Mat regra de tres composta

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Mat regra de tres composta

  1. 1. Regra de Três CompostaUma regra de três é composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretamente ouinversamente proporcionais.Antes de mais nada, lembremos que :I - Se uma grandeza X é diretamente proporcional a duas ou mais grandezas A, B, C, D, ... ela será diretamenteproporcional aoproduto das medidas dessas grandezas A, B, C, D, ...II - Se uma grandeza X é diretamente proporcional a A, B, C, ... e inversamente proporcional a M, N, P, ..., elaserá diretamenteproporcional ao produto das medidas de A, B, C, ... pelo produto dos inversos das medidas de M, N, P, ... .Vamos aprender, com exemplos, e utilizando as propriedades acima descritas, como resolver Regras de TrêsCompostas.Exemplo 1 - Para pintar um muro de 12 metros de comprimento e 3 metros de altura são gastos 4 baldes detinta. Quantos baldesde tinta serão necessários para pintar um muro de 18 metros de comprimento e 5 metros de altura ?Iniciemos isolando a grandeza que contém o termo desconhecido e ordenemos as demais grandezas. Tinta Comprimento Altura 4 baldes 12 metros 3 metros x baldes 18 metros 5 metrosVerifiquemos se a grandeza do termo desconhecido é diretamente ou inversamente proporcional às demaisgrandezasproporcionais, e o faremos, sempre levando em conta que a grandeza não envolvida é constante.I - As grandezas quantidade de tinta e comprimento do muro são diretamente proporcionais, já que, quantomaior for ocomprimento do muro mais tinta será gasto para pintá-lo.II - As grandezas quantidade de tinta e altura do muro são diretamente proporcionais, já que, quanto maior fora alturado muro mais tinta será gasto para pintá-lo.III - Como ambas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza quantidade de tinta, esta serádiretamenteproporcional ao produto das duas outras grandezas. Assim, teremos :Exemplo 2 - Para se alimentar 18 porcos por um período de 20 dias são necessários 360 kg de farelo demilho.Quantos porcos podem ser alimentados com 500 kg de farelo durante 24 dias ?Iniciemos isolando a grandeza que contém o termo desconhecido e ordenemos as demais grandezas. Porcos Tempo Quantidade 18 porcos 20 dias 360 kg
  2. 2. x porcos 24 dias 480 kgVerifiquemos se a grandeza do termo desconhecido é diretamente ou inversamente proporcional às demaisgrandezasproporcionais, e o faremos, sempre levando em conta que a grandeza não envolvida é constante.I - As grandezas quantidade de porcos e tempo são inversamente proporcionais, já que, quanto mais porcoscomeremmenos tempo durará o estoque de farelo de milho.II - As grandezas quantidade de porcos e quantidade de farelo são diretamente proporcionais, já que, quantomais porcos,mais farelo será necessário para alimentá-los.III - Como a grandeza quantidade de farelo é diretamente proporcional e a grandeza tempo é inversamenteproporcional àgrandeza quantidade de porcos, esta será diretamente proporcional ao produto das medidas quantidade defarelo e o inverso damedida que exprime o tempo. Assim, teremos :Exemplo 3 - 10 operários trabalhando 8 horas por dia executam um certo trabalho em 12 dias. Em quantosdias 16operários, trabalhando 6 horas por dia, executarão o mesmo trabalho ?Iniciemos isolando a grandeza que contém o termo desconhecido e ordenemos as demais grandezas. Tempo ( dias ) Operários Tempo ( horas ) 12 dias 10 operários 8 horas x dias 16 operários 6 horasVerifiquemos se a grandeza do termo desconhecido é diretamente ou inversamente proporcional às demaisgrandezasproporcionais, e o faremos, sempre levando em conta que a grandeza não envolvida é constante.I - As grandezas tempo ( dias ) e número de operários são inversamente proporcionais, já que, quanto maisdias de trabalhomenos operários serão necessários.I - As grandezas tempo ( dias ) e tempo ( horas ) são inversamente proporcionais, já que, quanto mais dias detrabalho menoshoras diárias de trabalho serão necessários.III - Como a grandeza tempo em dias é inversamente proporcional à grandeza tempo em horas e inversamenteproporcional àgrandeza número de operários, esta será diretamente proporcional ao produto entre os inversos das medidastempo em horas enúmero de operários. Assim, teremos :
