Função quadratica1

Função Quadrática
Professora: Angélica Maria Ribeiro de Lima Oliveira

Natal, Fevereiro/ 2014

MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais

Imagem: Autor Ingy The Wingy /
disponibilizado por Laim / Creative Commons
Attribution-Share Alike 2.0 Generic

Vamos analisar o movimento de uma bola após ser
chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade
inicial de 72 km/h).


A altura da bola varia em função do tempo.
Veja a tabela a seguir.
ALTURA
(m)

TEMPO
(s)

15
20
15
0

1
2
3
4


NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e
depois perde altura, chegando ao chão novamente
no instante de 4 segundos.
A função que fornece a altura, neste caso, em função
do tempo é dada por:

h = 20t – 5t2


Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que
um objeto em queda livre percorre distâncias
proporcionais ao quadrado do tempo decorrido.

t (s)

h (m)

1
2
3

5
20
45


DEFINIÇÃO
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO
QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei
da forma:

f

f ( x ) = ax 2 + bx + c
com a, b e c números reais e
Nomenclaturas:
Domínio  D ( f ) = R

Contradomínio CD ( f ) = R

Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que
representam imagens das abscissas x, por meio da
função.


Identificação de coeficientes da função quadrática:
a=2
2x2 - 3x + 5 = 0

b = -3

a=8
4x + 8x2 - 4 = 0 b = 4

c=5
a = -1
-x2 + 4x - 3 = 0

c = -4
a = -6

b=4

3x - 6x2 = 0 b = 3

c = -3

c=0


Zeros da função:
Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de
“x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0,
através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara:

− b ± b − 4ac
f ( x) = 0 ⇒ ax + bx + c = 0 ⇒ x =
2a
2

2

O Discriminante (representado pela letra grega delta),
mostrará a quantidade de raízes reais da função
quadrática pela fórmula abaixo:
∆ = b2 – 4.a.c


∆>0

a>0

a<0

∆<0

∆=0


CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:

Concavidade
para cima

Concavidade
para baixo

Se a < 0

Se a > 0

y = ax2 + bx + c


TERMO INDEPENDENTE
y

Exemplo :

y = x2 - 2x + 4

c

y
x
4

x

y = ax2 + bx + c
Ponto em que a reta toca no eixo y


O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele
obtemos informações significativas.
A ordenada

yv do vértice admite valor mínimo ou valor máximo.

Se a > 0, concavidade voltada
para cima, então a função admite
valor MÍNIMO,
.

yv

y

Se a < 0, concavidade voltada
para baixo, então a função
admite valor MÁXIMO,
.

yv

y

Valor máximo

yv

0

.

x

Valor mínimo

.

yv
0

x


Coordenadas do Vértice
y = ax2 + bx + c

Em qualquer caso, as coordenadas do vértice
são dadas por:

b
xV = −
2a

∆
yV = −
4a


• Achar as raízes da função

( )

2

f x = x −2x −3
• O valor de c toca o eixo do y

x′ = −1

x′′ = 3

• Achar o vértice da função

 −b −∆ 
V = , ÷
 2a 4a 

−(−2) 2
XV =
= =1
2.1
2
−(16) −16
YV =
=
= −4
4.1
4
V = (1, −4)


Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o
procedimento:
•Determinam-se as raízes da função.
•Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam).
•Analisa-se a concavidade da parábola.
•Faz-se o estudo do sinal.

+

+
-


Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do
domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou
nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆.
∆>0

a>0

a<0

+

. .+

X1

X2

. .-

-X

1

+

X2

∆<0

+
-

+
-

∆=0

+
-

.

+

+

X1=X2

.

X1=X2

-

-


Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6.
x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função);
-marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade
da parábola;
-faz-se o estudo do sinal.

f(x) > 0, para x<2 ou x>3
f(x)=0, para x=2 ou x=3
f(x) < 0, para 2 < x < 3


ESBOÇO DO GRÁFICO
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :
- Concavidade

y

- Ponto c
- Zeros
- Vértice

x


Vamos partir de dois exemplos para fazermos
algumas generalizações:
Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3
X

Y

-1

8

0

3

1

0

2

-1

3

0

4

8


Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4

X

Y

-2
-1
0
1
2
3

0
3
4
3
0
-5


EM RESUMO
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta
seguir os seguintes passos:
seguir os seguintes passos:
1. Determinar as raízes da função( se existirem).
1. Determinar as raízes da função( se existirem).
2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
3. Calcular o vértice V =  −b , −∆  da parábola e marcar no
3. Calcular o vértice

÷ da parábola e marcar no
2a 4 a 

plano cartesiano.
plano cartesiano.
4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.
4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.
5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva
5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva
passando pelos pontos marcados.
passando pelos pontos marcados.


O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando
Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos,
vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de
funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele
pode ser baixado gratuito no site:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

Imagem: Geogebra / software gratuito de
código aberto.
Link:
http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.ht
ml / http://www.geogebratube.org

Área de trabalho do software


Exemplos de gráficos com o Geogebra:

Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org


DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo:
Ática, 2008.
GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem.
Volume único. Editora FTD, 2002
Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov.
de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>
Sites:
http://hsa.zip.net/
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

Tabela de Imagens
n° do
slide
2

direito da imagem como está ao lado da
foto

Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por
Laim / Creative Commons Attribution-Share
Alike 2.0 Generic
23 a 26 Geogebra / software gratuito de código
aberto.

link do site onde se consegiu a informação

Data do
Acesso

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wayne_
Brown_4.jpg

29/08/2012

http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html
/ http://www.geogebratube.org

30/08/2012

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