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Tratamento analítico da interação entre
 trens de pulsos ópticos e sistemas de
    dois níveis no domínio espectral


   Marco Polo, Sandra Vianna
    Departamento de Física
Objetivo
Descrever interação do trem de pulsos com sistema atômico – expressão analítica




                       M Polo et al, J. Phys. B 43 055001 (2010).
O trem de pulsos
                                                                                                      Prêmio Nobel de
                                                            Transformada                                Física (2005)
                                                              de Fourier
                                                                  ⟹


           ������                                                                                          ������

������ ������ =          ������0 ������ − ������������������ ������ ������������(������������ ������������ +������) ������ ������������������ ������       ������ ������ = ������0 ������ − ������������             ������ ������������   ������ −������ ������������

          ������=0                                                                                       ������=0


������ → ∞ ⟹                                                                                    ∞
                                     ∞                                               1
                                                                            ������ ������ =                ������0 ������ − ������ ������ ������������ ������
������ ������ = ������0 ������ − ������������                       ������ ������ − ������������������ − 2������������ ∗                ������������
                                                                                           ������=−∞
                                 ������=−∞



           ������������ = 2������(������0 + ������������������ )                                                 ������ ������ = ������0            ������ ������������������ ������
                                                                                                      ������
 * Steven T Cundiff, J. Phys. D: Appl. Phys. 35 (2002) R43–R59
Interação átomo-campo
Interação entre um trem de pulsos ultra-curtos e átomos de 2 níveis.


     ������������    ������
          = − ������ , ������ + ������������������������������������çã������
     ������������    ℏ
             2

     ������ =          ℏ������������ ������ ������ − ������ . ������
            ������=1


                                               Frequência
      Eq. de Bloch:                              de Rabi                   ������12 ������(������)
                                                            ٠= ٠������ =
                                                                               ℏ
      ������12 = ������������21 − ������12 ������12 − ������Ω(1 − 2������22 )           ������12   = 1 ������ 2

      ������22 = ������Ω������12 + ������. ������ − ������22 ������22                   Ω = Ω0           ������ ������������������������
                                                                        ������
Resolvendo as equações de Bloch
������12 = ������21 − 12 12 − ������Ω 1 − 222

������22 = ������Ω12 + ������. ������. −22 22
                                                                            Envoltória lenta:             ������12 ������ = ������12 (������)������ ������������������ ������


������12 ������ →             Combinação linear de todas as frequências do pente:

                                 ������������ , ������������ ± ������������ , ������������ ± ������������ ± ������������ , …

Expansão em potências dos campos:


                    12(������) ������ ������ ������ ������ +             22(������) ������ ������(������ − ������ + ������ )������ + ⋯
                     (1)                                (3)
 12 ������ =
             ������                              ������������������


                    22(������) ������ ������(������ − ������ )������ +                    22(������) ������ ������(������ − ������ + ������ − ������ )������ + ⋯ + ������. ������.
                     (2)                                              (4)
 22 ������ =
            ������������                                         ������������������������



                                                                                   (1)                     ������ ������ ������ ������ − ������ (������21 −12 )������
Condição inicial: ������11 ������ = 0 = 1 ⇒                                              ������ 12   (������) = Ω0
                                                                                                             ������ 21 − ������ − 12
                                                                                                     ������
Cálculos numéricos e analíticos
                             ������

Numérico:         ������ ������ =          ������0 (������ − ������������������ )������ ������������(������������������������ +������) ������ ������������������������ + ������������. ������������������������ℎ   → (Runge-Kutta) → ������12
                            ������=0



                                             ������
                                                      ������ ������������������ ������ − ������ ������������21 −������12 ������
Analítico:        ������12 ������ = Ω0
                                                       ������ ������21 − ������������ − ������12
                                         ������=−������

             Acumulação coerente: D. Felinto et al, Opt. Commun. 215 , 69-73 (2003).



