Apresentação Equações Diferenciais - Bernoulli

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Apresentação sobre como resolver equações diferenciais de Bernoulli.
Mostra-se como determinar o Fator Integrante, apresentando-se um exemplo ao final.

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Apresentação Equações Diferenciais - Bernoulli

  1. 1. Equações Diferenciais Lineares Autor: José de França Bueno Pólo: Santos
  2. 2. As equações diferenciais Lineares Este conjunto de slides apresenta parte do conteúdo da disciplina Equações Diferenciais Ordinárias. Esta é a 6a. aula desta disciplina.
  3. 3. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Já estudamos o que são equações diferenciais, o que são equações diferenciais ordinárias, grau e ordem de uma equação diferencial. </li></ul>
  4. 4. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Também já vimos algumas situações reais representadas por modelos matemáticos. </li></ul><ul><li>Além disso, já estudamos equações diferenciais separáveis, homogêneas e equações diferenciais exatas e aplicamos a idéia de fator integrante para resolver algumas equações não-exatas. </li></ul>
  5. 5. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Comecemos nosso estudo de Equações Diferenciais Lineares com uma pergunta: </li></ul><ul><li>O que é a LINEARIDADE na Matemática? </li></ul><ul><li>Você já estudou algum objeto matemático que apresentava propriedades lineares? Pense um pouco. Tente lembrar. </li></ul>
  6. 6. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Antes de prosseguir, tente efetuar algumas buscas na Internet ou nos livros de sua biblioteca sobre o que Linearidade. Exercício: é possível encontramos objetos no Ensino Fundamental que apresentem propriedades lineares? Sugestão: busque associar com os nomes de alguns dos entes matemáticos do Ensino Fundamental </li></ul>
  7. 7. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Exemplos (do ensino fundamental): i) Sistemas de equações Lineares ii) Funções Lineares </li></ul><ul><li>(de 1o. grau, com b = 0) iii) Matrizes No ensino superior, a operação de Integração e a operação de Derivação também são operações lineares </li></ul>
  8. 8. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Dizemos que uma Equação Diferencial é linear quando pode ser escrita na forma: i) A variável dependente y e todas suas derivadas são do 1o. grau (a potência de cada termo envolvendo y é 1) ii) os coeficientes dependem apenas de x </li></ul>
  9. 9. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Uma equação que não seja linear e dita não-linear. O exemplo mais simples de uma EDO linear é: </li></ul>
  10. 10. As equações diferenciais Lineares <ul><li>Dividindo pelo coeficiente a1(x): </li></ul><ul><li> (1) Para resolver esta equação vamos supor nos próximos problemas que as funções P(x) e f(x) são contínuas. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Fator de Integração Vamos re-escrever (1) na forma dy + [P(x)y – f(x)]dx = 0 Como a equação é linear, podemos encontrar uma função u(x) tal que u(x) dy + u(x)[P(x)y – f(x)] dx = 0 (2) Seja uma Equação Diferencial Exata. </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  12. 12. <ul><li>Como estamos supondo que a equação acima seja exata, vale que: </li></ul><ul><li>Então: </li></ul><ul><li>Você sabe explicar esta última passagem? </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  13. 13. <ul><li>A última equação do slide anterior é uma Equação Diferencial Separável: Podemos determinar u(x): </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  14. 14. <ul><li>Então (3) A função (3) é chamada fator de integração. </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  15. 15. <ul><li>Multiplicamos a equação original pelo fator integrante: Podemos escrevê-la como: </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  16. 16. <ul><li>Integramos esta última equação: Finalmente, a solução da Equação Diferencial será dada por: </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  17. 17. <ul><li>Exemplo: Resolva Resolução: inicialmente escrevemos a equação como (2) </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  18. 18. <ul><li>Identificamos P(x) = - 4/x. Logo, o fator de integração será: Acima usamos que </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  19. 19. <ul><li>Multiplicando a equação (2) pelo fator integrante: Que, pode ser escrita como: </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  20. 20. <ul><li>Integrando-se por partes: Finalmente, a solução da Equação diferencial será: </li></ul>As equações diferenciais Lineares
  21. 21. <ul><li>Referência Bibliográfica: 1. Zill, Dennis e Cullen, Micheal. Equações Diferenciais, Volume 1, páginas 68-71. Makron Books. 2001. </li></ul>As equações diferenciais Lineares

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