Notas sobre aGeometria Diferencial(uma exposição com base nos vetores e nos diádicos)Elysio R. F. RuggeriPreparado em jane...
2RESUMONeste artigo, valoriza-se a utilização do Cálculo Poliádico (particularmente oCálculo Vetorial e o Cálculo Diádico)...
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4§ 01 -Representações de curvas e superfícies.Das superfícies em geral.Em relação a um certo sistema de coordenadas retilí...
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6misto nulo. Reciprocamente, se uma curva r=r(U) admite (rrr")=0 para todo r, r é paraleloa um plano fixo (teorema clássic...
7Se adotarmos a direção de k para eixo dos Z, e se projetarmos (C) sobre um planoperpendicular a k , então esta mesma su...
8§ 02 - Parametrização da equação de uma curva pelo comprimento doarco.Comprimento de arco.Chama-se comprimento de arco el...
9correspondentes aos valores s e s+,  sendo o comprimento do arco PQ. O vetor r(s), cujaorigem é arbitrária, pode ser re...
10Sejam duas curvas quaisquer (R) e (V), planas ou reversas, com um ponto decontato, um ponto ordinário, P. Tomemos esse p...
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13§ 04 - As curvaturas das curvas reversas.Se PQˆˆˆ ttt  é a variação de tˆ entre P e seu consecutivo Q (Fig. 04), entã...
14dsˆdRˆ tnc  , (011).De (01) e (011) resultam:0,sdˆdˆR1|| t.nc rn  Rˆ eR1|| r (012).Por ser 1ˆˆ t.t é 0ˆdˆ t...
15Curvas com tangente e vetor curvatura comuns.Se duas curvas têm uma tangente comum, a distância retilínea, d, entre seus...
16Nesse caso, então, as curvas têm também um contato de ordem dois no ponto.Reciprocamente, se duas curvas apresentam um c...
17sdˆdˆ||n.tc  , (04),isto é, em P, o unitário da tangente e o incremento da normal principal formam um ânguloobtuso. Co...
18Como tˆd é paralelo a nˆ , e conseqüentemente perpendicular a bˆ , 0ˆdˆ t.b . Logo, por ser;0ˆdˆ+ˆdˆé,0ˆˆ  b.tt.bt.b ...
19exceto se os parâmetros U são os comprimentos de arco dessas coordenadas. O pontocomum às duas curvas de (S) e seus con...
20n.tnˆˆSdˆd , (08),e entender d d Sn - tal como no caso das sup - como a derivada direcional de n nadireção da tangen...
21Considerando (07) e (08) e recorrendo ao escalar de  n obtemos, ainda, duasoutras formas alternativas de representação...
22e se N é o oposto de N em relação a P, a paralela a BN conduzida pela extremidade dounitário da binormal passa por T. Po...
23que as curvaturas de flexão das seções normais são menores que as correspondentes detodas as outras curvas. Nesse caso, ...
24Dos invariantes de  m importa considerar, no momento, o seu escalar e o seuterceiro. Tem-se:(  )  ,  m mEi jdivR+...
25Sejam | | | |c cu ve as curvaturas extremadas de flexão num ponto P de (S),correspondentes às direções ortogonais defini...
26| | ,cui2j2uRcos + 1RsenR 1 1 ou, ainda, pondoR cos X e R sen Y,u v  a cônicaXR+ YR R2i2j u 1 , (09).Três situa...
27Se r é o vetor posicional do ponto genérico de uma curva sobre uma superfície, nadireção da qual a curvatura da superfíc...
28o que se comprova facilmente multiplicando escalarmente ambos os membros de (031) pormm ˆdˆ  . Com efeito, pois, mm ˆdˆ...
29As normais a uma superfície ao longo de cada linha de curvatura de um seu pontogeram duas superfícies regradas denominad...
30coordenadas de P e as U1+dU1 e U2+dU2 (das suas vizinhanças) definem um quadriláterocurvilíneo elementar arbitrário, PQR...
31teremos: (  ) rot d Sm .m  0,isto é, rot  ,m o porque rot m não é necessariamenteortogonal a m. Então,  m tem v...
32(   )  (   )   )  ]   (   ),       mm . m. mm m m .m m m m. m+ +[(e lembrando (07), tem-se, logo, (...
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Notas sobre a Geometria Diferencial

  1. 1. Notas sobre aGeometria Diferencial(uma exposição com base nos vetores e nos diádicos)Elysio R. F. RuggeriPreparado em janeiro de 1995.
  2. 2. 2RESUMONeste artigo, valoriza-se a utilização do Cálculo Poliádico (particularmente oCálculo Vetorial e o Cálculo Diádico) como uma ferramenta eficaz para o estudo dageometria diferencial.A teoria dos contatos torna-se mais clara, mais simples e até mais concretas.Calcula-se o limite da razão, para o arco, da distância de pontos eqüidistantes sobre doisarcos.Apresentam-se expressões novas para as curvaturas normal e de torção de umasuperfície no seu ponto genérico, na direção do unitário arbitrário u do plano tangente.Essas expressões são independentes das clássicas "primeira e segunda formas quadráticasfundamentais" e respectivos "coeficientes de Gauss". São elas:1Re 1T[ ( )     (  )     ],u . m . u m . u . m uonde R e T são os raios de curvatura e  m é o diádico gradiente do unitário da normal àsuperfície no ponto. Aqui, o operador  é o análogo (curvo) do clássico nabla do espaçoeuclideano (plano) bidimensional.Caracterizam-se os pontos da superfície por métodos poliádicos. Para atender ointeresse do calculista de estruturas em casca, estudam-se situações específicas em que asuperfície é representada analiticamente em forma explícita, o caso das superfícies derevolução e o caso das rebaixadas (para as quais a curvatura de torção é desprezível e amétrica é praticamente euclideana).
