Numeros complexos ( semi extensivo)

SEMI-EXTENSIVOSEMI-EXTENSIVO
Caderno 2Caderno 2
MATEMÁTICA CMATEMÁTICA C

Números ComplexosNúmeros Complexos
i=−1
042
=+x
42
−=x
4−±=x
No conjunto dos númerosNo conjunto dos números
Reais não tem soluçãoReais não tem solução
ImagináriosImaginários
( )14 −⋅±=x
14 −⋅±=x
ix 2±=

NN ZZ QQ
II
RR
CC

( ) biabaz +== , biaz += ( )Rba ∈,
Forma algébricaForma algébrica
⇒
→a
→b
realparte
imagináriaparte
→≠= 00 bea
→= 0b
puroimaginário
puroreal
( )iz 2=
( )2=z

10
=i
Potências dePotências de ii
?39
=i
39
339
ii =
ii =1
( ) 11
22
−=−=i
iiiii −=⋅−=⋅= 123
Para expoentes maior ou igual a 4,Para expoentes maior ou igual a 4,
dividimos o expoente por 4 edividimos o expoente por 4 e
utilizamos o resto da divisão.utilizamos o resto da divisão.
4
93
ii −=39

biaz +=
Igualdade de números complexosIgualdade de números complexos
dicw +=
wz =
ca = db =e

biaz +=
Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexo
biaz −=
iz 34 += iz 34 −=⇒
Oposto de um número complexoOposto de um número complexo
biaz += biaz −−=−
iz 34 −= iz 34 +−=−⇒

biaz +=
Simétrico de um número complexoSimétrico de um número complexo
biasz +−=
iz 34 += isz 34 +−=⇒
Módulo de um número complexoMódulo de um número complexo
22
baz += ρ=z
222
bazz +==
⇒
Norma de um númeroNorma de um número
complexo.complexo.

biaz +=
Operações com números complexosOperações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)
dicw +=
AdiçãoAdição
++
( ) ( )idbcawz +++=+
dicbiawz +++=+

iz 42 −=
iw 83+−=
AdiçãoAdição
++
iwz 41+−=+
( ) ( )iiwz 8342 +−+−=+

zwwz +=+
( ) ( )twztwz ++=++
Propriedades da SomaPropriedades da Soma
wzwz +=+
zzz =+=+ 00
( ) 0=−+ zz
ComutativaComutativa
AssociativaAssociativa
Elemento neutroElemento neutro

iz 42 −=
iw 83+−=
SubtraçãoSubtração
––
( ) iwz 125−=−+
( )wzwz −+=−

iz 42 −=
iw 83+−=
MultiplicaçãoMultiplicação
××
2
3212166 iiiwz −++−=⋅
( ) ( )iiwz 8342 +−⋅−=⋅
iwz 2826 +=⋅

zwwz ⋅=⋅
( ) ( )twztwz ⋅⋅=⋅⋅
Propriedades da multiplicaçãoPropriedades da multiplicação
wzwz ⋅=⋅
( ) tzwztwz ⋅+⋅=+⋅
zzz =⋅=⋅ 11
ComutativaComutativa
AssociativaAssociativa
DistributivaDistributiva
Elemento neutroElemento neutro

22
bazz +=⋅
Observação.:Observação.:
12
−=i
( ) ( )biabiazz −⋅+=⋅
( ) ( )22
biazz −=⋅
222
ibazz −=⋅

iz 42 −=
iw 83+−=
DivisãoDivisão
÷÷
i
i
i
i
w
z
83
83
83
42
−−
−−
⋅
+−
−
=
w
w
w
z
w
z
⋅=

iz 42 −=
iw 83+−=
DivisãoDivisão
÷÷
( ) ( )
( ) ( )ii
ii
w
z
8383
8342
−−⋅+−
−−⋅−
=
w
w
w
z
w
z
⋅=

iz 42 −=
iw 83+−=
DivisãoDivisão
÷÷
2
2
6424249
3212166
iii
iii
w
z
−−+
++−−
=
w
w
w
z
w
z
⋅=

iz 42 −=
iw 83+−=
DivisãoDivisão
÷÷
73
438 i
w
z −−
=
w
w
w
z
w
z
⋅=

iz 42 −=
iw 83+−=
DivisãoDivisão
÷÷
73
4
73
38 i
w
z
−−=
w
w
w
z
w
z
⋅=

( ) ( ) ( )701416
2
⋅⋅−−=∆
70162
=+− yy
280256 −=∆
24−=∆
16=+ yx 70=⋅ yx
yx −=16 ( ) 7016 =⋅− yy
070162
=+− yy
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.

