TCC - ROMAIS, Rodrigo. (versão digital UNEMAT-SINOP)

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TCC - ROMAIS, Rodrigo. (versão digital UNEMAT-SINOP)

  1. 1. 0 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO RODRIGO ROMAISAPLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE- KUTTA NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIALORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA FÍSICO GOVERNADO PELA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON SINOP-MT 2011
  2. 2. 1 RODRIGO ROMAISAPLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE- KUTTA NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIALORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA FÍSICO GOVERNADO PELA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Departamento de Matemática - UNEMAT, Campus Universitário de Sinop, como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientadora: Profª. Drª. Darci Peron SINOP-MT 2011
  3. 3. 2 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _______________________________________ RODRIGO ROMAIS Monografia de Projeto Final de Graduação sob título: “APLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA FÍSICO GOVERNADO PELA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON”, defendida por Rodrigo Romais em 2011, na cidade de Sinop, estado de Mato Grosso, pela banca examinadora constituída pelos professores: _______________________________________ Prof. Dr. Darci Peron Orientadora _______________________________________ Prof. Dr. Miguel Tadayuki Koga Avaliador _______________________________________ Prof. Ms. Nadison Luiz Pavan Avaliador _______________________________________ Prof(a). Prof. Dr. Darci Peron Presidente da BancaAprovado em _____ / _____ /_____
  4. 4. 3 DEDICATÓRIADedico este trabalho à minha família, amigos e aos professores do Departamento de Matemática, que presentes estiveram me apoiando e me incentivando, permitindo a construção do conhecimento adquirido durante a graduação. Rodrigo
  5. 5. 4 AGRADECIMENTOSAgradeço a Deus pela oportunidade da realização deste curso de graduação. Agradeço aosmeus queridos pais, Luciano e Vera, que sempre acreditaram e me deram força para concluiresta etapa.Agradeço a professora orientadora Darci Peron, que em meio às dificuldades sempre estevepresente durante o último semestre da graduação, e aos queridos co-orientadores Rogério dosReis Gonçalves e André Luis Christoforo que sempre estiveram me acompanhando desde oinício deste projeto de pesquisa, sempre incentivando para a pesquisa e publicação detrabalhos.Agradeço aos meus colegas de sala, em especial a Adriana e Tiago que sempre estiveramjuntos nos estudos e nas demais maluquices.Por fim, agradeço as demais pessoas, amigos, professores, parentes, que em algum momento,de uma forma ou outra, estiveram presente e que contribuíram para a busca do conhecimento.
  6. 6. 5 EPÍGRAFE“A vida é aquilo que acontece enquanto fazemos planos para o futuro. Pense globalmente e atue localmente”. John Lennon
  7. 7. 6 RESUMOROMAIS, Rodrigo. “Aplicação de alguns Métodos de Runge-Kutta na resolução de umaEquação Diferencial Ordinária referente ao problema físico governado pela Lei deResfriamento de Newton”. Orientadora: Profª. Drª. Darci Peron. 2011. Trabalho deConclusão de Curso (Graduação em Matemática) - Faculdade de Ciências Exatas.Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Universitário de Sinop. 2011.Métodos numéricos são extremamente úteis na resolução de muitos problemas físicos que sãoem geral modelados por equações diferenciais ordinárias, e surgem como alternativa para aobtenção de resultados que quase sempre não podem ser obtidos por procedimentos analíticos.Dentre os métodos numéricos utilizados na resolução de equações diferenciais ordináriasdestaca-se os Métodos de Runge-Kutta, pela simplicidade de implementação computacional e,também, pela facilidade na obtenção das aproximações de suas versões, diferenciando dosmétodos cujo desenvolvimento origina-se da expansão em série de Taylor. Em se tratando daresolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, este trabalhoapresenta e aplica cinco versões do Método de Runge-Kutta na resolução de um problemagovernado pela lei de resfriamento de Newton, com solução analítica conhecida, de maneira aconfrontar os resultados numéricos advindos das aproximações com o analítico,evidenciando-se dentre estes o método mais eficiente. Para a obtenção dos resultadosnuméricos, este trabalho utiliza o software Mathcad na versão 2000.
  8. 8. 7 ABSTRACTROMAIS, Rodrigo. "Application of some methods of Runge-Kutta method to solve anODE for the physical problem governed by Newtons Law of Cooling." Advisor: Prof. Dr.Darci Peron. 2011. Completion of Course Work (Undergraduate Mathematics) - Faculty ofExact Sciences. University of MatoGrosso, University Campus of Sinop. 2011.Numerical methods are extremely useful in solving many physical problems that are usuallymodeled by ordinary differential equations, and arise as an alternative to obtaining results thatoften cannot be obtained by analytical procedures. Among the numerical methods used insolving ordinary differential equations stands out the Runge-Kutta methods, by computationalsimplicity of implementation and also by ease in obtaining approximations of its versions,differing methods whose development originates from the expansion Taylor series.Concerning the numerical solution of ordinary differential equations of first order, this paperaims to present and apply the five versions of Runge-Kutta method to solve a problemgoverned by Newtons law of cooling, with known analytical solution, in order to confrontarising from the numerical results with analytical approximations, showing that amongst thesethe most efficient method. To obtain the numerical results we use the software Mathcad 2000version.
  9. 9. 8 LISTA DE FIGURASFigura 1.1 – é contínua em quando aproxima-se do ponto ....................... 14Figura 1.2 – Função descontínua quando = 2; 5; 7......................................... 15Figura 1.3 – Teorema do Valor Médio................................................................. 16Figura 1.4 – Equação Diferencial de segunda ordem........................................... 18Figura 2.1 – Representação do coeficiente angular ( ).................................... 26Figura 2.2 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com três partições dedomínio................................................................................................................. 30Figura 2.3 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com cinco partições dedomínio................................................................................................................. 30Figura 3.1 – Representação do problema modelo................................................ 32Figura 3.2 – Variação de temperatura do corpo (problema modelo)................... 37Figura 3.3 – Resolução do Método Numérico de Runge-Kutta de 1ª ordem...... 39Figura 3.4 – Gráfico das aproximações da temperatura para cinco partições nointervalo de tempo............................................................................................... 40Figura 3.5 – Gráfico das aproximações da temperatura para dez partições nointervalo de tempo.............................................................................................. 41Figura 3.6 – Gráfico das aproximações da temperatura para vinte partições nointervalo de tempo.............................................................................................. 42Figura 4.1 – Interface Software Mathcad 2000.................................................. 45Figura 4.2 – Barra de Menus do Mathcad.......................................................... 46Figura 4.3 – Barra de menus de operações matemáticas.................................... 47Figura 4.4 – Algumas Operações....................................................................... 47Figura 4.5 – Ferramenta para construção de Gráficos........................................ 47Figura 4.6 – Operações com Matrizes................................................................ 48Figura 4.7 – Identifica variáveis......................................................................... 48Figura 4.8 – Cálculo Diferencial e Integral........................................................ 48Figura 4.9– Comparação de expressões............................................................ 49Figura 4.10 – Implementação de Algoritmos.................................................... 49Figura 4.11 – Simbologia grega........................................................................ 49Figura 4.12 – Operações específicas................................................................. 50
  10. 10. 9 LISTA DE TABELASTabela 3.1: Aproximações para cinco partições e o erro encontrado.................... 39Tabela 3.2: Aproximações para dez partições e erro encontrado.......................... 40Tabela 3.3: Aproximações para vinte partições e erro encontrado....................... 41
  11. 11. 10 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLASED: Equações Diferenciais.EDO: Equações Diferenciais Ordinárias.EDP: Equações Diferenciais Parciais.PVI: Problema de Valor Inicial.UNEMAT: Universidade do Estado de Mato Grosso.WYSIWYG: What You Se Is What You Get (o que você vê, é o que você faz).
