1. Teste da concavidade Como a derivada segunda afeta a concavidade de uma função Por Rogerio Oliveira

2. (a) Num intervalo onde Temos a concavidade para cima, isto é, o gráficode f está acima de todas suas tangentes

3. (a) Num intervalo onde Temos a concavidade para cima, isto é, o gráficode f está acima de todas suas tangentes (b) Num intervalo onde Temos a concavidade para baixo, isto é, o gráfico de f está abaixo de todas suas tangentes

4. Exemplos Concavidade para cima (f ‘’ >0) Concavidade para baixo ( f’’ <0)

5. Mas, como isso acontece?

6. Bem, suponha que temos uma função com concavidade para cima num intervalo aberto, como nesta figura:

7. Bem, suponha que temos uma função com concavidade para cima num intervalo aberto, como nesta figura:

8. Bem, suponha que temos uma função com concavidade para cima num intervalo aberto, como nesta figura: Vemos o ponto de tangência e a reta tangente que passa por ele.

9. Bem, suponha que temos uma função com concavidade para cima num intervalo aberto, como nesta figura: Vemos o ponto de tangência e a reta tangente que passaf(a) por ele. Digamos que o ponto a seja (a, f(a)).

10. Considere um x > a. Temos que mostrar que o gráfico da função está acima da reta tangente neste x, pois ele é côncavo para cima. f(x) a x

11. Considere um x > a. Temos que mostrar que o gráfico da função está acima da reta tangente neste x, pois ele é côncavo para cima. f(x) a x

12. f(x) a x