                                  ������′ = ω21
                                          12
                                  Ω0 =
                                         100
                                            12
                                  ������������ = 40
                                            2������
Cálculos numéricos e analíticos
                        ������

Numérico:    ������ ������ =          ������0 (������ − ������������������ )������ ������������(������������������������ +������) ������ ������������������������ + ������������. ������������������������ℎ   → (Runge-Kutta) → ������12
                       ������=0



                                        ������
                                                 ������ ������������������ ������ − ������ ������������21 −������12 ������
Analítico:   ������12 ������ = Ω0
                                                  ������ ������21 − ������������ − ������12
                                    ������=−������




                             ������′ = ω21
                                     12
                             Ω0 =
                                    100
                                       12
                             ������������ = 40
                                       2������



                                                                                M = 5 (11 modos)
Cálculos numéricos e analíticos

                     ������′ = ω21
                             12
                     Ω0 =
                            100
                               12
                     ������������ = 40
                               2������




      ������′ = ω21 + 0.2(2������������������ )
Cálculos numéricos e analíticos

                     ������′ = ω21
                             12
                     Ω0 =
                            100
                               12
                     ������������ = 40
                               2������




      ������′ = ω21 + 0.2(2������������������ )
Quantidade de modos
             0.0112
                                        101 modos
                                        11 modos
                                        1 modo


             0.0104
     l12l




             0.0096




             0.0088
                      280   288        296

                              t/TR

Quantos mais modos são levados em conta, mais bem descrito
temporalmente é a dinâmica da matriz densidade.

Um campo cw (apenas 1 modo) descreve o comportamento médio
da evolução da matriz densidade, inclusive o transiente.
Interação com vapor atômico
                                                      Distribuição de velocidades
                                                      de Maxwell-Boltzmann

                                                              Efeito Doppler

                                                       Condição de ressonância:
                                                          ������21 = ������������ ± ������������

         0.010                                      ������ → ������21 − ������������ + ������������
                                                        ������
                                                    ������ 12 ~ ������12 exp(−������ 2 /2������������ )
l12 l
D




         0.005
                                                    ������������ = 150������21 (largura Doppler)
                                                    ������21 = ������������′

         0.000                                      ������ = 400������������ ������������������������
              -200   -100      0        100   200
                             (12 )               ������ = 11 ������������������������������
Conclusões e Perspectivas
Apresentamos uma expressão analítica para a interação entre um trem de
pulsos ópticos e um sistema de dois níveis, com ênfase no domínio espectral.
Além de mais elegante, a solução analítica no domínio da frequência é muito
mais eficiente em termos de tempo de computação.
                                  100
           Absorção (uni. arb.)




                                                                        Trem de pulsos com
                                    0
                                                                             ������������ = 1 GHz
                                                                          interagindo com
                                  -100
                                                                          vapor de Rubídio
                                    -400   -200     0       200   400
                                                   (MHz)




Utilizando um tratamento semelhante, estudamos a interação de um trem de
pulsos com um sistema Λ (3 níveis), na condição de ressonância de 2 fótons.
A ser submetido.

Propagação de trens de pulsos em meios densos.
Nosso grupo:
 Sandra Vianna
   Marco Polo
Gabriel carvalho