  12. 12. 11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ................................................................................................... 121. CONCEITOS INICIAIS ................................................................................. 14 1.1. Continuidade de Função ............................................................................. 14 1.2. Diferenciabilidade ....................................................................................... 16 1.3. Equações Diferenciais ................................................................................. 17 1.3.1. Classificação por Tipo ................................................................................. 17 1.3.2. Classificação por Ordem ............................................................................. 18 1.3.3. Classificação por Linearidade ..................................................................... 20 1.4. Solução de uma EDO .................................................................................. 20 1.4.1. Intervalos de Definição ............................................................................... 21 1.5. Solução de uma EDO ................................................................................. 21 1.6. Problemas de Valor Inicial ......................................................................... 222. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA ................................................................. 23 2.1. Método de Runge-Kutta de 1ª Ordem ......................................................... 25 2.2. Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem ......................................................... 26 2.3. Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem ......................................................... 27 2.4. Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem ......................................................... 27 2.5. Método de Runge-Kutta de 5ª Ordem ......................................................... 28 2.6. Compreensão Geométrica do Método de Runge-Kutta .............................. 293. PROBLEMA MODELO ................................................................................. 32 3.1. Resolução Analítica Do Problema Modelo ................................................. 34 3.2. Solução Numérica do Problema Modelo .................................................... 38 3.3. Utilização do software Mathcad 2000, para a aplicação do Método de Runge-Kutta ................................................................................................ 38 3.4. Aproximações Por Cinco Partições Do Domínio ........................................ 39 3.5. Aproximações Por Dez Partições Do Domínio ........................................... 40 3.6. Aproximações Por Vinte Partições Do Domínio ......................................... 41 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 43 BIBLIOGRÁFIA CONSULTADA ...................................................................... 44 APENDICES ........................................................................................................ 454. SOFTWARE MATHCAD 2000 ..................................................................... 45 4.1. Barra de Menus ........................................................................................... 46 4.2. Barra de Ferramentas Matemáticas ............................................................ 46 4.3. Um Cálculo Simples ................................................................................... 50 ANEXOS ............................................................................................................. 51
  13. 13. 12 INTRODUÇÃOA resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO) pode ser encontrada em aplicaçõescomo reações químicas, decaimento radioativo e corpos em queda. No entanto, nem todaequação diferencial apresenta solução analítica. Para se contornar esta problemática, surgemos métodos numéricos.Em se tratando da resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, destacam-se os Métodos de Runge-Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus algoritmos,isto é, de suas aproximações, diferenciando dos métodos que dependem de expansões da sériede Taylor, e também, pela facilidade em que os mesmos apresentam em termos de suaimplementação computacional.A metodologia desenvolvida neste trabalho é por meio de pesquisa bibliográfica, que consisteem aplicar a leitura de determinadas referências ao projeto de pesquisa, como trabalhoscientíficos e livros publicados conforme descreve Silva & Menezes (2001).Para o desenvolvimento teórico, as principais fontes bibliográficas analisadas inicialmenteforam: Boyce & Di Prima (1994), Ruggiero (1996) e Zill (2003).Este trabalho de conclusão de curso tem por objetivo, apresentar e aplicar os Métodos deRunge-Kutta de primeira, segunda, terceira, quarta e quinta ordem na resolução de umproblema referente ao estudo da lei de resfriamento de Newton cuja variação da temperaturade um corpo exposto a um ambiente termicamente controlado, de maneira a se constatardentre os métodos aproximados, aquele que mostrou ser o mais eficiente, além de motivar osacadêmicos da área de exatas da UNEMAT ao estudo analítico e numérico de equaçõesdiferenciais, mediante a importância das suas aplicações.Para a obtenção de aproximações de ordens superiores segundo a expansão em séries deTaylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos torna-se cada vezmais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores, mas para os
  14. 14. 13métodos numéricos de Runge-Kutta, a série é truncada na ordem de interesse, conformeRuggiero (1996).O Mathcad, na versão 2000 é o software utilizado no desenvolvimento da pesquisa, desde asimulação do problema modelo até o cálculo dos algoritmos das diversas ordens dos métodosde Runge-Kutta com as condições de interesse.Este Trabalho de Conclusão de Curso está estruturado da seguinte maneira, no primeirocapítulo relembramos alguns conceitos iniciais para a compreensão das equações diferenciais,como continuidade de uma função, diferenciabilidade, e a resolução de um problema de valorinicial (PVI).O segundo capítulo traz uma apresentação das cinco versões do método de Runge-Kutta, cujoprocedimento numérico destaca uma precisão tão boa quanto resultados advindos da série deTaylor.O Terceiro capítulo apresenta o problema modelo e as respectivas soluções, a analítica e asnuméricas. Com a solução analítica conhecida do problema, finalmente é comparada com assoluções numéricas, evidenciando o erro gerado através das aproximações, destacando dentreos cinco métodos de Runge-Kutta o mais eficiente.O quarto capítulo traz uma apresentação do software Mathcad 2000, com alguns comandos eoperações básicas, de modo que, fique um pouco mais claro como foram obtidos asaproximações do método, a resolução analítica do ponto de interesse do problema modelo e osrespectivos cálculos de erro.
  15. 15. 141. CONCEITOS INICIAIS1.1. Continuidade de FunçãoSeja uma função, ela é dita continua se satisfaz a seguinte definição conforme Stewart(2006): Definição 1.1: Função Contínua. Uma função é contínua em um ponto se: lim ( ) = ( )Implicitamente a definição acima requer algumas regras, para que seja contínua em : i) ( ) está definida se o ponto pertence ao domínio de . ii) O lim ( ) existe. iii) lim ( )= ( )Segundo definição, é contínua em , se ( ) tender a ( ), quando aproxima-se de .Geometricamente, se for contínua, então, sobre o gráfico de o conjunto de pontos( , ( )) tendem ao ponto ( , ( )) conforme Figura 1.1 a seguir. Figura 1.1 - é contínua em quando aproxima-se do ponto .