  3. 3. 3
  4. 4. 4§ 01 -Representações de curvas e superfícies.Das superfícies em geral.Em relação a um certo sistema de coordenadas retilíneas X,Y,Z uma superfície (S)é um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a uma equação da formaF(X,Y,Z)=Constante, (01),-dita, forma implícita de representação da superfície - e que, por hipótese, admite derivadasparciais (ao menos até a terceira ordem) finitas e contínuas. Nesse caso, (S) é dita umasuperfície regular.Quando F é um polinômio em X,Y e Z, a superfície é dita algébrica, e o grau dopolinômio é o grau da superfície. As superfícies do 1º grau são os planos; as do 2º grau asquádricas; as do 3º as cúbicas etc.As superfícies que não forem algébricas serão ditas transcendentes.Às vezes é possível expressar Z como uma função única de X e Y (além de umaconstante), na formaZ=G(X,Y,const.), (02),caso em que (02) é dita uma forma explícita de representação de (S). É lógico que (01) éuma forma mais geral de representação de (S) que (02), já que poderíamos escreverFZ - G(X,Y,const.)=0.Uma superfície pode também ser representada analiticamente expressando ascoordenadas dos seus pontos como funções (unívocas e contínuas, por hipótese) de doisparâmetros; essa representação é denominada paramétrica e é a que mais interessa naTeoria da Elasticidade. Escrevemos:X=X(U1,U2,const.), Y=Y(U1,U2,const.), Z=Z(U1,U2,const.), (03).A cada par de valores dos parâmetros corresponderá um ponto da superfície; ereciprocamente. Se for possível eliminar os dois parâmetros U1 e U2 entre as equações (03),obteremos uma equação do tipo (01).Se, em relação aos vetores de base u u u1 2 3, e associados aos eixos do sistema decoordenadas, r é o vetor posicional de R, entãor u u u  X Y Z 31 2e a forma vetorial de representação de (S), equivalente a (01), éF(r)=constante, (011).A equivalente vetorial de (03) é
  5. 5. 5r=r(U1,U2,const.), (031),e nesse caso (S) será dita, também, a hodógrafa da função vetorial (031).A cada valor da constante corresponde uma superfície; logo, fazendo-se variar aconstante, obteremos uma família de superfícies.Exemplo: (superfícies quádricasSe  é um diádico simétrico, a um vetor e A um número, todos independentes doponto (isto é, de X, Y e Z), a equaçãoF( ) Ar r. .r a.r    0, (012),um caso particular de (011), representa uma família de superfícies quádricas reais ouimaginárias. Para um valor particular da constante, a equação individua uma determinadaquádrica. Se a=o a quádrica tem centro (a troca de r por -r não altera a sua equação); nessecaso a sua equação pode ser reduzida à formar. .r   1, sendo = A .Curvas reversas.Consideremos uma dada superfície (S) de uma família (constante fixada) earbitremos na sua equação paramétrica um valor para o parâmetro U (=1 ou 2). Então,qualquer que seja o parâmetro considerado, (031) é escrita na forma:r=r(U, constante), (04).Quando U variar, o ponto R descreverá uma curva que pertence a essa superfície e (04)será dita a sua equação vetorial paramétrica. Essa curva é a hodógrafa da equação (01) esua representação paramétrica cartesiana pode ser obtida diretamente das (03). Como essasfunções são unívocas e contínuas, concluímos que a cada ponto de (S) está associado um eum único par de curvas de (S). Cotando essas curvas em valores dos respectivosparâmetros, estabeleceremos sobre (S) uma rede de curvas que funciona como um sistemado coordenadas curvilíneas para os pontos de (S). Tal como no plano associamos,imaginariamente, a cada ponto, um par de retas - suas coordenadas retilíneas -, nasuperfície associamos a cada ponto um par de curvas - suas coordenadas curvilíneas.De um modo geral, toda equação do tipo (04) representa uma curva reversa ouespacial; ela será dita plana se todos os seus pontos pertencerem a um plano.Teor. 1:A CNS para que uma curva r=r(U) seja plana é que (rrr")=0, ou (rr"r")=0:r=r(U) curva plana  (rrr")=0, ou (rr"r")=0 (05).Provemos a primeira parte. Se r=r(U) é uma curva plana e a é um unitário fixoortogonal ao seu plano, r.a=0. Por derivação em relação ao parâmetro da curva deduzimos:r.a=r".a=0. Então, r, r e r"são vetores ortogonais a a, isto é, coplanares com produto
  6. 6. 6misto nulo. Reciprocamente, se uma curva r=r(U) admite (rrr")=0 para todo r, r é paraleloa um plano fixo (teorema clássico), e a curva pertence a esse plano.Provemos a segunda parte. Se a curva é plana, a primeira parte garante ser(rrr")=0; derivando vem: (rrr")=0. Logo são coplanares r, r, r" e r", ou seja(rr"r")=0. Reciprocamente, se (rr"r")=0 para todo r, existe um vetor w(U) que éperpendicular ao plano de r, r"e r", sendo, pois, r. w=0=r". w. Por derivação em relaçãoao parâmetro vem: r". w + r. w=0=r". w + r". w. Logo, r. w=0=r". w, isto é, w éparalelo ao seu vetor derivada (por serem ambos perpendiculares a r e a r"). Segundoteorema clássico, w tem direção constante, digamos a do unitário u. Então de r. w=0=r".w=r". w vem (u.r)=(u.r)=(u.r")=0, ou, integrando, u.r=u.b sendo b vetor constante.Assim, (r-b).u=0 e o vetor r-b pertence ao plano de r, r"e r", Por isso, (r-b)^r.r"=0, ouseja (rrr")=(brr"). Pela demonstração da primeira parte (rrr")=0, o que implica ser bvetor coplanar com r e r". Então u.r=0 e r pertence também a esse plano.Os sistemas de coordenadas curvilíneas de uma superfície em geral são curvasreversas.Superfícies cilíndricas e cônicas.Se (04) é proveniente de (03) e, eventualmente, ( )rr r o   , a curva é plana e (01)pode ser reduzida a uma forma implícita em que falte, digamos, a letra Z. Nesse caso asuperfície terá por equaçãoF(X,Y)=constante, (06).Se X0,Y0 é um par de números que satisfaz (05), todos os pontos do espaço de coordenadas(X0,Y0,Z) também a satisfarão. Então, todos os pontos da reta paralela ao eixo dos Z e quepasse por X0,Y0 do plano X,Y pertencem à superfície (05). Esta superfície é uma superfíciecilíndrica, de geratriz paralela ao eixo Z e sua interseção com o plano X,Y é a curva deequação (05).Seja (C) uma curva reversa qualquer cujo ponto genérico, R, é definido pelo vetorr(U). Seja a) uma reta que se desloque sempre paralelamente a um vetor de direção fixa, deunitário k , mas sempre apoiada em (C). Então, se q é o vetor posicional do ponto genéricoQ de a), isto e, do ponto genérico da superfície cilíndrica correspondente (Fig. 01),krq ˆV)U(V)U,(  ,onde V é um parâmetro variável em todo o campo real.
  7. 7. 7Se adotarmos a direção de k para eixo dos Z, e se projetarmos (C) sobre um planoperpendicular a k , então esta mesma superfície cilíndrica será representada cartesianamentepor uma equação do tipo (05).•Se (04) é uma reta, r tem direção constante (Fig. 02) e, portanto, na equação (01)faltará também uma segunda letra, digamos Y se adotarmos a direção constante como eixodo X. A equação da superfície é, então,F(X)=constante, (06).Se X=X1, X=X2, ... são valores de X que satisfazem (06), então essa equação representa osplanos X=X1, X=X2, ... paralelos ao plano YZ porque ela é satisfeita para esses valores deX e valores arbitrários de Y e Z.Se a curva reversa (C) anteriormente considerada como diretriz da superfíciecilíndrica fosse uma reta qualquer, a), a sua projeção ortogonal sobre um plano ) ortogonalà direção fixa k seria também uma reta, b). Adotando-se como origem de um sistema umponto qualquer do plano ) e como eixos cartesianos: uma reta qualquer paralela a k comoeixo Z, uma reta paralela a b) como eixo Y e uma perpendicular a b) como eixo X, aequação do plano definido por a) e k seria X = constante. Então o vetor posicional de umponto qualquer desse plano seriapiq  ˆX)VU,( .......... etcVê-se, assim, que em geral os sistemas de coordenadas curvilíneas de umasuperfície são compostos por curvas reversas, exceto no caso das superfícies regradas (ascilíndricas e as cônicas).Superfície cônicaExemplo:(caso das quádricas) ...... etc