( )
( )12
2416
⋅
−±−−
=y
2
2416 −±
=y
070162
=+− yy
16=+ yx 70=⋅ yx
yx −=16 ( ) 7016 =⋅− yy
2
6216 i
y
⋅⋅±
=
iy ⋅±= 68

16=+ yx 70=⋅ yx
yx −=16 ( ) 7016 =⋅− yy
iy ⋅±= 68
iy ⋅+= 681 iy ⋅−= 682
ix ⋅−−= 68161
ix ⋅−= 681 ix ⋅+= 682
ix ⋅+−= 68162
i⋅+ 68
i⋅− 68
ee

04) Determine x e y para que o numero complexo04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (yz = (x + 6) – (y22
––
16)16)··ii seja:seja:
a) real;a) real;
162
=y
0162
=−y 16±=y
4±=y
4±=y
( ) ( ) iyxz ⋅−−+= 166 2
0=

a) Imaginário puro.a) Imaginário puro.
162
≠y
0162
≠−y
16±≠y
4±≠y
6−=x
06 =+x
4
6
−≠
−=
y
x
4
6
≠
−=
y
x
ouou
04) Determine x e y para que o numero complexo04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (yz = (x + 6) – (y22
––
16)16)··ii seja:seja:
( ) ( ) iyxz ⋅−−+= 166 2
0≠0=

08) Se , calcule x e y.08) Se , calcule x e y.
6
2
5
=
−
+
y
x yyx 23 =+
5126 −−= yx
03 =− yx
( ) yiiyx
y
x
263
2
5
+=⋅++
−
+
( ) yiiyx
y
x
263
2
5
+=⋅++
−
+
1265 −=+ yx
176 −= yx
( ) 01763 =−−⋅ yy
05118 =−− yy
5117 =y
3=y
( ) 1736 −⋅=x
1=x

09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.
1...40
=== ii
mniia mn
=⇒=)
iii −=== ...73
FALSOFALSO
iii === ...51
1...62
−=== ii
12842
) iib =
FALSOFALSO
42
242
ii =
4
102
128
0128
ii =
4
320
12
−=i 10
=i
12842
ii ≠

m
m
m
n
i
i
i
i
=
.4) demúltiploémniic mn
−⇒=
VERDADEIROVERDADEIRO
1=m
n
i
i
1=−mn
i
1...24201612840
======== iiiiiii

199
) iid =
FALSOFALSO
1) 2
=ie
FALSOFALSO
9
19
ii =
4
21
19
319
ii =
4
43
ii =1
ii −=3
199
ii ≠
12
−=i

15) O número complexo15) O número complexo z = a + bi, {a,b}z = a + bi, {a,b} ∈∈ RR, tem módulo 10., tem módulo 10.
sabemos quesabemos que a + b = 14a + b = 14. Calcule. Calcule zz..
22
baz +=10=z
10022
=+ ba
1022
=+ ba
14=+ ba
ba −=14 ( ) 10014 22
=+− bb
10028196 22
=++− bbb
( )2096282 2
÷→=+− bb
048142
=+− bb
;61 =b 82 =b
61 =b
6141 −=a
81 =a
82 =b
8142 −=a
62 =a
iz 681 += iz 862 +=

31) (UFSC) Se determine31) (UFSC) Se determine
222
baz +=
( ) ( )
2
2
21
10
ii
iii
z
+−
+−⋅−
=
( )
( )
,
1
10
2
503
i
iii
z
−
+⋅−
=
2
z
121
10 22
−−
++−
=
i
iii
z
i
ii
z
2
210 2
−
+−
=
i
i
z
2
210
−
−−
=
i
i
i
i
z
2
2
2
210
⋅
−
−−
=
2
2
4
420
i
ii
z
−
−−
=
4
420 i
z
−
=
iz −= 5
125
2
+=z
26
2
=z

