1. EXERCITANDO (AULA 1)
1. Determine o valor de x sabendo que a matriz
2 x2
2x − 1 0
é simétrica.
2. Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, não nulas, tais que AB = O.
3. Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, tais que AB = BA.
4. Sendo A =
1 0
1 1
, calcule as potências A2
, A3
, A4
e An
para um inteiro positivo n qualquer.
5. Sejam A, B, C e X matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que 2(X − A − B) = 1
3 (X − C), expresse X em termos
de A, B e C.
6. Sejam A, B, X e Y matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que
2X + Y = −A
−2X + Y = B
,expresse X e Y em termos de A e B.
7. Resolva os seguintes sistemas matriciais a seguir.
a)
X − 2Y = 3A
2X + Y = O
; b)



X + Y = A
Y + Z = B
X + Z = C
.
8. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X2
= O.
9. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X2
= I.
10. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X2
= X.
11. Seja A =
1 9
0 16
. Mostre que a equação matricial X2
= A admite exatamente 4 soluções e determine-as.
12. Sejam A =
3 2 1
−1 0 1
e B =


−4 0
0 1
5 2

. Seja X uma matriz 2×3. Determine X sabendo que t
(X +A) = B.
13. Para cada matriz dada a seguir, encontre uma matriz na forma em escada, à qual a matriz dada é linha-equivalente.
a)
2 1 5
6 3 15
; b)
2 0 −2 0
0 2 −1 0
; c)
2 1 5
1 −3 6
;
d)


1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1

; e)




2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8



; f)




0 2 0 2
1 1 0 3
3 −4 0 2
2 −3 0 1



 .
14. Sejam A, B e C matrizes m × n. Demonstre as propriedades a seguir.
a) A + C = B + C ⇒ A = B; .b) A + A = A ⇒ A = O.
15. Sejam A uma matriz m × n e x ∈ R. Demonstre as propriedades abaixo.
a) xA = O ⇒ A = O ou x = 0. b) A + A = 2A. c) A = −A ⇒ A = O.
16. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. Demonstre que −A = (−1)A, A (−B) = −(AB) = (−A)B e
(−A)(−B) = AB.
17. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que (A + B)2
= A2
+ 2AB + B2
.
18. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que (A + B)(A − B) = A2
− B2
.
19. Sejam A, B e C matrizes m × n. Demonstre as propriedades abaixo.
(a) −A − B = −(A + B)
(b) −A + B = −(A − B)
(c) (A − B) − C = A − (B + C)
(d) (A + B) − C = A + (B − C)
20. Sejam A uma matriz m × n e B e C matrizes n × p. Demonstre que A(B − C) = AB − AC.
21. Sejam A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Demonstre que (A − B)C = AC − BC.
22. Demonstre que os termos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica n × n são todos nulos.
23. Demonstre que toda matriz triangular superior e simétrica é diagonal.
24. Demonstre que toda matriz triangular inferior e simétrica é diagonal.
25. Uma matriz quadrada chama-se matriz triangular estritamente superior se é triangular superior e se os termos
da diagonal principal são todos nulos. Seja A uma matriz triangular estritamente superior 3 × 3. Demonstre que
A3
= O.
26. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a i-ésima linha de AB é Ai · B. Conclua que as
linhas de AB são A1 · B, A2 · B, ..., Am · B.
1