  16. 16. 15Portanto, é contínua em todo ponto contido no domínio.Em se tratando de fenômenos físicos geralmente são governados por comportamentoscontínuos, como funções deslocamento ou velocidade, nas quais variam continuamente emfunções do tempo.Se está definida próximo do ponto , isto é, se está definida em um intervalo abertocontendo , exceto possivelmente em , então é descontínua em . A Figura 1.2 mostrauma descontinuidade de uma função , nos quais vários pontos são descontínuos. Figura 1.2 – Função descontínua quando = 2; 5; 7.Quando = 2, há uma descontinuidade por haver um buraco na função, a razão para issoocorrer está em (2) não ser definida pelo domínio da função.No gráfico observamos uma quebra, ou um salto quando = 5, a razão para taldescontinuidade é que (3) está definida no domínio de , e o lim ( ) não existe, pois oslimites laterais, esquerdo e direito são divergentes, portanto não há limite da função no ponto.E quando = 7, (7) é definida, e lim ( )existe, pois os limites direito e esquerdo sãoiguais. Mas lim ( ) (7), logo é descontínua também quando = 7.
  17. 17. 161.2. DiferenciabilidadeUma função é dita derivável ou diferenciável se existir derivadas em todo ponto do domínioda função, sabendo que é sempre contínua em todo intervalo , de acordo com ZILL (2003): Definição 1.2: Função Derivável. A função derivável de em é dita constante se e somente se a ’ for igual a zero. A função derivável de em é dita crescente se e somente se for maior ou igual à zero em todos os pontos do domínio.A definição acima só é válida graças ao Teorema de Lagrange, ou Teorema do Valor Médio,no qual afirma que dada função contínua num intervalo fechado [ , ] é diferenciável em( , ) e existe algum ponto contido em ( , ) tal que: ( ) ( ) ( )= Figura 1.3 – Teorema do Valor MédioGeometricamente conforme Figura 1.3, a função derivada ou tangente ( ) é paralela àsecante que passa pelos pontos de abcissas e .
  18. 18. 171.3. Equações DiferenciaisUma das melhores formas de conceituar equações diferenciais pode ser conforme Zill (2003): Definição 1.3: Equação Diferencial. Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial (ED).As Equações Diferenciais podem ser classificadas por tipo, ordem e linearidade.1.3.1. Classificação por TipoSe uma equação contiver apenas derivadas ordinárias, com uma ou mais variáveisdependentes em relação a uma única variável independente, ela é dita equação diferencialordinária (EDO).Alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias: +3 = +6 =0 + = +Uma equação que envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duasou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP).Alguns exemplos de equações diferenciais parciais: + =0 = 4
  19. 19. 18 =As derivadas apresentadas ao longo deste e dos demais capítulos terá como notação deLeibniz 1 , , ou a notação de linha: , , .1.3.2. Classificação por OrdemA ordem de uma EDO ou EDP está na maior derivada encontrada na equação conformeFigura 1.4: Figura 1.4 – Equação Diferencial de segunda ordemO primeiro termo da equação diferencial apresenta derivada de ordem dois, portanto é ditauma equação diferencial de segunda ordem.Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem ocasionalmente são escritas na seguinteforma diferencial conforme equação (1.1): ( , ) + ( , ) =0 (1.1)No exemplo seguir, supondo que seja a variável dependente: ( ) +4 =0Com:1 Notação de Leibniz: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), considerado pai do cálculo moderno,inicialmente usa a notação e para representar termos infinitesimais, ou para representar termosextremamente pequenos de e , em que y é uma função de .
  20. 20. 19 =De forma alternativa a expressão fica representada: 4 + =Em geral, uma equação diferencial ordinária de ordem , toma a seguinte forma conformeequação (1.2): ( ) , , ,…, =0 (1.2) ( ) ( )Onde F é um função de valores reais com + 2 variáveis, , , ,…, , e onde = ( ) ( ) / , por questões práticas de resolução deste tipo de equação, resolve-se sempre quepossível uma equação diferencial ordinária conforme (1.2), de forma única, para que a ( )derivada mais alta escreva-se em termos das + 1 variáveis remanescentes.A equação diferencial (1.3): ( ) ( ) ( ) = , , ,…, (1.3)Onde é uma função contínua de valores reais. Por convenção utiliza-se a seguinte formanormal em (1.4) e (1.5) = ( , ) (1.4) = ( , , ) (1.5)Para representar equações diferenciais ordinárias gerais de primeira ou de segunda ordem. Doexemplo anterior 4 + = a forma normal da equação diferencial de primeira ordem é: =( )/4 .
  21. 21. 201.3.3. Classificação por LinearidadeUma equação diferencial de ordem , é dita linear, equação (1.2), se for linear em , ,… . Significa que, uma EDO de n-ésima ordem é linear quando da equação (1.2) forda forma, conforme equação (1.6): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + + + + (1.6)Onde: , ,…, , : são coeficientes lineares de uma EDO. ( ): função contínua linear.A equação (1.6) apresenta todas as características de uma equação diferencial linear, uma quea variável dependente e todas as derivadas apresentam ordem um. Outra que, cada coeficienteno máximo depende da variável independente .Alguns exemplos: ( ) +4 =0 2 + =0 + 5 =Respectivamente são equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceiraordem.1.4. Solução de uma EDOUma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem de acordo com a equação (1.2)é uma função que tem pelo menos derivadas, no qual satisfaça: , ( ), ( ), … , ( ) =0
  22. 22. 21Para todo pertencente a , assim a função satisfaz a equação diferencial em .Sabendo que nem toda equação diferencial apresenta solução analítica, mas havendo soluçãopodemos defini-la conforme Zill (2006): Definição 1.4: Solução de uma Equação Diferencial Ordinária. Toda função , definida em um intervalo que tem pelo menos derivadas contínuas em , as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem reduzem a equação a uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo.1.4.1. Intervalos de DefiniçãoTratando-se de solução de uma equação diferencial ordinária,faz-se necessário relacioná-la aoseu intervalo. Um intervalo da Definição 1.4 pode ser chamado de intervalo de validade dedefinição, intervalo de existência, intervalo de validade ou domínio da solução, seja umintervalo aberto ( , ), ou fechado [ , ], um intervalo infinito ( , ), e assim por diante.1.5. Soluções numéricas de uma EDOAs equações diferenciais ordinárias geralmente são governadas por modelos que descrevemquantitativamente fenômenos de diversos seguimentos, como mecânica dos fluidos, fluxo decalor, corpos em queda, reações químicas, decaimento radioativo, economia, biologia etc.Se uma equação de ordem , logo a expressão apresenta derivadas de ordem 1 e se naequação são especificadas características em um mesmo ponto, isto é, ao problema modelo édado algumas condições para que exista uma possível solução, caracteriza-se então, umproblema de valor inicial (PVI).