35) (UFSC) Dada a expressão sendo35) (UFSC) Dada a expressão sendo zz
um número complexo, determineum número complexo, determine
222
baz +=
( ) ( ) ( ) ( )biabiaibiabia +−+=−++ 22
zzizz −=+ 22
2
z
biabiaibiabia −−+=−++ 2
2222
biabaibia −−−=+ 223
( ) ibababia ⋅−+−−=+ 223
baa 23 −−=
bab −= 2

35) (UFSC) Dada a expressão sendo35) (UFSC) Dada a expressão sendo zz
um número complexo, determineum número complexo, determine
222
baz +=
zzizz −=+ 22
2
z
baa 23 −−=
bab −= 2
024 =+ ba
022 =− ba
++
0//6 =+a
0=a
02 =b
0=b
0
2
=z
222
baz +=

Forma Polar ou TrigonométricaForma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real)R (Real)
Im (Imaginário)Im (Imaginário)
(a, b) = a + b(a, b) = a + bii
aa
bb

R (Real)R (Real)
afixoafixo
33
22
iz 23+=

R (Real)R (Real)
(a, b)(a, b)
aa
bb
00
z
ρ=z

R (Real)R (Real)
(a, b)(a, b)
aa
bb
00
ρ=z
z

R (Real)R (Real)
(a, b)(a, b)
aa
bb
00
ρ=z
z
ρ
a
b
PitágorasPitágoras
222
ba +=ρ
22
ba +=ρ

Argumento de um número complexoArgumento de um número complexo
ReRe
ImIm
00
ρ
θ
P(a, b)P(a, b)
aa
bb
ρ
a
b
TrignometriaTrignometria
ρ
θ
b
sen =
ρ
θ
a
=cos
θ

Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-
Gauss o número complexoGauss o número complexo iz +−= 3
ImIm
( )1,3−
3− 1−2− 10 ReRe
1

ImIm
( )1,3−
3− 1−2− 10 ReRe
1
θ
( ) ( )22
13 +−=ρ
13+=ρ 2=ρ⇒ρ

ImIm
( )1,3−
3− 1−2− 10 ReRe
1
θ
2=ρ
ρ
2
1
=θsen
2
3
cos
−
=θ

2
1
=θsen
2
3
cos
−
=θ CosCos
SenoSeno
++
––
++
++
––
––
––
++
CosCos
SenoSeno
FF
180º180º

2
1
=θsen
2
3
cos
−
=θ CosCos
SenoSeno
FF
180º180º
º30º180 =−θ
º30º180 −=θ
º150=θ

ρ
θ
b
sen =
ρ
θ
a
=cos
biaz +=
θρ senb ⋅=θρ cos⋅=a
θρθρ seniz ⋅⋅+⋅= cos
( )θθρ seniz ⋅+⋅= cos
Módulo de zMódulo de z

37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número
complexo , então o valor de , em graus, écomplexo , então o valor de , em graus, é
22
ba +=ρ
( )22 ⋅+− i
θ
ρ
θ
a
=cos
5
θ
422 =+=ρ
2=ρ
2
2
cos
−
=θ
ρ
θ
b
sen =
2
2
=θsen
º45º180 =−θ
º45º180 −=θ
º135=θ 5
º135
5
=
θ
º27
5
=
θ
→

49) (Vunesp) Considerando o número complexo49) (Vunesp) Considerando o número complexo
i⋅+=
2
1
2
3
µ 1−=i
µ
, em que, em que , encontre o número, encontre o número
complexocomplexo vv cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo docujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do
argumento de .argumento de .
ρ
θ
a
=cos
2
3
cos =µθ
22
ba +=ρ
1
4
1
4
3
=+=ρ
1=ρ
ρ
θ
b
sen =
2
1
=µθsen
º30=µθ µθθ ⋅= 3v
º90=vθ