  8. 8. 8§ 02 - Parametrização da equação de uma curva pelo comprimento doarco.Comprimento de arco.Chama-se comprimento de arco elementar de uma curva ao número realrr.ddds2 . Como dUddUd rr  , tem-se: ds dU) (d dU2 2 ( )r 2. O comprimento deum arco de curva compreendido entre os valores U0 e U do parâmetro é obtido efetuando-se a soma de infinitos arcos elementares em que se pode subdividir esse arco. Como r=r(U)é função contínua, existe o limite  dUdUddUdlimdslimsr.r, sendo dUdUddUdsUU0r.r.A equação paramétrica de uma curva pode ser estabelecida com uma infinidade deparâmetros. O parâmetro com o qual se ganha em simplicidade é o comprimento de arco dacurva; e para que isso se verifique, é CNS queddUddUou, pondo ddUr . r r r r .r     1 1, , , (01).Nesse caso deduzimos, por derivações sucessivas:            r .r r .r r r .r r .r0 32, , IV,             r .r r .r r r .r r .r r .r r .rV IV VI V IV VII4 3 5 102, , ,      r .r r .r r .r rVII VI V IV6 15 102, etc (011),as derivadas enésimas de (01) podendo ser escritas na forma(( ))              r r r .r r .r r .r r .r r .r r .r(n)n0 (n 1)n1 (n)n2 (n )n3 (n ) IVnn 1 (n)nn (n 1)C C C C ... C C1 2onde a operação simbólica (( ))(n) indica que se deva desenvolver as potênciasenésimas de  r r pela fórmula clássica do binômio de Newton como se r fosse umnúmero, e substituir as potências formadas, ( )r i, por derivadas (i+1)-ésimas, isto é, por)1i(i)(  rr , inclusive para i = 0.Uma primeira conseqüencia imediata da primeira das (011) está em que a derivadaprimeira do posicional do ponto genérico de uma curva em relação ao arco é um vetorunitário que é perpendicular ao vetor derivada segunda.Tangente a uma curva.Vamos caracterizar geometricamente o vetor derivada primeira, r. Sejam P e Qpontos de uma curva de equação vetorial parametrizada pelo comprimento de arco, s,
  9. 9. 9correspondentes aos valores s e s+,  sendo o comprimento do arco PQ. O vetor r(s), cujaorigem é arbitrária, pode ser representado pela fórmula de Taylor:...)s(3!1)s(2!1)s(1!1)s()+s( 32  rrrrr , (02),donde,...)s(3!1)s(2!1)s(1!1)s()+s( 2rrrrr, (021).Considerando (01) e as (011), deduzimos de (021): 42IV3222)89(5!314!24!21])s()+s([ r.rrr.rrrr5IVV)154(!61 .rr.rr  ...)445165(!71 62IVVVI r.rr.rr , (03).Por (03) vemos que quando Q tende para P (ou 0) a razão do quadrado do vetor-cordar r( )s (s)  para o quadrado do arco =ds tende para a unidade positiva.Independentemente do sinal de , o vetor [r r( )s (s)  ]/ aponta sempre no sentido docrescimento do arco. Representando por )s(ˆt o unitário da tangente no ponto P deparâmetro s, podemos escrever, então:)s()s(ˆds)s()ds+s(limPQrtrr, (04).Em resumo:Quando a equação de uma curva está parametrizada no comprimento do arcomedido a partir de um de seus pontos, o vetor r(s), determinado por (04) noponto corrente P de parâmetro s, é o vetor unitário da tangente à curva em P,tˆ , e aponta no sentido do crescimento do arco.Se x é o posicional do ponto corrente X da tangente a uma curva (C) de equaçãor=r(s) num ponto P(s), a equação vetorial dessa tangente édsdD)s((s)D)s( rrtrx  , (05),onde D é a distância de P a X. As distâncias sobre a tangente são positivas se o vetor deorigem P e extremidade X tem o mesmo sentido que t( )s .§ 03 - Contato.Intuitivamente, dizer que duas figuras (não superponíveis) têm um certo número Nde "pontos consecutivos" em comum eqüivale a dizer que elas admitem "um contato deordem N". Vamos matematizar, ou melhor, vamos tornar preciso esse conceito do ponto devista matemático.
  10. 10. 10Sejam duas curvas quaisquer (R) e (V), planas ou reversas, com um ponto decontato, um ponto ordinário, P. Tomemos esse ponto como origem de medida dos arcossobre cada uma delas. Dois pontos, um de cada curva, serão ditos eqüidistantes do contatoquando os arcos que os separam desse contato têm o mesmo comprimento, digamos  (Fig.03).Definição:Diremos que duas curvas (R) e (V) têm um contato de ordem N num ponto Pcomum a ambas se a razão d/k da distância retilínea d=QD de dois pontos Q eD dessas curvas, eqüidistantes de P do arco , tende para um limite finito se k =N + 1 e para zero se k = N, quando  tende para 0:Contato de (R) e (V) de ordem N  000lim d n finito,lim dN 1N, (01).Como a origem dos posicionais é arbitrária, podemos tomá-la provisoriamente noponto P. Nesse caso, se r é o posicional de Q de (R) e v o de D de (V), escrevemosd2 2 ( )r v , ou( ) ( ) ( )d    2 2 22  r v r . v , (02).Os quadrados de r e v são dados por ((03), §02) onde se faça r=r e r=v. A terceira parcelado segundo membro de (02) pode ser deduzida de ((021), §02) para r(s)=o, com derivadascalculadas na origem. Tem-se:r.v r .v r .v r .v r .v r .v r .v               12!13!12!2!] 2( ) [ ( )  2         [ ( )14!12!3!]IV IV 3r .v r .v r .v r .v           [ ( ) ( )15!12!4!13!3!]V V IV IV 5r .v r .v r .v r .v r .v  + ...Então, quaisquer que sejam as curvas (R) e (V), (d/)2 é um polinômio em  que, ordenadopelas potências de expoentes crescentes de , apresenta as seguintes parcelas:
  11. 11. 112 1( )  r .v ,    ( )r .v r .v ,  242 2!( )r v  ,    133!( ) ( )r v . r v  ,      106!3 2 2 4[ ( ) ( ) ( ) ]r v . r v r vIV IV ,        26!3 5 5[ ( ) ( ) ( ) ( )]r v . r v r v . r vV V IV IV... etc. (031).Conforme (01), vemos que para N=0 (k=1), é      0 1 2 02 1 0lim d e lim d[ ( ) ( ) ]r . r , (032).Se representarmos por  o ângulo das tangentes às curvas em P (Fig. 03),escreveremos: 02lim d sen2, (033).Concluímos:Teor. 1:Duas curvas reversas com um ponto comum:1) - têm um contato de ordem zero;2) - têm a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto decontato como um infinitésimo de mesma ordem que o arco , valendo o duplodesse arco multiplicado pelo seno da metade do ângulo das tangentes.Esse resultado de certa forma podia até ser esperado porque, no limite, estaríamoscalculando o "lado não igual" de um triângulo isósceles tal que os lados iguais (a )formassem um ângulo .Curvas com uma tangente comum.Se as curvas (R) e (V) admitirem uma tangente comum no ponto P (logo, θ=0), istoé, se em P,   r v , então 1 v.r (ou, ainda vtr  ˆ ) e,,0 v.rv.rv.rr.vv.r                 r .v r .v r .v v .v vv .r r .vIV IVIV... etc.2 332,,Agora, então, (d/2)2 é um novo polinômio em  que escrevemos na forma,
  12. 12. 12( )!( )d22 224   v r     13!( ) ( )r v . r v        106!3 2 2 2[ ( ) ( ) ( ) ]r v . r v r vIV IV        26!3 5 3[ ( ) ( ) ( ) ( )]r v . r v r v . r vV V IV IV... (04).De (04) e (033) deduzimos, respectivamente:0dlime||63dlim020 rv , (041).Reciprocamente, se duas curvas com um ponto comum admitem nesse ponto umcontato de ordem um, tem-se, de (04):||63dlim 20rv . e     02 1 0lim d ( )r .v .Da segunda das condições acima resulta r. v=1, ou seja, esses unitários (r e v) devem seriguais. Concluímos:Teor. 2:A CNS para que duas curvas com um ponto comum tenham um contato deordem um nesse ponto é que admitam as mesmas derivadas primeiras nesseponto,ou, o que é o mesmo,A CNS para que duas curvas tenham, num ponto comum, um ponto consecutivotambém comum, é que elas tenham o mesmo vetor tangente nesse ponto.A distância retilínea, d, entre os pontos eqüidistantes  do ponto comum a duascurvas com um contato de ordem um é infinitésimo de segunda ordem em relação ao arco e pode ser calculada por (041).Se uma das curvas em referência é a (reta) tangente à outra, concluímos queTeor. 3:Toda tangente a uma curva tem com ela um contato de primeira ordem no pontode contato,ou, o que é o mesmo,Corol. 1:Todo curva tem em comum com a sua tangente o ponto consecutivo ao ponto decontato.
