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INSTRUÇÕES
1. Verifiqueseosdadosdaetiquetadestaprovaestãocorretos.Casoasinfor-
mações não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima.
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho
e deixando um espaço em branco entre cada palavra.
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença.
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala
de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova,
entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na
folha de rascunho.
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas
as questões.
8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou
qualquer fonte de consulta.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Correção
Regional
1
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Regional
2
Correção
Regional
3
Correção
Regional
4
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Regional
5 6
Correção
Regional
Total
Correção
Nacional
1
Correção
Nacional
2
Correção
Nacional
3
Correção
Nacional
4
Correção
Nacional
5
Correção
Nacional
6
Correção
Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção
Regional
3
Nível
Ensino Médio
2ª FASE – 5 de novembro de 2011
SBM
Preencha
e confira
os dados
acima com
muita atenção!
2
NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
TOTAL
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
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Nacional
1. Em cada casa de um quadriculado 4 4× deve ser colocado um dos números 1, 3, 7 e 8, de modo que em cada linha,
coluna ou diagonal apareçam os quatro números.
a) Qual é a soma dos números nos quatro quadradinhos centrais quando o quadriculado é preenchido de acordo com o
enunciado?
b) Suponha que 1, 3, 7 e 8 sejam colocados na diagonal, como na figura. De quantas maneiras é possível completar o
quadriculado de acordo com o enunciado?
c) Qual é o maior valor possível para a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas quando o quadriculado é
preenchido de acordo com o enunciado?
1
3
7
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3
NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas
Correção
Regional
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Nacional
Correção
Regional
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TOTAL
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Regional
Correção
Nacional
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Nacional
2. Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina
em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo:
• se o número for ímpar, soma-se 1;
• se o número for par, divide-se por 2.
Por exemplo, começando com o número 21, forma-se a seguinte sequência:
21→22→11→12→6→3→4→2→1
Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa
com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar.
a) Escreva a sequência que começa com 37.
b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências.
c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7?
d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de
comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta.
Correção
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4
NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas
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TOTAL
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3. A linha poligonal da figura parte da origem e passa por todos os pontos do plano que
têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de
comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a,b) é
chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1,2) é 5 cm.
a) Determine a lonjura dos pontos (3,2) e (0,4).
b) Quantos pontos de coordenadas inteiras estão contidos no interior e nos lados do quadrado cujos vértices são (0,0),
(n,0), (n,n) e (0,n) ?
c) Explique por que a lonjura do ponto (n,n) é 2
n n+ .
d) Qual é o ponto cuja lonjura é 425?
Correção
Regional
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Nacional
6
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54321
4
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5
NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas
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Regional
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Nacional
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Regional
Correção
Nacional
TOTAL
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Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
4. Na figura, os lados do triângulo DEF são paralelos aos lados do triângulo
retângulo ABC. Os pontos H, D, F e G estão alinhados e 0 5x≤ ≤ .
a) Calcule o comprimento de GH em função de x.
b) Mostre que
5
4
x
CG FG= = cm.
c) Faça o gráfico da área A do triângulo DEF em função de x.
B
E
F
G
25 cm
20 cm
15 cm x cm
x cm
x cm
HA
C
D
20
0 1 2 3 4 5 6 7
40
60
80
100
120
140
160
180
200
A(cm²)
x(cm)
6
NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
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Nacional
TOTAL
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Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
5. Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola
corresponde a um dos pontos da figura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais.
Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição.
a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos
pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência?
b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo
retângulo?
c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um
retângulo?
Um ângulo
inscrito em uma
circunferência
é reto se e
somente se o arco
correspondente
é uma
semicircunferência.
7
NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
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Nacional
TOTAL
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
6. Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes;
nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede
1
2
BC .
a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180º os quadriláteros DHFB
e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão
alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MAN é igual a 180º.
b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes.
d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF.
Correção
Regional
Correção
Nacional
A
B C
D
F G
H
I
E
A
B C
D
F G
H
I
J
L
M N
E
A
B C
D
F G
H
I
J
K
M N
E
L
A
B C
D
F G
H
I
J
K
L
M N
E
Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido.
c) Mostre que LH EF= .
