EXERCITANDO (AULA 1)
1. Determine o valor de x sabendo que a matriz
2 x2
2x − 1 0
é simétrica.
2. Dê exemplo de matrizes q...
27. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a k-ésima coluna de AB é A · Bk
. Conclua que
as colu...
49. Calcule as inversas das seguintes matrizes invertíveis:
a)
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; b)
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
−1 4 −5
0 8 2
−3 0 1

 ; c)
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

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−3 ...
74. Determine os valores de a e b que tornam o sistema linear abaixo possível e indeterminado.


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x + 2y + az = −1
3x +...
c)
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
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x
y
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
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

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81) Considere t
A e use o exercício anterior;
82) Seja A = (aij). Para demonstrar a implicação (⇒), primeiramente, demonst...
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Exercitandoaula1

  1. 1. EXERCITANDO (AULA 1) 1. Determine o valor de x sabendo que a matriz 2 x2 2x − 1 0 é simétrica. 2. Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, não nulas, tais que AB = O. 3. Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, tais que AB = BA. 4. Sendo A = 1 0 1 1 , calcule as potências A2 , A3 , A4 e An para um inteiro positivo n qualquer. 5. Sejam A, B, C e X matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que 2(X − A − B) = 1 3 (X − C), expresse X em termos de A, B e C. 6. Sejam A, B, X e Y matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que 2X + Y = −A −2X + Y = B ,expresse X e Y em termos de A e B. 7. Resolva os seguintes sistemas matriciais a seguir. a) X − 2Y = 3A 2X + Y = O ; b)    X + Y = A Y + Z = B X + Z = C . 8. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X2 = O. 9. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X2 = I. 10. Determine todas as matrizes X, 2 × 2, tais que X2 = X. 11. Seja A = 1 9 0 16 . Mostre que a equação matricial X2 = A admite exatamente 4 soluções e determine-as. 12. Sejam A = 3 2 1 −1 0 1 e B =   −4 0 0 1 5 2  . Seja X uma matriz 2×3. Determine X sabendo que t (X +A) = B. 13. Para cada matriz dada a seguir, encontre uma matriz na forma em escada, à qual a matriz dada é linha-equivalente. a) 2 1 5 6 3 15 ; b) 2 0 −2 0 0 2 −1 0 ; c) 2 1 5 1 −3 6 ; d)   1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1  ; e)     2 −1 3 1 4 2 1 −5 1 4 16 8    ; f)     0 2 0 2 1 1 0 3 3 −4 0 2 2 −3 0 1     . 14. Sejam A, B e C matrizes m × n. Demonstre as propriedades a seguir. a) A + C = B + C ⇒ A = B; .b) A + A = A ⇒ A = O. 15. Sejam A uma matriz m × n e x ∈ R. Demonstre as propriedades abaixo. a) xA = O ⇒ A = O ou x = 0. b) A + A = 2A. c) A = −A ⇒ A = O. 16. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. Demonstre que −A = (−1)A, A (−B) = −(AB) = (−A)B e (−A)(−B) = AB. 17. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 . 18. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que (A + B)(A − B) = A2 − B2 . 