Ensino de matemática significativo

WAGNER SINDICI SEBASTIÃO
"CONHECER PARA ENSINAR - ENSINANDO PARA CONHECER"
PONTA GROSSA
2001
Ir
~~--------~---------------------------------------------------- ~d

Monografia apresentada para fins de
obtenção do título de Especialista no
curso Matemática - Dimensões Teérico-
Metodológicas, Setor de Ciências
Humanas, Letras e Artes da
Universidade Estadual de Ponta Grossa.
Orientador: Prof. Dr. Ademír José
Rosso.
PONTA GROSSA
2001
2

TERMO DE APROVAÇÃO
Monografia apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Especialista
no Curso de Pós-Graduação - Lato-Sensu em Matemática - Dimensões Teórico-
Metodológicas da Universidade Estadual de Ponta Grossa, pela comissão formada
pelos professores:
Orientador: Prof. Dr. Ademir José Rosso
Setor de Ciências Humanas, Letras e Artes, UEPG.
Prof'. Ms. Marlene Perez
Setor de Ciências Humanas, Letras e Artes, UEPG.
Prof. Mestrando. João Luiz Domingues Ribas
Setor de Ciências Humanas, Letras e Artes; UEPG.
r
Ponta Grossa, _ de outubro de 2001.
3
r

DEDICATÓRIA
À memória de dois grandes amigos e professores que, me
ensinaram que a matemática é mais que simplesmente saber
efetuar cálculos e que ser professor é mais que ser transmissor de
conteúdos, a vocês, professores Odilon Piekarski e Rubens
Edgard Fürstenberger.
4
('

AGRADECIMENTOS
Às pessoas que sempre estão ao meu: lado, minha esposa Maura, meu
filho Matheus, minha mãe Olga, meu amigo e mestre João Luiz, meu orientador,
Ademir, pela contribuição, incentivo e paciência que teve, e, principalmente, a todos
meus professores, que para mim, desde minha primeira "tia", foram todos maiores que
a vida.
A todos, meu sincero obrigado.
5

/
RESUMO
Trata-se de um estudo de caso relatado pelo próprio autor numa pesquisação
com os alunos do CEEBJAlUEPG (CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO
BÁSICA DE JOVE S E ADULTOS "UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PO TA
GROSSA"), durante o ano letivo de 2000. Na monografia procura-se responder a
questão, "como aliar as teorias educaci ais com os conteúdos específicos de nossas 12/g~ fo
disciplinas?", Sua resposta aponta nesta possibilidade pela via, tanto do conteúdo yvú1
~ quanto de como ocorre a aquisição do conhecimento por um indivíduo. O Vir·
trabalho propõe o desafio de refletir a práxis educativa, a partir da tentativa de
incorporar, em seu todo, meios pelos quais o indivíduo possa relacionar o que está
aprendendo com o mundo que o cerca. As atividades propostas se deram através de
uma pesquisa em diversos livros, revistas e na própria prática educativa do autor,
sendo apresentadas aos alunos na forma de problemas que deveriam causar
desequilíbrio no aluno, buscar organizadores prévios na estrutura cognitiva dos alunos,
apoiar-se em seus subsunçores e tomar-se significativa. Outra característica do
trabalho está na forma de o professor-pesquisador se colocar diante da turma, cônscio
de os alunos serem adultos, frutos de uma política educacional tecnicista (questão
abordada no trabalho), carentes e com baixa auto-estima. Frente a isso o professor-
pesquisador trabalhou seu relacionamento com a turma pautando-se na teoria da
Inteligência Emocional. Como resposta dos alunos a essa condução metodológica esta
o prazer por eles experimentado, de conhecer o fazer matemática.
Palavras-chave: Formação de Professores, Ensino de Matemática,
Conhecimento, Ensino.
r 6

INTRODUÇÃO 8
1. A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 12
2. A TEORIA DA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 15
2.1. CONHECIMENTO CIENTÍFICO .............••••..........••••........•..••......•..••••.•..•.•••18
2.2 CONHECIMENTO LÓGICO-MA TEMÁ TICO .•.......•....•....••.•..•.•..••.•••...•...•..22
3. APRENDENDO PARA ENSINAR E ENSINAR APRENDENDO 25
3.1 JEAN PIAGET E AS POS§IBILIDADES DA CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO M.ATEM.A TICO 26
3.1.1 A Teoria de Epistemologia Genética de Piaget 26
3.2 Como Piaget pode ajudar no Ensino de Matemática do Ensino Médio 28
4. APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA 29
4.1 DAVID AUSUBEL 29
r
5. A PRÁTICA - APLICAÇÕES DAS IDÉIAS 31
5.1 PROCESSO DE CRIAçÃO 31
5.2- O TRABALHO 46
5.3 A ACEITAÇAO 47
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS 52
7. BIBLIOGRAFIA 55
ANEXO I 58
ANEXO 11 59
ANEXO III 61
ANEXO IV 63
7

INTRODUÇÃO
Ao longo das últimas décadas, percebemos uma profunda incerteza gerada
nos meios educativos sobre "o que" e "como ensinar", temos substituídas palavras
como "objetivos de ensino" por "competências e habilidades a desenvolver" (PCN's:
Ensino Médio, 1999), trocamos um ensino elitizado voltado a poucas pessoas e de
fundamentação religiosa (ARANHA, 1989, p. 250) por uma rede pública que pretende
oportunizar o ensino a todos os cidadãos. Assim a escola pública mudou muito, deixou
de fornecer educação a apenas uma pequena parcela da sociedade que se beneficiava
de um ensino de qualidade e de poucas vagas, pois número de escolas e de professores
da rede pública era pequeno (se comparado com o número atual), conseqüentemente
não só o salário do professor era melhor, como também eram melhores as condições
de trabalho de uma forma geral.
Entretanto, esse quadro, aparentemente maravilhoso e defendido com
saudosismo pelos professores mais experientes, tinha suas falhas, e como as tinha! A
exclusão escolar era enorme, o modelo educacional adotado no Brasil até a década de
80, pode-se dizer que era (era? ou será que ainda é?) extremamente tradicional -
entendendo Ensino Tradicional como uma abordagem educativa baseada na prática e
em sua transmissão através dos anos, não fundamentada em teorias empiricamente
validadas, acreditava-se que o aluno, nessa tendência, era um receptor passivo e que
deveria ser apto a apenas repetir os dados nele armazenados em momento oportuno
(MIZUKAMI, 1986, p. 7).
Esse modelo educativo serve extremamente bem para a manutenção da
sociedade da forma como ela está. Porém com o aceleramento do processo industrial
no Brasil, a partir dos anos 50, houve a necessidade de termos mão de obra qualificada
para as industrias - devemos nos recordar que em 1956 Juscelino Kubitschek de
Oliveira assumiu a presidência do Brasil prometendo "cinqüenta anos de progresso em
cinco" (FERRElRA, 1986, p. 341) e para que isso fosse alcançado era necessária uma
mão de obra mais qualificada que a que se tinha até então. Assim, na década de 60
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tivemos diversas reformas de ensino no Brasil, em 20 de dezembro de 1961 é aprovada
pelo Congresso Nacional a lei de diretrizes e Bases da Educação Nacional, n° 4.024,
que estabelece as bases da educação em nosso país após um amplo debate que teve
início em 1948 e contou com a participação da sociedade brasileira. Porém, as leis
5.540/68 sobre o ensino universitário e a 5.692/71 sobre o ensino fundamental, foram
impostas "autoritariamente pelos militares e tecnocratas que imprimem à educação
uma tendência fortemente tecnicista" (ARANHA, 1989, p. 254).
Essas duas leis foram frutos dos acordos sigilosos feitos após.o golpe militar
de 1964 e que só vieram a público em 1966 visavam uma reforma educacional dentro
de uma: "..concepção taylorista típica da mentalidade empresarial tecnocrática. Daí o
planejamento e organização racional do trabalho pedagógico, a operacionalização dos
objetivos, o parcelamento do trabalho com a especialização das funções e a
burocratização, tudo isso visando melhor eficiência e produtividade" (ARANHA,
1989, p. 254).
Acordos, como o MEC-USAID (Ministério da Educação e Cultura e United
States Agency for International Development), promoveram uma:
...a pretensa profissionalização redunda em formação de mão-de-obra barata de meros
executantes - e não pesquisadores -, mantendo nossa dependência em relação aos países
desenvolvidos; a introdução das disciplinas sobre civismo significa imposição da ideologia
da ditadura, reforçada pela extinção da filosofia e diminuição da carga horária de história e
geografia; a relação escola - comunidade reduz-se à interferência da empresa na escola,
visando à captação de mão-de-obra, assim como a influência, na estrutura Esco lar, do
modelo da estrutura organizacional das empresas burocratizadas e hierarquizadas
(ARANHA, 1989, p. 255).
Esses acordos impuseram ao Estado a responsabilidade de produzir
"técnicos" em grande quantidade, implicando em se ter maior número de pessoas
escolarizadas, conseqüentemente houve o aumento da demanda de escolas aumentando
também a demanda de professores fazendo com que se multiplicasse os cursos de
licenciaturas em todo .0 país, tendo que formar muitos e muito rápido, as
conseqüências desse processo nós conhecemos bem.
Porém, em nenhum momento desse processo discutiu-se como se dá o
9

crítica da estruturação dos Estados e firmação do modelo econômico capitalista, onde
os monarcas passaram a ter diminuído os seus poderes absolutos, poderes estes de vida
e de morte sobre o povo com julgamento dentro de seus interesses pessoais em virtude
do crescimento das noções de Estado de direito, as necessidades prementes, então,
eram as de pessoas habilitadas e capacitadas a discutir, argumentar, convencer, ou seja
com grande habilidade retórica. Como podemos vislumbrar, essas características nos
conduzem à formação calcada nas "Humanidades" com sua expressão máxima na
figura do advogado, do legislador que viria a estabelecer parâmetros incontestáveis,
sobre "o seguir a lei" e "o infringir a lei" (FOUCAULT, 1997).
A escola, então em fase de estruturação dentro de como a conhecemos hoje,
seguindo o lema do positivismo (paradigma filosófico norteador do pensamento do
fmal do séc. XIX) onde se acreditava que o indivíduo "tem que se adequar ao que a
sociedade espera dele" (ou seja, "um lugar para cada coisa e cada coisa em seu lugar"
ou ainda "ordem e progresso" - como é o lema da nossa bandeira), passou a preparar
os filhos da classe ascendente, na época a burguesa, para assumirem seus papéis
sociais de legisladores e governantes (em substituição aos monarcas, que estavam
sendo mundialmente depostos, e seu regime de governo, a Monarquia, substituído pelo
novo sistema República). Os países que insistiram em manter suas monarquias
passaram por profunda reestruturação política, onde a figura do rei passou a ser apenas
a de chefe de Estado, sem ou com pouquíssimos poderes políticos reais, passando de
figuras centrais com plenos poderes a meros figurantes com poderes limitados. Logo, a
burguesia percebeu a importância que a escola teria, para ela, nessa nova ordem
política que se afigurava e tratou logo de consolidar, a escola, como agente de efeito
prolongado para as suas transformações sociais e estratificação de sua classe no poder
(ARANHA, 1989).
Porém este quadro de mudanças políticas não é a única transformação pela
qual passou a sociedade ocidental entre os séc. XVI ao XIX. Devemos nos lembrar do
quadro histórico como um todo, a começar pelas características comerciais que
levaram a burguesia ao poder. A Europa do séc. XVI tinha recém aprendido o caminho
11

maritimo para a Índia, deslocando o centro do comércio do Mediterrâneo para o
Atlântico, o mercantilismo era o modelo econômico vigente e Martinho Lutero tinha
questionado seriamente os dogmas religiosos, e, por conseguinte abriu novas
possibilidades de ver o mundo além das visões bíblica e Aristotélica, aceitas' pela
igreja católica. A Europa acabava de sair da idade média, e estava sob a efervescência
do pensamento iluminista advinda do renas cimento científico, artístico e cultural.
Onde o Homem voltou a buscar explicações sobre os fenômenos que ocorriam a sua
volta, sem ser "foi Deus que quis" isto mais as interações que os Europeus haviam tido
com os Árabes durante as cruzadas e a própria invasão árabe em território europeu,
mais o renascimento e a reforma protestante, favoreceram a busca dessas explicações
impondo um ambiente para a reflexão (FAZOLI FILHO, 1977).
Esta reflexão nos leva a pensar em como o Homem constrói o seu
conhecimento e de que forma ele pode colaborar para que outras pessoas de seu grupo
cultural também construam o seu. Logo o que se nos im õe é a uestão ,eB~a?
construção do conhecimento, e, por conseguinte como unir ~ produção dele com_o
como fazer para que ~ indivíduo construa seu.próprio conhecimento.
1. A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
"É a ação do sujeito que constrói este novo e
fascinante mundo: o conhecimento como forma e
como conteúdo" (Fernando Becker).
Quando a alguém é delegada a função de se ensinar algo, supomos que essa
pessoa conhece aquilo que vai ensinar e mais, pressupõe-se que aquele que este sabe o
que deve fazer para que o outro aprenda. Este tema tem sido estudado, discutido e
debatido por muitos estudiosos durante a história da humanidade. Porém o que é
conhecimento? Como podemos defini-los? Existem muitas colocações que tentam
definir o que é conhecimento, porém a nosso ver, a de mais fácil compreensão é a de
12