2. 27. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a k-ésima coluna de AB é A · Bk
. Conclua que
as colunas de AB são A · B1
, A · B2
, ..., A · Bp
.
28. Seja A uma matriz quadrada n × n. Definimos o traço de A como sendo a soma dos termos que constituem sua
diagonal principal e o denotamos por tr (A). Demonstre que A e B são matrizes n × n e x ∈ R, então tr (A + B) =
tr (A) + tr (B), tr (xA) = x tr (A) e tr (AB) = tr (BA).
29. Seja A uma matriz m × n. Mostre que a j-ésima linha da transposta de A é a transposta da j-ésima coluna de A.
Em símbolos, isto quer dizer que (t
A)j = t
Aj
.
30. Seja A uma matriz n × n. Demonstre as afirmações abaixo.
(a) A é simétrica ⇔ A = t
A.
(b) A é anti-simétrica ⇔ −A = t
A.
(c) A = O ⇔ A é simétrica e anti-simétrica.
31. Sejam A e B matrizes m × n e x um número real. Mostre que:
(a) t
(A + B) = t
A + t
B;
(b) t
(xA) = x t
A;
(c) t
(t
A) = A.
32. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. Mostre que t
(AB) = t
B · t
A.
33. Mostre que se A e B são matrizes simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são também matrizes simétricas.
34. Mostre que se A e B são matrizes anti-simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são também matrizes anti-
simétricas.
35. Para toda matriz n × n A, demonstre que
(a) 1
2 (A + t
A) é sempre simétrica;
(b) 1
2 (A − t
A) é sempre anti-simétrica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve, de modo único, como soma
de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica.
36. Se A é anti-simétrica, demonstre que A2
é simétrica.
37. Sejam A e B matrizes simétricas n × n. Demonstre que AB = BA ⇔ AB é simétrica.
38. Demonstre que:
(a) toda matriz é linha-equivalente a si mesma;
(b) se a matriz A é linha-equivalente a B e B é linha-equivalente a C, então A é linha-equivalente a C.
39. Suponha que uma matriz A foi obtida a partir de A por uma única operação elementar com linhas. Mostre que A
pode ser obtida de A , também, por uma única operação elementar com linhas. Conclua que se A é linha-equivalente
a B, então B é linha-equivalente a A.
40. Mostre que podemos permutar duas linhas de uma matriz utilizando somente as operações 2 e 3.
41. Escreva na forma matricial AX = B os sistemas lineares seguintes:
a)
2x + 3y = 4
−x + y = 5
; b)
−x + z = 4
y + 5z = 0
; c)



7x + 2y − 4 = 0
−x + 3y + 1 = 0
8y + 4z −
√
2 = 0
;
d)



3x − y = 9
−x + 8y = −1
−4y = 2
x = 0
; e)
7x + 4y − z + 8w = −1
−x + 8z − 7w = 0
.
42. Escreva na forma matricial x1A1
+ x2A2
+ ... + xnAn
= B os sistemas lineares do exercício anterior.
43. Resolva os sistemas lineares do penúltimo exercício anterior.
44. Determine todas as matrizes que comutam com cada uma das seguintes matrizes:
a)
0 1
1 1
; b)
1 −1
2 0
; c)


1 0 0
1 1 0
0 1 1

.
45. Seja A uma matriz 2 × 2. Mostre que A comuta (com respeito à multiplicação de matrizes) com qualquer matriz
2 × 2 ⇔ ∃ a ∈ R tal que A = aI.
46. Determine todas as matrizes que comutam com
a b
c d
, sendo c = 0.
47. Determine todas as matrizes que comutam com
a b
0 d
.
48. João, que inicialmente tem uma certa quantia em reais, dá a Pedro tantos reais quantos Pedro possui e a José tantos
reais quantos José possui. Depois, Pedro dá a José e a João a respectiva quantia em reais que cada um passou a
possuir. Em seguida, José faz a mesma coisa com João e Pedro. Se, no final, todos terminam com 16 reais, com
quantos reais João começou?
2

3. 49. Calcule as inversas das seguintes matrizes invertíveis:
a)
−1 3
0 4
; b)


−1 4 −5
0 8 2
−3 0 1

 ; c)




−3 0 −2 5
0 1 3 5
−4 0 1 0
−1 2 5 8



 .
50. Resolva cada sistema linear a seguir calculando a inversa da matriz dos coeficientes (que é invertível) e aplicando a
fórmula X = A−1
B.
a)
x + 2y = −1
−x + 3y = 5
; b)



