Trigonometria na circunferência

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Circunferência Trigonométrica - Introdução
+ Batalha Naval
Primeira Série - E.M.

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Trigonometria na circunferência

  1. 1. Trigonometria na circunferência.
  2. 2. Relembrando conceitos sobre arcos de circunferência e ângulos.  O que é um arco de uma circunferência ? Sejam A e B, dois pontos sobre uma circunferência L. . . B A L Se unirmos os pontos A e B, partindo de A e chegando a B, no sentido anti-horário, teremos o arco AB. Denotamos 𝐴𝐵.
  3. 3. . - Dois pontos A e B numa circunferência, dividem-na em duas partes, denominadas arcos. - O sentido que adotamos para representar um arco numa circunferência, influencia na sua representação e denotação. - Os pontos A e B são as extremidades do arco. . . B A L Se unirmos os pontos A e B, partindo de A e chegando a B, no sentido horário, teremos o arco AB. Denotamos 𝐴𝐵.
  4. 4. Ângulo Central  Observe a figura da circunferência L, de centro no ponto O, que contém o arco 𝐴𝐵.  Sabemos que, todo ângulo coplanar com uma circunferência L, cujo vértice é o centro de L, é denominado ângulo central relativo à L.  𝐴𝐵 é chamado de arco correspondente ao ângulo central A 𝑂𝐵. O A B L
  5. 5. Medida de arcos de circunferência.  Há dois tipos de medições que podem ser feitas para um arco 𝐴𝐵 de uma circunferência, que são: - Linear: é o comprimento do arco 𝐴𝐵, ou seja, a distância entre as suas extremidades. - Angular: está relacionada à medida do ângulo central, correspondente à este arco, ou seja, a medida angular do arco 𝐴𝐵 é igual à medida do ângulo central associado à ele. • Denotaremos por m( 𝐴𝐵) a medida angular do arco 𝐴𝐵, e m( a medida do ângulo central do arco 𝐴𝐵. A 𝑂𝐵)
  6. 6. Medida em graus.  É a unidade de medida que conhecemos desde o ensino fundamental. Dividindo uma circunferência em 360 partes congruentes entre sí, temos que cada parte dela equivale a 1°(um grau). 1°
  7. 7. Medida em radianos.  Medir um arco com essa unidade de medida, significa responder à pergunta: Quantos arcos de comprimento igual à um raio da circunferência, “cabem” no arco que se deseja medir ?  Veja os exemplos de um arco de medida 1 rad e 2 rad.  Obs: lembre-se que a medida angular do arco está relacionada à medida do seu ângulo central.
  8. 8.  De um modo geral, temos a relação: 𝛼 = 𝑙 𝑟 Onde, 𝑙 é o comprimento do arco, 𝑟 é o raio da circunferência e 𝛼 é a medida do ângulo central do arco, conforme o desenho abaixo. r r 𝑙 𝛼
  9. 9. Trigonometria na circunferência.  O que é uma circunferência trigonométrica ?  Por que estudar trigonometria utilizando uma círcunferência ?  Onde vamos usar estes conceitos ?
  10. 10. No decorrer desta aula, vamos nos preocupar em responder estas questões.  Observe às figuras abaixo, elas lembram conteúdos já vistos anteriormente, como arcos de circunferência, e ângulos.
  11. 11. 1º Passo: Construção da circunferência trigonométrica.  Para construir uma circunferência trigonométrica, faremos algumas convenções a seguir:  No plano cartesiano, vamos considerar a circunferência de centro na origem e raio unitário, conforme a figura abaixo. Vamos estudar um método, que possamos utilizar para representar e calcular medidas de arcos.  Os arcos serão medidos a partir do ponto A.  A representação acima, é a de uma circunferência trigonométrica. O r = 1 .A(1,0)
  12. 12.  Vimos que, para representar um arco em uma circunferência, podemos nos deslocar por ela em dois sentidos, horário e anti- horário. - O sentido anti-horário, será indicado com o sinal positivo. - O sentido horário, será indicado com o sinal negativo. Para ilustrar esta ideia, veja as representações abaixo. Consideremos um arco AP qualquer, numa circunferência de centro em O e raio unitário. * Se , então m( 𝐴𝑃) =∝> 0 ; . . A P
  13. 13. * Se, então -m( 𝐴𝑃) =∝< 0; * Se A=P, então m( 𝐴𝑃) =0. A P A=P . . .