Maria Lúcia A. Aranha que diz: "O conhecimento pode designar o ato de conhecer,
enquanto relação que se estabelece entre a consciência e o mundo conhecido. Mas o
conhecimento também se refere ao produto, ao resultado do conteúdo desse ato, ou
seja, o saber adquirido e acumulado pelo homem" (ARANHA, 1995, p.21).
Porém a forma que o conhecimento é apreendido e produzido nunca foi tão
clara quanto sua definição. O homem conseguiu, até com certa facilidade compreender
o que é conhecimento, mas descobrir como se apossa, intelectualmente, desse
conhecimento sempre foi motivo de controvérsias. Temos que ter em mente que o
indivíduo jamais se inicia no ato de conhecer de maneira "virgem" (ARANHA, 1995,
p.21), pois ele se dá simultaneamente com a transmissão dos conhecimentos já
acumulados por sua sociedade e a quantidade e qualidade do seu futuro conhecimento
depende, em parte, do estágio do conhecimento que se encontra a sociedade em que
ele está inserido. Os primeiros conhecimentos que um indivíduo recebe vem sob forma
de dogmas e mitos que fazem parte da cultura de sua sociedade. São desse tipo de
conhecimento os seguintes ditos:
../ Criança que brinca com fogo faz xixi na cama;
../ Comer manga e tomar leite mata;
../ Coloque um ovo no telhado para Santa Clara que pára de chover!
../ Se o bebê "trocou" o dia pela noite vista a roupa nele pelo avesso que
ele volta a dormir direito!
../ Se você estiver com soluço tome um copo de água ou leve um susto
que passa .
../ Pra fazer o telhado da casa é só calcular dez porcento do comprimento
(segundo um marceneiro);
Esses são apenas alguns exemplos do que pode ser chamado de li sabedoria
popular" ou, segundo uma definição mais rigorosa Conhecimento de Senso Comum.
Porém, quando o homem deixou de aceitar respostas simplistas, que antes lhe davam
segurança, para muitas questões, aos poucos ele busca explicações mais racionais e
que não lhe deixe dúvidas, assim ele concebe o Conhecimento Científico. Os primeiros
l3

baseado na análise foram os gregos, que tem como expoentes:
./ Sócrates que buscava a definição de conceitos;
./ Platão que achava que a formação do sábio deveria ir desde a opinião
(doxa) até a ciência (episteme).
Devemos ter em mente que todo conhecimento coloca em questão a verdade,
o que ela é e o que representa, pois quando buscamos obter um conhecimento entende-
se que estejamos na realidade em busca da verdade sobre o assunto em questão, sendo
que essa verdade existe apenas no juízo de quem a julga ter encontrado. Tamanha é a
complexidade do conceito de verdade que torna muito dificil a nossa compreensão,
tanto que ele cria dentro do próprio conhecimento possibilidades de conhecimento que
vem a ser o ceticismo e o dogmatismo, sendo que o prunerro versa sobre a
r-
I
possibilidade, dada a imperfeição humana, de nosso espírito atingir a verdade
considerando em casos extremados que nunca conseguiremos atingi-Ia ou, em casos
mais brandos, não tomar partido ou se envolver em demasia suspendendo sua decisão
até que se consiga mais dados sobre o assunto, e em geral quando se consegue mais
dados ele deseja, ainda, outros mais, pois exige a postura observação e consideração,
visto que a palavra Skeptikos, em grego significa "que observa, que considera"
(ARANHA, 1995, p.25). O segundo admite que o espírito humano sempre atinge a
certeza, que significa dizer que o ser humano tem possibilidade de conhecer a
realidade, assim, ser dogmático, grosso modo, é aceitar os fatos sem maiores
considerações ou reflexões dando-o sempre como verdade absoluta, é nele que se
fundamentam as doutrinas religiosas.
Apesar de todo esse fundamento filosófico ser de domínio humano desde o
período grego clássico foi apenas na Idade Moderna que o homem passou a se
preocupar em como se obtém o conhecimento, dando origem à chamada Teoria do
Conhecimento ou Epistemologia.
14
,-

2. A TEORIA DA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
"Conhecer é poder" (HOBBES, in CORDI,
1995).
Os Gregos apresentam alguns trabalhos na área da Teoria do Conhecimento,
também chamada epistemologia, porém os trabalhos mais significativos começam a
ser desenvolvidos a partir da Idade Média com o trabalho Novum Organom de Francis
Bacon (OLIVA, 1989) que estabeleceu as bases para o modelo empirista de ciência
que foi predominante até meados de nosso século. Nesse modelo de aquisição do
conhecimento pressupõe-se dois elementos "básicos: um chamado Sujeito (que é aquele
que se põe na postura de buscar o conhecimento) e o Objeto (que é aquilo sobre o que
se deseja conhecer).
É a interação (materialismo histórico) entre sujeito e objeto que possibilita a
aquisição do conhecimento, sendo que essas inter-relações são ilimitadas, podendo o
sujeito retomar ao objeto quantas vezes lhe for desejável, e a cada retomada de estudo
sobre o objeto as reflexões anteriores lhe fornecem maiores condições para novas e
mais profundas reflexões. Piaget chama este processo da aquisição do conhecimento
composto por assimilação e acomodação, de "abstração reflexionante" (ROSSO,
1998).
O Empirismo surge como contraproposta da Metafisica, para o
verificacionisrno científico, mas o que apregoa a metafísica? Ela é uma forma de
"entender" percorrida pelos gregos, Parmênides, Platão e Aristóteles e, recebeu esse
nome no séc. I a.C, quando Andrônico de Rodes classifica as obras de Aristóteles, ele
as colocou depois das obras de física: Meta Física, ou seja "depois da física"
(ARANHA, 1995, p.98), e ela se refere às formas de se chegar à compreensão do real
a partir apenas da razão e procura explicar o que transcende o tangível (físico), por isso
ela ganhou a conotação de estudo do "além" do físico. Assim, a metafísica é
puramente especulativa, no sentido de se basear em conjecturas, observação e
pensamento. Já o Empirismo vem expor em questão a experimentação como
15

condicionante da obtenção de uma compreensão sobre qualquer objeto de estudo. A
partir de então, para um objeto de estudo, adquirir o status de ciência deveria passar
pelos critérios estabelecidos por Francis Bacon (verificacionismo) (OLIVA, 1990.).
Essa concepção de ciência estabeleceu uma hegemonia sem precedentes no campo de
como se obtém conhecimento.
Os grandes nomes dessa corrente são Galileu Galilei, René Descartes (que
inaugura o racionalismo cartesiano), entre outros. É exatamente com racionalismo
cartesiano que se estabelece o compartimentalismo do estudo para aquisição do
conhecimento, representado pela expressão "um lugar para cada coisa e cada coisa no
seu lugar", surge o pensamento que se palie do "específico para o geral" e, como
conseqüência, os pré-requisitos que passam a ser considerados como detenninantes
para a obtenção de um conhecimento elaborado.
Assim os passos: experimentar, observar e concluir, tomam-se fundamentais
para a aquisição do conhecimento.
o século XIX surge uma nova forma de se compreender o conhecimento, é
o pensamento de Karl Marx e Engels, partindo das idéias de Hegel, que vem a expor
que o conhecimento é e deve ser social, portanto deve ser utilizado não só para
entender o mundo, mas também para modificá-Io (GAARDER, 1995, p. 418), e pode
ser obtido através não só de experimentação e observação, mas também por interação
com o objeto dando origem ao materialismo histórico-dialético.Marx acreditava que
o conhecimento deveria servir como modificador social. Jostein Gaarder, em seu livro
"Mundo de Sofia" tem um diálogo entre Sofia e Alberto sobre o pensamento de Marx:
-Hegel chamava de 'espírito universal ou razão universal' a força que impelia a história
para frente. Marx achava que este ponto de vista colocava a realidade de cabeça para baixo.
Ele queria mostrar que as condições materiais de vida eram decisivas para a história. Nesse
sentido, Marx dizia que não eram os pressupostos espirituais numa sociedade que levavam
a modificações materiais, mas exatamente o oposto: as condições materiais determinavam,
em última instância, também as espirituais. Além disso, Marx achava que as forças
econômicas numa sociedade eram as principais responsáveis pelas modificações em todos
os outros setores e, conseqüentemente, pelos rumos do curso da história".
-Você poderia me dar um exemplo?
16

-A filosofia e a ciencra na Antigüidade tinham sido cultivadas quase como algo
completamente desvinculado da realidade prática. Os antigos filósofos não estavam muitos
interessados em saber se os seus conhecimentos teóricos poderiam modificar para melhor
as coisas na prática.
-Não?
-Isto se explica pelo modo como eram organizadas as saciedades em que eles viviam. A
vida e a produção de alimentos nas sociedades da Antigüidade tinham por base, sobretudo
o trabalho escravo. Por esta razão, os cidadãos não tinham a menor necessidade de
melhorar a produção com novidades práticas. Temos aí um exemplo de como o
pensamento pode ser influenciado pelas relações materiais numa sociedade (GAARDER,
1995, p. 419).
Outra característica das idéias de Marx é a compreensão de que o
funcionamento de uma sociedade se dá numa forma dialética, ou seja, ele leva em
conta o dinamismo e as contradições que ela produz é a forma pela qual pode-se
compreendê-Ia, permitindo, assim, os processos de tese, antítese e síntese levantadas
por Regel (DUROZOI, 1996.).
Foi, a partir desta forma dialética de se compreender o próprio conhecimento
que permitiu aos epistemólogos do séc. XX, buscar novas formas de compreender a
aquisição do conhecimento. Indo um pouco mais longe, é comum dizer-se que
Sigmund Freud (médico alemão que no [mal do séc. XIX criou a terapia individual
para cura de problemas psíquicos a chamada de psicanálise) é o pai da compreensão
dos esquemas de funcionamento da mente humana no individual e Karl F. Marx é o
pai da compreensão dos esquemas de funcionamento da mente humana no coletivo
(OLIVA, 1989, p. 213- 225).
Os avanços da compreensão da mente humana (Freud) de como a sociedade
produz seus conhecimentos (Marx) foram, indubitavelmente as bases para os trabalhos
do biólogo suíço Jean Piaget (sobre epistemologia genética) que vieram a contribuir de
maneira muito significativa sobre nos processos de ensino-aprendizagem formais
feitos no ambiente escolar, dos americanos, Jerome Bruner (psicólogo que
desenvolveu trabalhos sobre a teoria do ensino através da descoberta "Espiralidade dos
Conteúdos"), David Ausubel (psicólogo, que desenvolveu trabalhos sobre
17