2x − y + 5z = 4
7x + z = −1
y + 3z = 0
.
51. Determine a de modo que o sistema



x − 2y + 3z = −4
5x − 6y + 7z = −8
6x − 8y + az = −12
seja indeterminado.
52. Determine a para que o sistema



x + y + z = 0
x + 2y + az = 0
x + 4y + a2
z = 0
só admita a solução trivial.
53. Determine o conjunto solução de cada sistema linear abaixo, em função dos valores do parâmetro a.
a)
ax + y − 1 = 0
2x + ay − 2 = 0
; b)



x + y + z = 0
x + 2y + az = 0
x + 4y + a2
z = 0
; c)



ax + ay + az = 1
ax + y + 2z = −1
ax + z = a
.
54. Seja A =


a11 0 0
0 a22 0
0 0 a33

. Se aii = 0 para todo i, demonstre que A é invertível e que A−1
=


a−1
11 0 0
0 a−1
22 0
0 0 a−1
33

.
Generalize para A n × n.
55. Dê exemplo de duas matrizes invertíveis n × n cuja soma não é invertível.
56. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, que ABA−1 n
=
ABn
A−1
para todo inteiro positivo n.
57. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A tem uma linha nula, então A não é invertível.
58. Se A é uma matriz invertível, demonstre que t
A é também invertível e que (t
A)
−1
= t
A−1
.
59. Seja A uma matriz simétrica invertível. Demonstre que A−1
é simétrica.
60. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que se A tem inversa à esquerda, então A é invertível.
61. Mostre que a matriz A =
a b
c d
é invertível ⇔ ad − bc = 0. Em caso afirmativo, calcule A−1
.
62. Sejam A, B e X matrizes n × n, em que A é invertível. Expresse X em termos de A e B sabendo que t
(XA) = B.
63. Sejam A =
1 2
0 −1
e B =
−1 3
2 −6
. Seja X uma matriz tal que t
(XA) = B. Determine X.
64. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Dizemos que A é semelhante a B e escrevemos A ∼ B se existe uma
matriz invertível P tal que A = P−1
BP. Demonstre as propriedades abaixo, onde A, B e C são matrizes quadradas
de mesmo tamanho.
(a) A ∼ A;
(b) A ∼ B ⇒ B ∼ A;
(c) A ∼ B e B ∼ C ⇒ A ∼ C.
65. Demonstre que a única matriz semelhante à matriz nula e a própria. Idem, para a matriz identidade.
66. Demonstre que duas matrizes semelhantes têm o mesmo traço.
67. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Mostre que se AB é invertível, então A e B também o são.
68. Sejam A1, A2, ..., Ar matrizes n × n. Mostre, usando o princípio de indução, que A1, A2, ..., Ar são invertíveis ⇔ o
produtório A1 · A2 · · · · · Ar o é.
69. Se A é uma matriz 2 × 1 e B é 1 × 2, mostre que AB não é invertível.
70. Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se é invertível e sua inversa é sua transposta. Mostre que se uma matriz
diagonal é também ortogonal, então os termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou −1.
71. Demonstre que se A é ortogonal, então t
A é também ortogonal.
72. Demonstre que se A e B são matrizes ortogonais então AB e B−1
AB também o são.
73. Discuta o conjunto solução de cada sistema linear abaixo segundo os valores do parâmetro a.
a)



ax + ay + az = 1
ax + y + 2z = −1
ax = a
; b)



ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = −2
.
3

4. 74. Determine os valores de a e b que tornam o sistema linear abaixo possível e indeterminado.



x + 2y + az = −1
3x + y + z = 4
−2x + 4y − 2z = b
75. Discuta, segundo os valores do parâmetro t, o conjunto solução do sistema linear a seguir, sabendo que a+b+c = 0
e a, b e c são dois a dois distintos. 