  23. 23. 221.6. Problemas de Valor InicialSabendo que nem toda EDO apresenta solução analítica para determinado problema e paracontornar esta problemática surgem os métodos numéricos para estimar as respectivassoluções aproximadas. A razão mais forte para a aplicação de tais métodos numéricos paraaproximar soluções de problemas de valor inicial (PVI) está na dificuldade de se encontraranaliticamente as soluções de uma equação. Em muitos casos a teoria garante existência eunicidade de solução, mas para um PVI nem sempre se torna viável. = ( , )Dado o PVI: ( )=Seja , ,..., , de modo que sejam igualmente espaçados, isto é, = , com = 0, 1, 2, …, para realizar as aproximações fazendo cada vez mais próximo de ( ),utilizando as informações anteriores.O Método de Runge-Kutta é considerado um método numérico de passo um ou de passosimples, no qual, a interação depende apenas de sua interação anterior .Se, para calcular usa-se somente , então o problema de valor inicial utiliza um métodode passo um. Mas e se o problema utilizar mais valores, o caso se expande e a utilização cabea um método de passo múltiplo.Por se tratar de um PVI de primeira ordem e dada uma condição ou aproximação inicial ( ), na qual se torna possível encontrar solução. Os métodos de passo umsão classificadoscomo auto iniciantes. Já os métodos de passos múltiplos já dependem de artifícios (como usarmétodos de passo simples) para encontrar as aproximações iniciais necessárias.Algumas características de um método de passo um ou passo simples: i) Calcular o valor de ( , ) em muitos pontos; ii) Calcular as derivadas em muitos pontos; iii) Dificuldade em estimar o erro.
  24. 24. 232. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTAPor volta do início do século XX, Carl Runge (1856 - 1927) e Max Wilhelm Kutta (1867 -1944) iniciaram os estudos sobre resoluções alternativas de equações diferenciais, na qual asmaiorias dessas equações não podem ser resolvidas por meios analíticos, a grande saídaestava no estudo da interação numérica, e tornou-se popular devido suas propriedades e suafácil utilização. O Método de Runge-Kutta tem sido considerado como uma generalização dasregras de interaçãoAs primeiras equações diferenciais são tão antigas quanto o cálculo diferencial. Newton, em1671, discutiu uma solução das equações diferenciais por meio de integração e expansão deseries. Leibniz chegou às equações diferenciais por volta de 1676, deparando-se a umproblema geométrico do “inverso das tangentes”: tomando uma curva ( ) a tangente a cadaponto tem um comprimento constante, com o eixo dos ,chamando-o de . Este problemagerou a seguinte equação diferencial: =Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das aproximações demétodos numéricos aplicados na resolução de equações diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria das aproximações ficam atreladas ao termo dotruncamento da mesma. Para resolução de EDO´s de primeira ordem segundo estametodologia, destacam-se os métodos de Eüler e Eüler Melhorado, cujas aproximações sãodefinidas mediante o truncamento dos termos de primeira e segunda ordem da sérierespectivamente. Para a obtenção de aproximações de ordem superior segundo a expansão emséries de Taylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos se tornacada vez mais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores.A Série de Taylor é uma Série de Potências conforme pela equação (2.1):
  25. 25. 24 ( )= ( ) (2.1)Na qual a sequência é dada por: ( )( ) = !Em outras palavras a Série de Taylor é uma expansão de funções em torno de um único ponto,no qual é convergente. Da equação (2.1) pode-se expandir para: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ( )( ) + + + + 1! 2! !Em que a função é o centro da série, e pode ser encarada como uma função Real ouComplexa.Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades, utilizando expressões menos“complicadas” e fornecendo precisão igual ao da expansão da série de Taylor de mesmaordem.A expressão geral do método de Runge-Kutta de ordem m é expressa pela equação (2.2). = + . (2.2)Com variando de 0 a 1,em que: j – são constantes para cada método de ordem ; 1 – . ( i , i); j – . ( i+ j. , + ( , . ), sendo pj e j,l , constantes para cada método deordem , para > 1.
  26. 26. 25Em geral, os métodos de Runge-Kutta de ordem se caracterizam por três propriedadesbásicas: i) São de passo um; ii) Não exigem o cálculo de qualquer derivada de ( , ); em contra partida, pagam por calcular ( , ) em vários pontos; iii) Após expandir ( , ) pela série de Taylor utilizando uma função de duas variáveis em torno de ( , ) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem.Em seguida serão apresentadas as cinco versões do método de Runge-Kutta. Nos quais,detalhes sobre o método podem ser encontrados também nos trabalhos de Romais (2009) eRuggiero (1996), como também sobre as referentes equações diferencias com aplicações emBoyce & DiPrima (1994) e Zill(2003).2.1. Método de Runge-Kutta de 1a OrdemO método satisfaz as três propriedades anteriores, com = 1.Seja a EDO ’ = ( , ), com condições iniciais 0e = ( ), e tomando ( )= ( , ), assim a reta que passa por ( , ) com coeficiente angular ( ), a reta ( )éconhecida: ( )= ( )+( ) ( )Seja o tamanho do intervalo das iterações, com = , e ( ) = ( )= + ( )Assim sucessivamente, repetindo o processo para ( , )e = + ( , )o método deRunge-Kutta de primeira ordem pode ser representado por: = + ( , )
  27. 27. 26Com = 0, 1, 2, … Figura 2.1 – Representação do coeficiente angular ( )A Figura 2.1 é o comportamento geométrico do método de Euler (Runge-Kutta de primeiraordem), em que é a inclinação da reta tangente, derivada, no ponto indicado.De acordo com equação (2.2), o método de Runge-Kutta de primeira ordem, que também éconhecida por Método de Euler, e pode ser representado conforme equação (2.3): = + . (2.3)Em que: 1 – uma constante para o método de ordem 1; – iteração anterior, ou passo inicial se = 0; 1– ( i, i);Com variando de 0 até – 1.2.2. Método de Runge-Kutta de 2a OrdemPelo mesmo procedimento utilizado na dedução anterior da expressão do método de Runge-Kutta de ordem um, a equação (2.4) representa o método de segunda ordem, tambémconhecida como método de Euler Melhorado ou método de Heun, por expansão da série de
  28. 28. 27Taylor: = + + (2.4)Em que: 1 = 2 = ; 1= ( i, i); 2 = ( i+ 2 , i+ 2,1 1) = ( i + , i+ 1); 2= 1 2,1 = 2.Com variando de 0 até – 1.2.3. Método de Runge-Kutta de 3a OrdemAdotando o mesmo procedimento de dedução da expressão do método anterior, a forma geralpara Runge-Kutta de terceira ordem conforme equação (2.5) é: = + + + (2.5)Em que: 1= ( i, i); 2 = ( i+ , i+ ); 3= ( i+ , i+ 3 );Com variando de 0 até – 1.2.4. Método de Runge-Kutta de 4a OrdemConsistem em encontrar constantes apropriadas de tal forma que a fórmula coincida com umpolinômio de Taylor de grau quatro, o que resulta em 11 equações e 13 incógnitas. = + + + +
