Tensoesinsitu3 d

289 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
289
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
16
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
4
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Tensoesinsitu3 d

  1. 1. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 01COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENSXXVIII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENSRIO DE JANEIRO – RJ, 25 A 28 DE OUTUBRO DE 2011CÁLCULO 3D DE TENSÕES IN SITU EM MACIÇOS ROCHOSOSElysio Roberto Figueiredo RUGGERIEngenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SAFlávio Mamede Pereira GOMESEngenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SARESUMOABSTRACT
  2. 2. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 021. INTRODUÇÃO.1.1 SOBRE O MACIÇO.Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandesdimensões dotada de tensões iniciais em estado natural, sem forma exteriorespecial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoriada elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontosde vista físico e geométrico) e elásticos.No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é umacircunferência de raio a e cujo centro O pertencerá a uma curva, o eixo do furo,suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas fixado.1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS.1.2.1 Sistema O-XYZ.O plano horizontal h conduzido por O e o plano  formam certo ângulo diedro. Ainterseção desses planos define a direção do eixo OX, com vetor unitário Iˆ e desentido escolhido arbitrariamente. O eixo OZ será a normal descendente do planohorizontal e seu vetor de base é o unitário Kˆ . O eixo (horizontal) OY, com unitário Jˆ ,deve ser escolhido de forma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1).Observando-se o plano YZ no senti contrário ao de Iˆ , os ângulos  serão medidostendo o eixo OZ como lado fixo de referência e ditos positivos quando o outro lado érodado no sentido de Y para Z (logo, no sentido anti-horário).1.2.2 Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyzLiga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo O tangente ao eixo dacurva em O com vetor unitário associado ˆ normal ao plano  e origem em O,contido no plano vertical OZY e, por construção, fazendo o ângulo  com Kˆ (Figura1), o que fixa o seu sentido.No plano  (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a retasuporte do unitário Iˆ e serão considerados positivos quando o lado variável girar nosentido horário para quem observa  no sentido de ˆ (ou anti-horário, se observadosno sentido contrário ao de ˆ ). O sistema polar em  terá rˆ e ˆ por vetores unitáriosortogonais de base, ambos com origem em O, o primeiro tendo a direção de um raioinclinado de  sobre Iˆ e apontando para o interior do maciço, o sentido do segundosendo tal que o triedro }ˆ,ˆ,ˆ{ r seja positivo.Ainda ligado ao furo define-se um sistema cartesiano de eixos OxOX (com unitárioIi ˆˆ ), OzO (com ˆˆ k ) e Oy, de unitário jˆ , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). Noplano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz se posicionam conforme indicadona Figura 3.
  3. 3. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 031.2.3 Sistema principal de OEsse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários lˆ , mˆ e nˆ definidospelas direções principais do tensor de tensões de O existente antes da execução dofuro, ou seja, o tensor in situ do ponto O. Essas direções e as tensões principaiscorrespondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção2 e equacionado e resolvido na seção 3.1.3 NOTAÇÕES.No ponto genérico P de , o tensor de tensões  é representado na forma de umamatriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e O-xyz,essas matrizes são:rrrrrr ,zyzxzyzyxyxzxyxxyzσσσσσσσσσ][σ , enmllmnp000p000p][σ , (1.1).Para a resolução algébrica de problemas será útil o uso da notação em forma dematriz coluna:rrrr }{xyzxyzzyxxyz}{ , (1.2).Para o tensor de tensões in situ será utilizada a mesma notação juntando-se aosíndices o símbolo  (como: r, , yz, {r} etc.)Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüenteà execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor,nas direções de rˆ , ˆ e ˆ , respectivamente.O tensor das deformações é denotado por  e suas componentes são denotadas talcomo as correspondentes ao tensor de tensões: r, , , ..., ou x, y, z, yz... edeformações in situ r, ..., ou x, yz, {xyz} e {r} etc.Figura 1 - Sistema de eixosO-XYZFigura 2 - Sistemacilíndrico ligado ao furoFigura 3 – Eixos no planoOYZ
