A matriz A é definida como uu', onde u é um vetor coluna de R^n. Isso significa que A tem posto 1, portanto n-1 de seus autovalores são 0. O único autovalor não-zero é igual à norma de u ao quadrado (|u|^2) e u é o correspondente autovetor.
3. DÚVIDA
Pessoal, como eu resolvo este problema:
"Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz A = u.u', onde u pert
R^n"
(notação: u' = "u transposto")
Sem precisar recorrer a resolver equações genéricas escabrosas (isto é sem
recorrer ao artifício das raízes da eq. det|A - cI| = 0)
4. SOLUÇÃO
Estou supondo que u é um vetor coluna do R^n.
Nesse caso, a matriz u*u' tem o elemento (i,j) igual a u(i)*u(j) (produto da i-
ésima e j-ésima componentes de u).
Ou seja, a i-ésima linha de u*u' é igual a u(i)*u.
Logo, u*u' tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0.
Multiplicando u*u' por u, obtemos (u(1)^2 + ... + u(n)^2)*u.
Logo, u é autovetor com o autovalor associado igual a:
u(1)^2 + ... + u(n)^2 = |u|^2.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200505/msg00010.html