aprendizagens significativas), Howard Gardner (psicólogo que desenvolveu trabalhos
sobre as inteligências Múltiplas), Daniel Goleman e John Gottman (psicólogos que
desenvolveram trabalhos apresentando uma nova forma de se medir inteligência além
do tradicional teste de Q.I. - quociente inteligente- o Q.E. - quociente emocional -
baseando-se na Inteligência Emocional).
2.1. CONHECIMENTO CIENTÍFICO
Quando nos dedicamos a entender um fenômeno ou algum acontecimento,
do mundo que nos cerca, buscando esse entendimento de maneira organizada, através
do raciocínio lógico, observação e/ou experimentação, para depois organizá-l o num
processo de síntese, de maneira que qualquer outra pessoa, repetindo os mesmos
procedimentos por nós utilizados, tenha os mesmos resultados. Esses procedimentos
quando aplicados a um estudo como o descrito acima, recebe o nome de conhecimento
científico, diferente daquele obtido através de processos não formais, que às vezes
obtemos quase sem querer, que nos são transmitidos através da tradição cultural,
calcada na transmissão oral, conhecido como senso comum.
Ao tentarmos entender melhor ciência, então, se faz necessário diferenciar
conhecimento científico de senso comum.
Diz-se do senso comum:
...um conhecimento espontâneo ou senso comum o saber resultante das expenencias
levadas a efeito pelo homem ao enfrentar os problemas da existência. Nesse processo ele
não se encontra solitário, pois tem o concurso dos contemporâneos, com os quais troca
informações. Além disso, cada geração recebe a herança fecunda que só não é assimilada
como também transformada (ARANHA, 1995, p.127-128).
Podemos dizer que senso comum é o saber cotidiano, a cultura popular, o
folclore e todas as formas de conhecimento assistematizado. Por conseguinte,
conhecimento científico é o saber sistematizado e rigoroso, objeto de uma investigação
meticulosa que produz um saber específico e delimitado, mas que permite
compressões gerais sobre o objeto de estudo.
18

estudos desenvolver uma séne de generalizações, possibilidades de aplicações do
conhecimento obtido tem sido usada desde o início da história da civilização, podemos
dizer que o Homem só se tornou sedentário porque havia obtido o conhecimento de
como domesticar certos animais, e a observação da Natureza lhe permitiu a
construção de utensílios que lhe facilitavam a caça e a pesca. No momento que ele
obteve o conhecimento através da observação podemos dizer que ele estava fazendo
ciência pelo método empírico, e no instante que ele aplicou esse conhecimento para
solucionar problemas de seu dia-a-dia ele estava criando tecnologia. Logo, tecnologia,
de maneira simplificada, é a aplicação do conhecimento científico a uma determinada
situação para modificar o meio ou facilitar as ações humanas.
O conjunto de conhecimentos acumulados pela humanidade tem se dado de
maneira diferente entre as diferentes etnias que compõem a civilização humana,
enquanto certos povos sempre tentaram moldar o ambiente que os cerca, outros
sempre buscaram viver hannonicamente com o que a natureza lhe oferece.
Conseqüentemente o estágio de evolução científica de um povo e seu conseqüente
emprego na solução de problemas de ordem prática e facilitadora de meio de vida,
representada pela tecnologia sempre foi muito discrepante. As soluções encontradas
por certas comunidades para resolver seus problemas sempre foram diferente das
encontradas por outras comunidades com problemas semelhantes, e nesse fato está a
razão para uma série de pré-julgamentos e pré-conceitos que temos em relação à
alguns povos. Para sociedade globalizada do séc. XXI é inadmissível existir alguém
que não: viva como nós, se comporte como nós, goste do que gostemos, queira o que
queremos. A opção que a civilização européia, ou de colonização européia fez, do uso
da tecnologia e do conhecimento científico, sempre foi no sentido de poder oprimir, ou
impor-se sobre outros povos, subjugando-os e explorando-os para satisfazer suas
necessidades "essenciais". Nesse ara de uso inadequado da ciência e da tecnologia nos
deixou, indubitavelmente com muitas comunidades e uma maior expectativa de vida
(para os que dispõem de capital), levando o Homem a patamares inimagináveis de
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possibilidades de conquistas intelectuais e avanços de recursos materiais, porém o
custo disto foi que em cerca de cem anos quase esgotamos os recursos do planeta,
causando desequilíbrios ambientais que hoje se revertem sobre a humanidade, através
de efeito estufa, graves mudanças climática, proliferação de pragas e empobrecimento
dos solos cultiváveis. Enquanto isso, em recantos isolados do planeta pequenos grupos
culturais continuam solucionando seus problemas de maneira simples e eficaz, sem
que suas presenças alterem o tênue equilíbrio da biodiversidade que os cerca. Daniel
Quinn (QUINN, 1998, p. 38-39) em seu livro "Ismael" nos dá uma ótima noção do que
eu quero dizer:
Encenar uma história é viver de modo a tomá-Ia realidade. Em outras palavras, encenar
uma história é esforçar-se para tomá-Ia verdade. Você reconhece que é isso que o povo
alemão fazia sob o domínio de Hitler. Tentavam tomar o Reich do Milésimo Ano uma
realidade. Tentavam tomar a história que Hitler contava tU11arealidade.
- Certo.
Terceira definição: cultura. A cultura de um povo é sua encenação de uma história.
Sua encenação de uma história ... E disse que uma história é...
Um roteiro que inter-relaciona o homem, o mundo e os deuses.
- Muito bem. Então está dizendo que as pessoas da minha cultura estão encenando sua
própria história sobre o homem, o mundo e os deuses.
- Isso mesmo.
Mas ainda não sei que história é essa.
- Vai saber. Não seja impaciente. No momento, tudo o que precisa saber é que duas
histórias fundamentalmente diferentes têm sido encenadas durante a existência do homem.
Uma começou a ser encenada há cerca de dois ou três milhões de anos pelo povo que
concordamos em chamar de Largadores, e ainda é encenada por eles hoje em dia, com o
mesmo sucesso de sempre. A outra começou a ser encenada há cerca de dez ou doze mil
anos pelo povo que concordamos em chamar de Pegadores, e parece estar preste a terminar
em catástrofe.
- Ah! - exclamei, sem saber o que queria dizer com isso.
20

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algo assim: "Os Largadores foram o primeiro capítulo da história humana, um capítulo
longo e vazio de eventos. Esse capítulo da história humana terminou há cerca de dez mil
anos, com o surgimento da agricultura no Oriente Médio. Foi o evento que marcou o início
do segundo capítulo, o dos Pegadores. É verdade que ainda há Largadores vivendo no
mundo, mas são fósseis anacronismos: povos que vivem no passado, povos que ainda não
entenderam que seu capítulo na história humana acabou".
- Certo.
- É dessa maneira que sua cultura percebe a história humana de modo geral.
- Diria que sim.
- Como irá entender, o que afirmo é bem diferente. Os Largadores não são o primeiro
capítulo de urna história em que os Pegadores são o segundo capítulo.
- Pode repetir?
- Direi de outro modo. Os Largadores e os Pegadores estão encenando duas histórias
separadas, baseadas em premissas totalmente diferentes e contraditórias.
Portanto estamos vivendo um paradoxo, a mesma ciência e tecnologia que
nos trouxeram o progresso está levando o mundo ao esgotamento de recursos. A
tecnologia e a ciência são produções humanas, e como tais, suscetíveis a todos os
anseios, medos, angústias e erros que o ser humano têm e comete. Então, ciência e
tecnologia, podem ser utilizadas de outra forma. Portanto a ciência e a tecnologia que
tragam melhorias na qualidade de vida, saúde e permite uma maior renda per-capta é
meta de toda nação em desenvolvimento (SANTOS, 1975, p. 169-l78). Não devemos
ser infantis e acreditar que não há a necessidade da ciência e da tecnologia, o que
devemos ter claro é que ela deve ser usada a favor dos seres humanos e não a favor dos
interesses econômicos que penneiam a sociedade moderna. Quando Arquimedes, por
volta do ano 220 a.c., usou seus conhecimentos científicos sobre reflexão de espelhos
para queimar as naus romanas que tentavam invadir Siracusa (ASIMOV, 1967. p. 14-
15.), ele usou um recurso tecnológico para evitar o desaparecimento de seu povo.
21

Enrico Fermi, J.Robert Oppenheimer e seus colaboradores (BRODY, 2000. p. 129-
134) ao criarem a bomba atômica acreditavam estar salvando a humanidade de um mal
maior! Também Darwin, Faraday, Einstein, Newton, Madame Curie, Mendel
(ASIMOV, 1967) e outros acreditavam estar contribuindo com a humanidade, e não
foi o conhecimento que eles produziram o problema ou a solução, foi °uso que dele se
fez. O conhecimento científico deve ser popularizado, de maneira que todos possam
opinar sobre os seus destinos.
Assim, podemos concluir que a ciência busca compor um leque de
conhecimentos a partir de métodos objetivos, procurando encontrar "verdades" e a
tecnologia é a expressão "aplicada" desses conhecimentos agindo no interesse da
humanidade ou no interesse do capital. Por essas buscas trazerem a tona fatos que
fogem à compreensão do homem comum a ciência passou a ser usada pela classe
dominante como forma de exercer, perpetuar o poder, oprimindo as demais camadas
sociais, e isso é o que deve ser evitado. Por isso que se diz "conhecimento é poder".
2.2 CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO
O papel do professor é, talvez o mais difícil na, por assim dizer, cadeia
epistemológica, pois ele é o responsável pela decodificação do conhecimento
científico para o atual nível de compreensão do educando e, isso deve ser feito da
maneira mais adequada possível e, que não é, necessariamente, à maneira científica, ou
seja, o professor não necessita seguir os procedimentos do cientista quando da
obtenção daquele conhecimento, isso de qualquer ponto de vista seria ilógico, visto
que o educando não possui os mesmos conhecimentos do cientista, e muito menos tem
condições de reconstruir todas as condições da experiência. Colocando isto dentro da
matemática observamos que não há por que exigir que o aluno faça várias e repetidas
vezes um mesmo item com objetivo de que ele assim vai aprender porque está
22

indivíduo de uma maneira que ele compreenda, pois só assim terá as características de
um conhecimento devidamente apropriado. É nesse sentido que se estrutura a
epistemologia genética de Piaget. E, segundo Becker:
o conhecimento, melhor dito, suas estruturas ou condições a priori de todo conhecer, não é
dado nem na bagagem hereditária nem nas estruturas dos objetos: é construído, na sua
forma e no seu conteúdo, por urn processo de interação radical entre o sujeito e o meio,
processo ativado pela ação do sujeito, mas de forma nenhwna independente da estimulação
do meio.( ...) sem aprendizagem o desenvolvimento é bloqueado, mas só a aprendizagem
não faz o desenvolvimento ... Aprender é proceder a uma síntese indefinidamente renovada
entre a continuidade e a novidade (BECKER, 1996, p. 25-26).
Portanto, o trabalho do professor difere, e em muito, do trabalho do cientista,
pois sua preocupação básica deve ser a de como transpor a barreira do conhecimento
sistemático da ciência decodificando-o de uma forma que seja apreendido por seu
<:aluno e, ao mesmo tempo introduzindo o aluno na forma de pensar efazer ciência?
Nesse momento é que a Matemática passa a ter especial importância, para
pensar e fazer a ciência é que necessitamos formar um perfil de homem que seja:
,/ criativo;
,/ imaginativo;
,/ sempre um "sem preconceito" ou não tenha opinião "pré- formada"
sobre questões que ele não conheça.
,/ ético;
,/ hábil no trato de .infonnações;
,/ se expresse com clareza e objetividade;
,/ apto a resolver problemas.
O professor do séc. XXI deve estar pronto a formar este cidadão, não que
todos os nossos alunos venham a ser cientistas, mas todos devem ter o conhecimento
científico e saber onde buscá-lo quando precisar.
A matemática tem condições de colaborar de maneira decisiva na formação
desse espírito científico, desde que a encaremos como a ciência responsável por