tx + y + z = a
x + ty + z = b
x + y + tz = c
76. Sejam A e B matrizes n × n quaisquer. Mostre que se I − AB é invertível, então I − BA também o é e que
(I − BA)−1
= I + B(I − AB)−1
A.
77. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A não é invertível, então existe uma matriz B, n × n, não nula, tal que
AB = O.
78. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A não é invertível, então existe uma matriz C, n × n, não nula, tal que
CA = O.
79. Sejam A e B, respectivamente, matrizes n × m e m × n. Mostre que se n > m, então AB não é invertível.
80. Sejam A uma matriz triangular estritamente superior n × n, em que n > 1, e 1 ≤ k ≤ n. Demonstre, por indução
sobre k, que a potência Ak
tem a seguinte propriedade: seu termo de posição (i, j) é igual a zero sempre que
j − i ≤ k − 1, isto é, a matriz Ak
tem o seguinte aspecto:
A parte sombreada é constituída dos termos de posição (i, j) tais que j − i ≥ k. Conclua que An
= O.
81. Seja A uma matriz triangular estritamente inferior n × n. Mostre que An
= O.
82. Seja A uma matriz n × n. Mostre que A comuta com qualquer matriz n × n ⇔ existe a ∈ R tal que A = aIn.
RESPOSTAS OU SUGESTÕES:
1) x = 1; 2) A =
0 1
0 0
e B =
1 0
0 0
; 3) Mesmo exemplo do exercício anterior; 4) A =
1 0
n 1
;
5) X = 1
5 (6A + 6B − C); 6) X = −1
4 (A + B) e Y = 1
2 (B − A);
7) a) X = 3
5 A e Y = −6
5 A; b) X = 1
2 (C − B + A), Y = 1
2 (−C + B + A) e Z = 1
2 (C + B − A);
8) X =
0 0
z 0
ou X =
x y
−x2
y −x
com y = 0;
9) X =
1 0
0 1
, X =
−1 0
0 −1
, X =
√
1 − yz y
z −
√
1 − yz
ou
X =
−
√
1 − yz y
z
√
1 − yz
com yz ≤ 1;
10) X =
0 0
0 0
, X =
1 0
0 1
, X =
1+
√
1−4yz
2 y
z 1−
√
1−4yz
2
ou X =
1−
√
1−4yz
2 y
z 1+
√
1−4yz
2
com
yz ≤ 1
4 ;
11)
−1 3
0 4
,
1 −3
0 −4
,
1 9
5
0 4
,
−1 −9
5
0 −4
;
12) X =
−7 −2 4
1 1 1
;
13) a)
1 1
2
5
2
0 0 0
; b)
1 0 −1 0
0 1 −1
2 0
; c)
1 0 3
0 1 −1
;
d)


1 0 0 −7
8
0 1 0 −1
4
0 0 1 11
8

; e)




1 0 14
9
0 1 1
9
0 0 0
0 0 0



; f)




1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0



;
32) Denote: A = (aij) , B = (bjk) , t
A = aji e t
B = bkj , em que aji = aij e bji = bjk. Faça ainda:
t
(AB) = (cki) e t
B · t
A = (dki). Note que cki = Ai · Bk
e dki = (t
B)k · (t
A)
i
;
40) Sejam A e B as linhas. Primeiramente, substitua A por A − B, depois substitua B por
B + (A − B), etc;
41) a)
2 3
−1 1
x
y
=
4
5
; b)
−1 0 1
0 1 5


x
y
z

 =
4
0
;
4

5. c)


7 2 0
−1 0 3
0 8 4




x
y
z

 =


4
1√
2

; d)




3 −1
−1 8
0 −4
1 0




x
y
=




9
−1
2
0



;
e)
7 4 −1 8
−1 0 8 −7




x
y
z
w



 =
−1
0
;
42) a) x
2
−1
+ y
3
1
=
4
5
;
b) x
−1
0
+ y
0
1
+ z
1
5
=
4
0
;
c) x


7
−1
0

 + y


2
0
8

 + z


0
3
4

 =


4
1√
2

;
d) x




3
−1
0
1



 + y




−1
8
−4
0



 =




9
−1
2
0



;
e) x
7
−1
+ y
4
0
+ z
−1
8
+ x
8
−7
=
−1
0
;
43) a)
x = −11
5
y = 14
5
; b)