  13. 13. 13§ 04 - As curvaturas das curvas reversas.Se PQˆˆˆ ttt  é a variação de tˆ entre P e seu consecutivo Q (Fig. 04), então |tˆ | é igual ao ângulo - medido em radianos, e denominado ângulo de contingência dastangentes - de que girou a tangente entre os pontos de abcissas curvilíneas s e s+. Em P, oplano definido por Pˆt e sua tangente consecutiva Qˆt é denominado "plano osculador" dacurva nas vizinhanças de P.Como, em P, a tangente Pˆt contem o ponto consecutivo Q (Corol. 1, Teor. 3, §03)e em Q, Qˆt contem o ponto consecutivo Q, concluímos:Teor. 1:O plano osculador de um ponto de uma curva tem com ela um contato desegunda ordem nesse ponto.O vetor | tˆ |, variação da tangente entre o ponto P de uma curva (C) e o seuconsecutivo, pertence ao plano osculador de P e permite avaliar quanto essa curva se"flete", ou se "flexiona", no plano osculador, nas vizinhanças de P.Denomina-se "vetor curvatura de flexão" de (C) em P, e o representaremos por c,o limite da variação  tˆ de t por unidade de comprimento de arco de curva, s=, quandoeste tende para zero. No limite esse quociente (que existe sempre se r(s) é contínua) é aderivada de t em relação ao arco s, e escrevemos:sdˆdsˆlim0sttc ;ou, ainda, lembrando que ds/dˆ rrt  :),s(sddsdˆd22rrtc  (01).O módulo de c denomina-se, simplesmente, curvatura de flexão da curva (C) em P, e tema dimensão do inverso de um comprimento; por isso mesmo o inverso do módulo de c édenominado raio de curvatura de flexão da curva no ponto, e o representamos por R. Serepresentarmos por nˆ o unitário de c, escreveremos a primeira fórmula da Frenet-Serret,
  14. 14. 14dsˆdRˆ tnc  , (011).De (01) e (011) resultam:0,sdˆdˆR1|| t.nc rn  Rˆ eR1|| r (012).Por ser 1ˆˆ t.t é 0ˆdˆ t.t , isto é, c - um vetor do plano osculador que aponta no sentido daconcavidade da curva - é perpendicular a tˆ .A direção de n(ou de c) é conhecida como normal principal de (C) em P, razãopela qual dá-se também a |c| a denominação de curvatura normal.Se x é o posicional do ponto corrente do plano osculador do ponto P de r(s), a suaequação é, então,0)(  rr.rx , (02),uma vez que qualquer que seja x, os vetores x-r, re r" devem ser coplanares. O planoosculador está sempre determinado, exceto nos pontos em que r=o, r"=o, ou r"=A(s)r (r"é paralelo a r). Nos dois primeiros casos a curva é uma reta e para os pontos da reta o planoosculador é indeterminado. No segundo caso - r"=A(s)r - r é paralelo ao seu vetorderivada; logo, r tem direção fixa (teorema clássico). Nesse ponto, então, (rrr")=0, isto é,a curva é localmente plana, o que tem sentido porque nesse ponto, conforme Teor. 1, trêsde seus pontos (P e seus dois consecutivos) pertencem ao plano osculador. Se A não variacom s (r é paralelo ao seu vetor derivada em todo ponto) a curva é uma reta porque r é fixoem todo ponto.Se a curva r(s) é plana, (02) é uma identidade (porque o plano osculador é opróprio plano da curva) e r"=A(s)r significa que, no ponto, a curva é localmente retilíneaporque o contato é de ordem dois: de um lado e outro desse ponto - denominado ponto deinflexão - r" deve trocar de sinal, anulando-se, portanto, no ponto. Se A é uma constante,r(s) é uma reta.A circunferência do plano osculador de um ponto P de uma curva, de raio igual a Re centro no ponto de posicionalnrx ˆR(s)(s)  , (021),isto é, ponto situado sobre a normal principal, no interior da concavidade da curva,denomina-se circunferência de curvatura dessa curva (Fig. 06); o centro dessacircunferência denomina-se centro de curvatura da curva no ponto P. É evidente que acircunferência de curvatura e a curva têm tangente comum em P.
  15. 15. 15Curvas com tangente e vetor curvatura comuns.Se duas curvas têm uma tangente comum, a distância retilínea, d, entre seus pontoseqüidistantes  do ponto de contato - um infinitésimo de segunda ordem em relação a essearco - pode ser assim expressa em relação a :|ˆR1ˆR1|63|=|63d(V)(V)(R)(R)2nnrv ,expressão em que R(R) e R(V) são os raios de curvatura das curvas (R) e (V) em P. Deve serobservado que os unitários das normais principais das curvas são vetores distintos em geral(Fig. 05, a)).Se duas curvas, alem de terem uma tangente comum num ponto, têm também vetorcurvatura de flexão paralelos, terão, evidentemente, o mesmo plano osculador. Se ascurvaturas são as mesmas, os unitários das respectivas normais principais poderão ter omesmo sentido (Fig. 05,c)), ou sentidos opostos (Fig. 05,b)), casos em que,respectivamente,   r v e    r v .Para o primeiro caso - mesmo unitário de tangente (logo, um contato de ordemum), e mesmo vetor curvatura - deduzimos de ((04), §03):( )![ ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )d...==136...3IV IVIV IV2 221062172                 r v r v . r vr v r v . r vde onde vem,    016limd3| |v r e 0 2 0lim d (03).
  16. 16. 16Nesse caso, então, as curvas têm também um contato de ordem dois no ponto.Reciprocamente, se duas curvas apresentam um contato de ordem um e ordem doisnum ponto, deduzimos de ((04), §03):    016lim d3 | |v r e    0 2 036lim d | |r v .Como essa curvas têm também o mesmo plano osculador, têm a mesma normal principal eseus vetores curvatura são paralelos. Da segunda das condições acima (| |  r v 0)deduzimos, afinal, que seus vetores r" e v" devem ser iguais necessariamente. Concluímos:Teor. 5:A CNS para que duas curvas tenham um contato de ordem dois num ponto é quetenham as mesmas derivadas primeira e segunda nesse ponto,ou, o que é o mesmoA CNS para que duas curvas tenham num ponto tres pontos consecutivos emcomum é que elas tenham o mesmo vetor tangente e o mesmo vetor curvatura deflexão nesse ponto.Nesse caso, a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto decontato é um infinitésimo de terceira ordem em relação ao  e pode ser calculada por (03).Corol. 1:Toda curva tem com suas circunferências de curvatura um contato de ordemdois.Teor. 6:Duas curvas que têm num ponto o mesmo unitário de tangente mas vetorescurvatura de flexão opostos, têm contato de ordem um nesse ponto.Pois fazendo    v r em (04),§ 03 escrevemos,( )!d22 224 r      23r . r v( ) ...,donde   03636limdR2| |v e 00limd, (031).A distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de contato (Fig. 05, b)) éum infinitésimo de segunda ordem em relação a  e pode ser calculada por (031).Triedro de Frenet-Serret.Como 0ˆˆ t.n , temos: n.tt.n ˆdˆˆdˆ  . Logo:
  17. 17. 17sdˆdˆ||n.tc  , (04),isto é, em P, o unitário da tangente e o incremento da normal principal formam um ânguloobtuso. Como 0ˆdˆ n.n , o incremento nˆd , por ser perpendicular a nˆ , é um vetor doplano ortogonal a nˆ ; tal plano denomina-se retificante. O plano conduzido por Portogonalmente ao retificante e ao osculador denomina-se normal e sua interseção com oretificante, binormal. Tomaremos como unitário da binormal o vetor bˆ definido porntb ˆˆˆ  , (05).Então, os unitários bnt ˆeˆ,ˆ definem uma base ortonormada em P; o triedro que lhescorresponde é denominado triedro de Frenet-Serret.Por ser dr paralelo a t e nˆ perpendicular a tˆ , resulta que, para as curvas reversas,os vetores rnn deˆd,ˆ nunca são coplanares; e reciprocamente:r(s) curva reversa   P  r(s)  0)dˆdˆ( rnn .Isso traduz importante propriedade geométrica das curvas reversas:As normais principais de pontos consecutivos de uma curva reversa nunca seinterceptam.Reciprocamente,se as normais principais em pontos consecutivos de uma curva não seinterceptam, essa curva é reversa.Curvatura de torção.Consideremos, agora, quatro pontos consecutivos, P, P, Q e Q de uma mesmacurva. O plano osculador de P (que contem P, P e Q) não é o mesmo de P (que contem P,Q e Q). Ocorre, pois, uma variação de posição desses planos osculadores consecutivos.Dizemos que, em P, ocorre uma torção, ou um "empenamento" de (C). A variação doângulo desses planos permite avaliar o quanto a curva se "torce" ou se "empena" entrepontos consecutivos. Essa avaliação pode ser facilmente calculada pela correspondentevariação do ângulo dos unitários das normais aos planos osculadores respectivos, já que oângulo desses unitários é igual ao ângulo daqueles planos. Se a variação de bˆ é bˆ , então| bˆ | é aproximadamente igual ao ângulo (medido em radianos) das normais aos planososculadores de P e de P; esse ângulo é denominado ângulo de contingência dasbinormais. O limite do quociente da variação da binormal, bˆ , pelo comprimento do arcoentre P e P, s, terá por módulo a variação correspondente do ângulo dos planososculadores para o comprimento do arco; tal vetor, que representaremos por , denomina-se"vetor curvatura de torção" da curva em P. O módulo de  denomina-se "curvatura detorção" da curva em P, e tem a dimensão do inverso de um comprimento. Por isso mesmo oinverso do módulo de  é denominado raio de curvatura de torção da curva no ponto, e orepresentamos por T. Então:,sdˆdsˆlim0sbb (05).
