proporcinalidade

1. Grandezas
Proporcionais
Professor João Gilberto

2. Grandezas Proporcionais
1) A proporcionalidade entre grandezas
Vimos anteriormente que grandeza é tudo aquilo que pode
ser medido, quantificado. Desta maneira, temos como
exemplo de grandezas a temperatura, o comprimento, o
consumo, a massa, o tempo e etc.
As grandezas podem ser classificadas de duas formas:
1) Grandezas diretamente proporcionais
2) Grandezas inversamente proporcionais
Então, a partir de agora, vamos analisar estes dois casos através de
alguns exemplos.

3. Grandezas Proporcionais
1) A proporcionalidade entre grandezas
Exemplo 1:
Para fazer uma torta de morango, uma doceria utiliza 0,5 gramas de
farinha de trigo.
Número de
tortas
1 2 3 4 5
Quantidade
de farinha de
trigo
0,5 1 1,5 2,0 2,5

4. Grandezas Proporcionais
1) A proporcionalidade entre grandezas
Quando duplicamos o número de tortas, a quantidade de farinha de
trigo também duplica.
Número de
tortas
1 2 3 4 5
Quantidade
de farinha de
trigo
0,5 1 1,5 2,0 2,5
Quando triplicamos o número de tortas, a quantidade de farinha de
trigo também triplica, e assim por diante.
Neste caso, dizemos que as grandezas número de tortas e
quantidade de farinha de trigo têm uma relação de
proporcionalidade direta, ou seja, são grandezas diretamente
proporcionais.

5. Grandezas Proporcionais
1) A proporcionalidade entre grandezas
Exemplo 2:
Número de
funcionários
1 2 3 4
Tempo (em
horas)
6 3 2 1,5
Observe na tabela a seguir, a relação que há entre o número de tortas e a
quantidade de farinha de trigo utilizada.
Suponhamos que nessa mesma doceria, 1 funcionário faça uma certa
quantidade de tortas em 6 horas. Devido a proximidade do natal, o proprietário
dessa doceria resolveu fabricar essa mesma quantidade de tortas num tempo
menor. Para isso, foi aumentando a quantidade de funcionários, de mesma
produtividade e trabalhando nas mesmas condições.

6. Grandezas Proporcionais
1) A proporcionalidade entre grandezas
Quando duplicamos o número de funcionários, o número de horas fica
reduzido pela metade.
Quando triplicamos o número de funcionários, o número de horas fica
reduzido à terça parte, e assim, por diante.
Neste caso, dizemos que as grandezas número de funcionários e
tempo têm uma relação de proporcionalidade inversa, ou seja, são
grandezas inversamente proporcionais.
Número de
funcionários
1 2 3 4
Tempo (em
horas)
6 3 2 1,5

7. Grandezas Proporcionais
2) Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão
entre os valores da primeira é igual a razão entre os valores
correspondentes da segunda.
Exemplo 3:
Mariana pesquisou sobre a produção de uma usina de açúcar e anotou
o número de sacos de açúcar produzidos, no decorrer de cindo dias,
montando a seguinte tabela:
Período de produção (em
dias)
Produção de açúcar (em
número de sacos)
1 5000
2 10000
3 15000
4 20000
5 25000

8. Grandezas Proporcionais
2) Grandezas diretamente proporcionais
Observe que as razões entre os números da primeira coluna e os
correspondentes da segunda coluna são iguais.
Período de produção (em
dias)
Produção de açúcar (em
número de sacos)
1 5000
2 10000
3 15000
4 20000
5 25000
1 2 3 4 5
5000 10000 15000 20000 25000
   
Todas as frações são redutíveis a uma mesma fração que é .
1
5000

9. Grandezas Proporcionais
2) Grandezas diretamente proporcionais
Dizemos então que:
Período de produção (em
dias)
Produção de açúcar (em
número de sacos)
1 5000
2 10000
3 15000
4 20000
5 25000
O número , que é a razão entre dois termos correspondentes em cada
coluna da tabela, é chamado de fator de proporcionalidade.
1
5000
os números 1, 2, 3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números 5000,
10000, 15000, 20000 e 25000.

10. Grandezas Proporcionais
3) Grandezas inversamente proporcionais
Razões inversas:
Consideremos as razões e . Repare que o produto dessas duas
razões é igual a 1, pois:
3
4
4
3
3 4
1
4 3
 
Em situações semelhantes a esta, dizemos que as razões são
inversas.

11. Grandezas Proporcionais
3) Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão
entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os
valores correspondentes da segunda.
Exemplo 4:
Durante alguns dias, Cláudio anotou a velocidade média atingida pelo
automóvel dele e o tempo gasto (em horas) para percorrer um
determinado trajeto, obtendo a seguinte tabela:
Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)
30 12
60 6
90 4
120 3

12. Grandezas Proporcionais
3) Grandezas inversamente proporcionais
Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)
30 12
60 6
90 4
120 3
Quando duplicamos a velocidade do automóvel, o número de horas
fica reduzido pela metade.
Quando triplicamos a velocidade do automóvel, o número de horas fica
reduzido à terça parte, e assim, por diante.
Por isso, as grandezas velocidade e tempo são ditas inversamente
proporcionais.

13. Grandezas Proporcionais
3) Grandezas inversamente proporcionais
Observe que as razões entre os números da primeira coluna e os
inversos dos números correspondentes na segunda coluna são iguais,
ou seja:
Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)
30 12
60 6
90 4
120 3
30
30 12 360
1
12
  
90
90 4 360
1
4
  
60
60 6 360
1
6
  
120
120 3 360
1
3
  

14. Grandezas Proporcionais
3) Grandezas inversamente proporcionais
Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)
30 12
60 6
90 4
120 3
Dizemos então que:
2) o número 360, que é o produto entre os números da primeira e os
correspondentes da segunda coluna da tabela, é chamado de fator de
proporcionalidade.
1) os números 30, 60, 90 e 120 são inversamente proporcionais aos números 12,
6, 4, e 3.