resolver problemas. Pois para a formação do espírito científico:
Em primeiro lugar, é preciso saber formular problemas. E, digam o que disserem, na vida
científica os problemas não se formulam de modo espontâneo. É justamente esse sentido
do problema que caracteriza o verdadeiro espírito científico. Para o espírito científico, todo
conhecimento é resposta a W11a pergunta. Se não há pergunta, não pode haver
conhecimento científico. Nada é evidente. Nada é gratuito. Tudo é construído
(BACHELARD, 1996. p. 18)
É nesse sentido ocorreram nos últimos anos a mudança Lle paradigma de
ensino de matemática, ela deixou de ser mecanicista, platônica e exaustiva para tomar-
se aplicada, dinâmica e viva. É essa a proposta dos "Pressupostos Teóricos: Currículo
Básico para Escola Pública do Paraná", de 1990 e dos PCN's do MEC. Sendo que este
novo paradigma de ensino da matemática é mundial, vamos encontrar essa mesma
proposta em Portugal, pela Associação dos Professores de Matemática de Portugal, o
National Council of Supervisors of Mathematics dos Estados Unidos, entre outros.
Assim devemos ter claro que o professor de Matemática não é um cientista,
quando está na sala de aula, ele é um educador, um sujeito que tem a obrigação de
formar o espírito científico, e a ele não cabe querer usar a linguagem científica na sala
de aula, fazer isso é tomar o ambiente educacional impessoal, frio e desvinculado da
realidade do aluno (MORTlMER, ln: CHASSOT, 1998. p. 99-118), não trazendo
colaborações às necessidades de ser humano que nossa nação precisa e que são
explicitadas nos PCN's do ensino médio:
A formação do aluno deve ter como alvo principal a aquisição de conhecimentos básicos, a
preparação científica e a capacidade para utilizar as diferentes tecnologias relativas às áreas
de atuação.
Propõe-se no nível do Ensino Médio, a formação geral em oposição à formação específica,
o desenvolvimento de capacidades de pesquisar, buscar informações, analisá-Ias e
selecioná-Ias; a capacidade de aprender, de criar, de formular, ao invés do simples
exercício de memorização. ....as mudanças estruturais que decorrem da chamada
"Revolução do Conhecimento", alterando o modo de organização do trabalho e as relações
sociais e a expansão crescente da rede pública que deverá atender a padrões de qualidade
que se coadunem com as exigências desta sociedade (BRASIL, 1999, p. 15-16).
Porém, o que vemos é exatamente o contrário, professores de matemática se
dedicando exaustivamente, no ensino básico, a "ensinar" matemática usando um
24

preocupação. Entendemos, baseado nos trabalhos de Ubiratan D'Ambrosio
(D' AMBRÓSIO, 1990), Nilson José Machado (MACHADO, 1991), Luis Márcio
Imenes (SEED, 1990), Regina L. de Buriasco (SEED, 1990), Sérgio Lorenzatto (PRÓ-
POSIÇÕES, 1990), entre outros, que isso ocorre em virtude da concepção, ou a falta
dela, de matemática do professor.
3. APRENDENDO PARA ENSINAR E ENSINAR APRENDENDO
No capítulo 2 discutimos, e fizemos um breve relato de como o homem se
dedicou, nos últimos quatro séculos, a entender os processos de aquisição do
conhecimento em termos de estudos da ciência. No capítulo 4 discutimos o papel do
professor na intennediação na passagem do conhecimento do senso comum ao
conhecimento sistematizado, e agora chegamos ao momento de discutirmos a
importância de se conhecer as formas que os educandos aprendem para podermos
efetivamente colaborar na construção do conhecimento individual de nossos alunos.
Para isso veremos aqui algumas pinceladas sobre o assunto, escolhemos,
dentre as várias correntes sobre o assunto, abordar aquelas que acreditamos serem as
que mais se aproximam da nossa prática docente. Iniciaremos com Piaget e a
epistemologia genética e terminaremos passaremos por Ausubel e suas aprendizagens
significativas.
25

-
claro que não será possível usar o esquema "velho" com o novo objeto. Mas, será ele a
base par o novo esquema que adaptará a esse objeto novo: Talvez, neste exemplo,
"aperta e bába" seria um título apropriado para o esquema novo. Este processo é
chamado acomodação, especificamente acomodando um esquema velho para um
objeto novo.
Assimilação e acomodação são os dois lados da adaptação, o termo de
Piaget para o que a maioria de nós chamaria aprendizagem. Porém, Piaget viu a
adaptação como um processo bem mais amplo e influente sobre a aprendizagem do
que a que os Behavioristas nos EUA estavam falando. Ele viu isto como um processo
fundamentalmente biológico. Todos os seres vivos se adaptam às coisas, até mesmo
aqueles que não possuem um sistema nervoso central ou cérebro.
A assimilação e o trabalho de acomodação como pêndulo balançam para
avançar nossa compreensão do mundo e nossa competência nisto. De acordo com
Piaget, eles são dirigidos a um equilíbrio entre a estrutura da mente e o ambiente,
levando a um certo ponto em comum entre os dois, que isso indicaria que você tem um
bom (ou pelo menos um razoável) modelo de compreensão do universo. A este estado
ideal ele chama equilíbrio.
Em sua investigação sobre como as cnanças aprendem, notou que havia
períodos onde assimilação dominava, períodos onde a acomodação dominava, e
períodos de equilíbrio relativo, e que estes períodos eram semelhantes entre todas as
crianças observadas em suas pesquisas. E assim ele desenvolveu a idéia de fases ou
estágios de desenvolvimento cognitivo.
Não é nossa intenção, no presente trabalho abordar cada um dos estágios
citados por Piaget, visto que nossa proposta é dirigida a uma faixa etáría específica,
logo não discutiremos passo-a-passo a teria Piagetiana, mas apenas o ceme de suas
pesquisas, que é a constatação que o indivíduo aprende a partir de estruturas já
existentes, onde a assimilação de novos conhecimentos só ocorre quando há um
desequilíbrio de forma que o indivíduo vai assimilar para novamente acomodar.
27

3.2 COMO PIAGET PODE AJUDAR NO ENSINO DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO
Piaget coloca que aprender é antes de tudo, uma atitude biológica geral
consistindo de acomodações e assimilações (BRASIL, 1977).
Compreendendo que um indivíduo aprende por desequilíbrio das estruturas
que já possui, vindo a ter necessidades de novos esquemas que lhe permitam
assimilação e acomodação, podemos desenvolver atividades e estratégias de ensino
que favoreçam esse desequilíbrio. Onde partir de esquemas que o indivíduo julga
dominar, mas que se tomam insolúveis para o seu atual estágio forçando-o a mudar,
buscar estratégias e novas posturas diante do problema (obtendo o perfil que citamos
no capítulo 4).
Outro aspecto da teoria de Piaget que é extremamente relevante para a
aquisição do conhecimento matemático é a possibilidade de o indivíduo poder retomar
ao objeto de estudo (problema) abordando-o a partir de outro nível, mais elevado, que
lhe trará outros significados e novas possibilidades de conhecer, através de uma
abstração reflexionante (ROSSO, 1998).
Lembrando que abstrato, na teoria de Piaget é o concreto quer foi abstraído
e, dependendo do nível que se encontra, o indivíduo não há a necessidade de se usar
material manipulável para que ele construa seu conhecimento, logo o simples uso de
um material que o aluno manipule não lhe garante que estará construindo seu
conhecimento. Esse foi um cuidado que tivemos na elaboração das atividades
propostas e que muito contribuiu na execução do trabalho.
28

4. APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
"Para que haja aprendizagens realmente significativas e que promovam a
evolução de estruturas cognitivas". Talvez este seja um dos grandes princípios, ou
deveria ser, que um professor deveria direcionar sua atividade docente.
É nesse sentido que se apresentamos um breve resumo da Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel (BRIGUENTI, 1991) onde discutiremos
rapidamente algumas de suas características e implicações para a prática educativa,
onde procuraremos diferenciar a Aprendizagem Significativa da Aprendizagem
Mecânica, esta com assimilações na estrutura cognitiva aquela se apoiando na
atividade mnemônica.
4.1 DAVID AUSUBEL
,.-. Durante muito tempo considerou-se que a aprendizagem era simplesmente a
troca de informações entre o professor que "sabe" e o aluno que "não sabe". Onde o
aluno se apresenta "vazio" de conhecimento e que deve ser "preenchido" pelos
conhecimentos do professor. Porém podemos afirmar que ela é muito mais que isso,
ela deve levar em consideração não só a experiência, mas também a afetividade do
indivíduo. Ausubel trabalha mais sobre a questão das experiências do indivíduo, para
ele o principal no processo de ensino é que a aprendizagem seja significativa. Isto é, o
conhecimento a ser aprendido precisa fazer algum sentido para o educando. E isto só
acontece quando a nova informação "ancora-se" nos conceitos relevantes já existentes
na estrutura cognitiva do aprendiz. Neste processo a nova informação interage como
uma estrutura de conhecimento específica, que Ausubel chama de conceito
"subsunçor" .
Quando o conhecimento a ser aprendido não consegue ligar-se a algo já
conhecido pelo aluno, ocorre o que Ausubel (BRUGUENTI, 1991) chamou de
aprendizagem mecânica, ou memorização passageira. Ou seja, isto ocorre quando as
29

aprendidas sem interagirem ou se "ancorarem" com conceitos relevantes existentes na
estrutura cognitiva do aprendiz. Este processo, de informações desvinculadas dos pré-
conhecimentos ao quais podemos chamar de Aprendizagens Mecânicas, se evidencia
quando os alunos sentem que devem decorar fórmulas, leis e macetes para provas ou
avaliações, sendo que os esquece logo em seguida.
Assim, podemos dizer que para haver aprendizagem significativa é preciso
haver duas condições básicas:
a) o educando precísa ter uma pré-disposição para aprender;
b) o material a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo.
Outra proposta de Ausubel se refere à utilização de organizadores prévios,
que servem como ancoras da nova informação, agindo como ligação entre a nova
informação e os subsunçores relevantes específicos. Ele distingue dois tipos de
organizadores prévios os expositivos e os comparativos. São esses organizadores que
permitem chegar-se a uma estratégia pedagógica que dará ao processo educativo os
principios da diferenciação progressiva e da reconciliação integrativa. Vale ressaltar
que deve cuidar-se de não confundir os organizadores prévios com introdução, esta
tem a função de apresentar o conteúdo ao aluno, enquanto os organizadores prévios
fazem com que o aluno interaja com o conteúdo a ser ministrado objetivando ativar os
conhecimentos prévios para que a aprendizagem que virá seja significativa.
No trabalho que desenvolvemos, e que apresentamos como anexo, com
alunos do ensino médio, em nossas atividades procuramos propor atividades que se
"ancoravam" nos subsunçores dos alunos procurando iniciá-Ias sempre com os
organizadores prévios.
30

5. A PRÁTICA - APLICAÇÕES DAS IDÉIAS
5.1 PROCESSO DE CRIAçÃO
No ano de 2 000 assumimos as aulas de Matemática, para o início do Ensino
Médio do Centro de Estudos Supletivos "Universidade Estadual de Ponta Grossa", que
no mesmo ano passou à ser denominado CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO
BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS "UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA
GROSSA" que começava, então, a oferecer esse nível de ensino pela autorização da
Secretaria de Estado de Educação do Paraná, até então a escola só oferecia o curso de
Ensino Fundamental. O então diretor Prof. José Tadeu Dolinski, nos incumbiu de
elaborar o material didático que deveríamos utilizar com os nossos alunos.
Inicialmente, para ter uma base, ele me apresentou o material, em forma de apostila,
que era utilizado em uma outra escola de Ponta Grossa que oferece também a
modalidade de ensino supletivo. Ao analisar aquele material ficamos muito
insatisfeitos quanto a sua proposta metodológica e de aquisição de conhecimentos,
pois para nós, como já dissemos no capítulo 2 (item 2.2), o Homem que queremos para
nossa sociedade deve ter algumas características especiais, e ao refletirmos sobre isso,
essa necessidade que acreditamos ser o caminho, buscamos uma forma que a
matemática pudesse contribuir para que o indivíduo possa:
../ Construir seu próprio conhecimento;
../ Resolver problemas;
../ Usar a Matemática como uma ferramenta tecnológica;
../ Para a construção das atividades do Caderno Didático, tomamos como
parâmetro as seguintes condições .
../ Criar atividades que causem desequilíbrio, e que sejam significativas
aos alunos;
31