  4. 4. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 042. POSIÇÃO DO PROBLEMA2.1 ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICOConsideremos um ponto O de uma chapa metálica tensionada por forças agindo noseu plano médio. Em cada um dos pontos desse plano médio está estabelecido umtensor (plano) de tensões (todos iguais, nesse caso particular, se referidos a ummesmo sistema de referência). Pratiquemos nela dado furo, de raio a e centro O.Essa operação provoca uma alteração nos tensores dos pontos da chapa original.Entretanto, a Teoria da Elasticidade mostra, e medições confirmam, que, após aexecução do furo, não ocorrem mudanças sensíveis nos valores dos tensores nospontos da chapa situados a distâncias maiores que 5a de O. Essa circunferênciaimaginária no plano médio define uma "linha de influência" associada a O no tocanteà modificação dos valores dos tensores.Os maciços rochosos estão pré-tensionados, em geral; e esse estado de tensões étridimensional. Assim, a cada ponto de um maciço intato está associado um tensor insitu. Os tensores in situ são teoricamente funções de ponto e desconhecidos. Comalguma aproximação, em vista das grandes dimensões dos maciços, podemosimaginá-los praticamente idênticos nas imediações de um ponto (até cerca de 10mdesse ponto, digamos).A determinação aproximada do tensor in situ em um ponto O de um maciço requer aabertura de um furo de grande diâmetro (em torno de 3m) cujo eixo contenha oponto (pouco importando a sua inclinação). Nas proximidades da parede desse furoe no interior do maciço podem ser feitas medições de tensões normais (método dasalmofadas) com o conjunto das quais é possível determinar aproximadamente otensor de tensor naquelas proximidades, desde que aceitos certos pressupostos [3].Embora venhamos a considerar as mesmas operações para medições, comoapresentadas em [3], parte de tais pressupostos serão aqui substituídos por outros.A execução do furo no maciço em estado triplo de tensão acarreta redistribuição dastensões nas proximidades do ponto O tal como ocorre na mencionada experiênciacom a chapa tensionada. O valor 5a no caso da chapa apenas sugere um valor dereferência para fixar uma "superfície cilíndrica de influência" associada a O, de eixoparalelo ao eixo do furo, para além da qual a influência do furo não é sentida pelostensores. Dizemos, para simplificar, que pontos próximos dessa superfície estão auma distância infinita de O. Essa região pode mais simplesmente imaginada comoum cubo qualquer, de aresta 10a, cujo centro é ocupado pelo ponto.A sugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vãoexecutar furos muito próximos nos maciços rochosos.Guiados por esse resultado, vamos estabelecer uma aproximação que pareceadequada do ponto de vista prático.Aceita-se que em pontos nas proximidades da superfície de influência doponto O (ou à "distância infinita" de O) os tensores de tensões sãopraticamente iguais ao tensor in situ relativo a O.
  5. 5. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 052.2 PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃOAs equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis aoproblema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equaçõesdiferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições nocontorno do corpo e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema,para o presente problema – um cilindro imaginário de rocha (ou o cubo que oenvolve) submetido às tensões in situ do maciço - foi resolvido por HIRAMATSU eOKA [1] com base em alguns pressupostos. Algumas das notações expostas em [1]foram aqui conservadas, mas pormenores relativos a sistemas de coordenadas,interpretações e modo de abordagem são dos presentes autores.Os pontos P(r,,) e P(r,,+d) definem uma direção paralela ao eixo  dosistema O-r ligado ao plano seção  (ver item 1.2.2). Nestas condições, tensões,deformações e deslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme ospressupostos seguintes (que não são condições de contorno, pois são verificados noponto genérico interior ao maciço).Primeiro pressuposto:- em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v dodeslocamento para o acréscimo de , isto é:0vu(2.1.a),o que significa que u e v só podem depender de r e .Segundo pressuposto:- em P, é nula a razão do acréscimo do tensor  de tensões para o acréscimode , ou seja,, (2.1.b),o que também significa que  só depende de r e .Terceiro pressuposto:- em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w (na direção O)para o acréscimo de , ou seja,Kw , (2.1.c),o que significa que w varia linearmente com  além de variar com r e .Desses pressupostos se deduz que:),r(uu  , ),r(vv  ,  K),r(ww e ),r(   , (2.2).