  18. 18. 18Como tˆd é paralelo a nˆ , e conseqüentemente perpendicular a bˆ , 0ˆdˆ t.b . Logo, por ser;0ˆdˆ+ˆdˆé,0ˆˆ  b.tt.bt.b isto é, 0ˆˆd t.b . Então, o incremento de bˆ é perpendicular a tˆ .Como o incremento de bˆ também é perpendicular a bˆ , ele é paralelo a nˆ . Em resumo:No ponto corrente de toda curva reversa, a curvatura de torção é a medida davariação da direção da sua binormal, e o vetor curvatura de torção é sempreparalelo à normal principal.Se convencionarmos que às curvaturas de torção positivas correspondem rotaçõesde bˆ (no plano normal) no sentido anti-horário quando vistas da face positiva do planonormal (da qual aponta tˆ ), nˆ e  terão direções opostas. Então escreveremos a segundafórmula de Frenet-SerretsdˆdTˆ bn , (051),de onde também deduzimos:dsˆdˆˆdsˆdT1)ˆ(||n.bn.bn.   , (06),porque sendo 0ˆdˆ+ˆdˆé0ˆˆ  b.nn.bn.b . Pode-se, ainda, escrever, em vista de (03):dsˆdˆ||n.nt  , (061).Por esta equação, e pela impossibilidade de interseção das normais principais em pontosconsecutivos, resulta:A CNS para que uma curva seja reversa é que seja não nula a sua curvatura detorção em todos os seus pontos.Nota:Contrariamente às tangentes e às binormais, de cuja interseção dos suportes em pontosconsecutivos nos valemos para definir os ângulos de contingêcias (das tangente e dasnormais), e, portanto as curvaturas, os suportes das normais principais nunca se cruzam.§ 05 - Sistema de coordenadas curvilíneas recíprocas de uma superfície.A continuidade de ((01), §01) permite-nos concluir que os vetoresr r  U( 12, ), (01),calculados em cada ponto de (S), existem sempre, finitos e não nulos. Tais vetores sãotangentes às respectivas coordenadas curvilíneas do ponto, não sendo unitários em geral,
  19. 19. 19exceto se os parâmetros U são os comprimentos de arco dessas coordenadas. O pontocomum às duas curvas de (S) e seus consecutivos (um sobre cada curva ou sua tangente)definem um plano que é o plano tangente a (S) no ponto. Tais vetores r serão sempre nãoparalelos e constituirão uma base sobre o plano tangente, nas vizinhanças do ponto.Ora, se existe em todo ponto R de (S) uma base definida por vetores r tangentesàs respectivas coordenadas curvilíneas de R, existem também os vetores r, recíprocos dosr ,no plano tangente, tais quer .r   ( , 12, ), (02),os sendo os deltas de Kronecker. Então, existem outras coordenadas curvilíneas para R -que denominaremos coordenadas curvilíneas recíprocas ou duais das U - representadaspor curvas de (S) às quais os vetores r são tangentes. Como r2é perpendicular a r1, e r1ar2, essas coordenadas curvilíneas são trajetórias ortogonais das primeiras; vamosrepresenta-las por U1 e U2. Assim, às coordenadas curvilíneas U1e U2- tambémdenominadas coordenadas curvilíneas contravariantes de R - correspondem os vetores debase covariantes r1 e r2; às U1 e U2 - denominadas coordenadas curvilíneas covariantesde R - correspondem os vetores de base contravariantes r1e r2. Existem, pois, funçõesU 0|UU|com),U,U(UU 21  (Jacobiano não nulo), (03),mediantes as quais se pode passar de um sistema para o outro.Escreveremos, então, em geral:)3,2,1(i)U,(UR)U,U(R i21ii21i uur , (04),para representar o ponto genérico de (S), qualquer uma das duas formas de representaçãotendo igual status para o estudo da superfície.A derivada direcional de n.Ora,d d S dd Sd S dd S ( ) ( ),n n t . t n ou melhor,d d ,n r. n  (06),sendo d d Sr t  o deslocamento arbitrário de P sobre a curva, e  dd S  ,n t n (07),um diádico linear, evidentemente não simétrico, cujo plano é o plano tangente. Vamosdenomina-lo diádico tangente da curva no ponto considerado (por analogia com o diádicotg de uma sup onde?). Assim:A variação da normal principal no ponto genérico de uma curva reversa é otransformado do deslocamento arbitrário desse ponto sobre a curva mediante odiádico tangente correspondente usado como pós-fator.Podemos também escrever:
  20. 20. 20n.tnˆˆSdˆd , (08),e entender d d Sn - tal como no caso das sup - como a derivada direcional de n nadireção da tangente à curva em R.Por (06,§04) concluímos que b e d n formam um ângulo agudo; seja ele . Por(04,§04) concluímos que t e d n formam um ângulo obtuso. Mas, sendo d n perpendiculara n (porque    n.n n. n 1 0e d ), d n é paralelo ao plano tangente.Em resumo:d n é um vetor paralelo ao plano tangente, forma o ângulo agudo  com b e oângulo (obtuso)  + 2 com t .Conforme (05) podemos enunciar:As curvaturas de flexão e de torção relativas a um ponto qualquer de uma curvareversa são as projeções ortogonais da derivada direcional do unitário da suanormal principal sobre os suportes da sua tangente e da sua binormal,respectivamente.Podemos, então, escrever o diádico tangente na forma cartesiana   +| | |  | n c t t t b , (071).É evidente, por (071), que se uma curva é plana - caso em que ||=0 - o diádicotangente é unilinear em todos os seus pontos. Reciprocamente, seja (C) uma curva,por hipótese reversa, mas cujo diádico tangente seja unilinear em todo ponto, então, por(071), é ||=0.Resulta, então, demonstrado o seguinteTeor.:A CNS para que uma curva seja plana é que seja unilinear o diádico tangente detodos os seus pontos.Levando (08) a (051), encontramos:]ˆ)ˆ(ˆ[ˆ|| tn.t.n  , (09),ou, ainda, recorrendo ao vetor de  n:n.nn.n ˆrotˆ)ˆ(ˆ|| V  , (10).
