CMCG/2012 – 1º Ano EM                                                                       Conectivos           Nota de a...
Conectivo   ∨                                                                        Condicional   →   (se ... então)     ...
b)   p : 34 = 81 (V)                                                     Exemplos:        q : 3 + 5 = 7 (F)               ...
Obs. É também utilizado outro quantificador ∃ | que se lê: “existe um único”.                        Negação de uma conjun...
Negação de um condicional simples                                                                                        E...
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Noções básicas de lógica 2012 nota 01

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  1. 1. CMCG/2012 – 1º Ano EM Conectivos Nota de aula 01 – Matemática – Professor Miguel A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: Noções básicas de lógica Conectivo Lê-se ∧ e Proposição ∨ ou Proposição é toda oração declarativa, com sentido completo, podendo serclassificada como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Conectivo ∧ Os símbolos V e F são chamados valores lógicos.Características: Colocando o conectivo “ ∧ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma  Sendo oração, tem sujeitado e predicado; nova proposição, p ∧ q , denominada conjunção das sentenças p e q.  É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);  Tem somente um valor lógico, isto é, ou é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Exemplos: a) p : 2 > 0 (V)Princípios básicos das proposições: q : 2 ≠ 1 (V)Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa p ∧ q : 2 > 0 e 2 ≠ 1 (V)simultaneamente. p : 7 ≠ 5 (V) b)Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não q : ( − 2) 2 < (− 1) 2 (F)existe um terceiro valor lógico. p ∧ q : 7 ≠ 5 e (− 2) 2 < (− 1) 2 (F) a) 9 > 6 (Proposição, Verdadeira). b) − 3 > − 2 (Proposição, Falsa). c) p : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a . (F) c) 2 ∈ Q ? (Não é proposição, oração interrogativa). q : um quadrado de lado a tem área a 2 . (V) d) 3 x − 1 = 11 (Não é proposição, não pode ser classificada como p ∧ q : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e área a2 . verdadeira ou falsa). (F)Proposição simples: uma proposição poderá ser simples, se não contém d) p : 2 é ímpar. (F)nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. q : 10 é múltiplo de 3. (F) Ex.: Matemática é uma disciplina legal. p ∧ q : 2 é ímpar e 10 é múltiplo de 3. (F)Proposição composta: uma proposição será denominada composta se forformada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de Ex.: Matemática é uma disciplina legal e o professor é exigente. uma conjunção a partir dos valores lógicos das proposições p e q: Tabela verdade da conjunção p∧ q Negação de uma proposição p q p∧ q A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, V V Vdenominada negação de p e indicada com o símbolo ~p. V F F Podemos sintetizar o valor lógico da proposição ~p na seguinte tabela, F V Fdenominada tabela verdade da proposição ~p. F F F p ~p V F F V