^
R
A
S
C
U
N
H
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Cefet 2013
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Cefet 2013
 
Cefet 2012-gabarito[1]
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Pf2n3 2011

  • 1. Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. INSTRUÇÕES 1. Verifiqueseosdadosdaetiquetadestaprovaestãocorretos.Casoasinfor- mações não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente. 2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre cada palavra. 3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta. 5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador. 6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na folha de rascunho. 7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas as questões. 8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção. 9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta. 10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador. 11. Não escreva nos espaços sombreados. Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da Equipe da OBMEP! Assinatura Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento CEPCidade UF TelefoneDDD Bairro Telefone (outro)DDD Endereço eletrônico (email) Correção Regional 1 Correção Regional 2 Correção Regional 3 Correção Regional 4 Correção Regional 5 6 Correção Regional Total Correção Nacional 1 Correção Nacional 2 Correção Nacional 3 Correção Nacional 4 Correção Nacional 5 Correção Nacional 6 Correção Nacional Total Correção Regional Correção Nacional Correção Regional 3 Nível Ensino Médio 2ª FASE – 5 de novembro de 2011 SBM Preencha e confira os dados acima com muita atenção!
  • 2. 2 NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional 1. Em cada casa de um quadriculado 4 4× deve ser colocado um dos números 1, 3, 7 e 8, de modo que em cada linha, coluna ou diagonal apareçam os quatro números. a) Qual é a soma dos números nos quatro quadradinhos centrais quando o quadriculado é preenchido de acordo com o enunciado? b) Suponha que 1, 3, 7 e 8 sejam colocados na diagonal, como na figura. De quantas maneiras é possível completar o quadriculado de acordo com o enunciado? c) Qual é o maior valor possível para a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas quando o quadriculado é preenchido de acordo com o enunciado? 1 3 7 8
  • 3. 3 NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional 2. Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo: • se o número for ímpar, soma-se 1; • se o número for par, divide-se por 2. Por exemplo, começando com o número 21, forma-se a seguinte sequência: 21→22→11→12→6→3→4→2→1 Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar. a) Escreva a sequência que começa com 37. b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências. c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7? d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta. Correção Regional Correção Nacional
  • 4. 4 NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional 3. A linha poligonal da figura parte da origem e passa por todos os pontos do plano que têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a,b) é chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1,2) é 5 cm. a) Determine a lonjura dos pontos (3,2) e (0,4). b) Quantos pontos de coordenadas inteiras estão contidos no interior e nos lados do quadrado cujos vértices são (0,0), (n,0), (n,n) e (0,n) ? c) Explique por que a lonjura do ponto (n,n) é 2 n n+ . d) Qual é o ponto cuja lonjura é 425? Correção Regional Correção Nacional 6 5 54321 4 3 2 1 0
  • 5. 5 NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional 4. Na figura, os lados do triângulo DEF são paralelos aos lados do triângulo retângulo ABC. Os pontos H, D, F e G estão alinhados e 0 5x≤ ≤ . a) Calcule o comprimento de GH em função de x. b) Mostre que 5 4 x CG FG= = cm. c) Faça o gráfico da área A do triângulo DEF em função de x. B E F G 25 cm 20 cm 15 cm x cm x cm x cm HA C D 20 0 1 2 3 4 5 6 7 40 60 80 100 120 140 160 180 200 A(cm²) x(cm)
  • 6. 6 NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional 5. Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola corresponde a um dos pontos da figura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais. Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição. a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência? b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo retângulo? c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um retângulo? Um ângulo inscrito em uma circunferência é reto se e somente se o arco correspondente é uma semicircunferência.
  • 7. 7 NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional 6. Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede 1 2 BC . a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180º os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MAN é igual a 180º. b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes. d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF. Correção Regional Correção Nacional A B C D F G H I E A B C D F G H I J L M N E A B C D F G H I J K M N E L A B C D F G H I J K L M N E Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido. c) Mostre que LH EF= . ^