  14. 14.  IMPORTANTE: O ponto P é chamado de imagem do ângulo de medida ∝. Atividades: Para responder os itens abaixo, considere sempre uma circunferência de raio unitário, e com centro na origem O do plano cartesiano. 1-) Represente os arcos de medidas: 0rad, 𝜋 2 rad, 𝜋rad, 3𝜋 2 rad e 2𝜋rad. * Note que, pela relação 𝛼 = 𝑙 𝑟 , como 𝑟 = 1, temos que ∝= 𝑙. Ou seja, a medida angular do arco está diretamente associada a medida do seu comprimento.
  15. 15. 2-) Represente, numa mesma circunferência, as imagens dos arcos do item 1. 3-) No item 2, represente as imagens dos arcos com as respectivas medidas abaixo: * 𝜋 4 rad, 3𝜋 4 rad, 5𝜋 4 rad, 7𝜋 4 rad; * 𝜋 6 rad, 5𝜋 6 rad, 7𝜋 6 rad, 11𝜋 6 rad; * 𝜋 3 rad, 2𝜋 3 rad, 4𝜋 3 rad, 5𝜋 3 rad. 4-) Qual foi o seu raciocínio para construção destes valores ?
  16. 16. 5-) Represente agora, no sentido horário, os arcos de medidas: 0rad, − 𝜋 2 rad,−𝜋rad, − 3𝜋 2 rad e −2𝜋rad. 6-) Represente, numa mesma circunferência, as imagens dos arcos do item 5. 7-) No item 5, represente as imagens dos arcos com as respectivas medidas abaixo: * − 𝜋 4 rad, − 3𝜋 4 rad, − 5𝜋 4 rad, − 7𝜋 4 rad; * − 𝜋 6 rad, − 5𝜋 6 rad, − 7𝜋 6 rad, − 11𝜋 6 rad; * − 𝜋 3 rad, − 2𝜋 3 rad, − 4𝜋 3 rad, − 5𝜋 3 rad. 8-) Volte para a atividade 3, e escreva algumas medidas de arcos em graus.
  17. 17. BATALHA NAVAL Montagem do tabuleiro: • Número de jogadores: 2. • Em seu tabuleiro, sem que seu oponente veja, o jogador posiciona sua esquadra composta de: - 1 porta-aviões (quatro marcas em posições consecutivas numa reta ou numa circunferência). - 2 submarinos (três marcas em posições consecutivas numa reta ou numa circunferência). - 3 destroyers ( 2 marcas em posições consecutivas numa reta ou numa circunferência). - 4 fragatas ( 1 marca # ). * As marcas são para cada peça da esquadra.  Os jogadores decidem quem começa.
  18. 18. Regras do jogo:  Alternadamente, cada jogador tem direito a “dar um tiro” falando uma posição do tabuleiro da seguinte forma: primeiro o raio da circunferência e depois o ângulo. Por exemplo: (3,60°).  Se o tiro atingir algum dos navios do adversário, este diz “acertou” e especifica o tipo de navio. O jogador que acertou, registra no seu tabuleiro, o navio do adversário com uma cor diferente da que usou para marcar a sua esquadra e tem direito a novos tiros até errar.  No caso de o tiro não atingir nenhum navio, o adversário diz “água” e é sua vez de jogar.  O jogo prossegue dessa forma até que uma das frotas seja totalmente destruída.  O vencedor é o jogador que conseguir afundar todos os navios de seu adversário.
  19. 19. Destroyer Fragata Porta-aviões Submarino
  20. 20. Tabuleiro do jogo Batalha Naval 0°2 31 30° 60° 90°
  21. 21. Arcos Côngruos  Se a medida de um ângulo for maior que 2𝜋𝑟𝑎𝑑(𝑜𝑢 360°), como faremos para representá-lo no círculo trigonométrico? Qual é a sua imagem? * Tente representar alguns valores, como 3𝜋(540°), 7𝜋 3 , − 9𝜋 2 . 8-) Construa um círculo trigonométrico, e verifique o que ocorre com as imagens dos arcos de medidas: 1. 𝜋 2 rad, 𝜋 2 + 2 𝜋 rad, 𝜋 2 + 4𝜋 rad, 𝜋 2 + 6𝜋 rad; 2. 𝜋 2 − 2𝜋 rad, 𝜋 2 − 4𝜋 rad, 𝜋 2 − 6𝜋 rad;
  22. 22. 9-) O que você percebeu com relação à imagem dos arcos anteriores ? 10-) Quantas voltas, no sentido anti-horário, nós completamos no item 1, para cada um dos arcos? 11-) Quantas voltas, no sentido horário, nós completamos no item 2, para cada um dos arcos? 12-) O que todos estes arcos, possuem em comum ? 13-) Escreva uma expressão matemática que determina os valores destes arcos, em função do número de voltas no círculo trigonométrico.
  23. 23.  Familiarizados com a circunferência trigonométrica, os alunos já tem base para estudar cálculos de seno, cosseno e tangente de arcos com o auxílio do ciclo na próxima aula, e também, complementar seu estudo de funções trigonométricas.

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