  21. 21. 21Considerando (07) e (08) e recorrendo ao escalar de  n obtemos, ainda, duasoutras formas alternativas de representação da curvatura de flexão em R:t.n.tc ˆ)ˆ(ˆ||  nn ˆdiv)ˆ( E  , (11).As expressões (10) e (11) são de capital importância porque expressam ascurvaturas da curva em função dos invariantes do diádico tangente.Raios e centros de curvatura, evolutasOs inversos das curvaturas de flexão e de torção, por terem a dimensão de umcomprimento, denominam-se raio de curvatura de flexão e raio de curvatura de torçãode (C) em P; serão representados por rn e rt. Os pontos distantes de P, no mesmo sentido eno sentido contrário de n, de comprimentos iguais, respectivamente, aos raios de curvaturade flexão e de torção, denominam-se centros de curvatura de flexão e de torção de (C)em P.Como a cada P de (C) corresponde um e um único par de centros de curvatura(dispostos de um lado e outro de P ao longo da normal principal), os lugares geométricosdesses pontos relativos a todos os pontos de (C) serão duas curvas, em geral reversas;denominam-se evolutas de flexão e de torção da curva (C).Se A é a projeção, sobre a tangente, da extremidade do vetor derivada direcionalda normal, este aplicado em P, o vetor de origem P e extremidade A tem por módulo acurvatura de flexão e sentido oposto ao unitário da tangente. Seja E o centro de curvatura deflexão da curva, ponto este, situado sobre o suporte da normal principal. A paralela a ANconduzida pela extremidade do oposto do unitário da tangente passa por E. Com efeito, porsemelhança de triângulos temos:PA11PEdonde, PE 1PAr .n   ,| |1cAnalogamente, se B é a projeção da extremidade do vetor derivada direcional danormal sobre a binormal, o vetor de origem P e extremidade B tem por módulo a curvaturade torção e o mesmo sentido do unitário da binormal. Se T é o centro de curvatura de torção- ponto este, situado sobre a normal principal (mas no sentido oposto ao do unitário desta)-,
  22. 22. 22e se N é o oposto de N em relação a P, a paralela a BN conduzida pela extremidade dounitário da binormal passa por T. Pois, tal como na demonstração anterior, por semelhançade triângulos escrevemos:PB11PTdonde, PT 1PBr .t   ,| |1§06 - Curvaturas de curvas contidas em uma superfície.A interseção de (S) com um plano qualquer, ), que contenha o unitário m danormal a (S) no seu ponto corrente P é uma curva plana, ( )m , dita seção normal de (S)em P.Seja  o ângulo do plano de uma seção normal ( )m de (S) pelo ponto genérico Pcom o plano de uma seção ( ) de (S) que contenha o unitário tm da seção normal. Ascurvas ( ) e ( )m admitem o mesmo plano normal porque admitem o mesmo unitário detangente. O plano normal contem, além da normal `superfície, as normais principais de ( )e ( )m . Os unitários destas normais principais,  n nm e , formam o mesmo ângulo  -denominado ângulo normal das curvas - podendo-se, então, escrever: ,n n bm cos +sen   (01).Coforme ((021),§05):   1 1rdd Serdd Snmmn ,t.nt. nMasdd Scos dd Ssen dd Ssen +cos dd Sm  (  ) .n n b n b      Considerando que o vetor entre parênteses é bm e que t é perpendicular a b e a bm ,resulta, multiplicando escalarmente ambos os membros dessa igualdade por t :r r cosn nm , (02).Se (C) é uma curva reversa contida em (S) e que admite a mesma tangente que( )m em P, e se  é o ângulo do plano osculador de (C) com o plano de (m), são válidos,ainda, os mesmos resultados anteriores, mantendo-se, inclusive, a nomenclatura do ângulonormal das curvas. Isto nos permite concluir o seguinteTeor.: (Meusnier)O centro de curvatura relativo a um ponto de uma curva de uma superfície, é aprojeção, sobre o seu plano osculador, do centro de curvatura daquela seção dasuperfície que é tangente à curva no ponto.§07 - Curvaturas extremas de uma superfície.Num ponto de uma curva sobre uma superfície, as curvaturas (de flexão e detorção) dessa curva, são ditas, também, as curvaturas da superfície no ponto. Quando taiscurvas têm uma tangente comum, é válida a equação ((02),§06) que mostra, por evidência,
  23. 23. 23que as curvaturas de flexão das seções normais são menores que as correspondentes detodas as outras curvas. Nesse caso, então, pretendo-se determinar os extremados de taiscurvaturas, o caminho mais imediato consiste em estabelecer a expressão geral da curvatura, na forma ((11),§05), onde  m n  é o unitário (constante) da normal à superfície e t -uma incógnita - é o unitário da direção que extrema a curvatura. Assim,| |  (  )   ,c t. m .t m .t   dd S(01).Podemos entender, geometricamente, que o unitário t , variável, esteja especificando asvárias interseções de cada plano de um feixe que contem m, e um plano infinitamentepróximo do plano tangente à superfície e do qual se aproxima deslocando-se no sentido dem. Nesse caso, a curva interseção da superfície com o plano vizinho da tangente é adescrita pela extremidade do vetor d r, sendod d d d dS2m. r r. m. r c   | | , (011),equação esta geometricamente equivalente a (01).Ora, sendo uniplanar simétrico o diádico tangente, (011) é a equação de umacônica. Então, por (01) e (011), vemos que, enquanto a extremidade de t descreve acircunferência de raio unitário e centro P, no plano tangente, a projeção R da extremidadeda derivada direcional de m sobre t , e a extremidade de d r, descrevem cônicas demesmos gêneros e coaxiais (elipses, hipérboles ou pares de retas), também do planotangente.Os auto-valores de  m- os extremados da curvatura de flexão no ponto,denominados curvaturas principais do ponto - são números reais finitos; e seus auto-versores - as direções principais do ponto -, ortogonais. Supondo distintos os auto-valoresdos diádicos tangentes, designando-os por 1 1R Ri j, e os auto-versores por  i je ,escrevemos:     ,m i i j j1R+ 1Ri j(02)1,sendo, ainda,     ,i. m i j. m j   1 1ReRi j(021).Em forma diferencial, a equação (02) assim se escreve:d dRd +Rdiijj  ,m r. m r r   1 1 (03)2,onded dS d e d dS di i j jr i r.i i r j r.j j    ( )  ( ), (031),são os vetores deslocamento do ponto nas direções principais.1Como  m existe sempre, finito e não nulo, ao menos um(a) dos(as) raios de curvatura (curvaturas)da superfície é não nulo(a), isto é, ao menos um dos auto-valores é não nulo.2É evidente que a repetição dos índices i e j, no caso, não implicam somatórias.
  24. 24. 24Dos invariantes de  m importa considerar, no momento, o seu escalar e o seuterceiro. Tem-se:(  )  ,  m mEi jdivR+R1 1 (04),e(  ) , m 31R Ri j(05).O escalar do diádico tangente é a chamada primeira curvatura da superfície; é também, oduplo da curvatura média (semi-soma das curvaturas principais de flexão) da superfície noponto. O terceiro do diádico tangente é a chamada segunda curvatura ou curvaturagaussiana da superfície no ponto.Podem-se determinar, com facilidade, o escalar e o terceiro do diádico tangente emtermos da função S(X,Y,Z)=constante, isto é, da equação da superfície em forma implícita.Podemos escrever ((09),§03) na forma|        .      S| S S + Sm mm. .mm .mm2Sendo(    )   ,(   )   ,       S) div S lap S,( S SS SEEEmm. .mm m. .m.mm m. .mtem-se, logo:|  )   ,    S|( lap S SEm m. .moudivlap S| S|S S SS|3|,m . .   (06).Agora, tomando o terceiro de ambos os membros de ((09), §03) tem-se, aplicandopropriedades:(  )|(   ) ( ) (   ) .   m mm mm3 3 3 31S|S2  Sendo 1)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(,ˆˆ+ˆˆˆˆ 3  ji.jimmjjiimm  . Logo:(  )(| )|, m 3S)S34 (07).Fórmulas de Euler. Teorema de Dupin.
