1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano, incluindo referenciais ortonormados, distância entre pontos, equações de retas e circunferências, e conceitos básicos sobre vetores. 2. São definidos conceitos como ponto médio de um segmento, mediatriz de um segmento, elipses, semiplanos definidos por retas, círculos e suas partes, vetores, operações com vetores e coordenadas de vetores. 3. São apresentadas fórmulas e exemplos para calcular dist

1. numerosnamente 1
Geometria Analítica no Plano
-Teoria-
1- Referencial Ortonormado
-É um referencial ortogonal e monométrico tal que a unidade de comprimento comum aos
eixos coincida com a unidade de comprimento previamente fixada. Representação por o.n.
; A abcissa do ponto é e a ordenada do ponto é .
2- Distância entre dois pontos
a) Na reta numérica
A distância entre e escreve-se e é igual ao valor absoluto da diferença
entre as abcissas de e de .
Por exemplo:
| | | |
b) Num plano
Considere num referencial ortonormado os pontos e , a
medida da distância entre e é igau a:
√
Por exemplo:
Num plano munido de um referencial ortonormado, considere o ponto e
Determine a distância entre e

2. numerosnamente 2
√
3- Ponto médio
a) Segmento de reta
Sabendo que a abcissa do ponto é e a abcissa do ponto é , a abcissa do ponto
médio é
Por exemplo:
Abcissa de
Abcissa de
b) Segmento de reta   no plano
Sendo e dois pontos de uma reta, o ponto médio obtém-se por:
e ,
{
Por exemplo:
Uma reta passa pelos pontos . Determine o seu ponto
médio?

3. numerosnamente 3
{ {
4- Mediatriz de um segmento de reta
É a reta que é perpendicular ao segmento de reta e passa pelo seu ponto médio. Assim um
ponto pertence à mediatriz de um segmento de reta quando e apenas quando dista
igualmente das extremidades desse segmento 
Sendo e e se
√ √
 equação cartesiana da mediatriz de  
Por exemplo:
Um segmento de reta passa pelos pontos . Determine a mediatriz do
segmento de reta  .
5- Equação reduzida da circunferência
Num referencial o.n. , a equação reduzida de uma circunferência de centro e
raio é:
Se temos uma circunferência.
Se temos um ponto.
Se temos uma condição impossível.
Por exemplo:
a) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro
b) Num referencial o.n a equação reduzida da circunferência é
. Determine as coordenadas do centro e o valor do raio.
; √

4. numerosnamente 4
6- Elipse
Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos
chamados focos é constante e maior que a distância entre eles.
Os elementos de uma elipse são:
são os focos e a distância focal é ̅̅̅̅̅̅
são os vértices da elipse.
̅̅̅̅̅̅̅ é o eixo maior da elipse
̅̅̅̅̅̅̅ é o eixo menor da elipse
A equação da elipse: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
Equação reduzida da elipse:
Nesta equação temos de atende que o centro da elipse é
Se a elipse está no eixo do e então temos:

5. numerosnamente 5
; , a distância focal é
, o eixo maior é O semieixo maior é
, o eixo menor é . O semieixo menos é
Se : a elipse encontra-se no eixo dos então temos:
; , a distância focal é
, o eixo maior é O semieixo maior é
, o eixo menor é . O semieixo menos é

6. numerosnamente 6
Quando o vértice da elipse é por exemplo , ou seja a elipse sofre uma translação
associada ao vetor de coordenadas , a equação da elipse é:
e os focos e vértices terão de coordenadas, por exemplo para o caso de
estarmos inicialmente em :
;
;
;
Centro:

Por exemplo:
Considere a elipse de equação .
a) Determine as coordenadas dos focos e dos seus vértices.
b) Considere que a elipse sofre uma translação por ação do vetor ⃗ Escreva a
nova equação da elipse bem como o valor das coordenadas dos seus focos e vértices.
Resolução:
a) , logo

7. numerosnamente 7
Como estamos no eixo dos e o centro da elipse é a origem dos eixos
coordenados.
√
Focos: ( √ ) √
Vértices:
b) ⃗ 
Focos: ( √ ) √
Vértices:
7- Semiplanos
Uma reta contida num plano define dois semiplanos.
Num referencial Ortonormado considere uma reta vertical de equação:
; a sua inclinação ou declive é , pois o ângulo que essa reta forma com o eixo das
abcissas é de 90º.
O semiplano fechado à direita da reta , define-se pela inequação

8. numerosnamente 8
O semiplano fechado à esquerda da reta de equação define-se pela inequação
O semiplano aberto à direita da reta de equação define-se pela inequação
O semiplano aberto à esquerda da reta de equação , define-se pela inequação

9. numerosnamente 9
Num referencial Ortonormado, considere uma reta horizontal d equação:
; a sua inclinação ou declive é zero.
O semiplano fechado superior em relação à reta de equação , define-se pela inequação
.
O semiplano fechado inferior em relação à reta de equação , define-se pela inequação
.