x = −4 + t
y = −5t
z = t
, t ∈ R; c)



x = 44−3
√
2
80
y = 12+21
√
2
160
z = −12−
√
2
80
;
d) o sistema é impossível; e)



x = 8u − 7v
y = −1
4 − 55
4 u + 41
4 v
z = u
w = v
, u, v ∈ R;
44) a)
w − z z
z w
, z, w ∈ R; b)
1
2 z + w −1
2 z
z w
, z, w ∈ R;
c)


x 0 0
y x 0
z y x

 , x, y, z ∈ R;
46)
a−d
c z + w b
c z
z w
, z e w livres;
47) Para b = 0 e a = d, a matriz dada comuta com toda matriz. Para b = 0 e a = d, ela comuta só com as matrizes
diagonais e, para b = 0, ela comuta com as matrizes que têm a forma a seguir:
a−d
b y + w y
0 w
, y, w ∈ R;
48) 26;
49) a)
−1 3/4
0 1/4
; b)


−1/19 1/38 −6/19
3/76 2/19 −1/76
−3/19 3/38 1/19

;
c)




−2/47 10/47 −9/47 −5/47
−1/47 −183/47 −28/47 115/47
−8/47 40/47 11/47 −20/47
5/47 22/47 −1/47 −11/47



;
50) a)
x = −13
5
y = 4
5
;b)



x = −2
9
y = −5
3
z = 5
9
; 51) a = 10; 52) a = 1 e a = 2;
53) a) C.S. = ∅ para a = ±
√
2 e C.S. = 2−a
2−a2 , 2(1−a)
2−a2 para a = ±
√
2;
b) C.S. = {((a − 2) t, (1 − a) t, t) ; t ∈ R} para a = 1 ou a = 2 e C.S. = {(0, 0, 0)} para a = 1 e a = 2;
c) o sistema tem única solução ⇔ a = 0 e é impossível se a = 0;
55) In e −In; 60) Seja B inversa de A, à esquerda, logo, BA = I. Assim, A é inversa de B, à direita.
Use agora o fato de B ser invertível;
61) Separe em dois casos: a = 0 e a = 0, use escalonamento e o fato de que uma matriz é invertível ⇔
é linha-equivalente à matriz identidade. A−1
=
1
ad − bc
d −b
−c a
;
62) X = t
B · A−1
; 63) X =
−1 −4
3 12
;
67) Para demonstrar que A é invertível, mostre que A tem inversa à direita. Para provar que B é
invertível, use B = A−1
(AB);
73) a) o sistema tem única solução ⇔ a = 0 e é impossível se a = 0; b) o sistema é possível determinado
⇔ a = 1 e a = −2 e é impossível para a = 1 ou a = −2;
74) a = −1/7 e b = −46/5;
75) O sistema é possível determinado ⇔ t = 1 e t = −2; para t = 1 o sistema é impossível e é possível
indeterminado para t = −2;
76) Faça X = (I − AB)
−1
e use o fato de que X − XAB = I = X − ABX;
77) Considere o sistema linear homogêneo AX = O e tome uma solução não trivial deste sistema;
78) Considere t
A e use o exercício anterior;
79) Considere o sistema linear homogêneo BX = O, em que O é a matriz coluna m × 1 nula, tome
uma solução não trivial do mesmo e note que esta é também solução do sistema (AB) X = O, em
que O é a matriz coluna n × 1 nula;
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6. 81) Considere t
A e use o exercício anterior;
82) Seja A = (aij). Para demonstrar a implicação (⇒), primeiramente, demonstra-se que aij = 0 para
i = j. Para isso, fixe i e j distintos, considere a matriz X = (xuv) definida como se segue: xji = 1 e
xuv = 0 para u = j ou v = i, e, use o fato de que AX = XA (tomando os termos de posição (i, i)).
Para provar que aii = a11, para todo i, fixe um i e defina a matriz X = (xuv) colocando xi1 = 1 e
xuv = 0 para u = i ou v = 1 e considere os termos de posição (i, 1) das matrizes AX e XA.
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