Hoje compartilharei alguns problemas publicados na lista PUC-RIO.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - VALOR INTERMEIO
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje compartilharei alguns problemas publicados na lista PUC-RIO.

3. PROBLEMAS
Alguns problemas:
1-Dados 2n+2 pontos no plano de modo que não existem 3 colineares,
demonstrar que existe uma reta que passa por dois deles e deixá n pontos de
cada lado.
Este problema eu sei resolver.
2-Dado um polígono convexo e um ponto P no seu interior, demonstrar que
existem dois pontos A e B nos bordes do polígono, tais que o ponto médio
deles é P. Este eu sei resolver.
3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que
pertençam à mesma circunferência, demonstrar que existe uma
circunferência que passa por 3 deles e deixá n pontos no seu interior. Não
tenho a mínima ideia como se resolve

4. SOLUÇÃO
Aqui vale alguns comentários: 1) o centro de uma circunferência que passa
por A e B está na mediatriz de A e B. Além disso, o raio dela é sempre maior
ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse modo o argumento de “ir diminuindo
o número de pontos dentro da circunferência” me parece um pouco
simplificado.
Como há apenas um número finito de pontos e nenhuma circunferência passa
por mais do que três deles, eu acho que o argumento original, apesar de
simplificado e talvez excessivamente informal, está correto.

5. Porém a idéia central está correta. Deve-se pensar que existe um caminho
contínuo de circunferências (basta escolher um caminho de centros sobre a
mediatriz de forma que no início todos os pontos estão dentro dela e no final
nenhum ponto está. Daí pode-se concluir que “em algum instante no meio do
caminho” tem-se uma circunferência que contém apenas n pontos. E a
construção desse caminho não é complicada.
2) Deve-se assumir também que não há 3 pontos colineares, que é usado no
início demonstração.
Concordo. Esta hipótese não está contida no enunciado. Aliás, o enunciado
está incompleto no sentido de que se os 2n+3 pontos pertencerem a uma
única reta, então nenhuma circunferência passará por 3 deles.

6. 3) Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que
pertençam à mesma circunferência, demonstrar que existe uma
circunferência que passa por 3 deles e deixá n pontos no seu interior.

7. Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros estejam
num único semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser interpretada
como uma circunferência de raio infinito. Em outras palavras, existe um
número positivo R_0 tal que se R > R_0, então existe uma circunferência de
raio R, passando por A e B, é tal que todos os demais 2n+1 pontos estão em
seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferência. Segundo o
enunciado, para cada valor do raio, a circunferência irá passar por, no
máximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quando a circunferência passar
por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare. Esta
será a circunferência desejada.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200507/msg00083.html e
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200507/msg00068.html