49) (Vunesp) Considerando o número complexo49) (Vunesp) Considerando o número complexo
i⋅+=
2
1
2
3
µ 1−=i
µ
, em que, em que , encontre o número, encontre o número
complexocomplexo vv cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo docujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do
argumento de .argumento de .
º90=vθ
( )θθρ seniv ⋅+⋅= cos
( )º90º90cos2 seniv ⋅+⋅=
( )102 ⋅+⋅= iv
iv 2=

Operações com números complexos na forma trigonométricaOperações com números complexos na forma trigonométrica
( ) ( )[ ]21212121 cos θθθθρρ +⋅++⋅⋅=⋅ senizz
MultiplicaçãoMultiplicação
DivisãoDivisão
( ) ( )[ ]2121
2
1
2
1
cos θθθθ
ρ
ρ
−⋅+−⋅= seni
z
z
PotenciaçãoPotenciação
( ) ( )[ ]θθρ ⋅⋅+⋅⋅= nseninz nn
cos

58) (UCMG) O produto dos três números complexos:58) (UCMG) O produto dos três números complexos:
( )º40º40cos21 seniz ⋅+⋅=
é:é:
( )º135º135cos32 seniz ⋅+⋅=
( )º125º125cos13 seniz ⋅+⋅=
( ) ( )[ ]321321321321 cos θθθθθθρρρ ++⋅+++⋅⋅⋅=⋅⋅ senizzz
( ) ( )[ ]º125º135º40º125º135º40cos132321 ++⋅+++⋅⋅⋅=⋅⋅ senizzz
[ ]º300º300cos6321 senizzz ⋅+⋅=⋅⋅
[ ]º60º60cos6321 senizzz −⋅+⋅=⋅⋅






⋅−⋅=⋅⋅
2
3
2
1
6321 izzz

58) (UCMG) O produto dos três números complexos:58) (UCMG) O produto dos três números complexos:
( )º40º40cos21 seniz ⋅+⋅=
é:é:
( )º135º135cos32 seniz ⋅+⋅=
( )º125º125cos13 seniz ⋅+⋅=






⋅−⋅=⋅⋅
2
3
2
1
6321 izzz
2
36
2
6
321
i
zzz −=⋅⋅
izzz ⋅−=⋅⋅ 333321 BB

61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumentoargumento θθ , então, então é:é:n
n
z
z
1
+
*
+∈Zn
( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn
+⋅= cos
( ) ( )θθ ⋅⋅+⋅
=
nseninzn
cos
11
∴ ( ) ( )[ ]θθ nisennz nn
+⋅= cos1
( ) ( )θθ nseninzn
⋅+= cos
( ) ( )
( ) ( )θθ
θθ
⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅
⋅
nsenin
nsenin
cos
cos
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]22
cos
cos1
θθ
θθ
⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅
=
nsenin
nsenin
zn

n
z
z
1
+
*
+∈Zn
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]22
cos
cos1
θθ
θθ
⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅
=
nsenin
nsenin
zn
( ) ( )
( ) ( )θθ
θθ
⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅
=
nsenin
nsenin
zn 222
cos
cos1 ( ) ( )
( ) ( )θθ
θθ
⋅+⋅
⋅⋅−⋅
=
nsenn
nsenin
22
cos
cos
( ) ( ) =
⋅⋅−⋅
=
1
cos1 θθ nsenin
zn
( ) ( )θθ ⋅⋅−⋅ nsenincos

n
z
z
1
+
*
+∈Zn
( ) ( )θθ ⋅⋅−⋅= nsenin
zn
cos
1
( ) ( )θθ ⋅⋅+⋅= nseninzn
cos ee
( ) ( ) ( ) ( )θθθθ ⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅=+ nseninnsenin
z
z n
n
coscos
1
( )θ⋅⋅=+ n
z
z n
n
cos2
1
BB

61) (Acafe) Dado , o valor de61) (Acafe) Dado , o valor de
é:é:
6
z





⋅+⋅=
66
cos2
ππ
seniz
( ) 











⋅⋅+





⋅⋅=
6
6
6
6cos2
66 ππ
seniz
AA
( )ππ seniz ⋅+⋅= cos646
( )0186
+−⋅=z
86
−=z

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