Função inversa

RELAÇÃO
• Dados os conjuntos A e B, qualquer subconjunto do
produto cartesiano A x B é chamado de relação de A
em B.
• Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e
B = { 1, 2, 3, 4 } e o produto cartesiano A x B.
• A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3),
(2,4)}
Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º elemento
é igual ao 2º elemento?
R = { ( 1,1 ), (2,2) } R ⊂ A x B
Prof. Meire de Fátima

Lei de formação:
• Existe uma lei de formação entre os conjuntos
A e B. No caso do exemplo anterior temos:
R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = x }
1
2
1
2
3
4y = x
A B

DOMÍNIO E IMAGEM
Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }
e a relação R de A em B, tal que:
R = { { (x, y ) | x ∈ A, y ∈ B e y = 2 x }
R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }
Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares
Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares

Relação Inversa
• Seja dada a relação R, tal que:
R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) }
invertendo os valores dos pares obtemos
a relação inversa de R
R -1
= { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) }

FUNÇÕES
• Sejam dois conjuntos A ≠ Ø e B ≠ Ø , e uma
relação f de A em B. Dizemos que f é uma
função ou aplicação de A em B se a todo
elemento x ∈ A associa-se um único
elemento y ∈ B, tal que o par ( x, y ) ∈ f.
• Lemos: f : A B
Ou y = f ( x )

Observações:
• 1- Toda função é uma relação
• 2- Nem toda relação é uma função.
Vamos verificar os casos:

.
.
.
.
.
.
Vários elementos de A
associarem-se ao
mesmo elemento em B
.
.
.
.
.f
Sobrar elementos em B
A
B
A B
Proibido:
A
B
Sobrar elementos em A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A B
Um elemento de A associar-
se a vários elementos em B
Permitido:

. Domínio:
É o conjunto de partida das flechas ( A ), são os
valores de x na função.
. Contradomínio:
É o conjunto de chegada das flechas ( B ), são todos
os valores de B.
. Imagem:
São as respostas encontradas para o y.
Imagem pode ser uma parte ou igual ao conjunto B

Função sobrejetora:
Uma função f : A B é sobrejetora
quando o conjunto imagem coincide
com o contradomínio B.

A B
f
REPARE QUE NÃO
HÁ ELEMENTO
SOBRANDO EM B
Função sobrejetora:

Função Injetora:
Uma função f : A B é injetora
quando a dois diferentes valores
de A correspondem dois diferentes
valores em B.

REPARE QUE CADA
ELEMENTO DE B SÓ PODE
CORRESPONDER A UM
ELEMENTO DE A.
A
B
Função Injetora:

Função bijetora:
Uma função f : A B é bijetora
quando é sobrejetora e injetora ao
mesmo tempo.
REPARE QUE
NÃO SOBRA
ELEMENTO EM B
E CHEGA UMA
ÚNICA FLECHA
EM CADA
ELEMENTO DE B.
A B

FUNÇÃO CRESCENTE:
Forma geral: y = ax + b
Se a > 0, ou seja o valor de a é positivo
A função é crescente.
Observe:
y = 2 x + 9
a = 2 e 2 > 0 f(x) é crescente∴

Consideremos a função f : A B e sejam x1  A e x2 
A sendo x1 < x2 . A função é estritamente crescente se
f(x1 ) < f(x2 ) . Observe o gráfico:
x
y
x1
x2
f(x1 )
f(x2 )
0
Gráfico da função crescente:
x1 < x 2 f(x1 ) < f(x 2 )

Função decrescente:
Forma geral: f(x) = a x + b
Se a < 0 ( a é negativo)
A função é decrescente.
Observe:
f(x) = - 2 x + 9
a = -2 ( função decrescente)

Gráfico da função decrescente:
x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )
Consideremos a função f : A B e sejam x1 
A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é
estritamente decrescente se
f(x1 ) > f(x2 ) . Observe o gráfico:

x
Y
x1 x2
f(x1 )
f(x 2 )
0
x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )

Função constante:
Forma geral: f(x) = ax + b
Se a = 0 temos f(x) = b ( valor constante)
Observe:
y = 2
f(x) = -3, etc.
( o gráfico é paralelo ao eixo Ox)

Gráfico da função constante:
x1< x2 f(x1) = f(x2 )
Consideremos a função f : A B e sejam x1 
A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é
estritamente CONSTANTE se
f(x1 ) = f(x2 ) para quaisquer valores de x1 e x2
.Observe o gráfico:

X
Y
0
X1 X2
f(x1) f(x2)

FUNÇÃO INVERSA:
SEJA f: A B onde y = f(x) = 2x.
Sendo A = (1,3) e B = (2,6). Qual a imagem
de f?
1
3
2
6
A
B
MUITO SIMPLES!
A FUNÇÃO É BIJETORA
ASSIM A IMAGEM = CONTRADOMÍNIO, PORTANTO
Im = { 2,6 }

AGORA OBSERVE ESTA FUNÇÃO:
2
6
1
3
B
A
ENGRAÇADO, A FUNÇÃO FOI INVERTIDA
O QUE ERA IMAGEM VIROU DOMÍNIO E O QUE ERA DOMINIO VIROU
IMAGEM!
Dom = { 2, 6 } Im = { 1, 3 }
Conj. de partida Valores de y
y = x / 2