  29. 29. 28Este é um dos mais utilizados dos métodos numéricos desta categoria, pela precisão deresultados que apresenta, e, principalmente, devido à simplicidade da expressão do método deordem quatro, cujo conjunto de valores mais comum para as constantes = , = , = e = , conforme representado na equação (2.6). 1 = + ( +2 +2 + ) (2.6) 6Em que: 1= ( i, i); 2 = ( i+ , i+ ); 3= ( i+ , i+ ); 4= ( i+ , i+ 3);Com variando de 0 até – 1.2.5. Método de Runge-Kutta de 5a OrdemEste método é pouco usado, principalmente devido à expressão utilizada, pouco maiscomplicada que a expressão do método anterior, e não apresenta grandes vantagens emrelação ao método de quarta ordem. Sua expressão é: 1 = + (7 + 32 + 12 + 32 +7 ) (2.7) 90Com variando de 0 até – 1, em que: 1= ( i, i); 2= ( i+ , i+ ); 3= ( i+ , i+ + );
  30. 30. 29 4= ( i+ , i– + 3); 5= ( i+ , i+ + ); 6= ( i+ , i + + – + ).Com variando de 0 até – 1. Geralmente, as aplicações dos métodos de Runge-Kutta findam-se até na aplicação dosmétodos de ordem quatro, pois o método de quinta ordem oferece uma precisão melhor,porém, com poucas modificações ao anterior, exigindo um trabalho computacional maior.Portanto, o método de Runge-Kutta de ordem cinco é pouco utilizado em aplicaçõesnuméricas.2.6. Compreensão Geométrica do Método de Runge-Kutta.Conforme aumenta a ordem do método de Runge-Kutta, consequentemente, aumenta aprecisão do método, isto é, os valores aproximados obtidos ficam mais próximos da soluçãoanalítica e o erro tende a ficar menor e próximo de zero.Outro procedimento para obter aproximações melhores com o método de Runge-Kutta éaumentando o número de partições do domínio, quanto maior for o número de subdivisões doeixo das abcissas, mais próximo estará a solução aproximada da função analítica.Seja uma qualquer que gere a uma solução analítica , e que seja aplicado o método deRunge-Kutta de primeira ordem com algumas partições de domínio pré-definidas, em que: = = = =Portanto: =Em que: - é o tamanho do passo
  31. 31. 30 ; ;… – são os passos pré-definidos para calcular as respectivas introduções.A Figura 2.2 representa a aplicação do método de Runge-Kutta de primeira ordem com trêspartições de domínio sobre curva de uma função com solução analítica conhecida . Figura 2.2 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com três partições de domínio.Basicamente, o método calcula a função derivada 2 em cada ponto da curva, e respectivamenteas projeções para obtenção dos resultados aproximados.Ao observar a Figura 2.3, podemos fazer alguns apontamentos. Figura 2.3 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com cinco partições de domínio.Se aumentarmos o número de partições de domínio, consequentemente melhoramos aprecisão do método conforme Figura 2.3.2 Função derivada: O resultado de uma função derivada em um ponto qualquer é a inclinação da reta tangente.Com essa inclinação da reta é possível fazer as respectivas projeções para o método de Runge-Kutta de ordem .
  32. 32. 31Podemos afirmar que, de fato a solução aproximada tende a solução analítica, conforme vai-seaumentando o número de partições, pois as inclinações das retas tangentes vão se ajustando acurva da função de solução analítica.
  33. 33. 323. PROBLEMA MODELOO problema modelo escolhido para validar nossos estudos refere-se à lei de resfriamento deNewton, a qual analisa a relação entre a velocidade de resfriamento de um corpo e a variaçãode temperatura do meio que o mesmo se encontra.Estudos preliminares nos mostram que esta velocidade de resfriamento é diretamenteproporcional à diferença das temperaturas, sendo elas, a temperatura do meio (ou temperaturaambiente), a qual se mantém constante, e a temperatura do corpo, que tende a perder calorpara o meio até estabelecer um equilíbrio térmico 3 com o mesmo.O problema modelo conforme Figura 3.1 é governado por uma equação diferencial linear deprimeira conforme equação (3.1), e uma equação diferencial de primeira ordem é todaequação do tipo: ( ) + P(t) y(t) = Q(t) (3.1)Em que: ( ) – função incógnita ou solução da EDO; ’( ) – derivada da função incógnita; ( ) – função da variável independente ; ( ) – função da variável independente . Figura 3.1- Representação do problema modelo.3 Princípio do equilíbrio térmico: quando dois ou mais corpos estiverem em contato trocarão calor entre si atéatingirem o equilíbrio térmico
  34. 34. 33A lei do resfriamento de Newton é contemplada pelo modelo, conforme equação (3.2): = ( ) (3.2)O sinal negativo na equação (3.2) indica que, se a temperatura for superior a m, então ocorpo perde temperatura para o meio (taxa de variação negativa), caso contrário, o corpoganha temperatura do meio (taxa de variação positiva).Em que: – temperatura do corpo variável ao longo do tempo (função incógnita); ’ – derivada primeira da função incógnita em relação ao tempo; m – temperatura do meio (constante); – coeficiente de proporcionalidade (expresso em valor absoluto).Algumas considerações a serem ressaltadas sobre o modelo, conforme equação (3.2):A taxa de resfriamento ( ) depende de alguns fatores: i) Diferença de temperatura de um corpo como o meio externo. Inicialmente ; ii) A superfície do corpo exposta; iii) O Calor específico da substância que o constitui; iv) As condições do ambiente no qual o corpo foi submergido; v) O tempo que o corpo permanece em contato com o ambiente.Quanto ao Coeficiente , depende de alguns fatores: i) Superfície Exposta: pode-se verificar que quanto maior for a superfície de contato (ou grau de partição) entre o corpo e o ambiente, maior será a rapidez de resfriamento/aquecimento ii) Calor Específico do Corpo (c): Quanto maior for o valor do calor
  35. 35. 34 específico de um corpo, tanto maior será quantidade de energia necessária para variar a sua temperatura. Então, se dois corpos receberem a mesma quantidade de energia num mesmo intervalo de tempo, aquele com maior calor específico apresentará menor velocidade de resfriamento/aquecimento. iii) Características do Meio: Assim como as características do corpo, as do meio também são relevantes. Se o corpo estiver em contato com o ar, que é considerado um bom isolante térmico, mais lento serão os processos de resfriamento/aquecimento deste corpo, se comparado quando este estiver em contato com o meio refrigerado, pois a condutividade do meio refrigerado deverá ser maior que a do ar, no qual o corpo estava exposto.O problema modelo aqui proposto procura, definidos a temperatura do meio = 5º , atemperatura inicial do objeto ( =0 ) = 60º (condição inicial) e a sua temperaturadecorridos 10 minutos ( = 10 ) = 40º , encontrar inicialmente o valor para aconstante k do objeto e consequentemente, a sua temperatura decorridos 22 minutos, com oauxílio da técnica do fator integrante (método analítico) assim como com das versões dométodo Runge-Kutta.3.1. RESOLUÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA MODELOA equação (3.2) pode ser reescrita de acordo com equação (3.3). ( )+ ( ) ( )= ( ) (3.3)Fazendo analogia entre a equação (3.3) com a equação (3.1), constata-se que: ( ) = (3.4) ( ) = (3.5)A solução da equação (3.2) segundo a técnica do fator integrante é expressa pela Equação(3.6).