10. numerosnamente 10
O semiplano aberto superior em relação à reta de equação , define-se pela inequação
.
O semiplano aberto inferior em relação à reta de equação , define-se pela inequação
.
Podemos definir uma equação reduzida da reta:
, sendo a sua inclinação e a ordenada na origem.
Se tivermos dois pontos o cálculo do declive é:
e em seguida podemos escrever a equação cartesiana da reta:
ou , Ao resolvermos estas equações em ordem
a vamos obter a equação reduzida da reta.

11. numerosnamente 11
O semiplano fechado superior em relação à reta de equação ( e é
definido pela inequação
O semiplano fechado inferior em relação à reta de equação ( e é
definido pela inequação

12. numerosnamente 12
O semiplano aberto superior em relação à reta de equação ( e é definido
pela inequação
O semiplano aberto inferior em relação à reta de equação ( e é definido
pela inequação
O semiplano fechado superior em relação à reta de equação ( e é
definido pela inequação

13. numerosnamente 13
O semiplano fechado inferior em relação à reta de equação ( e é
definido pela inequação
O semiplano aberto superior em relação à reta de equação ( e é definido
pela inequação
O semiplano aberto inferior em relação à reta de equação ( e é definido
pela inequação

14. numerosnamente 14
8- Círculos
Um círculo é a reunião de uma circunferência com a respetiva parte interna.
Um ponto pertence a um círculo quando e apenas quando a sua distância ao centro e menor
ou igual ao raio.
para o centro
Se o centro do círculo for , a sua equação é:
Uma circunferência divide um plano em parte interna, parte externa e a própria
circunferência.
Se o centro for , a sua equação é:
 circunferência de centro e raio

15. numerosnamente 15
Se o centro for , a sua equação é:
 região exterior à circunferência de centro e raio , mas a
circunferência está contida nessa região.
Se o centro for , a sua equação é:
 região exterior à circunferência de centro e raio (a
circunferência não está contida).

16. numerosnamente 16
Por exemplo:
Considere a figura (não está à escala) no referencial ortonormado. Defina as condições das
partes a sombreado.
Resolução:
Reta 0A : ;
Reta AB : ;
Equação da circunferência:
Temos na figura três situações a serem definidas:
(    )

(  )

(  )

17. numerosnamente 17
9- Segmentos orientados
Um segmento de reta que começa no ponto e acaba no ponto , representa-se por  .
O comprimento desse segmento de reta representa-se por ̅̅̅̅. Assim, um segmento de reta
tem uma direção e um sentido, portanto é um segmento orientado.
Dois segmentos orientados são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido
e o mesmo comprimento.
10- Vetor
É um segmento orientado. Um vetor fica caracterizado por uma direção, um sentido e um
comprimento.
Segmentos orientados não equipolentes determinam vetores distintos.
O vetor nulo representa-se por ⃗ .
Por exemplo:
Considere os pontos ⃗ . Calcule ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Resolução:
⃗⃗⃗⃗⃗
-Vetores colineares
Dois vetores não nulos são colineares, quando têm a mesma direção. O vetor nulo é colinear a
qualquer outro vetor.
Sejam os vetores ⃗ : Os vetores são colineares se: ⃗ ,
O número é, em valor absoluto, igual à razão entre os comprimentos vos vetores ⃗
Por exemplo
Considere os vetores ⃗ e . Mostre que os vetores sã colineares.
Resolução:
⃗

18. numerosnamente 18
{ { ) ; ⃗ são colineares.
Se ⃗⃗⃗ (com o mesmo sentido), então ⃗ ‖⃗ ‖ ‖ ‖
Se ⃗⃗⃗ (com sentido contrário), então ⃗ ‖⃗ ‖ ‖ ‖
-Vetores simétricos
Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção, o mesmo comprimento mas
sentidos opostos. O simétrico de ⃗ é ⃗ .
Seja ⃗ , o seu simétrico é ⃗
O vetor numo é simétrico dele próprio.
Por exemplo:
Seja ⃗ , o simétrico é ⃗
-Norma de um vetor
É a medida do comprimento de um segmento orientado representante de ⃗ . A norma de um
vetor representa-se por ‖⃗ ‖.
Seja ⃗ , a sua norma é ‖⃗ ‖ √
Por outro lado ⃗ ⃗ ‖⃗ ‖
Por exemplo:
Seja ⃗ . Determine a sua norma.
Resolução:
‖⃗ ‖ √ √
-Soma de um ponto com um vetor
A soma de um ponto com um vetor vai originar outro ponto.
⃗⃗⃗⃗⃗
Por exemplo:
Considere o vetor ⃗ e o pronto . Determine ⃗ .