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  • 1. Tratamento analítico da interação entre trens de pulsos ópticos e sistemas de dois níveis no domínio espectral Marco Polo, Sandra Vianna Departamento de Física
  • 2. Objetivo Descrever interação do trem de pulsos com sistema atômico – expressão analítica M Polo et al, J. Phys. B 43 055001 (2010).
  • 3. O trem de pulsos Prêmio Nobel de Transformada Física (2005) de Fourier ⟹ ������ ������ ������ ������ = ������0 ������ − ������������������ ������ ������������(������������ ������������ +������) ������ ������������������ ������ ������ ������ = ������0 ������ − ������������ ������ ������������ ������ −������ ������������ ������=0 ������=0 ������ → ∞ ⟹ ∞ ∞ 1 ������ ������ = ������0 ������ − ������ ������ ������������ ������ ������ ������ = ������0 ������ − ������������ ������ ������ − ������������������ − 2������������ ∗ ������������ ������=−∞ ������=−∞ ������������ = 2������(������0 + ������������������ ) ������ ������ = ������0 ������ ������������������ ������ ������ * Steven T Cundiff, J. Phys. D: Appl. Phys. 35 (2002) R43–R59
  • 4. Interação átomo-campo Interação entre um trem de pulsos ultra-curtos e átomos de 2 níveis. ������������ ������ = − ������ , ������ + ������������������������������������çã������ ������������ ℏ 2 ������ = ℏ������������ ������ ������ − ������ . ������ ������=1 Frequência Eq. de Bloch: de Rabi ������12 ������(������) Ω = Ω ������ = ℏ ������12 = ������������21 − ������12 ������12 − ������Ω(1 − 2������22 ) ������12 = 1 ������ 2 ������22 = ������Ω������12 + ������. ������ − ������22 ������22 Ω = Ω0 ������ ������������������������ ������
  • 5. Resolvendo as equações de Bloch ������12 = ������21 − 12 12 − ������Ω 1 − 222 ������22 = ������Ω12 + ������. ������. −22 22 Envoltória lenta: ������12 ������ = ������12 (������)������ ������������������ ������ ������12 ������ → Combinação linear de todas as frequências do pente: ������������ , ������������ ± ������������ , ������������ ± ������������ ± ������������ , … Expansão em potências dos campos:  12(������) ������ ������ ������ ������ +  22(������) ������ ������(������ − ������ + ������ )������ + ⋯ (1) (3) 12 ������ = ������ ������������������  22(������) ������ ������(������ − ������ )������ +  22(������) ������ ������(������ − ������ + ������ − ������ )������ + ⋯ + ������. ������. (2) (4) 22 ������ = ������������ ������������������������ (1) ������ ������ ������ ������ − ������ (������21 −12 )������ Condição inicial: ������11 ������ = 0 = 1 ⇒ ������ 12 (������) = Ω0 ������ 21 − ������ − 12 ������
  • 6. Cálculos numéricos e analíticos ������ Numérico: ������ ������ = ������0 (������ − ������������������ )������ ������������(������������������������ +������) ������ ������������������������ + ������������. ������������������������ℎ → (Runge-Kutta) → ������12 ������=0 ������ ������ ������������������ ������ − ������ ������������21 −������12 ������ Analítico: ������12 ������ = Ω0 ������ ������21 − ������������ − ������12 ������=−������ Acumulação coerente: D. Felinto et al, Opt. Commun. 215 , 69-73 (2003). ������′ = ω21 12 Ω0 = 100 12 ������������ = 40 2������
  • 7. Cálculos numéricos e analíticos ������ Numérico: ������ ������ = ������0 (������ − ������������������ )������ ������������(������������������������ +������) ������ ������������������������ + ������������. ������������������������ℎ → (Runge-Kutta) → ������12 ������=0 ������ ������ ������������������ ������ − ������ ������������21 −������12 ������ Analítico: ������12 ������ = Ω0 ������ ������21 − ������������ − ������12 ������=−������ ������′ = ω21 12 Ω0 = 100 12 ������������ = 40 2������ M = 5 (11 modos)
  • 8. Cálculos numéricos e analíticos ������′ = ω21 12 Ω0 = 100 12 ������������ = 40 2������ ������′ = ω21 + 0.2(2������������������ )
  • 9. Cálculos numéricos e analíticos ������′ = ω21 12 Ω0 = 100 12 ������������ = 40 2������ ������′ = ω21 + 0.2(2������������������ )
  • 10. Quantidade de modos 0.0112 101 modos 11 modos 1 modo 0.0104 l12l 0.0096 0.0088 280 288 296 t/TR Quantos mais modos são levados em conta, mais bem descrito temporalmente é a dinâmica da matriz densidade. Um campo cw (apenas 1 modo) descreve o comportamento médio da evolução da matriz densidade, inclusive o transiente.
  • 11. Interação com vapor atômico Distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann Efeito Doppler Condição de ressonância: ������21 = ������������ ± ������������ 0.010 ������ → ������21 − ������������ + ������������ ������ ������ 12 ~ ������12 exp(−������ 2 /2������������ ) l12 l D 0.005 ������������ = 150������21 (largura Doppler) ������21 = ������������′ 0.000 ������ = 400������������ ������������������������ -200 -100 0 100 200  (12 ) ������ = 11 ������������������������������
  • 12. Conclusões e Perspectivas Apresentamos uma expressão analítica para a interação entre um trem de pulsos ópticos e um sistema de dois níveis, com ênfase no domínio espectral. Além de mais elegante, a solução analítica no domínio da frequência é muito mais eficiente em termos de tempo de computação. 100 Absorção (uni. arb.) Trem de pulsos com 0 ������������ = 1 GHz interagindo com -100 vapor de Rubídio -400 -200 0 200 400  (MHz) Utilizando um tratamento semelhante, estudamos a interação de um trem de pulsos com um sistema Λ (3 níveis), na condição de ressonância de 2 fótons. A ser submetido. Propagação de trens de pulsos em meios densos.
  • 13. Nosso grupo: Sandra Vianna Marco Polo Gabriel carvalho