  36. 36. 35 1 ( )= ( ) + (3.6)Da equação (3.6), a função ( ) é dada por: ( ) = (3.7)Substituindo as equações (3.4), (3.5) e (3.7) na Equação (3.6) e, realizando-se algumasoperações algébricas, tem-se: . ( )= + . ( )= . +Com: = =Assim: 1 ( )= + ( )= [ + ] ( )= + (3.8)A equação (3.8) é solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que quando otempo é igual a zero, a temperatura do corpo é , e dessa forma, a solução particular daequação (3.2) fica expressa por: = + =Substituindo na equação (3.8): ( )= +( )
  37. 37. 36 ( )= +Encontra-se a solução particular do problema para = 0, ( = 0) = 0 conforme (3.9): ( )= (1 )+ (3.9)Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo 0= 60º e que a suatemperatura após 10 minutos é de ( = 10 ) = 40º , pode-se agora encontrar o valorda constante , assim como expressa a equação (3.10). 40 = 5 (1 ) + 60 40 = 5 5 + 60 40 = 5 + 55 35 = 55 35 = 55Aplicando a propriedade de logaritmo na equação: 35 ln = ln 55 ln 35 ln 55 = 10 ln 55 ln 35 = (3.10) 10Conhecido o valor de , a função de temperatura do corpo fica expressa pela equação (3.11): ( )=5 1 + 60 (3.11)A Figura 3.2 ilustra a variação de temperatura na barra ao longo do tempo.
  38. 38. 37 . Figura 3.2 - Variação de temperatura do corpo (problema modelo)Para o instante = 22 , a solução analítica da temperatura do corpo segundo a equação(3.11) é equivalente à: ( = 22min) = 25.347659907 ºAnalisando as equações (3.8) e (3.9) pode-se chegar a uma maneira alternativa da equação(3.11): ( ) = 5 + 55Aplicando o Limite na função : =0Podemos constatar que: lim ( ) = 5Assim, o limite da função ( ) quanto tende ao infinito é equivalente a 5ºC, isto é, quantomaior for o tempo que a barra de ferro estiver em contato com o meio refrigerado, maispróximo estará sua temperatura da temperatura do meio.Na sequência deseja-se estimar aproximações utilizando os métodos de Runge-Kutta deprimeira, segunda, terceira, quarta e quinta ordem, de modo a comparar resultados dasiterações com a solução analítica encontrada, estimando o erro e evidenciando dentre eles ométodo com melhor precisão.
  39. 39. 383.2. Solução Numérica do Problema ModeloPara a verificação do erro gerado em todas as aproximações geradas pelos cinco métodos deRunge-Kutta, será utilizada a medida de erro percentual relativo, assim como expressa aequação (3.12). = 100 (3.12)Em que: An – Solução Analítica do problema modelo; Ap– Solução Aproximada do problema modelo.Ressaltando que o erro relativo é pré-definido, em cada situação é analisado a aplicação doproblema modelo para estipular uma margem de erro. Como estamos tratando de umaaplicação termométrica, em que os resultados obtidos são em graus centígrados (ºC), entãonão se faz por necessário uma rigorosidade numérica quanto à precisão do método.Para a verificação das aproximações segundo as versões de Runge-Kutta, aqui são utilizadasrespectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do problema modelo que varia de 10 a 22minutos, lembrando que temperatura de interesse é referente ao tempo de 22 ,3.3. Utilização do software Mathcad 2000, para a aplicação do Método de Runge-Kutta.A Figura 3.3 indica a resolução do método de Runge-Kutta de primeira ordem utilizando dezpartições de domínio e a solução analítica do problema modelo referente ao resfriamento deNewton utilizando o software Mathcad 2000, conforme anexos.
  40. 40. 39 Figura 3.3 – Resolução do Método Numérico de Runge-Kutta de 1ª ordem.Do lado esquerdo da interface do Mathcad encontra-se a solução numérica do problemamodelo e as dez iterações calculadas para Runge-Kutta de ordem um. Ao lado direito, cabe aresolução analítica do problema e a análise do erro, em porcentagem, no qual é obtido entre acomparação do método numérico para dez partições de domínio e a solução analítica domodelo.3.4. Aproximações Por Cinco Partições Do DomínioA Tabela 3.1 apresenta os valores das aproximações para os cinco métodos de Runge-Kuttaconsiderando-se cinco partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 3.1- Aproximações para cinco partições e o erro encontrado. 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 12,4 36,203324961 36,073153245 36,401803839 36,402005767 36,402001476 14,8 32,818499674 32,885269528 33,173522409 33,173884749 33,173877048 17,2 29,800848150 30,024439925 30,277126404 30,277614039 30,277603675 19,6 27,110540689 27,457111019 27,678496141 27,679079482 27,679067083 22 24,712068176 25,153171732 25,347019634 25,347673848 25,347659943Erro(%) , , , , ,
  41. 41. 40A Figura 3.4 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos. 40 39 38 1ª Ordem 37 2ª Ordem 36 35 3ª Ordem 34 Temperatura ºC 4ª Ordem 33 32 5ª Ordem 31 30 29 28 27 26 25 24 23 Tempo (min) 22 10 12 14 16 18 20 22 Figura 3.4 - Gráfico das aproximações da temperatura para cinco partições no intervalo de tempo.3.5. Aproximações Por Dez Partições Do DomínioA Tabela 3.2 abaixo apresenta os valores das aproximações para os cinco métodos de Runge-Kutta considerando-se dez partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 3.2 - Aproximações para dez partições e erro encontrado. 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 11,2 38,101662480 38,069119551 38,152212950 38,152225570 38,152225435 12,4 36,306287399 36,324150643 36,401977813 36,402001722 36,402001465 13,6 34,608290257 34,671259072 34,744144443 34,744178412 34,744178047 14,8 33,002389448 33,105586165 33,173834588 33,173877489 33,173877028 16 31,483589833 31,622529625 31,686427539 31,686478334 31,686477789 17,2 30,047167198 30,217730008 30,277546532 30,277604269 30,277603649 18,4 28,688653562 28,887057907 28,943045871 28,943109674 28,943108989 19,6 27,403823281 27,626601810 27,678998725 27,679067794 27,679067052 20,8 26,188679900 26,432656607 26,481685578 26,481759177 26,481758387 22 25,039443727 25,301712695 25,347583280 25,347660740 25,347659908Erro(%) , , , , ,A Figura 3.5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para os cinco métodos.