19. Sejam A, B e C matrizes m × n. Demonstre as propriedades abaixo. (a) −A − B = −(A + B) (b) −A + B = −(A − B) (c) (A − B) − C = A − (B + C) (d) (A + B) − C = A + (B − C) 20. Sejam A uma matriz m × n e B e C matrizes n × p. Demonstre que A(B − C) = AB − AC. 21. Sejam A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Demonstre que (A − B)C = AC − BC. 22. Demonstre que os termos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica n × n são todos nulos. 23. Demonstre que toda matriz triangular superior e simétrica é diagonal. 24. Demonstre que toda matriz triangular inferior e simétrica é diagonal. 25. Uma matriz quadrada chama-se matriz triangular estritamente superior se é triangular superior e se os termos da diagonal principal são todos nulos. Seja A uma matriz triangular estritamente superior 3 × 3. Demonstre que A3 = O. 26. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a i-ésima linha de AB é Ai · B. Conclua que as linhas de AB são A1 · B, A2 · B, ..., Am · B. 1
  2. 2. 27. Sejam A e B, respectivamente, matrizes m × n e n × p. Mostre que a k-ésima coluna de AB é A · Bk . Conclua que as colunas de AB são A · B1 , A · B2 , ..., A · Bp . 28. Seja A uma matriz quadrada n × n. Definimos o traço de A como sendo a soma dos termos que constituem sua diagonal principal e o denotamos por tr (A). Demonstre que A e B são matrizes n × n e x ∈ R, então tr (A + B) = tr (A) + tr (B), tr (xA) = x tr (A) e tr (AB) = tr (BA). 29. Seja A uma matriz m × n. Mostre que a j-ésima linha da transposta de A é a transposta da j-ésima coluna de A. Em símbolos, isto quer dizer que (t A)j = t Aj . 30. Seja A uma matriz n × n. Demonstre as afirmações abaixo. (a) A é simétrica ⇔ A = t A. (b) A é anti-simétrica ⇔ −A = t A. (c) A = O ⇔ A é simétrica e anti-simétrica. 31. Sejam A e B matrizes m × n e x um número real. Mostre que: (a) t (A + B) = t A + t B; (b) t (xA) = x t A; (c) t (t A) = A. 32. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. Mostre que t (AB) = t B · t A. 33. Mostre que se A e B são matrizes simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são também matrizes simétricas. 34. Mostre que se A e B são matrizes anti-simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são também matrizes anti- simétricas. 35. Para toda matriz n × n A, demonstre que (a) 1 2 (A + t A) é sempre simétrica; (b) 1 2 (A − t A) é sempre anti-simétrica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve, de modo único, como soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica. 36. Se A é anti-simétrica, demonstre que A2 é simétrica. 37. Sejam A e B matrizes simétricas n × n. Demonstre que AB = BA ⇔ AB é simétrica. 38. Demonstre que: (a) toda matriz é linha-equivalente a si mesma; (b) se a matriz A é linha-equivalente a B e B é linha-equivalente a C, então A é linha-equivalente a C. 39. Suponha que uma matriz A foi obtida a partir de A por uma única operação elementar com linhas. Mostre que A pode ser obtida de A , também, por uma única operação elementar com linhas. Conclua que se A é linha-equivalente a B, então B é linha-equivalente a A. 40. Mostre que podemos permutar duas linhas de uma matriz utilizando somente as operações 2 e 3. 41. Escreva na forma matricial AX = B os sistemas lineares seguintes: a) 2x + 3y = 4 −x + y = 5 ; b) −x + z = 4 y + 5z = 0 ; c)    7x + 2y − 4 = 0 −x + 3y + 1 = 0 8y + 4z − √ 2 = 0 ; d)    3x − y = 9 −x + 8y = −1 −4y = 2 x = 0 ; e) 7x + 4y − z + 8w = −1 −x + 8z − 7w = 0 . 42. Escreva na forma matricial x1A1 + x2A2 + ... + xnAn = B os sistemas lineares do exercício anterior. 