Se f : A B for uma função bijetora , a
função inversa de f é uma função definida
de B em A e indicada por f –1
: B A
Veja que se (x, y) ε f  ( y , x ) ε f –1
1
3
2
6
2
6
1
3
A B
f
B A
f –1
Y = 2 x
Y = x / 2

Se f = { ( 1, 3), (2, 6) } e
f -1
= { (3, 1), (6, 2) }, o x virou y e o y virou x.
Vejamos a maneira prática de achar a
função inversa de uma função dada.
Se f : A B, definida por y = 2 x:
1)troca-se x por y e y por x:
x = 2 y
2) Isola-se o y: x = 2y
x / 2 = y
f ( x ) = 2 x e sua inversa f –1
(x) = x /2

FUNÇÃO INVERSA
• Dada uma função f: A B, bijetora, denomina-se
função inversa de f a função g: B A tal que se f( a )
= b, então g (b) = a

Processo para determinar a inversa de uma função:
• Sendo f( x ) = 4 x , vamos determinar a
inversa de f (x) ou seja f -1
• Basta trocar x por y e y por x
• Isolar y
• Y = 4 x trocando: x = 4y
x / 4 = y ( inversa )
y = 4 x  y = x / 4

• GRÁFICOS DE FUNÇÕES INVERSAS
x Y=f(x)
0 2
1 3
2 4
x Y=f(x)
0 -2
1 -1
2 0
f
Reta y=x
f-1
2
3
4
1 2
-1
-2
x
y

f(x) = x 2
e f -1
(x) = √ x

• Os gráficos das funções inversas são
simétricos em relação a reta y = x que
representa a bissetriz dos quadrantes
ímpares. Isso ocorre em todos os casos de
função inversa.
• (x, y) e (y, x) são pontos simétricos em
relação a bissetriz dos 1º e 3º quadrantes
( ímpares) y = x

• FUNÇÃO PAR
Considere a função f(x) = x 2
Seu gráfico é dado por:

Observe que:
• f (1 ) = 12
= 1
• f (-1) = (-1)2
= 1
f(1) = f (- 1) = 1, tem a mesma imagem
Uma função é considerada par se e somente
se f ( x ) = f ( - x ) para x ∈ R
O gráfico é simétrico em relação ao eixo y

FUNÇÃO ÍMPAR
• Vamos considerar a função f ( x ) = x 3
• f( 1 ) = 1 3
= 1 f(2) = 2 3
= 8
• f(-1) = (-1) 3
= -1 f(-2) = (-2) 3
= -8
Tem imagens opostas 1 é oposto de -1
Dizemos que f(x) é ímpar se tiver imagens
opostas f(-x) = - f(x)
O gráfico de f(x) é simétrico em relação
ao ponto O (origem )

F(2) = 8
F(-1) = -1
F(-1) = -1
F(-2) = -8
x y
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
F(1) = 1

Como identificar uma função:
• Dado um gráfico qualquer, basta traçar uma
reta paralela ao eixo y.
• Se ela cortar o gráfico em mais de um
ponto, significa que NÃO É FUNÇÃO.

• Observe:
Corta o gráfico em
mais de um ponto
Não é função
Corta o gráfico em
um único ponto.
È função.
x
F(x)
F(x)
x

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO
DOMÍNIO:
• Você já sabe que:
Não existe divisão por zero.
Não existe raíz de índice par de número real
negativo. Assim:
4 / 0 não é definido
√-3 não é definida nos reais.
POR ISTO, QUANDO APARECE LETRAS NO
DENOMINADOR OU NO RADICAL:

• Devemos estabelecer a condição de existência
do domínio da função:
• Exemplos:
y = 4 / x ( x deve ser diferente de zero)
C.E: { x IR/ x ≠ 0 }∊
Assim D = { x IR/ x ≠ 0 }∊
y = 5x / x + 2y = 5x / x + 2
C.E: x + 2 ≠ 0C.E: x + 2 ≠ 0
x ≠ -2x ≠ -2 { x{ x IR/ x ≠ -2 }∊ IR/ x ≠ -2 }∊
Assim D=Assim D= { x{ x IR/ x ≠ -2 }∊ IR/ x ≠ -2 }∊

• √x + 3 = 0
x + 3 ≥ 0 ( a raíz deve ser maior ou igual a zero)
x ≥ -3
C.E: { x IR/ x ≥ -3 }∊
5 + x5 + x
√√ x – 2x – 2 ( a raíz deve ser maior que zero)( a raíz deve ser maior que zero)
C.E:C.E: { x{ x IR/ x > 2 }∊ IR/ x > 2 }∊
= 0

Atividades:
• Estabeleça a condição de existência do
domínio das funções abaixo:
• A) x + 9 = 0
• B) 3 / x + 7 = 0
• C) 5x / √ 2x – 3 = 0
• D) √2x + 5 = 0
• E) 5x + 9 / 3x + 16 = 0

• Respostas:
• A) não há restrições, D = IR∴
• B) D = { x IR / x ≠ -7 }∊
• C) D = { x IR / x > 3/2 }∊
• D) D = { x IR / x ≥ - 5/2 }∊
• E) D = { x IR / x ≠ -16/3 }∊

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