  42. 42. 41 40 1ª Ordem 38 2ª Ordem 36 3ª Ordem 34 4ª Ordem Temperatura ºC 32 5ª Ordem 30 28 26 24 22 Tempo (min) 20 10 12 14 16 18 20 22 Figura 3.5 - Gráfico das aproximações da temperatura para dez partições no intervalo de tempo.3.6. Aproximações Por Vinte Partições Do DomínioA Tabela 3.3 abaixo apresenta os valores das aproximações para os cinco métodos de Runge-Kutta considerando-se vinte partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 3.3 - Aproximações para vinte partições e erro encontrado. 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 10,6 39,050831240 39,042695508 39,063585201 39,063585990 39,063585986 11,2 38,127403090 38,132006273 38,152223907 38,152225443 38,152225434 11,8 37,229017487 37,245679237 37,265245819 37,265248061 37,265248049 12,4 36,354995299 36,383062675 36,401998572 36,402001480 36,402001465 13 35,504675814 35,543522301 35,561847252 35,561850791 35,561850772 13,6 34,677416233 34,726440794 34,744173937 34,744178069 34,744178047 14,2 33,872591194 33,931217348 33,948377232 33,948381925 33,948381899 14,8 33,089592292 33,157267231 33,173871837 33,173877056 33,173877028 15,4 32,327827621 32,404021351 32,420088108 32,420093822 32,420093791 16 31,586721328 31,670925841 31,686471642 31,686477822 31,686477788 16,6 30,865713176 30,957441650 30,972482871 30,972489487 30,972489451 17,2 30,164258122 30,263044150 30,277596662 30,277603686 30,277603648 17,8 29,481825903 29,587222744 29,601301931 29,601309337 29,601309297 18,4 28,817900636 28,929480496 28,943101268 28,943109030 28,943108988 19 28,171980430 28,289333764 28,302510572 28,302518666 28,302518623 19,6 27,543577004 27,666311844 27,679058694 27,679067096 27,679067051 20,2 26,932215317 27,059956622 27,072287089 27,072295777 27,072295731 20,8 26,337433214 26,469822242 26,481749481 26,481758435 26,481758386 21,4 25,758781071 25,895474773 25,907011534 25,907020733 25,907020683 22 25,195821457 25,336491895 25,347650535 25,347659958 25,347659907Erro(%) 0,599023543 0,044059342 0,000036976 0,000000201 0
  43. 43. 42A Figura 3.5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos. 40 1ª Ordem 38 2ª Ordem 36 3ª Ordem 34 Temperatura ºC 32 4ª Ordem 30 5ª Ordem 28 26 24 Tempo (min) 22 10 12 14 16 18 20 22 Figura 3.6 - Gráfico das aproximações da temperatura para vinte partições no intervalo de tempo.Analisando as Figuras 3.5 e 3.6, podemos verificar que, quanto maior for o número departições de domínio, melhor serão as aproximações dos métodos de Runge-Kutta, e aoaumentar as partições de domínio, os métodos ficam mais próximos uns dos outros,independente da ordem utilizada do método, conforme a visualização dos respectivos gráficose dos resultados obtidos conforme Tabelas 3.2 e 3.3.Percebemos que, o Método de Runge-Kutta de primeira ordem já apresenta uma boa precisãoconforme aumenta-se a malha, na Tabela 3.3 o erro está próximo de 0,6% enquanto que parao Método de Runge-Kutta de quinta ordem, converge com as nove casas decimais com aSolução Analítica.
  44. 44. 43 CONSIDERAÇÕES FINAISOs desafios iniciais que nos levaram a execução deste trabalho eram verificar: - Como o Método de Runge-Kutta pode ser útil na resolução desses problemas? - Que tipo de equações diferenciais ordinárias aplica-se o Método de Runge-Kutta? - Qual dos métodos mostra-se mais eficiente?A partir destes pontos, é possível considerar que:O método de Runge-Kutta mostra-se como forma alternativa de resolução de equaçõesdiferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de fundamental importância em se tratandode problemas desprovidos de solução analítica.A metodologia de se resolver um problema físico com solução analítica mostrou serinteressante sobre dois aspectos, um motivando o estudo de métodos analíticos e numéricosde resolução de equações diferenciais ordinárias e o outro, para se discutir de forma clara oserros encontrados nas aproximações. É importante destacar que, em se tratando de problemassem soluções analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio deinteresse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos calculados sobre omesmo ponto para várias malhas, com aumento progressivo, é menor que uma tolerância,erro, pré-estabelecido.Os resultados advindos das versões de Runge-Kutta de 5a ordem aplicados na resolução doproblema modelo, independente da malha, mostrou ser o mais preciso dentre os demais.Conforme podemos observar na Figura (3.5), percebe-se que para uma malha com vintepartições de domínio, o método de Runge-Kutta de primeira ordem já foi capaz de apresentaruma solução aproximada com erro em torno de 0,6 %.Com base nos resultados obtidos ao longo deste trabalho, podemos afirmar que a utilização deum Método de Runge-Kutta de 1a ordem pode apresentar resultados satisfatórios a medidaque a malha do problema é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações econsequentemente, em trabalho computacional maior.
  45. 45. 44 BIBLIOGRÁFIA CONSULTADABOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. “Equações Diferenciais Elementares e Problemas deValores de Contorno”. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, 1994.FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F. “Equações Diferenciais Aplicadas”. 2ª Ed. Rio deJaneiro: IMPA, 2005.ROMAIS, R.; BENETTI, D.; NICOLI, A. V.; CHRISTOFORO, A. L. “ Aplicação doMétodo de Eüler e Eüler Melhorado na Resolução de uma equação diferencial ordináriareferente ao problema da queda de corpos em meio a resistência do ar.”. IV EncontroEstadual de Ensino de Matemática, UNEMAT, Sinop – MT, 2008.RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. “Cálculo Numérico: Aspectos teóricos ecomputacionais”. 2ª Ed. São Paulo. Pearson Makron Books, 1996.SILVA, E. L.; MENEZES, E. M. “Metodologia da pesquisa e elaboração de dissertação”.3ª Ed. São Paulo. Laboratório de Ensino a Distância da UFSC, 2001.STEWART, J. “Cálculo, vol. 1 e 2”. 5 ª Ed. São Paulo. Thomson, 2006.ZILL, D.G. “Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem”. 1ª Ed. São Paulo.Thomson, 2003.