  3. 3. Regra de Três Composta - Método PráticoVamos aprender uma forma, ainda mais prática, para resolvermos problemas de Regra de Três CompostaExemplo 4 - 5 carros de um mesmo modelo consomem 200 litros de álcool em 6 dias, percorrendo uma certaquilometragempor dia. Em quantos dias, 12 carros desse mesmo modelo, percorrendo a mesma quilometragem por dia,consumirão 800 litrosde álcool?Esse é um problema de regra de três composta, montemos a tabela das grandezas, mantendo a grandezaincógnita na primeiracoluna, e indiquemos abaixo de cada coluna se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: Quant. de Álcool Quant. de Tempo ( dias ) ( litros ) Carros 6 dias 200 litros 5 carros x dias 800 litros 12 carros Diretamente InversamenteAnalisando cada grandeza com a "grandeza incógnita, considerando constante os dados das demais, teremos:1 - As grandezas quantidade de combustível ( álcool ) e o tempo são diretamente proporcionais, já que oaumento na quantidade dedias acarretará no aumento da quantidade de litros de álcool consumido.2 - As grandezas tempo e quantidade de carros são inversamente proporcionais, já que o aumento naquantidade de carros,mantendo-se a quantidade de combustível constante, acarretará na diminuição na quantidade de dias.E dessa forma, invertendo-se os valores da grandeza inversa, teremos :Exemplo 5 - Um fazendeiro contratou 30 homens que trabalhando 6 horas por dia, em 12 dias prepararam umterreno de 2.500m2.Se tivesse contratado 20 homens para trabalhar 9 horas por dia, qual a área do terreno que ficaria pronto em15 dias ?Esse é um problema de regra de três composta, montemos a tabela das grandezas, mantendo a "grandezaincógnita" na primeiracoluna : Área ( m2 ) Quant. de Jornada ( horas) Tempo ( dias )
  4. 4. Homens 2 2.500 m 30 homens 6 horas 12 dias xm2 20 homens 9 horas 15 dias Diretamente Diretamente DiretamenteAnalisando cada grandeza com a "grandeza incógnita", considerando constante os dados das demais,teremos :1 - As grandezas área e quantidade de homens são diretamente proporcionais, já que diminuindo-se aquantidade de homens, a áreapreparada diminuirá .2 - As grandezas área e jornada de trabalho são diretamente proporcionais, já que aumentando-se a jornadadiária de trabalho maisárea poderá ser preparada.3 - As grandezas área e tempo são diretamente proporcionais, já que quanto maior for o tempo maior será aárea preparada.E dessa forma, teremos :Exemplo 6 - ( FAAP - SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionarcinqüenta mil folhetos.A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas pordia. O diretor precisoufazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada.Para atender opedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 diasEsse é um problema de regra de três composta, montemos a tabela das grandezas, mantendo a "grandezaincógnita" na primeiracoluna : Quant. de Quant. de Jornada ( horas Tempo ( dias ) Folhetos Máquinas ) 5 dias 50.000 folhetos 2 máquinas 8 horas x dias 60.000 folhetos 1 máquina 12 horas Diretamente Inversamente InversamenteAnalisando cada grandeza com a "grandeza incógnita, considerando constante os dados das demais, teremos:1 - As grandezas tempo e quantidade de folhetos são diretamente proporcionais, já que aumentando-se aquantidade defolhetos, aumentará o tempo de execução .2 - As grandezas tempo e Quantidade de Máquinas são inversamente proporcionais, já que diminuindo-se aquantidade demáquinas maior será tempo para produzir os folhetos.3 - As grandezas jornada de trabalho e tempo são inversamente proporcionais, já que quanto maior for onúmero de horastrabalhadas por dia menor será a quantidade de dias para confeccionar os folhetos.