v Buscar cnar problemas ae apucaçao e lJIUUlClUê1:' ê1UCllV;',
./ Guiar a organização do material de forma a possibilitar aulas dentro
da metodologia da resolução de problemas.
Para nós a resolução de problemas é uma das alternativas metodológicas do
ensmo da Matemática, e acreditamos que seja importante, nesse momento
esclarecermos um pouco mais sobre como vemos essa questão, para isso usaremos
dois documentos, cujos títulos são, respectivamente: Sobre a Resolução de Problemas
I e Sobre a Resolução de Problemas lI, utilizados pela Prof". Dr'. Regina luzia C de
Buriasco, durante suas aulas no curso de Especialização em Educação Matemática da
Universidade Estadual de Londrina em 1997, é ele que segue em sua integra:
SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS I
Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a Resolução
de Problemas, assim chamada porque considera que o estudo da matemática é resolver
problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve ser resolvido sempre partindo
de problemas. Examinemos a tabela abaixo:
Esquema de aula na Tendência Esquema de aula na Tendência da
Tradicional Resolução de Problemas
1) O prof" explica a matéria (teoria). 1) O prof' apresenta um problema - escolhido
por ele ou pelo (s) aluno (s).
2) O prof" mostra exemplos. 2) Os alunos tentam resolver o problema com o
conhecimento que têm.
3) O prof' propõe "exercícios" semelhantes 3) Quando os alunos encontram algum
aos exemplos dados para que os alunos obstáculo (falta algum conteúdo necessário
resolvam. para a resolução do problema) o prof'
apresenta, de alguma forma, esse conteúdo.
4) O prof" (ou um aluno) resolve no quadro 4) Resolvido o problema, os alunos discutem
de giz os exercícios. sua solução, se necessário com a ajuda do
prof", Essa discussão envolve todos os
aspectos da resolução do problema, inclusive
os do conteúdo necessário. Fazendo a
sistematização do conteúdo.
5) O prof' propõe aos alunos outros 5) O prof' apresenta outro problema -
"exercícios" já não tão semelhantes aos escolhido por ele ou pelo (s) aluno (s).
exemplos que ele resolveu.
6) prof" (ou um aluno) resolve os exercícios
no quadro de giz.
7) O prof' propõe "problemas", se for o caso,
32

ou mais "exercícios".
8) correção dos "problemas" e/ou exercícios
dos "exercícios".
9) O prof" começa outro assunto.
Podemos observar que no esquema Tradicional temos uma aula trabalhada
linearmente enquanto dentro da tendência da Resolução de Problemas o conteúdo é
trabalhado de maneira a se ter uma espiralidade, de maneira que a intervenção do
professor, quando necessária, é unicamente para fornecer um conhecimento que os
alunos ainda não têm.
De acordo com a tendência da Resolução de Problemas, o prazer em se
estudar é a alegria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade
a resolução, maior a satisfação.
Na proposta de se ensinar Matemática através da Resolução de Problemas,
uma das questões mais importantes é: "Como apresentar um problema de modo que os
alunos":
1°) queiram resolver o problema;
2°) compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução.
Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência do
professor nas aulas de matemática, ensinar a "arte de resolver problemas".
SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 11
Na Resolução de Problemas, atual tendência da Educação Matemática,
podemos classificar os "problemas" em cinco categorias, a saber:
1. exercícios de Reconhecimento - são os que pedem apenas que o aluno
reconheça ou relembre um fato, uma definição, etc. Requerem simples
memória;
2. exercício algoritmico - são os que podem ser resolvidos através do uso
de um algoritmo, ou procedimento passo-a-passo;
3. problemas de aplicação - são os que precisam da mudança da
33

linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática
adequada de modo que se possam utilizar os algoritmos apropriados.
São os problemas de palavras;
4. problemas em aberto - são que não contém no seu enunciado pista
alguma para sua resolução;
5. situação - problema - são aquelas nas quais a primeira coisa a fazer é
identificar o problema inerente, cuja solução vai ajudar a "manejar" as
próprias situações. Dão origem às situações que originam a
modelagem ou modelação, conforme a forma que ele surge.
Eis alguns exemplos:
Exercícios de O triângulo que possur todos os lados de mesmo
Reconhecimento comprimento é chamado ........
Exercício Algoritmico Calcule:
324 + 54 - 21
Resolva: 2x +5 = 17
Problema de Quantos metros de um tecido que custa R$ 15,00 posso
Aplicação comprar com R$ 250,00?
Problema em aberto Quantos triângulos diferentes podem ser desenhados
tendo os dois maiores lados com comprimentos 6 em 8
cm?
Situação - Problema Faça a planta do quarto que você gostaria de ter.
Uma grande parte das atividades que constam dos livros didáticos são das
três primeiras categorias. A característica comum entre às três é o fato de conterem a
estratégia para sua resolução nos próprios enunciados. Por essa razão, apenas os
problemas das duas últimas categorias são considerados problemas de fato.
A experiência de "modelar" uma situação, ou de resolver um problema em
aberto, absolutamente necessária no estudo da Matemática, deveria ser dada em todos
os níveis de ensino. Para que os alunos aprendam Matemática, é preciso que lhes seja
dada a oportunidade de resolver problemas de fato, ou seja, problemas em aberto e
34

situações - problema.
Devemos notar que a Resolução de Problemas pode ser o primeiro passo em
direção à Modelagem (Texto elaborado pela professora Regina Luzia C. de Buriasco,
baseado no artigo de Thomas Butts, in NTCM, YEARBOOK, 1980.)
Como infelizmente dentre os livros didáticos existentes não havia nenhum
que se enquadrava, a nosso ver, dentro do que julgávamos ideal, a saída encontrada foi
criar um material que satisfizesse esses nossos anseios.
Ao refletirmos sobre as necessidades desse material, começamos a imaginar
suas característica, tais como a de ter o conteúdo específico como um todo interligado
e de conteúdos fosse enxuto e ao mesmo tempo suficiente para os objetivos traçados,
que abrisse a possibilidade de integrar outras disciplinas, começamos, então a buscar
em outros livros didáticos, de Matemática, Física, Química e de Biologia questões ou
situações que pudessem ser interligadas.
Durante essa pesquisa reunimos muitos materiais (os livros pesquisados são
citados como bibliografia da apostila) em termos de conteúdo específico, após esse
levantamento começamos a segunda etapa que era a de construir o material didático
que utilizaríamos. Nesse momento acreditamos ser interessante que apresentemos um
exemplo de como foi feita a construção de alguns problemas que estão na apostila.
Na página 6 da apostila apresentamos um problema geométrico com o título
"MODELOS MATEMÁTICOS: UM EXEMPLO GEOMÉTRICO", esse problema foi
assim apresentado inicialmente no livro "Matemática na Medida Certa" - 2a
edição, de
Jakubo e Lellis da T" série editado pela Scipione de 1994, nas páginas 33 e 34. Como
poderão perceber o exercício na forma em que aparece no livro citado, explora apenas
o aspecto geométrico, iniciando com um bom raciocínio dedutivo, porém ele não
permite que os alunos concluam a fórmula das diagonais, na página 34 ele
simplesmente apresenta a fórmula já pronta.
35

~,.:...~
--
Usando variáveis: cálculo do número
de diagonais
Quantas diagonais tem um polígono convexo 7
Para responder a essa pergunta, podemos contar as diagonais:
.•...,:-' ~.
o diagonal 2 diagonais 5 diagonais 9 diagonais
Mas nem sempre é fácil contar as diagonais de um polrgono. Veja este polígono de
10 lados:
c
E
J
H
Observe que, neste caso, de cada vértice saem 7 diagonais. Como são 10 vértices,
poderfamos pensar que o total de diagonais é 10 . 7. S6 que, desse jeito, contamos
cada diagonal duas vezes. Veja, por exemplo, a diagonal AO. Ela foi contada quando
pensamos nas diagonais que saem de A e quando pensamos nas que saem de O.
Portanto, o número de diagonais do polígono de 10 lados é:
10 . 7 - 35
2 -
Muito bem, respondemos à pergunta para o polígono de 10 lados. E os polígonos de
11 lados, 20 lados, ete.?
Para esses infinitos casos vamos calcular o número de diagonais usando uma
variável que representa o número de lados do polígono.
36

A fórmula do número de diagonais
Imagine um polígono de n lados. Neste caso, a variável n representa qualquer número
natural maior que 2.
Esse polfgono tem também n vértices. Quantas diagonais saem de cada vértice?
v
Veja: do vértice V saem díagonais para todos os outros vértices, exceto para o
próprio V e para os dois vértices vizinhos a ele.
Conclusão: de cada vértice saem n - 3 diagonais.
Para obter o total de diagonais, multiplicamos n - 3 por n (porque são n vértices) e
dividimos por 2 (para não contar duas vezes cada diagonal).
d = n(n - 3)
2
Essa é a fórmula que fornece o número de diagonais (d) de um polígono convexo de
n lados.
;
~i
I' Exemplo
Se o poJ(gono tiver 15 lados, calculamos o valor numérico da expressão para n 15:
n(n - 3)
2
d = 15· (15-3)
2
d
6
15· ~ 90
r =
1
Um polfgono de 15 lados tem 90 diagonais.
-'34
---------------------------------------
37

Em nosso trabalho utilizamos essa mesma situação, porém procuramos dar
seqüência nesse raciocínio dedutivo, fazendo apenas o papel de condutores do
processo. Usamos como base dessa condução as idéias apresentadas no início deste
trabalho, norteados por Piaget, Ausubel, Goleman, etc. Buscamos pautar a
apresentação do problema aos alunos de forma a que ele se apoiasse nos subsunçores
ausubelianos através dos organizadores prévios. Como? Talvez seja a pergunta que os
adeptos de uma aplicação direta e arreflexiva de conteúdos matemáticos possam fazer,
a resposta que podemos dar, de acordo com o nosso referencial bibliográfico e a nossa
prática seria que:
../ ao propormos o problema discutimos com os alunos sobre ele de
~
maneira indireta" ~ exemp o, no problema transcrito abaixo
iniciamos comentando sobre as formas geométricas que os cercavam,
levamos latas de óleo vazias, caixas de pasta de dente, cesto de lixo,
caixa do chocolate toblerone, etc., na seqüência começamos por
perguntar que formas eles lembravam de coisas de suas casas, sugiram
lembranças da geladeira, do guarda-roupas e, fmalmente a que eu
queria, televisão, foi quando eu lancei a pergunta - que dentro do meu
planejamento seria o agente desequilibrador citado por Piaget, ao
mesmo tempo, com as lembranças forçadas eu os fiz iniciar o
processo de organizadores prévios, sob os quais eu iria fazer a
ancoragem do assunto em si, que era levar ao conceito de função -
como era que as pessoas se referiam à medida de uma televisão, eles
responderam em polegadas, nesse momento perguntei-lhes se eles
sabiam o que era polegada, (como havia dois torneiros mecânicos em
uma das turmas), eles conseguiram explicar para os colegas já as
demais turmas já tinham ouvido falar, mas, (não conseguiam
conceituar), nesse momento trabalhamos o que são e para que servem
as medidas, discutimos o sistema arcaico e depois, voltamos a
pergunta sobre como se media a televisão. É importante notar que já
38

de insngá-Ios em seus conhecimentos previos, e estavamos
procurando fazer com eles passassem a se sentir ínteragindo com o
problema, de forma que ele tomasse "seu" problema. Quando
sentimos que já estávamos com os alunos em condições de seguirmos
com a atividade trabalhamos a diagonal da televisão, a partir daí
entramos no tema diagonal e desenvolvemos a seqüência didática que
o problema estruturado permitia.
Como perceberão a introdução ao cálculo de diagonais apresentado no livro
do Jakubo e Lellis, passa em nosso trabalho, a ser uma seqüência didática completa
como podemos observar na transcrição de um trecho das páginas 6, 7 e 8 da apostila:
Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (diagonal é o
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica)
Para responder a essa pergunta, podemos desenhar os polígonos e contar as
diagonais:
o diagonais
12 diagonais
2 diagonais 5 diagonais
20 diagonais
39