  2. 2. Conectivo ∨ Condicional → (se ... então) Colocando o conectivo “ ∨ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma Colocando o condicional “ → ” entre duas proposições p e q, obtemosnova proposição, p ∨ q , denominada disjunção das sentenças p e q. uma nova proposição, p→ q , que se lê: “se p então q”.Exemplos: Exemplos: a) p : uma circunferência de raio r tem comprimento medindo 2π r . (V) a) p : a bananeira é um vegetal. (V) q : um círculo de raio r tem área π r 2 . (V) q : a galinha é um animal. (V) p ∨ q : circunferência de raio r e um círculo de mesmo raio têm p → q : se a bananeira é um vegetal, então a galinha é um animal. (V) comprimento medindo 2π r ou área π r 2 . (V) b) p : (− 4)3 = − 64 (V) b) p : o elefante é um mamífero. (V) q : − 3 ∈ N (F) q : a vaca voa. (F) p → q : (− 4)3 = − 64 → − 3∈ N (F) p ∨ q : o elefante é um mamífero ou a vaca voa. (V) c) p : a gaivota é um peixe. (F) c) p : 2 é ímpar. (F) q : a baleia é um mamífero. (V) q : 8 é múltiplo de 4. (V) p → q : se a gaivota é um peixe, então a baleia é um mamífero. (V) p ∨ q : 2 é ímpar ou 8 é múltiplo de 4. (V) d) p : 10 > 100 (F) d) p : 4 > 13 (F) q : 100 > 1000 (F) q : 4 ⋅ 2 = 9 (F) p → q : 10 > 100 → 100 > 1000 (V) p ∨ q : 4 > 13 ou 4 ⋅ 2 = 9 (F) Tabela verdade do condicional p→ q p p p→ q Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de V V Vuma disjunção a partir dos valores lógicos das proposições p ou q ( p ∧ q ): V F F p∨ q F V V Tabela verdade da disjunção F F V P q p∨ q V V V Condicional (bicondicional) ↔ (... se, e somente se, ...) V F V F V V Colocando o (bi)condicional “ ↔ ” entre duas proposições p e q, obtemos F F F uma nova proposição, p ↔ q , que se lê: “p se, e somente se, q”. Condicionais Exemplos: A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições a) p : o golfinho vive no mar. (V)através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: q : a arara-azul tem penas. (V) Condicional Lê-se p ↔ q : o golfinho vive no mar se, e somente se, a arara-azul tem penas. → se ... então (V) ↔ ... se, e somente se, ...
  3. 3. b) p : 34 = 81 (V) Exemplos: q : 3 + 5 = 7 (F) a) 3 > 2 ⇔ 32 > 2 2 p ↔ q : 34 = 81 ↔ 3 + 5 = 7 (F) podemos usas o símbolo ⇔ , pois a proposição bicondicional: 3 > 2 (V) ↔ 3 > 2 2 2 (V) é verdadeira. c) p : 3 − 8 = 2 (F) q : | − 5 |= 5 (V) b) Não podemos escrever − 3 > − 4 ⇔ (− 3) 2 > (− 4) 2 , pois a p ↔ q : 3 − 8 = 2 ↔ | − 5 |= 5 (F) bicondicional: − 3 > − 4 (V) ↔ ( − 3) 2 > (− 4) 2 (F) é falsa. p : a Terra é plana. (F) Dizemos também que “p é equivalente a q”, quando p e q têm tabelas- d) verdade iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. q : o sal é doce. (F) p ↔ q : a Terra é plana se, e somente se, o sal é doce.(V) Sentenças abertas Expressões como: Tabela verdade do condicional p↔ q a) 2x+3=11 p q p↔ q b) 5x-2=13 V V V c) x²+x=0 V F F que têm variáveis cujos valores lógicos (V ou F) dependem dos valores atribuídos F V F a esta variável são denominadas funções proposicionais ou sentenças abertas. F F V Contudo existem duas formas de transformar sentenças abertas em proposições: Implicação lógica 1. Atribuir valor às variáveis. Dadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando 2. Utilizar quantificadores.condicional p→ q for verdadeira. Quando p implica q, indicamos p⇒ q Quantificadores Quantificador UniversalExemplos: É indicado pelo símbolo ∀ que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”. a) 4 + 1 = 5 ⇒ ( 4 + 1) 2 = 5 2 Exemplos: podemos usar o símbolo ⇒ , pois a condicional a) (∀ x)( x 2 ≥ 0) , “qualquer que seja x , temos x 2 ≥ 0 ” (Verdadeira)4+ 1= 5 (V) → (4 + 1) 2 = 52 (V) é verdadeira. b) (∀ x)( x + 5 = 7) , “qualquer que seja x , temos x + 5 = 7 ” (Falsa) b) Não podemos escrever que 5 > 2 ⇒ 5 > 8 , pois a condicional:5 > 2 (V) → 5 > 8 (F) é falsa. Quantificador Existencial É indicado pelo símbolo ∃ que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”. Equivalência lógica Exemplos: Dadas as proposições p e q, dizemos que “p equivale a q” quando a a) (∃ x)( x + 1 = 5) , “existe x tal que x + 1 = 5 ” (Verdadeira)proposição condicional p↔ q é verdadeira. b) (∃ x, x ∈ N )( x 2 = 25) , “existe pelo menos um x , x elemento de N , Quando p equivale a q, indicamos p ⇔ q. tal que x 2 = 25 ” (Verdadeira) c) (∃ x)( x < 0) , “existe 2 x tal que x 2 < 0 ” (Falsa)
  4. 4. Obs. É também utilizado outro quantificador ∃ | que se lê: “existe um único”. Negação de uma conjunçãoExemplo: Pode-se verificar, em (A), que ~ ( p ∧ q ) ⇔ (~ p ) ∨ (~ q ) , assim sendo a a) (∃! x )( x + 3 = 9) , “existe um único x tal que x + 3 = 9” (Verdadeira) negação da proposição p∧ q é a proposição (~ p ) ∨ (~ q ) . Exemplo: determinar a negação de: Construindo tabelas verdade a) 3 = 2 e 8 < 12 . Dadas as proposições p e q, podemos determinar os valores lógicos de: p: 3 = 2 (F) q: 8 < 12 (V) a) ~ p, ~ q , p ∧ q , ~ ( p ∧ q) e (~ p ) ∨ (~ q ) . ~p: 3 ≠ 2 (V) ~q: 8 ≥ 12 (F) p Q ~ p ~q p ∧ q ~ ( p ∧ q) (~ p) ∨ (~ q) ~ ( p ∧ q ) : 3 ≠ 2 ou 8 ≥ 12 (V) V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V b) A pomba voa e o gato late. F F V V F V V p: a pomba voa (V) (A) q: o gato late. (F) b) ~ p , ~ q , p ∨ q , ~ ( p ∨ q) e (~ p ) ∧ (~ q ) ~p: a pomba não voa (F) ~q: o gato não late (V) p Q ~ p ~q p ∨ q ~ ( p ∨ q) (~ p) ∧ (~ q) ~ ( p ∧ q ) : a pomba não voa ou o gato não late. (V) V V F F V F F V F F V V F F Negação de uma disjunção F V V F V F F ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ) ∧ (~ q ) , assim sendo, Pode-se verificar, em (B), que F F V V F V V a negação as proposição p ∨ q é a proposição (~ p ) ∧ (~ q ) . (B) Exemplos: determinar a negação de: c) ~ p , ~ q , p ∧ ~ q , p → q , ~ ( p → q) e a) 8 ≠ 0 ou 2 ≠ 2 p: 8 ≠ 0 (V) p Q ~ p ~q p∧ ~ q p→ q ~ ( p → q) (~ q → ~ p) V V F F F V F V q: 2≠ 2 (F) V F F V V F V F ~p: 8= 0 (F) F V V F F V F V ~q: 2= 2 (V) F F V V F V F V ~ ( p ∨ q ) : 8 = 0 e 2 = 2 (F) (C) b) Matemática é interessante ou fascinante. p: Matemática é interessante (V) Negação de uma proposição q: Matemática é fascinante (V) Para proposições simples já foi visto que a partir de uma proposição p ~p: Matemática é desinteressante (não é interessante) (F)qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada ~q: Matemática não é fascinante. (F)com o símbolo ~p. ~ ( p ∨ q ) : Matemática é desinteressante e não é fascinante. (F)Exemplo: a) p : 7 ≠ 5 (V) ~ p : 7 = 5 (F)
