Aula de Matrizes

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
Prof. Hector Carrion S. Álgebra Linear
Aula 03
Inversão de matrizes

2. Resumo
•Matriz inversa
•Inversa de matriz elementar
•Matriz adjunta
•Inversão de matrizes

3. Inversão de matrizes
•Uma matriz quadrada Anxn admite inversa se existe
uma matriz Bnxn , onde B=A-1 é a inversa de A, tal que:
•Uma matriz inversível é dita também não singular
. A inversa de uma matriz é única (provar).
1AAAAou, -1-1
IBAAB

4. Inversão de matrizes
•Propriedades (A,B,C e D matrizes inversíveis)
•Cada matriz admite uma única inversa
•A.A-1=A-1.A=I
•(A-1)-1=A
•(AT)-1=(A-1)T
•(AB)-1=B-1.A-1
•(ABCD)-1=(BCD)-1A-1
=(CD)-1B-1A-1
=D-1C-1B-1A-1,
verifique que : (ABA-1)3=AB3A-1

5. Inversão de matrizes
•Matriz elementar - Emxn (K), K={R, C,..}
•Matriz obtida com apenas uma operação
elementar a partir da matriz Identidade
100
010
001
I3x3
102
010
001
1EL3 = L3 - 2 L1
E1 é matriz elementar

6. Inversão de matrizes
•As matrizes elementares são inversíveis e sua
Inversas são matrizes elementares.
. Se pode verificar facilmente que
E2 é também elementar e
I E2
-1
121221 EEsejaou,IEEEE
102
010
001
2E
L3 = L3 + 2 L1

7. Inversão de matrizes
Determinação da inversa de uma matriz.
. Caso particular:matriz 2 x 2
• Usando operações elementares e a matriz identidade.
• Matriz adjunta

8. Inversão de matrizes
Determinação da inversa de uma matriz.
. Matrizes A2 x 2
Matriz inversa
Importante: Se det(A) ≠ 0 A é inversível
dc
ba
A
ac
bd
A
A
)det(
11

9. Inversão de matrizes
Aplicação direta:
• A X = B, se det(A) ≠ 0 então
A tem inversa (A-1 existe).
• Então X= A-1 B solução do
Sistema linear anterior
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
2221
1211
aa
aa
A
A
abab
x
A
abab
x
det
det
211112
2
122221
1
21
11
b
b
B
2
1
x
x
X

10. Inversão de matrizes
Teorema: Seja Anxn a matriz de coeficientes do sistema
de equações lineares A X=B, B1xn é matriz coluna. O sistema
tem solução única se A é inversível, e a solução é
X=A-1B.
Exemplo: Seja o sistema linear não homogêneo.
det(A) ≠ 0, então X= A-1 B é solução do
sistema linear anterior : {x1=7/5; x2=-3/5} (solução
única).
132
2
21
21
xx
xx
32
11
A
1
2
B

11. Inversão de matrizes
I) Inversão de matrizes (método de Gauss)
•Uso da identidade
Teorema: Anxn é inversível se e somente se for
linha equivalente à matriz identidade
•Operações elementares
•Caso não haja a equivalência, a matriz não
admite inversa
1
~ AIIA

12. Inversão de matrizes
•Inversão de matrizes
•Uso da identidade
Exemplo
521
301
210
A

13. Inversão de matrizes
•Inversão de matrizes
•Uso da identidade
Exemplo
100521
010301
001210
IA

14. Inversão de matrizes
100521
010301
001210
IA
L3=L3+L2
110820
010301
001210
~IA
L3=L3-2L1
112400
010301
001210
~IA

15. Inversão de matrizes
L3=L3/4
Troca L1 com L2
L2=L2-2L3
4
1
4
1
2
1100
010301
001210
~IA
4
1
4
1
2
1100
001210
010301
~IA
4
1
4
1
2
1100
2
1
2
12010
010301
~IA

16. Inversão de matrizes
L1=L1-3L3
I A-1
1
~ AIIA
4
1
4
1
2
1100
2
1
2
12010
4
3
4
1
2
3001
~IA

17. Inversão de matrizes
II) Inversão de matrizes : usando matriz adjunta
•Matriz de Cofatores
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C




21
22221
11211
ij
ijij
ij
aelementoaorelativoarcomplement
menorditoéM),
~
det(M
)1()
~
det()1(c
ij
ij
ji
ij
ji
A
MA

18. Inversão de matrizes
•Matriz adjunta
•É a transposta da matriz de Cofatores
T
CAAdj )(
521
301
210
A
Determine a matriz adjunta de A

19. Inversão de matrizes
•Inversão de matrizes
•A inversa de uma matriz quadrada A de orden n é:
•A matriz A admite inversa (inversível) se, somente
se, det(A) não é nulo.
Logo
• Se det(A)=0 então a matriz A não admite inversa
)(
)det(
11
Aadj
A
A

20. Inversão de matrizes
•Inversão de matrizes
•Uso da matriz adjunta
Exemplo
521
301
210
A

21. Inversão de matrizes
•Matriz dos cofatores
•Matriz Adjunta
123
121
286
C
112
228
316
)(Aadj

22. Inversão de matrizes
•Determinante
•Matriz inversa
4)det(A
112
228
316
4
11
A
)(
)det(
11
Aadj
A
A
4
1
4
1
2
1
2
1
2
12
4
3
4
1
2
3
1
A

23. Inversão de matrizes
Se A é uma matriz de ordem n × n, então as
seguintes afirmativas são equivalentes
a) det(A) ≠ 0
b) A é inversivel
c) Ax = b tem uma solução única, b = [bi]1xn.
d) Ax = 0 tem somente a solução trivial.
e) A é linha equivalente à identidade In
f) A pode ser escrita como produto de matrizes
elementares.

24. Inversão de matrizes
•Exercício 1.- Calcule det(A-1), existe a inversa de A.
•Exercício 2.-Resolva a equação C-1(A+X)B-1=I para X,
considere A, B inversíveis.
•Exercício 3.-Dada a matriz A, construa a matriz
elementar E a partir da matriz identidade, somando -3
vezes a linha 2 da I4x4 . Calcule B= EA, qual é a operação
elementar para passar de A a B ?.
Determine uma matriz F tal que
FE=I (identidade). 123
012
001
A

25. Inversão de matrizes
•Exercício 4.- Calcule a inversa de A AT, A-1 existe.
•Exercicio 5.- Demonstre I+X+X2+...Xn = (Xn+1 - I)(X-I)-1 ,
sendo que I é matriz identidade e (X-I) tem inversa.
•Exercício 6.-Dada a matriz B, Determine inversa de B
•Exercício 7.- Dado A, determine A-2
)cos()sin(0
)sin()cos(0
001
B
41
12
A

26. Inversão de matrizes
•Exercício 8.- demonstre que se A é inversível então
A X=0, tem somente a solução trivial.
•Exercicio 9.- Seja A simétrica é inversível,então A-1
é simétrica..
•Exercício 10.-Mostre que a matriz A não é inversível
R,,a,,)(cos)(cos)(cos
)(sin)(sin)(sin
A 222
222
aaa

27. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
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