Mas nem sempre contar é o melhor método, pois veja a figura abaixo e tente
dizer quantas diagonais ela tem.
~~~
E agora?
Para obtermos uma resposta que nos tome menos tempo e nos seja
conveniente podemos dar nome aos elementos que compõem o problema, assim:
d pode ser o n.o de diagonais do polígono;
n pode ser o nosso número de lados.
Observando todas as figura e montando uma tabela teremos
(complete as duas últimas linhas):
Tabela 01
Número de Número de Norne da figura
lados (o) diagonais de cada vértice
" O Triângulo-'
4 1 Quadrado
5 2 Pentágono
6 " Hexágono-'
8 5 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
n
Você consegue estabelecer a relação entre o número de vértices e de
diagonais de cada vértice?
Com os dados que já temos e com o que já observamos podemos montar um
40

Modelo Matemático para nos dizer quantas aiagonats partem ae um uruco veruce ut:
um polígono, cuja expressão matemática você escreverá no espaço abaixo:
Sabendo quantas diagonais partem de cada vértice, é possível saber também
quantas são as diagonais totais de um polígono qualquer, observando a tabela abaixo
(complete as linhas que faltam):
Tabela 02
Número de Número de Total de
lados diagonais de cada vértice diagonais
3 O O
4 2 2
5 2 5
6 3 9
8 5 20
9
10
n
Portanto o Modelo Matemático para que o número de diagonais de um
polígono qualquer é expresso por:
Qual é a vantagem de se ter um modelo matemático para uma determinada
situação, é simples, no caso do último polígono dado, aplicando o modelo matemático,
teríamos:
41

2
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO 3
2. FUNÇÕES 4
2. 1 Introdução: 4
3. EQUAÇÕES - "O RESGATE" 5
4. MODELOS MATEMÁTICOS: UM EXEMPLO GEOMÉTRlCO 6
5- FUNÇÕES APLICADAS ÀS CIÊNCIAS 8
5.1. BIOLOGIA 8
5.2 FÍSICA 11
5.3 VOLTANDO À BIOLOGIA 13
6. PROGRESSÃO ARlTMÉTICA (P.A.) 14
7. PROGRESSÕES GEOMÉTRlCAS (P.G.) 16
8. LOGARlTMO 19
9. ESTATÍSTICA 20
9.1 MÉDIA ARlTMÉTICA 23
9.2. MODA (Mo) 24
9.3 MEDIANA (Md) 24
10. APROXIMAÇÕES 24
11- PROBLEMAS 26
12. BIBLIOGRAFIA 34

3
1. APRESENTAÇÃO
Caro aluno, bem vindo ao curso de Matemática do Ensino Médio do Centro Estadual
de Educação Básica para Jovens e Adultos da Universidade Estadual de Ponta Grossa (CEEBJA-
UEPG), procuraremos nesse tempo que estaremos juntos tornar o aprendizado da Matemática
simples e objetivo, procurando aplicar seus conceitos em situações o mais próximo possível das
enfrentadas por vocês no dia-a-dia.
Desta forma, acreditamos estar propiciando a vocês a aquisição de um conjunto de
ferramentas e conhecimentos extremamente úteis que podem agilizar, e muito, os seus afazeres, pois a
quantidade de Matemática que usamos diariamente é incomensurável (impossível de ser medida) e
muitas vezes não nos apercebemos disso. Ao irmos num supermercado; ao fazermos um bolo; uma
reforma na casa; uma leitura de jornal; ou executarmos uma manutenção preventiva de automóveis,
motocicletas, bicicletas, etc.; ou mesmo se pretendemos ter uma compreensão clara e objetiva do
mundo que nos cerca, para isso estaremos usando a Matemática.
O Matemático, Físico e Artista italiano Galileu Galilei disse certa vez: "A Matemática
é a linguagem com a qual Deus escreveu o Universo" esta frase é bastante expressiva no sentido de
entendermos o porque de se aprender Matemática, ainda nos dá uma pista sobre o significado da
palavra Matemática. A Palavra Matemática tem origem na conjunção de duas palavras gregas
Materna que significa Conhecimento e tica que significa arte, assim, Matemática quer dizer A arte
.-- do conhecimento. Também entendemos que nos dias atuais a palavra Matemática significa resolver
problemas.
Assim trabalharemos a Matemática em dois sentidos:
• no de que ela nos fornece Conhecimentos para "ler" o mundo;
• no de que é uma ferramenta muito útil para Resolver Problemas.
Dificuldades'? É claro que as teremos! Porém, não podemos desanimar ou desistir ao
encontrarmos algumas dificuldades, que sem dúvida virão, mas juntos com certeza avançaremos.
BOAS AULAS!
Prof. Waguer Siudici Sebastião

4
2. FUNÇÕES
2.1 Introdução:
"A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em certa medida
todos são matemáticos e fazem matemática conscientemente. Comprar no supermercado, medir
um rolo de papel de parede ou decorar uma jarra de cerâmica com desenhos regulares éfazer
matemática." (Davis e Hersh, 1989.)
Desde o seu aparecimento na terra, o homem tem recorrido à matemática. A utilização
da Matemática em nossas vidas é tão grande e tão intuitiva que muitas vezes torna-se dificil quando
nos perguntam da sua importância, citar alguma coisa, porque ela é parte integrante da nossa vida.
Desde as coisas mais simples do cotidiano até a sofisticação da tecnologia moderna dependem da
Matemática.
Na história da humanidade, a matemática foi descrita inicialmente como a ciência da
quantidade e do espaço. A própria natureza forneceu elementos para que as noções iniciais sobre
quantidade e forma se desenvolvessem paralelamente no processo de aquisição do conhecimento
matemático pela humanidade. Cabe observar, que na ânsia de compreender a realidade, o homem foi
desenvolvendo e aprimorando esse conhecimento através da observação, análise, comparação,
interpretação, etc.
Devido em parte à necessidade comunicação, os matemáticos, estabeleceram
convenções, criando símbolos. Assim a Matemática adquiriu uma característica especial: a
possibilidade de ser descrita por uma linguagem formal, que em certo sentido espelha exatamente o
seu conteúdo, mas que se constitui em um conjunto de fórmulas e regras que se distanciam do real,
mas que não devem, de maneira alguma dar a você, aluno, a sensação de que lhe é impossível
aprendê-la, pois, historicamente, o fazer matemático nas várias sociedades esteve e está permeado
pela necessidade de solucionar problemas que podem ser gerados por uma necessidade social ou uma
questão puramente matemática. Em conseqüência disto, já não é mais possível estudar-se a
matemática isoladamente das demais disciplinas e do mundo real. As idéias matemáticas devem estar
ao alcance de todos e devem ser compreendidas não só pelos matemáticos, mas por todos aqueles que
dela irão utilizar-se de algum modo. Concluímos então, que todos devemos aprendê-Ia, pois a sua
compreensão irá possibilitar a leitura e organização dos eventos do mundo e também, porque a
matemática, representa um aspecto da nossa existência enquanto seres humanos.
A matemática nunca está pronta, acabada, nenhuma formalização é estabelecida de uma vez
por todas. Uma definição, um conceito serão enunciados cada vez mais precisamente à medida que
forem necessários à resolução de problemas mais e mais complexos. O atual conceito de função, por
exemplo, só foi alcançado pelos matemáticos após um longo período (de aproximadamente um século
e meio) de evolução do Cálculo e é exatamente este conceito que vamos explorar a partir de já.

5
3. EQUAÇÕES - "O RESGATE"
Vamos imaginar a seguinte situação:
Supomos que a massa de uma célula seja função do tempo, isto é, se formos
cronometrar o desenvolvimento dela diremos que ela possui uma determinada massa no momento que
começamos a cronometrar, e que ela cresce em determinada velocidade causando unicamente pelo
seu metabolismo interior. Ora como você poderia determinar a taxa de crescimento dessa célula?
Tente traduzir o que foi proposto usando apenas números, você consegue? Não!!!?
Ora então você está diante da mesma dificuldade que o Homem já teve ao tentar
compreender e explicar os fenômenos do mundo que o cerca. Para poder sair de um problema como
esse que um hindu Bháskara que por volta do ano 1000d.C. Escreveu o livro Lilavat e mais ou menos
em 900 d.C. que um árabe chamado Mohamed Ibn-Musa Al-Khowarism escreveu o livro Al-Jebr
r' que trazia uma nova representação de números (foi nesse livro que o povo europeu conheceu os
Algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e uma nova forma de fazer contas utilizando letras e não mais
o ábaco. Assim, quando você usa uma letra para representar um número você não está usando a
"matemática moderna" como muitos pensam, pois matemática moderna é uma coisa totalmente
diferente disso.
Portanto para resolvermos um problema de forma a ele poder ser aplicado em
qualquer caso semelhante usamos letras que podem representar as palavras que desejo encontrar.
Quando procedemos desta forma, usando letras para descobrirmos aquilo que desejamos descobrir
estamos usando a parte da álgebra conhecida como Equações. Equação é uma palavra de origem
latina, que por sua vez deriva do árabe "adala" que quer dizer igualar em peso. É por esse motivo que
a resolução de equações está envolvida com o sentido de igualdade, mantendo o "peso".
A partir de agora vamos relembrar a maneira que isso é feito:
1- Dois Homens, trabalhando carpem um terreno em 8h. Seis Homens levarão quanto tempo para
carpirem um terreno de igual tamanho?
2- O litro de gasolina custava, no final do mês de julho de 2000, R$ 1,389 (em média). Após uma
multa de R$ 50000000,00, dada à Petrobrás, por um acidente ecológico causado pelo vazamento de
óleo em Araucária no Paraná, houve um aumento do preço dos combustíveis. Assim, a gasolina
passou a custar R$ 1,499(também em média). Qual foi a taxa de aumento do preço da gasolina
(porcentagem de aumento)?
3- O ar que respiramos é composto de 79% de nitrogênio, 21% de oxigênio e 0,03% de gás
carbônico e diversos outros gases. O pulmão de um adulto saudável tem capacidade para
aproximadamente 1,51 de ar. Calcule a quantidade de oxigênio e de nitrogênio que temos ao
respirarmos (inflando totalmente) nossos pulmões.

&fo •••.• VL.l •.•L."'....., .w." ,----.. ~""" _ _
Exemplo:
1) Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (diagonal é o segmento de reta que
une dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica)
Para responder a essa pergunta, podemos desenhar os polígonos e contar as diagonais:
o diagonais 2 diagonais 5 diagonais
12 diagonais
Mas nem sempre contar é o melhor método,
quantas diagonais ela tem
20 diagonais
pois veja a figura abaixo e tente dizer
E agora?
Para obtermos uma resposta que nos tome menos tempo e nos seja conveniente
podemos dar nome aos elementos que compõem o problema, assim:
d pode ser o n.? de diagonais do polígono;
n pode ser o nosso número de lados.
Observando todas as figura e montando uma tabela teremos (complete as duas últimas
linhas):

Tabela 01
Número de lados (n) Número de diagonais de Nome da figura
cada vértice
3 O Triângulo
4 1 Quadrado
5 2 Pentágono
6
,.,
Hexágono-'
8 5 Octógono
9 láf Eneágono
10 + Decágono
n 0-3
Você consegue estabelecer a relação entre o número de vértices e de diagonais de
cada vértice?
Com os dados que já temos e com o que já observamos podemos montar um Modelo
Matemático para nos dizer quantas diagonais partem de um 6nico vértice de um polígono, cuja
expressão matemática você escreverá no espaço abaixo:
Sabendo quantas diagonais partem de cada vértice, é possível saber também quantas
são as diagonais totais de um polígono qualquer, observando a tabela abaixo (complete as linhas que
faltam):
Tabela 02
Número de lados Número de diagonais de cada Total de diagonais
vértice
3 O O
4 17J. 2
5 2 5
6
,.,
9-'
8 5 20
9 c;, J::;'
10 J- 3Ç-
n VI - .~ 'VL ( l/l 'S)
2-
Portanto o Modelo Matemático para que o número de diagonais de um polígono
qualquer é expresso por:
Qual é a vantagem de se ter um modelo matemático para uma determinada situação, é
simples, no caso do último polígono dado, aplicando o modelo matemático, teríamos:
Dados:

8 )
n= 12 lados
usando o
d = n.(n-3)
I d= 54
2
1
modelo matemático:
d = 12.(12 - 3) d = 12.9
2 2
d= ?
Assim, podemos também estabelecer um gráfico do modelo acima:
Cl
j~
'1
->
Como você pode perceber é muito mais rápido e fácil saber o resultado sabendo
utilizar o modelo.
5- FUNÇÕES APLICADAS ÀS CIÊNCIAS