43. Resolva os sistemas lineares do penúltimo exercício anterior. 44. Determine todas as matrizes que comutam com cada uma das seguintes matrizes: a) 0 1 1 1 ; b) 1 −1 2 0 ; c)   1 0 0 1 1 0 0 1 1  . 45. Seja A uma matriz 2 × 2. Mostre que A comuta (com respeito à multiplicação de matrizes) com qualquer matriz 2 × 2 ⇔ ∃ a ∈ R tal que A = aI. 46. Determine todas as matrizes que comutam com a b c d , sendo c = 0. 47. Determine todas as matrizes que comutam com a b 0 d . 48. João, que inicialmente tem uma certa quantia em reais, dá a Pedro tantos reais quantos Pedro possui e a José tantos reais quantos José possui. Depois, Pedro dá a José e a João a respectiva quantia em reais que cada um passou a possuir. Em seguida, José faz a mesma coisa com João e Pedro. Se, no final, todos terminam com 16 reais, com quantos reais João começou? 2
  3. 3. 49. Calcule as inversas das seguintes matrizes invertíveis: a) −1 3 0 4 ; b)   −1 4 −5 0 8 2 −3 0 1   ; c)     −3 0 −2 5 0 1 3 5 −4 0 1 0 −1 2 5 8     . 50. Resolva cada sistema linear a seguir calculando a inversa da matriz dos coeficientes (que é invertível) e aplicando a fórmula X = A−1 B. a) x + 2y = −1 −x + 3y = 5 ; b)    2x − y + 5z = 4 7x + z = −1 y + 3z = 0 . 51. Determine a de modo que o sistema    x − 2y + 3z = −4 5x − 6y + 7z = −8 6x − 8y + az = −12 seja indeterminado. 52. Determine a para que o sistema    x + y + z = 0 x + 2y + az = 0 x + 4y + a2 z = 0 só admita a solução trivial. 53. Determine o conjunto solução de cada sistema linear abaixo, em função dos valores do parâmetro a. a) ax + y − 1 = 0 2x + ay − 2 = 0 ; b)    x + y + z = 0 x + 2y + az = 0 x + 4y + a2 z = 0 ; c)    ax + ay + az = 1 ax + y + 2z = −1 ax + z = a . 54. Seja A =   a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33  . Se aii = 0 para todo i, demonstre que A é invertível e que A−1 =   a−1 11 0 0 0 a−1 22 0 0 0 a−1 33  . Generalize para A n × n. 55. Dê exemplo de duas matrizes invertíveis n × n cuja soma não é invertível. 56. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, que ABA−1 n = ABn A−1 para todo inteiro positivo n. 57. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A tem uma linha nula, então A não é invertível. 58. Se A é uma matriz invertível, demonstre que t A é também invertível e que (t A) −1 = t A−1 . 59. Seja A uma matriz simétrica invertível. Demonstre que A−1 é simétrica. 60. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que se A tem inversa à esquerda, então A é invertível. 61. Mostre que a matriz A = a b c d é invertível ⇔ ad − bc = 0. Em caso afirmativo, calcule A−1 . 62. Sejam A, B e X matrizes n × n, em que A é invertível. Expresse X em termos de A e B sabendo que t (XA) = B. 63. Sejam A = 1 2 0 −1 e B = −1 3 2 −6 . Seja X uma matriz tal que t (XA) = B. Determine X. 64. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Dizemos que A é semelhante a B e escrevemos A ∼ B se existe uma matriz invertível P tal que A = P−1 BP. Demonstre as propriedades abaixo, onde A, B e C são matrizes quadradas de mesmo tamanho. (a) A ∼ A; (b) A ∼ B ⇒ B ∼ A; (c) A ∼ B e B ∼ C ⇒ A ∼ C. 65. Demonstre que a única matriz semelhante à matriz nula e a própria. Idem, para a matriz identidade. 66. Demonstre que duas matrizes semelhantes têm o mesmo traço. 67. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Mostre que se AB é invertível, então A e B também o são. 68. Sejam A1, A2, ..., Ar matrizes n × n. Mostre, usando o princípio de indução, que A1, A2, ..., Ar são invertíveis ⇔ o produtório A1 · A2 · · · · · Ar o é. 69. Se A é uma matriz 2 × 1 e B é 1 × 2, mostre que AB não é invertível. 70. Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se é invertível e sua inversa é sua transposta. Mostre que se uma matriz diagonal é também ortogonal, então os termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou −1. 71. Demonstre que se A é ortogonal, então t A é também ortogonal. 72. Demonstre que se A e B são matrizes ortogonais então AB e B−1 AB também o são. 73. Discuta o conjunto solução de cada sistema linear abaixo segundo os valores do parâmetro a. a)    ax + ay + az = 1 ax + y + 2z = −1 ax = a ; b)    ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = −2 . 3
  4. 4. 74. Determine os valores de a e b que tornam o sistema linear abaixo possível e indeterminado.    x + 2y + az = −1 3x + y + z = 4 −2x + 4y − 2z = b 75. Discuta, segundo os valores do parâmetro t, o conjunto solução do sistema linear a seguir, sabendo que a+b+c = 0 e a, b e c são dois a dois distintos.    tx + y + z = a x + ty + z = b x + y + tz = c 76. Sejam A e B matrizes n × n quaisquer. Mostre que se I − AB é invertível, então I − BA também o é e que (I − BA)−1 = I + B(I − AB)−1 A. 77. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A não é invertível, então existe uma matriz B, n × n, não nula, tal que AB = O. 78. Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A não é invertível, então existe uma matriz C, n × n, não nula, tal que CA = O. 79. Sejam A e B, respectivamente, matrizes n × m e m × n. Mostre que se n > m, então AB não é invertível. 80. Sejam A uma matriz triangular estritamente superior n × n, em que n > 1, e 1 ≤ k ≤ n. Demonstre, por indução sobre k, que a potência Ak tem a seguinte propriedade: seu termo de posição (i, j) é igual a zero sempre que j − i ≤ k − 1, isto é, a matriz Ak tem o seguinte aspecto: A parte sombreada é constituída dos termos de posição (i, j) tais que j − i ≥ k. Conclua que An = O. 81. Seja A uma matriz triangular estritamente inferior n × n. Mostre que An = O. 82. Seja A uma matriz n × n. Mostre que A comuta com qualquer matriz n × n ⇔ existe a ∈ R tal que A = aIn. RESPOSTAS OU SUGESTÕES: 1) x = 1; 2) A = 0 1 0 0 e B = 1 0 0 0 ; 3) Mesmo exemplo do exercício anterior; 4) A = 1 0 n 1 ; 5) X = 1 5 (6A + 6B − C); 6) X = −1 4 (A + B) e Y = 1 2 (B − A); 7) a) X = 3 5 A e Y = −6 5 A; b) X = 1 2 (C − B + A), Y = 1 2 (−C + B + A) e Z = 1 2 (C + B − A); 8) X = 0 0 z 0 ou X = x y −x2 y −x com y = 0; 9) X = 1 0 0 1 , X = −1 0 0 −1 , X = √ 1 − yz y z − √ 1 − yz ou X = − √ 1 − yz y z √ 1 − yz com yz ≤ 1; 10) X = 0 0 0 0 , X = 1 0 0 1 , X = 1+ √ 1−4yz 2 y z 1− √ 1−4yz 2 ou X = 1− √ 1−4yz 2 y z 1+ √ 1−4yz 2 com yz ≤ 1 4 ; 11) −1 3 0 4 , 1 −3 0 −4 , 1 9 5 0 4 , −1 −9 5 0 −4 ; 12) X = −7 −2 4 1 1 1 ; 13) a) 1 1 2 5 2 0 0 0 ; b) 1 0 −1 0 0 1 −1 2 0 ; c) 1 0 3 0 1 −1 ; d)   1 0 0 −7 8 0 1 0 −1 4 0 0 1 11 8  ; e)     1 0 14 9 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0    ; f)     1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0    ; 32) Denote: A = (aij) , B = (bjk) , t A = aji e t B = bkj , em que aji = aij e bji = bjk. Faça ainda: t (AB) = (cki) e t B · t A = (dki). Note que cki = Ai · Bk e dki = (t B)k · (t A) i ; 40) Sejam A e B as linhas. Primeiramente, substitua A por A − B, depois substitua B por B + (A − B), etc; 41) a) 2 3 −1 1 x y = 4 5 ; b) −1 0 1 0 1 5   x y z   = 4 0 ; 4