  5. 5. Negação de um condicional simples Exercícios Pode-se verificar, em (C), que ~ ( p → q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) , assim sendo, anegação da proposição p→ q é a proposição ( p∧ ~ q) . 1) Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, classifique como F ou V?Exemplos: determinar a negação de: a) 5 ⋅ 4 = 20 b) 5-3=3 b) 2+7.3=5.4+3 d) 5(3+1)=5.3+5.1 a) Se 1 ∈ Q então 1 ∈ R . p: 1 ∈ Q (V) c) 1+3 ≠ 1=6 f) ( − 2) ≥ ( − 2) 5 3 d) 3+4>0 h) 11-4.2 q: 1∈ R (V) ~q: 1∉ R (F) 2) Classificar em V ou F cada uma das seguintes proposições compostas: ~ ( p → q ) : 1 ∈ Q e 1∉ R (F) a) 3>1 e 4>2 b) 3>1 ou 3=1 b) Se matemática é fácil então eu sou feliz. c) (− 1) 6 = − 1 e 25 < (− 2) 7 p: matemática é fácil (V) d) 5 é número par e 5 é numero ímpar. q: eu sou feliz (V) e) 5 é numero par ou 5 é número impar. ~q: não sou feliz (F) f) 4 é número ímpar ou 4 é múltiplo de 3. ~ ( p → q ) : matemática é fácil e eu não sou feliz (F) g) 6 é número par e 6 é múltiplo de 3.Negação de proposições quantificadas 3) Dizer qual a negação de cada proposição abaixo: Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo a) ( ∀ x)(x+3=5)(∀ x )( p ( x )) , é negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo b) ( ∀ x)(x(x+1)=x²+x)existencial e nega-se p (x ) obtendo: (∃ x )(~ p ( x )) c) ( ∃ x)(x=x)Exemplos: a) p: (∀ x)( x é par ) (F) d) ( ∃ a) (a + 1 ≥ 1 ) 2 3 ~p: (∃ x )( x não é par ) (V) e) ( ∃ a) ( 1 ∈ R) a b) p:Todo homem é mortal. (V) f) Todo losango é um quadrado. ~p: Existe um homem que é imortal (não é mortal). (F) g) Todo número inteiro primo é ímpar. Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo 4) Usando a equivalência ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ) ∧ (~ q ) , escreva a negação da(∃ x )( p ( x )) , é negada assim: substitui-se o quantificador existencial pelo sentença “5 é numero par ou 5 é diferente de 3”.universal e nega-se p ( x ) obtendo: (∀ x )(~ p ( x )) 5) Escreva a negação da sentença “ Carlos foi viajar ou foi à escola”.Exemplos: a) p: (∃ x )( x + 5 = 19) (V) 6) Usando a equivalência ~ ( p ∧ q) ⇔ (~ p ) ∨ (~ q ) , escreva a negação da ~p: (∀ x)( x + 5 ≠ 19) (F) sentença “José casou-se e foi viajar”. b) p: Existe um triângulo de três lados iguais que não é eqüilátero. (F) 7) Dadas as proposições p e q, construir e comparar as tabelas verdades de ~p: Todo triângulo de três lados iguais é eqüilátero. (V) p→ q e ~q→ ~ p.
  6. 6. 8) Classifique como V ou F cada uma das sentenças: a) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x>0) b) Sendo x um número, tem-se ( ∃ x)(x>0) c) Sendo x um número, tem-se (x)(x>0) d) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x+2=2+x) 9) Numa sentença do tipo p → q , o condicional → só pode ser substituído pela relação de implicação ⇒ quando a sentença p→ q for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo → por ⇒ : a) 5>3 → 3+1=4 b) 6>5 → 3<2 c) 3<2 → 6>5 d) 3+2=6 → 5<1 10) Numa sentença do tipo p ↔ q , o bicondicional ↔ só pode ser substituído pelo símbolo de equivalência ⇔ quando a sentença p↔ q for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo ↔ por C: a) 9+1=10 ↔ 5>2 c) 3<5 ↔ 3-1=6 b) 6+1=5 ↔ 6+1=7 d) 6<1 ↔ 3+1=0 11) Usando a equivalência ~ (~ p ) ⇔ p , dê uma sentença equivalente a “ Não é verdade que Márcia não voltou”.ReferênciasFundamentos de matemática elementar, Gelson Iezzi [e outros] – São Paulo: Ed.Atual, 1977.Matemática, Manoel Rodrigues Paiva – São Paulo: Moderna, 1995.

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