  5. 5. E dessa forma, invertendo-se os valores das grandezas inversas, teremos : Exercícios Propostos01) 20.000 caixas de um mesmo tipo foram embaladas por 20 máquinas, em 5 dias, funcionando um certonúmero de horas por dia.Quantas caixas do mesmo tipo serão embaladas por 8 máquinas, em 12 dias, funcionando no mesmo ritmodas outras?02) 3 caminhões, com a mesma capacidade de transporte, transportam 180 caixas do mesmo tipo em 5 dias,trabalhando um períodopor dia. Quantas caixas desse tipo serão transportadas por 5 caminhões, como os primeiros, em 8 dias,trabalhando no mesmo ritmo?03) Na alimentação de 3 cavalos durante 7 dias consumiram-se 1.470 kg de alfafa. Para alimentar 8 cavalosdurante 10 dias, quantosquilos são necessários?04) Um bloco de mármore de 3 m de comprimento, 1,5 m de largura e 60 cm de espessura pesa 4.350 kg.Quanto pesará um outrobloco do mesmo mármore com 2,2 m de comprimento, 1,2 m de largura e 75 cm de espessura?05) 5 carros de um mesmo modelo consomem 200 litros de álcool em 6 dias, percorrendo uma certaquilometragem por dia. Emquantos dias, 12 carros desse mesmo modelo, percorrendo a mesma quilometragem por dia, consumirão 800litros de álcool?06) 5 máquinas asfaltam 500 km em 24 dias, trabalhando um certo número de horas por dia. Em quantos dias,4 máquinas desse tipoasfaltarão 750 km, trabalhando no mesmo ritmo das primeiras.07) Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas diariamente. Quanto tempo levarãopara arar esse mesmocampo 12 homens trabalhando diariamente 4 horas menos ?08) 3 faxineiros levam 8 dias para limpar um prédio, trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por diadeverão trabalhar 4faxineiros, com o mesmo ritmo de trabalho que os anteriores, para limparem o prédio em 10 dias ?09) Uma certa quantidade de ração é consumida por 6 cavalos, em 10 dias, sendo que cada cavalo consome12 kg de ração por dia.Num período de racionamento a mesma quantidade deverá ser consumida por 8 cavalos em 15 dias. Quantosquilogramas cadacavalo poderá consumir por dia?10) 3 torneiras iguais enchem um tanque de 5.000 litros de capacidade, em 10 h. Fechando uma das torneiras,em quanto tempo asoutras despejarão 3.000 litros nesse tanque ?11) 4 trabalhadores colhem 200 caixas, iguais, de laranjas, em 5 dias, trabalhando num certo ritmo. Quantascaixas de laranjas,iguais a essas, serão colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita ?
  6. 6. 12) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma velocidade de 75 km por hora,viajando-se 6 h por dia.Viajando a 80 km por hora durante 5 h por dia, em quantos dias iríamos de uma cidade à outra ?13) Em 50 dias uma escola usou 6.000 folhas de papel para imprimir provas do tipo A e do tipo B, para 1.200alunos. A escola tem1.150 alunos, no momento. Quantas folhas serão usadas durante 20 dias, para imprimir dois tipos de provassemelhantes àsanteriores ?14) Uma máquina tem duas rodas dentadas: uma grande e outra pequena, encaixadas uma na. outra. A rodamaior tem 30 dentese a menor tem 20. A roda maior dá 12 voltas em 2 min. Quantas voltas dá a roda menor em 5 min ?15) Quantos dias, gastarão 40 homens para preparar 10 km de uma estrada, se 24 homens preparam 15 km em90 dias?16) Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários e produzem em 8 horas de serviço 120 pares de calçados.Desejando ampliaras instalações para produzir 300 pares por dia, quantos operários são necessários para assegurar essaprodução com 10 horas detrabalho diário ?17) Dois cavalos cujos valores são apreciados como diretamente proporcionais às suas forças e inversamenteproporcionais às suasidades, têm: o primeiro 5 anos e 4 meses e o segundo, 3 anos e· 8 meses. A força do primeiro está para a dosegundo como2 está para 5. Calcular o preço do primeiro, sabendo-se que o segundo foi vendido por R$ 1.280,00.18) Um fazendeiro contratou 30 homens que trabalhando 6 horas por dia, em 12 dias prepararam um terrenode 2.500m2. Se tivessecontratado 20 homens para trabalhar 9 horas por dia, qual a área do terreno que ficaria pronto em 15 dias ?19) Um trabalho é executado em 16 dias por 18 operários que trabalham 10 horas por dia. Em quantos dias 24operários trabalhando12 horas por dia, poderiam fazer o mesmo serviço ?20) 36 operários, trabalhando 10 dias de 8 horas, fazem 60.000 m de certo tecido. Quantos dias de 6 horasserão necessários a 40operários para que sejam feitos 70.000 m do mesmo tecido ?21) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer um poço de 100 m, num terreno cuja dificuldade éexpressa por 4. Quantos diasde 6 horas levaria este operário para cavar um poço de 200 m, num terreno cuja dificuldade é expressa por 3 ?22) Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários, que trabalham 7 horas por dia. Emquantos dias se poderáterminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operários e que se trabalham agora 1 horas a menospor dia ?23) ( SANTA CASA - SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4toneladas de certo produto.Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas pordia, durante 6 dias ?(A) 8 (B) 15 (C) 10,5 (D) 13,524) ( FAAP - SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta milfolhetos. A gráfica
  7. 7. realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. Odiretor precisoufazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada.Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :(A) 5 dias (B) 8 dias (C) 10 dias (D) 12 dias25) ( CEFET - 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Seforem vendidos 10 cavalose a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:(A) 3 meses (B) 4 meses (C) 45 dias (D) 2 meses26) ( Colégio Naval - 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante Khoras por dia, produzemK litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, emW dias e em W mesesdo ano será :

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