  46. 46. 45 APENDICE4. SOFTWARE MATHCAD 2000Neste capítulo serão abordadas algumas ações, de carácter introdutória ao software, sendoapresentadas algumas ferramentas, para respectiva noção da aplicação do software, no qualfoi utilizado para obter os resultados neste trabalho apresentado.É um software cujo ambiente de trabalho é baseado em Álgebra Computacional, onde estepermite a inserção de textos, de equações, de gráficos e de animações.A interface do software é semelhante de um processador de textos de característicaWYSIWYG (What You Se Is What You Get), em outras palavras, é uma interface do tipo “oque você vê, é o que você faz”, conforme Figura 4.1: Figura 4.1 – Interface Software Mathcad 2000O Software Mathcad possibilita uma série de tarefas matemáticas, como uma avaliaçãonumérica e simbólica de equações e/ou expressões desde que as variáveis sejam definidas,permite a construção de gráficos, permite a construção de algoritmos e respectivas resoluções,permite a avaliação de integrais e derivas de funções, como também a resolução de sistemas
  47. 47. 46lineares e outras demais atividades de interesse numérico.O Ambiente é estritamente matemático, mas permite a entrada de textos, basta clicar em umaregião qualquer na interface e inserir o texto desejado, que o Mathcad converte a regiãomatemática em região de textos.4.1. Barra de MenusAo abrir o Mathcad 2000 encontra-se a seguinte barra de menus, conforme Figura 4.2: Figura 4.2 – Barra de Menus do MathcadEsta barra fornece todas as informações e comandos para edição, formatação e manuseionecessário para a realização da pesquisa deste trabalho de conclusão de curso.De acordo com a Figura 4.1, a interface do programa é uma página em branco, no qual épermitida a inserção de equações, textos e gráficos como já revelado. Mas cada item desses éinserido em uma região, isto é, o Mathcad organiza cada um deles em uma região individual,separada por um retângulo invisível, no qual, para enxergar este retângulo, basta clicar noitem da região, ou ainda, ir até a barra de menus conforme Figura 4.2, clicar em View,logodepois em Regions.4.2. Barra de Ferramentas MatemáticasAo clicar no menu View, Toolbars e Math, abrirá uma barra de botões de operaçõesmatemáticas conforme Figura 4.3.
  48. 48. 47 Figura 4.3 - Barra de menus de operações matemáticasAo clicar em cada um dos itens acima, abrirá uma nova barra de ferramentas, porém maisespecífica em cada um dos seguintes casos, respectivamente.o Operações Básicas: Figura 4.4 – Algumas OperaçõesAqui são feitas as primeiras operações matemáticas com a utilização do software.o Construções de Gráficos: Figura 4.5 – Ferramenta para construção de GráficosDefinidas as funções e inserida suas variáveis, aqui é permitido a construção dos gráficos.
  49. 49. 48o Vetores e Matrizes: Figura 4.6 – Operações com MatrizesAqui, as operações se restringem ao cálculo de vetores e matrizes, como o cálculo de determinantes,matriz inversa, norma de um vetor, dentre outras operações.o Avaliação: Figura 4.7 – Identifica variáveis.Nesta janela é que se identificam as variáveis das funções e equações, para que o programapossa compreender as definições de domínio, e respectivamente gerar um gráfico.o Cálculo: Figura 4.8 – Cálculo Diferencial e IntegralAqui, são as operações utilizando o cálculo diferencial e integral, bastante utilizada duranteesta pesquisa.
  50. 50. 49o Comparação Lógica: Figura 4.9 – Comparação de expressõesAqui entram algumas condições matemáticas, utilizadas para a determinação de umainequação e algumas condições lógicas para respectiva implementação de algoritmos.o Programação: Figura 4.10 – Implementação de AlgoritmosNesta parte desta ferramenta, alguns efeitos condicionais, “se” “então” “se e só se” dentreoutras, para a criação de algoritmos.o Símbolos Gregos: Figura 4.11 – Simbologia gregaAqui alguns dos caracteres gregos para representação de ângulos, espaços, planos, e outraspara a representação de variáveis como o , , , dentre outros.
  51. 51. 50o Palavras-chave Simbólicas: Figura 4.12 – Operações específicasE aqui, cabem algumas operações específicas, como o cálculo de sequencias e séries,transformada de Fourier, dentre outras.Portanto, esta barra de ferramentas matemáticas basicamente já permite que se realizemalgumas operações de carácter inicial.4.3. Um Cálculo SimplesBasta clicar em qualquer parte da interface do Mathcad para realizar um cálculo qualquer, ocursor gerado pelo clique do mouse será uma cruz vermelha, na qual indica a posição em quea expressão será realizada.Um exemplo, ao digitar (12 3)/4 e pressionar “=”, o software já te fornece a resposta2.25.O Mathcad entende que o ponto determina a separação entre a parte inteira e a decimaldo número inserido.
  52. 52. 51 ANEXOSAlgoritmo para Runge-Kutta de primeira ordem: Xcal V1 xo for i 1 Npart Vi 1 V1 ih VYaprox Yap 1 yo for i 1 Npart Yap i 1 Yap i h F Xcali Yap i YapAlgoritmo para Runge-Kutta de segunda ordem: Xcal V1 xo for i 1 Npart Vi 1 V1 ih VYcal K11 h F( xo yo ) K21 h F( xo h yo h) Yap 1 yo for i 1 Npart 1 Yap i 1 Yap i K1i K2i 2 K1i 1 h F Xcali 1 Yap i 1 K2i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 YapAlgoritmo para Runge-Kutta de terceira ordem: Xcal V1 xo for i 1 Npart Vi 1 V1 ih V
  53. 53. 52Ycal K11 h F( xo yo ) h K11 K21 h F xo yo 2 2 h K21 K31 h F xo 3 yo 3 4 4 Yap 1 yo for i 1 Npart 2 1 4 Yap i 1 Yap i K1i K2i K3i 9 3 9 K1i 1 h F Xcali Yap i 1 h 1 K2i 1 h F Xcali 1 Yap i 1 K1i 1 2 2 3 3 K3i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K2i 1 4 4 YapAlgoritmo para Runge-Kutta de quarta ordem:Xcal V1 xo for i 1 Npart Vi 1 V1 ih VYcal K11 h F( xo yo ) 1 1 K21 h F xo h yo K11 2 2 1 1 K31 h F xo h yo K21 2 2 K41 h F xo h yo K31 Yap 1 yo for i 1 Npart 1 Yap i 1 Yap i K1i 2 K2i 2 K3i K4i 6 K1i 1 h F Xcali 1 Yap i 1 1 1 K2i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 2 2 1 1 K3i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K2i 1 2 2 K4i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K3i 1 Yap
  54. 54. 53Algoritmo para Runge-Kutta de quinta ordem: Xcal V1 xo for i 1 Npart Vi 1 V1 ih VYcal K11 h F( xo yo ) 1 1 K21 h F xo h yo K11 4 4 1 1 1 K31 h F xo h yo K11 K21 4 8 8 1 1 K41 h F xo h yo K21 K31 2 2 3 3 9 K51 h F xo h yo K11 K41 4 16 16 3 2 12 12 8 K61 h F xo h yo K11 K21 K31 K41 K51 7 7 7 7 7 Yap 1 yo for i 1 Npart 1 Yap i 1 Yap i 7 K1i 32 K3i 12 K4i 32 K5i 7 K6i 90 K1i 1 h F Xcali 1 Yap i 1 1 1 K2i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 4 4 1 1 1 K3i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 K2i 1 4 8 8 1 1 K4i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K2i 1 K3i 1 2 2 3 3 9 K5i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 K4i 1 4 16 16 3 2 12 12 8 K6i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 K2i 1 K3i 1 K4i 1 K5i 1 7 7 7 7 7 Yap

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