19. numerosnamente 19
Resolução:
⃗
-Soma de dois vetores
Dados dois vetores ⃗ . A soma de ⃗ com , representa-se por ⃗ . Usa-se a regra do
triângulo para obter esta soma:
Também temos a regra do paralelogramo para obter a soma:
Propriedades da adição de vetores:
1- Propriedade comutativa
⃗ ⃗ quaisquer que sejam ⃗ e
2- Existência de elemento neutro
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ qualquer que sejam ⃗
3- Existência de elemento simétrico
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ qualquer que sejam ⃗
4- Propriedade associativa
(⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

20. numerosnamente 20
-Diferença de dois vetores
Dados dois vetores ⃗ , o vetor diferença de ⃗ é:
⃗ ⃗
-Produto de um número real por um vetor
O produto de um número real por um vetor ⃗ , representa-se por ⃗ . Este produto
da origem o um novo vetor com a mesma direção de ⃗ , o sentido igual ao de ⃗ se ou o
sentido é oposto ao de ⃗ se .
Por outro lado ‖ ⃗ ‖ | | ‖⃗ ‖
Caso ou ⃗ , então ⃗
Por exemplo:
Considere ⃗ . Calcule ⃗ e ‖ ⃗ ‖
Resolução:
⃗ ;
‖ ⃗ ‖ √ √ √ √
| | ‖⃗ ‖ | | √ √
Propriedades da multiplicação de um número real por um vetor:
Para quaisquer que sejam os vetores ⃗⃗⃗ e os números reais , tem-se:
1- ⃗ ⃗ ⃗
2- ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
3- ⃗ ⃗ )
4- ⃗ ⃗

21. numerosnamente 21
Operações com coordenadas de vetores:
-Coordenadas de um vetor
Considere o par ordenado ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ designa-se por base do espaço vetorial dos vetores do
plano.
Assim se as coordenadas deste vetor na base ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , é:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Num referencial ortonormado , o vetor ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ , assim passamos a designar
por referencial ortonormado ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Por exemplo:
Considere o ⃗ , escreva o vetor em função da base ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ .
Resolução:
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
-Vetor-posição de um ponto
Na figura está representado um referencial ortonormado ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . Nela está representado o
ponto e o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ e o ponto têm as mesmas coordenadas. Assim o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ chama-se vetor-posição do
ponto .

22. numerosnamente 22
Operações com vetores dados por coordenadas:
1-Adição
Seja ⃗ ;
⃗
2-Subtração (diferença de dois vetores)
Seja ⃗ ;
⃗ ⃗
3-Multiplicação por um escalar
Seja ⃗ , então ⃗ ,
4-Multiplicação de dois vetores
Seja ⃗ ;
⃗
5-Simétrico
Seja ⃗ então ⃗
11- Retas no plano
-Vetor diretor
Dado um vetor ⃗ não nulo e uma reta , o vetor ⃗ tem a direção da reta , quando for
paralela às retas-suporte dos segmentos orientados que representam ⃗ Assim o vetor diretor
da reta é qualquer vetor não nulo com a direção da reta
-Declive
O declive ou inclinação de uma reta não vertical de vetor diretor ⃗ é:
Por outro lado se tivermos uma reta a passar por dois pontos e

23. numerosnamente 23
-Equação vetorial de reta no plano
⃗ ,
Seja um ponto qualquer do plano, o ponto e o vetor ⃗
Por exemplo:
Escreva a equação vetorial da reta que contem o ponto e tem a direção de
⃗ .
Resolução:
-Equações paramétricas de uma reta
Resolvendo a equação vetorial, obtém-se um sistema de equações.
{ ,
Escreva o sistema de equações paramétricas de uma reta que passa no ponto e
é paralela ao vetor ⃗ .
Resolução:
{ ,
-Equações cartesianas de uma reta
Basta resolver as equações paramétricas.
{ { {
Por exemplo:
Determine a equação cartesiana da reta que contem o ponto e tem a direção de
⃗ .
Resolução:

24. numerosnamente 24
-Equação reduzida de uma reta
, sendo e ordenada na origem (ponto
onde interseta o eixo )
Por exemplo:
Escreva a equação reduzida da reta :
a) Que contem os pontos
b) Contem o ponto e tem a direção de ⃗
Resolução:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ou
; substituindo o ponto na equação, determina-se
b) ; …substituindo o ponto , determina-se
Casos especiais de retas:
-Reta vertical
, sendo o ponto da reta A=(a,b) e o declive desta reta é (ângulo reto)
-Reta horizontal
, sendo o ponto da reta A=( ) e o declive desta reta é (ângulo raso)
-Bissetriz dos quadrantes ímpares
, o seu declive é 1; a abcissa do ponto é igual a ordenada do ponto
-Bissetriz dos quadrantes ímpares
,o seu declive é ; a abcissa e a ordenada do ponto tem valores simétricos.

25. numerosnamente 25
Retas paralelas:
;
Retas perpendiculares:
;
Como 

26. numerosnamente 26
Produto interno ou escalar de dois vetores:
Seja o vetor ⃗ com ⃗ se:
⃗  ⃗ significa ⃗ ou seja:
⃗ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ⃗ e sabendo que (⃗ )  ⃗
Se ⃗ ⃗
Se ⃗ ⃗
Nota que:
= não definida ; ; ;
⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗  Teorema de Pitágoras.