  25. 25. 25Sejam | | | |c cu ve as curvaturas extremadas de flexão num ponto P de (S),correspondentes às direções ortogonais definidas pelos unitários  u ve do plano tangente;isto é, | | | |c cu ve são as curvaturas de flexão das seções planas de (S) correspondentes a u ve . Se   e + 2 são os ângulos de  u ve com i , então     .u i j v i j  cos +sen e sen +cos   Mas, sendo| |    | |   ,c u. m.u c v. m.vu ve   resulta, substituindo ,  u v me  pelos seus valores em função de  i je :| | , | | ,c cui2j2vi2j2Rcos + 1RsenRsen + 1Rcos 1 1    (08).Essas fórmulas são conhecidas como fórmulas de Euler; somando-as membro a membro,tem-se:| | | ,c cu vi j+|R+R 1 1o que demonstra o seguinteTeor.:A soma das curvaturas em direções ortogonais por um ponto de uma superfície,é igual ao escalar do diádico tangente do ponto,ou, ainda,Teor.: (Dupin)A soma das curvaturas de flexão em duas direções ortogonais por um ponto deuma superfície é constante e igual à soma das curvaturas principais desse ponto.Nota:Poderia parecer que o produto das curvaturas nas direções ortogonais fosse tambéminvariante e igual ao produto das curvaturas principais, o que não é verdade, nem tem razão deser. Tem-se:| || | ) ] .c cu vi j i jR R+[2( 1R+ 1Rsen 2 1 2Classificação dos pontos de uma superfície.Supondo, ainda, Ri  Rj, ao variar , a extremidade do unitário da tangentedescreve a circunferência de raio um; e o ponto R, a cônica tal, que, conforme a fórmula deEuler:
  26. 26. 26| | ,cui2j2uRcos + 1RsenR 1 1 ou, ainda, pondoR cos X e R sen Y,u v  a cônicaXR+ YR R2i2j u 1 , (09).Três situações devem ser analisadas quando Ri e Rj são distintos e não nulos:- Se têm o mesmo sinal, rnu terá o sinal comum a Ri e Rj. A cônica é umaelipse, e o ponto de diz elíptico. A superfície estará toda de um só lado do plano tangentenas vizinhanças do ponto; e a superfície se dirá convexa no ponto.- Se têm sinais diferentes, Ru terá o sinal de um ou do outro; a cônica éuma hipérbole, e o ponto se dirá hiperbólico. Nas vizinhanças do ponto, a superfície estaráde um lado e outro do plano tangente, e se dirá côncavo-convexa.Linha assintóticaNa direção em que Ru=  a cônica se degenera no par de (retas) assíntotas; adireção correspondente será dita assintótica da superfície no ponto. Tais assíntotas serãoimaginárias se o ponto for elíptico; e reais se o ponto for hiperbólico.Se num ponto, uma das curvaturas principais se anula, o diádico tangente - cujoterceiro é, então, nulo - reduz-se à forma   ;m i i1Ria cônica degenera-se num par de retas paralelas à direção principal i . O ponto é dito, nocaso, parabólico.O lugar geométrico dos pontos parabólicos de uma superfície pode serdeterminado imediatamente; basta impor a condição de que esses pontos devam satisfazer a((01), § 01) e a (07) com (  ) m 3 0, isto é,S(X,Y,Z) constante e S 3  ( ) 0.A direção assintótica esta, pois, associada à nulidade da curvatura da superfícienessa direção, caso em que (01) dá  t. md d S  0; isto é, a direção assintótica éperpendicular ao vetor derivada direcional do unitário da normal à superfície no ponto. Arecíproca é evidente. Fica, pois, demonstrado o seguinteTeor.:A CNS para que uma direção por um ponto de uma superfície seja uma direçãoassintótica é que essa direção seja perpendicular à derivada direcional dounitário da normal à superfície pelo ponto.
  27. 27. 27Se r é o vetor posicional do ponto genérico de uma curva sobre uma superfície, nadireção da qual a curvatura da superfície é nula em todo ponto, então, conforme (011), aequação diferencial dessa curva éd dm. r  0.Uma curva de uma superfície, em cujas direções a curvatura da superfície é nula, é dita umalinha assintótica dessa superfície.As conclusões anteriores podem, então, ser resumidas na forma do seguinteTeor.:A CNS para que uma curva de uma superfície seja uma linha assintótica dessasuperfície é que as suas tangentes, em todos os seus pontos, sejamperpendiculares às correspondentes derivadas direcionais do unitário da normalà superfície.Se num ponto de uma superfície os auto-valores são iguais, o diádico tangentepode ser reduzido (de infinitas maneiras) à forma  (   ),m i i j j1R+ionde  i je são dois unitários ortogonais arbitrários do plano tangente. A cônica (07) édegenerada na circunferência de equação,RRYXu222e o ponto correspondente é dito umbílico; nas suas vizinhanças a superfície é convexa e asdireções assintóticas são imaginárias.Como a cônica (09) indica a natureza (elíptica, hiperbólica ou parabólica) dospontos da superfície aos quais está ligada, costuma-se denomina-la cônica indicatriz,embora haja quem a denomine, também, de indicatriz de Dupin.As indicatrizes de todos os pontos dos elipsóides e dos hiperbolóides de duasfolhas são elipses; essas quádricas são, pois, convexas em todos os seus pontos. Já aindicatriz de todos os pontos do hiperbolóide de uma folha é uma hipérbole; ele étotalmente côncavo-convexo. A indicatriz de uma superfície esférica é uma circunferência(degeneração da elipse); ela é, pois, convexa, e seus pontos, todos umbílicos. A indicatrizde todos os pontos de um cone ou de um cilindro é um par de retas paralelas; logo, todos osseus pontos são parabólicos.Linhas de curvaturaOra, para qualquer curva reversa de (S), (   )m m rd d  0 em geral, porque a normalà superfície e a normal principal da curva em geral são distintas. Mas às direções principaisde um ponto correspondem duas curvas reversas tais, que(   ) (   )m m r m m rd d e d di j 0 0, (10),
  28. 28. 28o que se comprova facilmente multiplicando escalarmente ambos os membros de (031) pormm ˆdˆ  . Com efeito, pois, mm ˆdˆ  é um vetor perpendicular ao plano tangente, logo,perpendicular a  i je a .Então, em geral, para os pontos de uma curva (C) de (S), as normais à superfícieem pontos vizinhos não se interceptam; mas, para cada ponto da superfície há duas curvassobre (S), reversas em geral, em cujos pontos vizinhos as normais a (S) se interceptam. Taiscurvas reversas, ortogonais, cujas tangentes no ponto são as direções principais do ponto ouos eixos (principais) da cônica indicatriz do ponto, denominam-se linhas de curvatura.Ora, d e dm r são vetores do plano tangente; e devendo ser coplanares com m,são paralelos. Assim, se uma curva reversa de uma superfície é uma linha de curvatura, emtodos os seus pontos o deslocamento na direção dessa curva é sempre paralelo aocorrespondente vetor derivada direcional do unitário da normal a essa superfície. Aequação diferencial de uma linha de curvatura é, então:orm dˆd , (11).Reciprocamente, se para todo ponto de uma certa curva de uma superfície subsistea equação (11), podemos escrever, lembrando (05) e (02):dr. m  . rjjiir.r d)ˆˆ+ˆˆR1(d0diRepresentando por  o ângulo de dr com a direção principal do ponto, definida pelounitário i , tem-se:.ˆcos|d|dˆ,ˆsen|d|dsen|d|ˆ.d,cos|d|ˆ.dmrrjmrrirjrrirLogo:121 1 022| | ( )  , , .dR+Rsen 2 isto é , oui jr m o     Então, se subsiste (11), a direção de dr ou é a de i , ou é a de j . Resulta, assim,demonstrado o seguinteTeor.:A CNS para que uma curva de uma superfície seja uma linha de curvatura é quea tangente a essa curva num ponto qualquer seja paralela à derivada direcionalda normal à superfície nesse ponto.Então, sobre a superfície existem dois sistemas (duas famílias) de linhas de curvatura,ortogonais, cuja equação diferencial é(   )m m rd d  0, (12),ou cuja equação integral éum.u.mumm ˆˆˆˆ0)ˆdSˆd(  , (13).Normálias. Superfície dos centros.