  5. 5. c)   7 2 0 −1 0 3 0 8 4     x y z   =   4 1√ 2  ; d)     3 −1 −1 8 0 −4 1 0     x y =     9 −1 2 0    ; e) 7 4 −1 8 −1 0 8 −7     x y z w     = −1 0 ; 42) a) x 2 −1 + y 3 1 = 4 5 ; b) x −1 0 + y 0 1 + z 1 5 = 4 0 ; c) x   7 −1 0   + y   2 0 8   + z   0 3 4   =   4 1√ 2  ; d) x     3 −1 0 1     + y     −1 8 −4 0     =     9 −1 2 0    ; e) x 7 −1 + y 4 0 + z −1 8 + x 8 −7 = −1 0 ; 43) a) x = −11 5 y = 14 5 ; b)    x = −4 + t y = −5t z = t , t ∈ R; c)    x = 44−3 √ 2 80 y = 12+21 √ 2 160 z = −12− √ 2 80 ; d) o sistema é impossível; e)    x = 8u − 7v y = −1 4 − 55 4 u + 41 4 v z = u w = v , u, v ∈ R; 44) a) w − z z z w , z, w ∈ R; b) 1 2 z + w −1 2 z z w , z, w ∈ R; c)   x 0 0 y x 0 z y x   , x, y, z ∈ R; 46) a−d c z + w b c z z w , z e w livres; 47) Para b = 0 e a = d, a matriz dada comuta com toda matriz. Para b = 0 e a = d, ela comuta só com as matrizes diagonais e, para b = 0, ela comuta com as matrizes que têm a forma a seguir: a−d b y + w y 0 w , y, w ∈ R; 48) 26; 49) a) −1 3/4 0 1/4 ; b)   −1/19 1/38 −6/19 3/76 2/19 −1/76 −3/19 3/38 1/19  ; c)     −2/47 10/47 −9/47 −5/47 −1/47 −183/47 −28/47 115/47 −8/47 40/47 11/47 −20/47 5/47 22/47 −1/47 −11/47    ; 50) a) x = −13 5 y = 4 5 ;b)    x = −2 9 y = −5 3 z = 5 9 ; 51) a = 10; 52) a = 1 e a = 2; 53) a) C.S. = ∅ para a = ± √ 2 e C.S. = 2−a 2−a2 , 2(1−a) 2−a2 para a = ± √ 2; b) C.S. = {((a − 2) t, (1 − a) t, t) ; t ∈ R} para a = 1 ou a = 2 e C.S. = {(0, 0, 0)} para a = 1 e a = 2; c) o sistema tem única solução ⇔ a = 0 e é impossível se a = 0; 55) In e −In; 60) Seja B inversa de A, à esquerda, logo, BA = I. Assim, A é inversa de B, à direita. Use agora o fato de B ser invertível; 61) Separe em dois casos: a = 0 e a = 0, use escalonamento e o fato de que uma matriz é invertível ⇔ é linha-equivalente à matriz identidade. A−1 = 1 ad − bc d −b −c a ; 62) X = t B · A−1 ; 63) X = −1 −4 3 12 ; 67) Para demonstrar que A é invertível, mostre que A tem inversa à direita. Para provar que B é invertível, use B = A−1 (AB); 73) a) o sistema tem única solução ⇔ a = 0 e é impossível se a = 0; b) o sistema é possível determinado ⇔ a = 1 e a = −2 e é impossível para a = 1 ou a = −2; 74) a = −1/7 e b = −46/5; 75) O sistema é possível determinado ⇔ t = 1 e t = −2; para t = 1 o sistema é impossível e é possível indeterminado para t = −2; 76) Faça X = (I − AB) −1 e use o fato de que X − XAB = I = X − ABX; 77) Considere o sistema linear homogêneo AX = O e tome uma solução não trivial deste sistema; 78) Considere t A e use o exercício anterior; 79) Considere o sistema linear homogêneo BX = O, em que O é a matriz coluna m × 1 nula, tome uma solução não trivial do mesmo e note que esta é também solução do sistema (AB) X = O, em que O é a matriz coluna n × 1 nula; 5
  6. 6. 81) Considere t A e use o exercício anterior; 82) Seja A = (aij). Para demonstrar a implicação (⇒), primeiramente, demonstra-se que aij = 0 para i = j. Para isso, fixe i e j distintos, considere a matriz X = (xuv) definida como se segue: xji = 1 e xuv = 0 para u = j ou v = i, e, use o fato de que AX = XA (tomando os termos de posição (i, i)). Para provar que aii = a11, para todo i, fixe um i e defina a matriz X = (xuv) colocando xi1 = 1 e xuv = 0 para u = i ou v = 1 e considere os termos de posição (i, 1) das matrizes AX e XA. 6

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