‫ܤ‬ሻ ܲሺ‫ܣ‬ሻ ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ൌ ܲሺ‫ܤ‬ ∩ ‫ܣ‬ሻ ܲሺ‫ܣ‬ሻ ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ൌ ∅ ܲሺ‫ܣ‬ሻ ൌ 0 ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ൌ ܲሺ‫ܣ‬ሻ ܲሺ‫ܣ‬ሻ ൌ 1
  24. 24. Exercício 4 • Em um estudo feito com 15 pessoas, foram coletadas informações sobre o estilo de vida de cada um (sedentário ou não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi observado 5 pessoas obesas e 9 sedentárias; dentre as 5 pessoas obesas, 4 foram classificadas como sedentárias. • Qual a probabilidade de: • Um indivíduo ser obeso e sedentário; • Um indivíduo ser obeso ou sedentário; • Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário; • Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso;
  25. 25. Regra Multiplicativa • Sai diretamente da probabilidade condicional: • ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܤ|ܣ‬ ܲ ‫ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ܲ ‫ܣ‬ . • Essa regra é de grande utilidade na verificação de dependência entre os eventos envolvidos.
  26. 26. Eventos Independentes • Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um não influencia na ocorrência ou não- ocorrência do outro; • Logo, se dois eventos, ‫ܣ‬ e ‫,ܤ‬ são independentes tem-se: • ܲ ‫ܤ|ܣ‬ ൌ ܲ ‫ܣ‬ e ܲ ‫ܣ|ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܤ‬ ; • Ou seja, ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ൌ ܲ ‫ܣ‬ ൈ ܲ ‫ܤ‬ . • OBS: Os termos mutuamente exclusivos e independentes não são sinonimos; basta lembrar que eventos mutuamente exclusivos não possuem interseção.
  27. 27. Exercício 5 • Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os eventos são mutuamente exclusivos ou independentes. • Evento A: O primeiro filho de um casal ser menina; Evento B: O segundo filho de um casal ser menina. • Evento A: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo A; Evento B: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo O. • Considere dois eventos, A e B, dado que ܲ ‫ܣ‬ ൌ 0,8, ܲ ‫ܤ‬ ൌ 0,5 e ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ൌ 0,4.
  28. 28. Partição do Espaço Amostral • Uma partição do espaço amostral é dada por um conjunto de eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o espaço amostral: • ܵ ൌ ⋃ ‫ܤ‬௞ ଼ ௞ୀଵ ‫ܤ‬ଵ ‫ܤ‬ଶ ‫ܤ‬ଷ ‫ܤ‬ସ ‫ܤ‬ହ ‫ܤ‬଺ ‫ܤ‬଻ ‫ܤ‬଼
  29. 29. Exemplo – Debilidade Auditiva • O Levantamento Nacional de Entrevistas de Saúde de 1980 – 1981 fornece informações sobre as debilidades auditivas devido a lesões registradas por indivíduos de 17 anos de idade e mais velhos. • Os entrevistados foram divididos em 3 grupos: • A: Atualmente empregados, ܲ ‫ܣ‬ ൌ 0,6063; • B: Atualmente desempregados, ܲ ‫ܤ‬ ൌ 0,0457; • C: Fora da força de trabalho, ܲ ‫ܥ‬ ൌ 0,3480. • Os eventos A, B e C representam uma partição do Espaço Amostral?
  30. 30. Teorema da Probabilidade Total • Dado um evento ‫ܣ‬ e uma partição do espaço amostra ‫ܤ‬ଵ, … , ‫ܤ‬௞ tem-se: • ܲ ‫ܣ‬ ൌ ∑ ܲ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬௞ ௡ ௞ୀଵ ൌ ∑ ܲ ‫ܤ|ܣ‬௞ ܲ ‫ܤ‬௞ ௡ ௞ୀଵ ‫ܤ‬ଵ ‫ܤ‬ଶ ‫ܤ‬ଷ ‫ܤ‬ସ ‫ܤ‬ହ ‫ܤ‬଺ ‫ܤ‬଻ ‫ܤ‬଼ ‫ܣ‬
  31. 31. Exemplo – Debilidade Auditiva • O levantamento Nacional de Entrevistas de Saúde de 1980 – 1981 nos fornece as seguintes informações sobre a ausência (evento ܰ) e presença (evento ܵ) de debilidade auditiva devido a lesões: • ܲ ܵ|‫ܣ‬ ൌ 0,0056; • ܲ ܵ|‫ܤ‬ ൌ 0,0036; • ܲ ܵ|‫ܥ‬ ൌ 0,0065; • Qual a probabilidade de um indivíduo retirado aleatoriamente da população apresentar debilidade auditiva?
