Função do 2° Grau

1. FUNÇÃO DO 2º GRAU

2. Chama-se função polinomial do 2º grau a qualquer função
f: ℝ → ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b
e c são números reais fixos (coeficientes) e a ≠ 0; x e f(x) são
números reais variáveis ou chamados simplesmente de variáveis.
1. DEFINIÇÃO

3. Chama-se função polinomial do 2º grau a qualquer função
f: ℝ → ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b
e c são números reais fixos (coeficientes) e a ≠ 0; x e f(x) são
números reais variáveis ou chamados simplesmente de variáveis.
1. DEFINIÇÃO
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 – 4x + 1 d) f(x) = – x2 + 8x
b) f(x) = x2 – 1 e) f(x) = – 4x2,
c) f(x) = 2x2 + 3x + 5
a = 3, b = – 4 e c = 1;
a = 1, b = 0 e c = – 1;
a = 2, b = 3 e c = 5;
a = – 1, b = 8 e c = 0;
a = – 4, b = 0 e c =0.

4. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.

5. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)

6. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3
– 2
– 1
0
1
2

7. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3
– 2
– 1
0 0
1
2

8. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3
– 2
– 1
0 0
1 2
2

9. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3
– 2
– 1
0 0
1 2
2 6

10. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3
– 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6

11. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6

12. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6

13. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6

14. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
6
– 3

15. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(– 3, 6) 6
– 3

16. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(– 3, 6)
– 2
2

17. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(– 3, 6)
(– 2, 2)
– 2
2

18. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)

19. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6 (0, 0)
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)

20. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6 1
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2) 2

21. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(1, 2)
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)
1
2

22. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6 2
(1, 2)
6
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)

23. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(1, 2)
(2, 6)
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)
2
6

24. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6
(1, 2)
(2, 6)
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)
(0, 0)

25. 2. O GRÁFICO
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 + x:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva
chamada parábola.
x f(x)
– 3 6
– 2 2
– 1 0
0 0
1 2
2 6 (0, 0)
(1, 2)
(2, 6)
(– 3, 6)
(– 1, 0)
(– 2, 2)

26. 2. O GRÁFICO
Para evitar a determinação de um número muito grande de
pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar
três pontos importantes características do gráfico da função do 2º
grau:
 Concavidade;
 Zero da função ou raiz da função;
 Vértice.

27. Concavidade

28. 2.1 Concavidade
Ao construir o gráfico de uma função polinomial do 2º grau,
y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, se
 a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima;
 a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

30. 1) Observando as seguintes funções polinomiais do 2º grau, diga
se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Justifique:
a) f(x) = x2 – 5x + 6 d) f(x) = 2x2 – 4x
b) f(x) = – x2 – x + 6 e) y = 1 – 4x2
c) y = 3x2
EXERCÍCIO PROPOSTO

31. Raiz ou zero da função

32. Chama-se raiz ou zero da função polinomial do 2º grau
f(x) = a𝐱
𝟐
+ bx + c, a ≠ 0, o número real x tais que f(x) = 0.
2.2 Raiz ou Zero da Função

33. Chama-se raiz ou zero da função polinomial do 2º grau
f(x) = a𝐱
𝟐
+ bx + c, a ≠ 0, o número real x tais que f(x) = 0.
2.2 Raiz ou Zero da Função
Exemplo: Determinar as raízes da função f(x) = x2 – 6x + 5.

34. 4) Determine os zeros ou raízes das funções:
a) f(x) = x2 – 4x – 5
b) f(x) = x2 – 4x + 4
c) f(x) = x2 – 2x + 6
EXERCÍCIO PROPOSTO

35. Vértice da parábola

36.  Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e
um ponto mínimo V;
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e
um ponto máximo V;
 O ponto V é chamado vértice da parábola.
2.3 Vértice da parábola (xv, yv)

37. 2.3 Vértice da parábola (xv, yv)
As coordenadas do vértice podem ser obtidas de duas
maneiras. A primeira utiliza uma das seguintes fórmulas

38. 5) Determine o ponto V(xv, yv), vértice da parábola que representa
o gráfico das seguintes funções:
a) y = x2 – 6x + 5 d) y = x2 – 4
b) y = 3x2 – 4x e) y = – 6x2
c) y = – x2 + x – 3
EXERCÍCIO PROPOSTO

39. EXERCÍCIO PROPOSTO