5.1. BIOLOGIA
"Não há dúvidas de que crescimento é um problema biológico, e que deve ser
resolvido por experimentação, e não na mesa de um matemático. Mas, para se penetrar
profundamente na natureza deste fenômeno, devemos combinar o método experimental com a teoria
matemática. Uma possibilidade que tem sido desenvolvida por brilhantes pesquisadores. A
combinação do método experimental com a teoria quantitativa é, em geral, uma das mais potentes
ferramentas nas mãos da Ciência Contemporânea." (G.F. Gause - biólogo)
A exemplo da palavra Matemática, a palavra Biologia também tem origem em duas
palavras gregas Bios que significa vida e logos que significa estudo, logo, Biologia é a ciência que se
dedica ao estudo de todas as coisas vivas, o Homem, os vegetais e animais, porém a Biologia não
estuda a vida em si mas os fenômenos vitais e as leis que os regem.
Um dos importantes campos da Biologia é a Citologia que é o estudo das células. Mas o que é
uma célula? Podemos dizer que é a menor porção da componente dos seres vivos, que possui uma
característica morfológica (tem forma definida) e fisiológica (desempenha funções excretoras,
alimentícias, etc.) que crescem e se reproduzem. Assim, todos os seres vivos são compostos de
células.
Do ponto de vista Biológico é importante saber até quanto a célula crescerá, sua
reprodução, seu volume, seu tamanho, etc. São nessas questões que a Matemática pode auxiliar a
Biologia, como uma ferramenta que auxilia o trabalho de um mecânico, a Matemática fornecerá os
instrumentos de cálculo que possui para ajudar a Biologia a compreender melhor essas questões.

9
Um tipo de célula especial, conhecida como "linfócito T3", que é a célula que
comanda o sistema imunológico do nosso corpo, mantendo-nos seguros de agentes nocivos, como os
vírus e as bactérias.
Atividade
Instruções:
Você recebeu um cartão com uma letra no canto superior esquerdo conforme o indicado abaixo.
A
A seguir, será tocada uma música e você deve dançar, trocando constantemente de par. Quando a
música parar, você deve anotar no seu cartão a letra do cartão da pessoa que estava com você no
momento que a música parou. Vamos fazer isso várias vezes, e você sempre deverá anotar todas as
letras que estiverem no cartão do seu colega. Ao final preencheremos a tabela abaixo:
1 - Complete a tabela
n." de pessoas com a letra A na rodada O
n.o de pessoas com a letra A na rodada 1
2. Monte o Diagrama da Tabela Acima
3- Faça um gráfico do quadro acima:
y
-----1----------------------------~x

4- Monte o modelo matemático do problema:
10
5- A situação problema acima pode ser considerada uma função? Por que? Se for uma função, que
tipo de função será?
R:
---------------------------------------------------------------------
"Função é toda relação entre dois conjuntos onde todo elemento do r conjunto está
relacionado a um único elemento do 2° conjunto",
a)
(n." de contatos) (contaminados)
é função
c)
A B
não é função
b)
d) A B
5
6
7
8
é função
Os tipos de função que podemos ter são muitos:
a) será uma função Afim ou do 10
grau (representado graficamente por uma linha reta), se sua forma
geral for do tipo f(x) = a + bx;

11
b) será uma função Quadrática do 2° grau (representado graficamente por uma parábola), se sua
forma geral for do tipo f(x) = ax2
+ bx + c;
c) será uma função exponencial (representado graficamente por uma curva exponencial), se sua
forma geral for do tipo f(x) = ; a"
d) será uma função logarítmica (representado graficamente por uma curva logarítmica), se sua forma
geral for do tipo f(x) =log, x (com b > O);
d) será uma função trigonométrica, se sua forma geral for do tipo f(x) = sen x, ou cos x, ou tg x, ou
cossec x, ou sec x ou cotg x..
A situação proposta, na atividade da "Dança da AIDS" , como percebemos, simula a
transmissão de uma doença infecto-contagiosa. Toda doença dessa natureza precisa, para se
propagar, de um vetor ou agente transmissor e o número de pessoas infectadas aumenta numa
velocidade exponencial. A AIDS ou SIDA (Síndrome da Imuno-Deficiência Adquirida) tem, segundo
consta, sua origem no continente Africano, sendo que os primeiros casos foram registrados na década
de 60, ainda como uma doença desconhecida, o vírus destrói o sistema imunológico e tem um período
de incubação de cerca de 5 anos (período que a pessoa ainda não demonstra os sintomas e mais
infecta outras pessoas).O vírus da AIDS chama-se HfV, sendo transmitindo pelo sangue
(principalmente transfusões) e por relações sexuais diretas (sem preservativos). Hoje sabemos que ela
tinha como hospedeiro (organismo que aloja o vírus sem, porém, ser infectado por ele) um macaco
não se sabendo ao certo como o vírus foi transportado para o ser humano. Não existe cura para a
AIDS, o que existe é uma combinação de vários medicamentos que impedem as ações do vírus,
deixando-o incubado. Sem esse "coquetel" de medicamentos o indivíduo morre no prazo médio de
um ano depois do vírus eclodir. Normalmente a pessoa morre de doenças respiratórias como gripes,
pneumonias, etc. Outros exemplos de vírus, com potencial devastador ao se humano, descoberto nas
últimas décadas são:
• O Ebola, com os primeiros casos de incidência registrados no Zaire (África), após o
contágio leva indivíduo em 7 dias, seus sintomas são: febre alta e erupções cutâneas
(feridas), destruição dos órgãos internos;
• Gripe espanhola, seus primeiros casos são registrados no início do século no continente
europeu, de tempos em tempos ela surge e faz suas vítimas;
• O Influenza um vírus de gripe também muito forte.
• A Hepatite B, que é um que ataca o sangue
Entre outros.
5.2 FíSICA
A velocidade com que um vírus se propaga pode ser encontrada facilmente através da
Mecânica que é a parte da Física que estuda os movimentos.
Isto é muito parecido com o que nos apresenta a Física que nos diz que a velocidade é
a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-Io, assim se considerarmos um
móvel que se desloca com uma velocidade de 30Km/h, teremos:

Obs. Preencha os dados que faltam:
Tabela 03
Velocidade Tempo 2asto (em h) Distância percorrida (em Km)
30 1 30
30 2 60
30 3 90
30 4
30 5
30 6
V t
Chamando d de distância percorrida, v de velocidade e t de tempo, o modelo
matemático que descreve a condição acima pode ser escrito da seguinte forma:
Podemos perceber que a partir da tabela acima se pode visualizar melhor, em um
gráfico, que relacione a distância percorrida com o tempo gasto para percorrê-Ia:
Esse tipo de gráfico é composto por dois segmentos de retas perpendiculares entre si e
formando um ângulo de 90° Essas retas recebem o nome eixo cartesiano. O nome eixo cartesiano se
deve ao matemático francês René Descartes (1596-1650) - que era formado em Direito e trabalhou
em atividades militares em vários países, inclusive com o holandês Maurício de Nassau - que em 1637
escreveu o livro "Discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências"
também conhecido como "Discurso sobre a ordem e o método" e por volta de 1628 escreveu sua
obra de maior contribuição para a matemática chamada simplesmente de La Géométrie e La
Dioptrique, ambos como um apêndice do Discurso, em La Géométrie Descartes apresentou a
matemática que unia Álgebra com a Geometria, que passou a ser conhecida como Geometria
Analítica ou Geometria Cartesiana (o nome Cartesiana se deve ao fato de que na época todas as
publicações científicas deviam ser feitas em latim e o nome de René Descartes em latim era Renatu
Cartesianus). Assim, hoje usamos os chamado eixo cartesiano quando desejamos representar
geometricamente (gráfico) um acontecimento ou fenômeno observado e estudado.
Logo:
t

13
o v
No gráfico acima podemos identificar alguns elementos e tirar algumas conclusões,
tais como:
a) o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas;
b) o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas;
c) os valores, nas abscissas à esquerda do ponto Osão negativos e os da direita positivos;
d) os valores, nas ordenadas abaixo do ponto Osão negativos e os acima são positivos;
e) o segmento que representa a distância percorrida pelo móvel é uma reta.
5.3 VOLTANDO À BIOLOGIA
Assim, a exemplo do que ocorre na Física, a velocidade de crescimento de uma célula
também pode ser obtida por uma função, pois quando dizemos que mo = m(t) é muito parecido com d
= V.t (da tabela 03), lembrando que se quisermos saber a velocidade teremos v = lis , logo:
li!
lim
km=-
M
onde k é a constante de proporcionalidade da taxa de crescimento da equação da equação
Porém, essa célula não continuará crescendo para sempre, chegará um momento em
que o crescimento irá se estabilizar. Portanto sua representação gráfica não será a mesma da
velocidade, que é uma crescente constante, mas como ficaria então?
Sendo que uma planta de massa m=100g cresce 4g nas próximas 24 horas, queremos
determinar:
1) Em quanto tempo se tornará uma árvore de 10Kg?
Instante 1° dia 2° dia 3° dia 4° dia 5° dia 6° dia 7° dia 8° dia 9° dia
Massa(2) 100 104 108,25
2° dia Mfmal= Minieial.(l+ir
Mtlnal=100.(1+0.04)2
M2 = 100.
2)De quanto aumentará sua massa em um dia quando a planta estiver com 100kg?
3)Monte o modelo matemático que expresse o problema proposto.

14
4)Utilizando o modelo matemático do problema complete a tabela abaixo referente ao crescimento
mensal dessa planta durante o período de um ano.
Mês 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12°
Ano
5)Esboce um gráfico representativo do problema de acordo com os dados obtidos na tabela do
exercício 4.
Também em relação à propagação de um vírus, o que nos importa é que podemos
utilizar a Matemática para ajudar a prever o aumento da incidência desses vírus e até traçar metas
para atingir o seu controle, entendendo o problema como uma série numérica ou seqüência numérica
que pode ser analisada. Porém o que é uma seqüência numérica?
"É todo o conjunto de números cujos elementos seguem uma certa ordem. "
No caso do contágio da AIOS do problema trabalhado, nele a ordem é dada
por:
y = 2x
ou seja f(x) = 2x
Que chamamos de seqüência exponencial.
Mas existem outros tipos de seqüências numéricas, tais como as Progressões
Aritméticas e as Progressões Geométricas.
6. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
"É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à
soma do termo precedente (anterior) com uma constante r, chamado de razão da
progressão" .
Fórmula do termo geral de uma P.A.
an = aI + (n - 1).r
onde: a, = último termo

15
a, = 10
termo
n = n.o de termos
r = razão
Fórmula da Soma de uma P.A. Finita
Exercícios:
1- Em uma estrada são instalados telefones SOS a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones
instalados num trecho que vai do km 5 até o km 61, sabendo que nessas marcas há telefones
instalados. Conte inclusive com esses dois telefones.
2- Um cidadão comprou na loja Baxi-Jango, roupas e calçados, em 12 prestações, uma em cada mês,
sendo que a primeira será de R$ 50,00, a segunda será de R$ 52,00, a terceira será de R$ 54,00, a
quarta de R$ 56,00, e assim sucessivamente. Responda:
a) qual será o valor da 123
prestação?
b) qual foi o total da compra?
c) Faça um gráfico das prestações.
3- Um terreno será vendido através de um plano de pagamentos mensais em que o primeiro
pagamento de R$ 500,00 será feito 1 mês após a compra, o segundo, de R$ 550,00, será feito dois
meses depois da compra, o terceiro, de R$ 600,00, será feito 3 meses após a compra e assim por
diante (isto é, cada pagamento mensal é igual ao anterior acrescido de R$ 50,00). Sabendo que o

16
preço total do terreno é de R$ 19 500,00, calcule o número de prestações mensais que devem ser
pagas.
7. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)
"Progressão Geométrica é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior) por uma constante q que a razão da
P.G."
Fórmula do Termo Geral da P.G.