  32. 32. Teorema de Bayes • Dado um evento ‫ܣ‬ e uma partição do espaço amostra ‫ܤ‬ଵ, … , ‫ܤ‬௞ tem-se: • ܲ ‫ܤ‬௞|‫ܣ‬ ൌ ௉ ஻ೖ∩஺ ௉ ஺ ൌ ௉ ஻ೖ ௉ ஻ೖ|஺ ∑ ௉ ஺|஻ೖ ௉ ஻ೖ ೙ ೖసభ ‫ܤ‬ଵ ‫ܤ‬ଶ ‫ܤ‬ଷ ‫ܤ‬ସ ‫ܤ‬ହ ‫ܤ‬଺ ‫ܤ‬଻ ‫ܤ‬଼ ‫ܣ‬
  33. 33. Exemplo – Debilidade Auditiva • Uma informação que não foi dada, que pode ser de interesse, é a probabilidade de um indivíduo pertencer ao grupo de fora da força de trabalho dado que ele apresenta debilidade auditiva ܲ ‫ܥ‬|ܵ , por exemplo. • Calcule: • ܲ ‫ܣ‬|ܵ ; • ܲ ‫ܤ‬|ܵ ; • ܲ ‫ܥ‬|ܵ .
  34. 34. Testes de Diagnóstico • O teorema de Bayes é muito útil quando se deseja realizar um teste de diagnóstico ou triagems; • Triagem consiste na aplicação de um teste em indivíduos assintomáticos, visando classificá-los quanto a chance de apresentarem ou desenvolverem determinada doença; • Aqueles indivíduos que apresentam resultados positivos na triagem possuem uma probabilidade maior de apresentar determinada doença, sendo assim eles são, usualmente, direcionados a procedimentos de diagnóstico adicionais, ou a tratamentos.
  35. 35. Terminologia • Suponha que temos o interesse em dois eventos mutuamente exclusivos e exaustivos: • ‫ܦ‬ା = o indivíduo apresenta determinada doença; • ‫ܦ‬ି = o indivíduo não apresenta determinada doença. (‫ܦ‬ା௖ ) • Seja ܶାa representação de um resultado positivo em um teste de triagem; • Estamos interessados na probabilidade do indivíduo realmente apresentar a doença, dado que o resultado foi positivo: • ܲ ‫ܦ‬ା|ܶା .
  36. 36. Terminologia • Prevalência da doença é a probabilidade de que um indivíduo, escolhido ao acaso da população, apresente a doença em questão; • Falso negativo: ocorre quando o exame feito em uma mulher com câncer fornece um resultado negativo; • Sensibilidade do teste: probabilidade do teste dar positivo, dado que o indivíduo está realmente doente; • Falso positivo: ocorre quando o teste feito em um indivíduo saudável fornece um resultado positivo; • Especificidade do teste: probabilidade do teste dar um resultado negativo quando o indivíduo está saudável; • Acuidade do teste: probabilidade do teste dar um resultado negativo e o indivíduo estar saudável ou do teste dar positivo e o indivíduo estar doente (probabilidade de acerto).