  29. 29. 29As normais a uma superfície ao longo de cada linha de curvatura de um seu pontogeram duas superfícies regradas denominadas normálias do ponto. As normálias gozam dapropriedade de serem desenvolvíveis, o que se justifica pelas (08). O ponto de interseçãodas normais vizinhas ao longo de cada linha de curvatura de um ponto é um centro decurvatura da superfície no ponto; logo, num ponto, uma superfície tem dois centros decurvatura. As distâncias dos centros de curvatura aos pontos correspondentes da superfíciesão os raios de curvatura da superfície3. Quando um ponto se desloca sobre uma linha decurvatura, os centros de curvaturas correspondentes se deslocam sobre uma segunda curva,em geral reversa. Portanto, a cada ponto da superficie corresponde duas curvas reversas,lugares geométricos dos centros de curvaturas da superfície. A cada sistema de linhas decurvatura corresponderá, então, uma superfície. Na verdade, como as linhas de curvaturaexistem aos pares para cada ponto, a superfície lugar geométrico dos centros de curvaturade todos os pontos de (S) é composta de duas folhas, cada folha correspondendo-se com umsistema de linhas; tal superfície denomina-se superfície dos centros.§03 - O diádico gradiente do unitário da normal a uma superfície.Embora existam infinitos sistemas regulares de coordenadas curvilíneas pararepresentar uma dada superfície, existe sempre, determinado e único, o unitário m danormal a (S) no seu ponto genérico R. Podemos escrever:||ˆ2121rrrrm , (01).Por ser, então,  m.m 1, resulta4 dm. m  0. Por ser m uma função de U1 e U2tem-se também  m. m UdU  0. Os vetores  Um , além de finitos, pertencem também aoplano tangente. Logo:A variação (total ou parcial) do unitário da normal a uma superfície num pontoé um vetor do seu plano tangente nesse ponto.Postulando-se uma relação entre as coordenadas curvilíneas (contravariantes, porexemplo) U1 e U2, seja em forma implícita: H(U ,U ) C const.1 2  , ou em formaparamétrica (em relação aos comprimentos de arco):U U S)1 1 ( e U U S)2 2 ( - funçõesessas, todas contínuas e com derivadas contínuas - fixa-se uma curva, (C), geralmentereversa sobre a superfície. Seja P o seu ponto genérico fixado para um dado valor do arco, eportanto, para os valores U1 e U2 determinados das coordenadas curvilíneas. Estas linhas3Devemos observar novamente que os centros e os raios de curvatura das linhas de curvatura sãodistintos daqueles da superfície, porque a normal à superfície e as normais principais dessas curvassão retas distintas. Aliás, conforme o teorema de Meusnier, as curvaturas das linhas de curvatura sãomenores que as curvaturas da superfície.4 Supomos conhecidas do leitor as propriedades formais de derivadas e diferenciais de vetores,
  30. 30. 30coordenadas de P e as U1+dU1 e U2+dU2 (das suas vizinhanças) definem um quadriláterocurvilíneo elementar arbitrário, PQRS. O arco PR de (C) é, pois, um deslocamentoarbitrário de P sobre (S); podemos representa-lo na formad d Sr u  , (02),onde dS é a medida algébrica do arco PR e u o unitário da tangente a (C) em P. A normal àsuperfície é também a normal a (C) porque ambas são paralelas às variações dos unitáriosdas tangentes de todas as curvas que passem por P. Por outro lado,d d UUd U (r r r  , , ),12 (03),e, conforme ((03),§02),d d UUd UU( , ( ), , )m m r .r m    12 .Agrupando convenientemente, vem:d d UU( , ( ) (), , )m r . r m   12 ,ou melhor, considerando (03):d d  ,m r . m  (04),com =U( , , ),m r m 12 (05).Então:Nas vizinhanças de qualquer ponto de uma superfície regular, a variação dounitário da normal é uma função vetorial linear da variação do ponto.O diádico  m, isto é, o gradiente do unitário da normal à superfície, existesempre finito, não nulo, e é evidentemente uniplanar porque os seus antecedentes e os seusconseqüentes pertencem ao plano tangente.Definição: ( diádico gradiente)O diádico  m será denominado diádico tangente da superfície no seu pontogenérico.Propriedades do diádico tangenteTeor. 1:O diádico tangente é simétrico:  T  ,m m (06).Pelo teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de m através da área do quadriláterocurvilíneo PQRS é igual à circulação ao longo do contorno PQRS que é fechado.Desprezando, no cálculo da circulação, os infinitésimos de ordem superior à primeira,
  31. 31. 31teremos: (  ) rot d Sm .m  0,isto é, rot  ,m o porque rot m não é necessariamenteortogonal a m. Então,  m tem vetor nulo, sendo, pois, simétrico.Podemos fazer uma segunda demonstração deste teorema que consiste em escrever  S S ||  ,m porque  S é normal à superfície. Então, posto que no espaço euclideanotridimensional rot S  o, e que, conforme fórmula conhecida do Cálculo Poliádico5:rot ( S | S |)|  ) ( |   m +ˆm | S |rot m o,resulta rot  ,m o porque   S ||  .m E sendo nulo o vetor do diádico tangente, estediádico é simétrico.Em resumo:Em todo ponto de uma superfície regular, o diádico tangente correspondente éuniplanar, simétrico, e seu plano é o plano tangente à superfície pelo ponto.Por isso mesmo:  (  )  ,m. m m .m o    (07),e,)ˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆ(  m.mmmm.m (08),expressões nas quais o é o vetor nulo e  é o diádico nulo.Teor. 2:Tem-se:   |(   ) (   ),m mm . . mm1S |S  (09),onde  é o diádico unidade do espaço euclideano tridimensional.De   S S ||  ,m podemos escrever:  S ( S . m m )  ; donde, tomando  deambos os membros, aplicando propriedades do operador  sucessivamente, e agrupandoconvenientemente6:           S S +( SS +( S) +( S[ (  )]   ) (   )    )  ..m m .m m. mm m. m .m mTranspondo termos, reagrupando, lembrando (08) e considerando, ainda, que|S|ˆS  m.    S ( S | +. mm m. mm   ) |  (   ).Finalmente, considerando que5Genericamente, se F é escalar e v é um vetor, ambos variáveis,   ( ) ( .F F) +Fv v v Logo,tomando o vetor de ambos os membros: .rotF+F)()rot(F vvv 6 Além das fórmulas já citadas consideraremos também, que:     ( ) ( ) ( )a.b a .b b .a .
  32. 32. 32(   )  (   )   )  ]   (   ),       mm . m. mm m m .m m m m. m+ +[(e lembrando (07), tem-se, logo, (09).§04 - Derivada direcional do unitário da normal a uma superfície.Consideremos um deslocamento arbitrário na direção dos S crescentes da curvareversa (C) contida em (S). Podemos escrever ((04),§03) na formadd S   (  ) ,m u. m m .u    (01).Definição: (deriva direcional)O vetor d d Sm é a variação de m por unidade de comprimento de arco noponto, na direção da curva (C); denomina-se vetor derivada direcional de m nadireção de u.Então:O vetor derivada direcional do unitário da normal a uma superfície no seuponto genérico, na direção de um unitário qualquer do seu plano tangente, é ovetor desse plano, transformado desse unitário mediante o diádico tangente doponto.

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