onde: ao= último termo
a, = 1° termo
q = razão
n = n.° de termos
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. finita
s = a1·(1-qn)
n l-q
onde: Sn= Soma dos n primeiros termos
n = n.° de termos
q = razão
ai = 1° termo
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. infinita
onde: SOC! = Soma dos n primeiros termos
q = razão
aI = 1°termo
Uma das maiores aplicações das P.G. encontra-se na Matemática Financeira,
para calcular juros. Juro é o "aluguel" que se cobra do uso do dinheiro. Assim, quando você faz uma
compra em uma loja, e vai pagar a prazo é como se o dono da loja lhe emprestasse o dinheiro para a
compra e você o devolvesse aos poucos. Quando, você paga parte do Capital emprestado, junto com

17
parte do juro, dizemos que você está amortizando a dívida, e quando pagar a última parcela, você
terá pagado o juro e o capital juntos. Esta é a modalidade mais comum do mercado, porém se você
paga apenas o juro da dívida, chegará um momento que você deverá pagar todo o capital emprestado,
esse é o caso da dívida externa brasileira, que parece nunca ter fim.
Há dois tipos de juros, o Juro Simples, onde a taxa de juros incide apenas uma
vez sobre o capital, e o Juro Composto, onde calculamos juros sobre juros.
Fórmula do Juro Composto
I M = C.(1+i)"
M = montante
C = capital
i = taxa
n = período ou tempo.
Exemplo:
1- Você comprou um, televisor de R$ 500,00 em seis prestações de juros simples de 6%. Calcule:
a) Qual o juro cobrado?
b) Qual o valor de cada prestação?
2- Você comprou um, televisor de R$ 500,00 em seis prestações a JUro composto de 6%. a.m.
Calcule:
a) Qual o juro cobrado?
b) Qual o valor de cada prestação?

18
Exercícios
1- Aplica-se um capital de R$ 600,00, na caderneta de poupança, durante um período de 8 meses.
Prevendo uma média de juro de 0,98% a.m. para a caderneta de poupança nesse período, qual
será a estimativa de juros obtido?
2- Uma financeira empresta dinheiro à funcionários públicos a uma taxa de 3,5% a.m. Um
funcionário da UE.P.G. toma emprestado R$ 1 450,00 para pagar em 12 meses. Calcule:
a) o montantente que ele irá pagar do empréstimo;
b) o valor do juro pago.
3- Um cidadão comprou, na loja Baneta-pé, roupas e brinquedos num total de R$ 235,00. Ele
resolveu financiar sua compra em 5 vezes, em parcelas iguais de RS 50,00 por mês. Calcule:
a) o total final da compra;
b) o total de juro pago;
c) a taxa de juros cobrada pela loja.

19
4- Em um rebanho de 15 000 reses, urna foi infectada pelo vírus "vaca louca". Cada animal infectado
vive apenas dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada três é infectado
urna única vez, em quanto tempo o vírus terá exterminado metade do rebanho?
Obs. Para resolvermos este exercício teremos que utilizar urna operação da matemática chamada
Logaritmos. Mas o que são Logaritmos?
8. LOGARITMO
"Logaritmo é a operação que tem por objetivo e princípio básico transformar urna
multiplicação em uma adição ou urna divisão em uma subtração cujos esquemas de cálculo se
baseiam nos estudos de John Napier um matemático escocês que publicou suas obras sobre
logaritmos entre os anos de 1614 e 1619".
o princípio do logaritmo está numa pergunta "a quanto devemos elevar um número
para obter o outro?"
Ou seja:
2X
= 8? ou seja log, 8 = ?
Forma Geral de um Logaritmo
Log, a = x (lê-se logaritmo de a na base b é igual a x) ou seja
bX
= a (lê-se a quanto se deve elevar b para se obter a)
Propriedades dos Logaritmos
e r 3a
4a sa
Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade
loz, b = 1 loz, 1 = O log b aY
= v.log, a log, b" = X b'oga -
b - a
6a
7a ga 9a
Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade
Cologaritmo Multiplicação de Divisão de Mudança de Base
lozaritmandos lozaritmandos
C010gba = -10gba log, a.c = log, a + log, c a 1 log, a
log, - =log, a - log, ogba =--
c log, b
Obs. Quando o logaritmo não possuir indicação numérica da base esta será sempre 10. Exemplo: log
100 = 2 (lê-se logaritmo de 100 na base 10 é 2)

20
Exercícios:
1- Calcule os logaritmos:
a) log7 49 = b) log 1000 =
2- Um cidadão fez um empréstimo, no Banespado S/A, de R$ 1 500,00, a uma taxa de 3,6% a.m., o
montante pago foi de R$ 2 189,95. Quanto tempo ele demorou para pagar o empréstimo?
(lembre-se que M= c.(1+i]", onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa e n o período ou
tempo do empréstimo).
3- Sendo f(x) = log x, faça o gráfico desta função.
9. ESTATíSTICA
Agora, "voltando ao problema da vaca louca" faça um gráfico da mortande das vacas, porém
para permitir uma melhor visualização desse "evento", vamos fazê-lo usando os Gráficos Estatísticos,
que são: Gráfico de Linha, Gráfico de Barras (Verticais e Horizontais), Gráfico de Setores.
Para compor um gráfico, é necessário que se tenha:
a) Título - que é o nome do gráfico, que deve responder às perguntas "o que?, onde? e quando?";
b) Fonte - que é a informação da origem dos dados;

a) Gráfico de Linha
GRÁFICO 01
21
4500
4000I/)
~ 3500
~ 3000
I/) 2500
C'CS
~ 2000
~ 1500
~ 1000
c: 500
O
Mortalidade das Vacas Atingidas pelo Vírus
"Vaca Louca"
Ponta Grossa - Agosto de 2000
,
/
/
/,/
/
~
~~
~
Tempo (dias)

b) Gráfico de Barras
GRÁFICO 02
22
Mortalidade de Vacas Atingidas pelo Vírus
"Vaca Louca"
4500 4220
4000
11I
3500ta
t:
o 3000~
11I 2500ta
o
2000ta
>
1500ai
"O
o
1000:2
500 3 9
O
" rv <:, b< ~ <o ~ <o ~<::-
~"q)
s&-1>'
q)
Tempo (em dias)

23
Também podemos ter um Gráfico Estatístico do Problema do contágio de AIDS
c) Gráfico de Setores
GRÁFICO 03
Número de Pessoas Infectadas com o Vírus
da AIOS
1
2
4 8
A partir dos gráficos podemos fazer as análises que envolvem conceitos estatísticos,
permitindo fazer inferências a respeito dos dados obtidos, tais como média, mediana e moda.
64
9.1 MÉDIA ARITMÉTICA
"Média é o valor de cada parcela de uma soma, de maneira que elas tenham o mesmo
valor", ou seja, é a soma das parcelas dividida pelo número de parcelas.

24
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Média
Aritmética:
I 1:4=2+ 4 +8 + 16+32;;,- 64
x= 7 :
127
x=--
7
I x = 71
9.2. MODA (Mo)
"São as freqüências mais repetidas de maior valor possível".
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Moda:
Mo = 64.
9.3 MEDIANA (Md)
"É o termo central de uma amostra".
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Mediana:
Dados: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Md=8.
10. APROXIMAÇÕES
Quando se trabalha com valores expressos em casas decimais, pode ser que seja mais
prático e necessário fazer aproximações, para um menor número de casas decimais ou mesmo para o
inteiro.
Porém, para poder fazer isto é necessário seguir certas regras, que descrevemos
abaixo:
1°) se o número a ser excluído for maior do que 5, aumenta-se uma unidade ao número anterior a ele;
2°) se o número a ser excluído for menor ou igual a 5, o número anterior a ele permanece o mesmo.
Exemplos:
1) Faça a aproximação para duas casas decimais os números:
a) 23,432 = 23,43 b)23,435 = 23,43 c)23,436 = 23,44

25
Exercícios
1-0 índice de massa corporal é: ic = ~ , montar uma tabela com o ic. de (20)vinte pessoas. A seguir
h
montar o gráfico e encontrar a média, moda e mediana. Na tabela usar a aproximação para inteiros.

26
11- PROBLEMAS
1) Seu Nicanor, contador aposentado, mora atualmente numa pequena chácara. Com a ajuda de sua
mulher, já plantou o pomar e a horta. Agora, o casal pretende construir um galinheiro. Dada área
disponível, seu Nicanor pensou em construir um galinheiro retangular, aproveitando parte de um dos
muros laterais da chácara. Comprou, então, um rolo de tela de arame, com 20m de comprimento. De
posse desse conhecimento desenvolva o que se pede:
a) Faça um esboço das possíveis formas e dimensões do galinheiro. (no mínimo 3)
b) Faça uma tabela das possíveis larguras e comprimentos do terreno. (mínimo 5)
c) Tente representar matematicamente a situação.
d) Represente graficamente.
2) Uma caixa d'água está com lOOL de água. Num certo instante, uma torneira é aberta, despejando
lOL/min. Com base nessa informação responda o que se pede:
a)Construa um modelo matemático para a situação acima.
b) Qual será o volume de água na caixa decorridos 20min?
c) Qual o tempo necessário para que se tenha lOO,8L?
d) Esboce um gráfico do problema, e diga qual é o tipo de gráfico formado.
3) Um trem de carga, que vai do Rio de Janeiro para Belo Horizonte, segue com velocidade constante
de 60Km/h. Se representarmos por S a distância após um t, podemos dizer que essa distância
percorrida depende do tempo gasto. Nessas condições responda:
a) Isso é realmente uma função
r> b) Qual é a lei de formação dessa função, (caso ela seja realmente uma função)
c) Qual a distância percorrida pelo trem após 2h30min?
d) Considerando que o trem tenha 100m de comprimento, quanto tempo ele levará para atravessar
uma ponte com 100m de comprimento?
4) Um colar quebrou-se durante uma luta amorosa. Um terço das pérolas caiu no chão, um quinto
ficou na cama, um sexto foi achado pela jovem e um décimo foi achado pelo seu amante, seis pérolas
permaneceram no fio. Diga de quantas pérolas era composto o colar?
Você classificaria os exercícios anteriores como função? Justifique sua resposta.
5) De um monte de puras flores de lotus um terço, um quinto e um sexto, foram oferecidos,
respectivamente, aos deuses Shiva, Vishnu, e ao Sol; um quarto foi dado de presente a Bhavani. As
restantes seis flores foram dadas ao venerável preceptor. Diga-me o n.o total de flores.

27
6) Para uma excursão foi fretado um avião de 100 lugares. Cada pessoa deve pagar a companhia
aérea R$ 2000,00 e mais uma taxa de R$ 40,00 para cada lugar não ocupado no avião.
a) Qual a quantia máxima que a companhia poderá receber pelo frete?
b) Você consegue chegar a um modelo matemático para o problema?
c) O modelo matemático obtido pode ser considerado uma função? Se a resposta for afirmativa
explique por que e de seu domínio, imagem e campo de variação.
7) Uma empresa de assistência médica oferece dois planos aos seus associados: no plano A, a pessoa
paga R$ 50,00 por mês mais R$ 10,00 por consulta; no plano B a mensalidade é de R$ 75,00, mas a
consulta custa só R$ 6,50.
a) Quanto pagará um associado que faz x consultas em um mês, com o plano A?
b) Quanto pagará um associado que faz x consultas em um mês pelo plano B?
c) Suponha que um associado faça x consultas em um mês. Determine para que valores de x o plano
A é mais vantajoso que o plano B.
8) Quatro irmãos possuem juntos R$ 45,00. Sabendo que:
• a quantia que o primeiro possui for aumentada de dois reais,
• a quantia que o segundo possui foi reduzida de dois reais,
• se dobrássemos a quantia que o terceiro possui e cortarmos pela metade a quantia que o quarto
irmão possui todos teriam a mesma quantia.
a) Quanto dinheiro cada irmão possui?
b) Expresse graficamente essa situação
9) O campeonato de fórmula-I tem 16 corridas por temporada. Em cada uma os primeiros seis
colocados pontuam de acordo com essa tabela:
Colocação 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Pontos 10 6 4 3 2 1
Até aqui se realizaram quatro corridas, o primeiro colocado é Miguel Chumaca, com 40
pontos, o segundo é Damião Riu, com 11. Responda: "Vencendo as duas próximas corridas Chumaca
já será matematicamente campeão? Construa o gráfico dessa possibilidade".
1O) Após perceber que seria possível construir muitos galinheiros retangulares diferentes, com os
mesmos 20m de tela, ele fez uma pergunta a si mesmo: qual será o galinheiro mais espaçoso? Por que
será que seu Nicanor se fez essa pergunta? Para encontrarmos a resposta façam:.
a) O desenho das possibilidades da cerca (exercício 1) e calcule a área de cada um deles;
b) construa uma tabela para as áreas encontradas (mínimo 8);
r- c) Construa um modelo matemático para a área do galinheiro.
d) Esboce num gráfico essas áreas

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