  37. 37. Câncer do Colo do Útero • Alta chance de remissão desde que detectado no início; • O Papanicolau é um procedimento de triagem altamente aceito e utilizado; • Um teste de proficiência, conduzido em 1972, 1973 e 1978, avaliou a competência dos técnicos que analizavam o Papanicolau para anormalidades. • Os técnicos de 306 laboratórios de citologia em 44 estados foram avaliados (EUA);
  38. 38. Câncer do Colo de Útero • 16,25% dos testes realizados em mulheres com câncer resultaram em falsos negativos; • (ܲ ܶି ‫ܦ‬ା ൌ 0,1625); • Os outros 100 െ 16,25 ൌ 83,75% das mulheres que tinham câncer no colo do útero apresentaram resultados positivos (ܲ ܶା ‫ܦ‬ା ൌ 0,8375, sensibilidade do teste); • 18,64% dos testes realizados em mulheres com câncer resultaram em falsos positivos; • ܲ ܶା |‫ܦ‬ି ൌ 0,1864 → 18,64% das mulheres cujos testes deram positivo não apresentavam a doença. • Os outros 100 െ 18,64 ൌ 81,36% das mulheres que não tinham câncer no colo do útero apresentaram resultados negativos (ܲ ܶି |‫ܦ‬ି ൌ 1 െ 0,1864 ൌ 0,8136, especificidade do teste).
  39. 39. Aplicações do Teorema de Bayes • Sabemos a probabilidade do teste ser positivo ou negativo dado que a paciente tenha ou não câncer de colo de útero; • Apesar de serem informações importantes, a informação de maior interesse é saber a probabilidade de uma mulher realmente ter câncer de colo de útero dado que o exame deu positivo. • Tenho: • ܲ ܶା |‫ܦ‬ା ; ܲ ܶି |‫ܦ‬ା ; ܲ ܶା |‫ܦ‬ି e ܲ ܶି |‫ܦ‬ି . • Quero: • ܲ ‫ܦ‬ା|ܶା .
  40. 40. Aplicação do Teorema de Bayes • Teorema de Bayes: • ܲ ‫ܦ‬ା|ܶା ൌ ௉ ஽శ∩்శ ௉ ்శ ൌ ௉ ஽శ ௉ ்శ|஽శ ௉ ஽శ ௉ ்శ|஽శ ା௉ ஽ష ௉ ்శ|஽ష ; • Preciso dos valores de ܲ ‫ܦ‬ା e ܲ ‫ܦ‬ି ; • ܲ ‫ܦ‬ା é a probabilidade de que uma mulher sofra de câncer do colo de útero, ou a prevalência da doença em determinada época; • Posso calcular ܲ ‫ܦ‬ା com base em dados coletados nas últimas pesquisas na área. • Uma fonte registrou que a taxa desse câncer em mulheres estudadas de 1983 a 1984 foi de 8,3 por 100.000.
  41. 41. Aplicação do Teorema de Bayes • Com base nessa base de dados coletada em 1983-1984, tenho que ܲ ‫ܦ‬ା ൌ ଼,ଷ ଵ଴଴଴଴଴ ൌ 0,000083; • Logo: • ܲ ‫ܦ‬ି ൌ 1 െ 0,000083 ൌ 0,999917. • Inserindo todos os valores no teorma de Bayes tem-se: • ܲ ‫ܦ‬ା |ܶା ൌ ଴,଴଴଴଴଼ଷൈ଴,଼ଷ଻ହ ଴,଴଴଴଴଼ଷൈ଴,଼ଷ଻ହା଴,ଽଽଽଽଵ଻ൈ଴,ଵ଼଺ସ ൌ 0,000373;
  42. 42. Aplicação do Teorema de Bayes • Ou seja, a chance de uma mulher estar doente, dado que o Papanicolau foi positivo é de 0,0373%; em outras palavras apenas 373 mulheres, em 100.000 que forneceram resultados positivos, apresentam a doença. • Vale notar que 0,000373 é aproximadamente 4,5 vezes maio do que 0,000083, ou seja, um Papanicolau positivo indica uma probabilidade 4,5 vezes maior de ter câncer de colo de útero do que uma mulher tirada aleatóriamente da população.
  43. 43. Aplicação do Teorema de Bayes 1.000.000 de Mulheres Câncer no Colo Uterino 83 Sem Câmcer no Colo Uterino 999.917 Teste + 70 Teste + 186.385 Teste – 13 Teste – 813.532 Teste + 186.455 Teste – 813.545 Prevalência = 0,000083 Sensibilidade = 0,8375 Especificidade = 0,8136 Resultados observados no teste

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