  6. 6. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 063. EQUACIONAMENTONo ponto genérico P da seção do furo a equação de equilíbrio estático é odiv ,desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas, o que é aceitável por seremdesprezíveis as tensões relativas ao peso próprio frente aos valores das tensões insitu.A conexão entre os tensores  e  é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que e  são as constantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de  (a dilatação cúbica) e Io tensor unidade. É necessária muita cautela para admitir a isotropia de um maciçorochoso e a proporcionalidade entre os tensores de tensão e deformação(linearidade física).O tensor  se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma2/)( Tuu  desde que as deformações sejam muito pequenas (o que traduz alinearidade geométrica). Em resumo, as equações simultâneas determinantes doestado de tensão/deformação do maciço são:)(21)Tr(2divTuuo, (3.1).Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade dasdeformações, sintetizadas na forma:Trotrot , (3.1-a),e as condições de contorno (para o cilindro de raio a), sintetizadas nas formasseguintes:- para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0, (3.1-b),e- para as direções (principais) lˆ , mˆ e nˆ do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, (3.1-c).3.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DESLOCAMENTO W.Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suasparticularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c),é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas (ver [2], Capítulo 2).Assim, já considerando os pressupostos, a equação odiv equivale ao sistema:
  7. 7. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 07(c),0rr1r(b),0r2r1r(a),0rr1rrrrrrrr, (3.2);a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, porconveniência, se apresenta aqui desdobrado nas formas:(c),K2e(b)),ruvr1(2e(a),ru2er, (3.3) e(c)),ur1rvrv((b),rw(a),wr1rr , (3.4);em que K é dada por (2.1-c),Kvr1rurueTr  , (3.5),e de onde deduzimos, para uso futuro,)ruru()Ke(rv(3.5-a) e )ruru()Ke(vr1, (3.5-b).Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posteriorsubstituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando,encontram-se as equações:(c),0wr1rwr1rw(b),0)ur2vr1rvrvr1rv(er1)((a),0)vr2ur1rurur1ru(re)(2222222222222222222, (3.6).Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Entretanto,considerando (3.5), vê-se que as equações (a) e (b) em (3.6) apresentam asderivadas de u e de v em relação a . A eliminação dessas derivadas poderá gerarequações em que apenas as letras u e v estejam submetidas às derivações parciais;a integração dessas equações será realizada no item 3.4.3.2 UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADASOs três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra baseortonormada mediante uma matriz de rotação. Vamos considerar todas as relaçõesmatriciais entre os vetores de cada par de bases vetoriais dentre os quatro sistemasde coordenadas considerados no item 1.2. Tem-se:
  8. 8. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 08- por serem lˆ , mˆ e nˆ os unitários das direções principais:kjinmlˆˆˆR.ˆˆˆ, comzyxzyxzyxnnnmmmlllR , (3.7),lx, ly e lz sendo os co-senos diretores de lˆ , mx, ... os de mˆ e nx, ... os de nˆ ;- da Figura 2: jir ˆsenˆcosˆ  , ji ˆcosˆsenˆ  e kˆˆ  , donde:kjirˆˆˆ.Pˆˆ , com cossensencosP , (3.8);- Pondo +=90°, tem-se (das Figuras 1 e 3): Ii ˆˆ  , KJj ˆcosˆsenˆ  eKJk ˆsenˆcosˆ  , donde:KJI.kjiˆˆˆTˆˆˆ, comsencoscossen001T , (3.9).Por substituição de (3.9) em (3.8) resulta:KJIrˆˆˆ.Mˆˆ , dondeˆˆMˆˆˆTr.KJIcom .sencoscoscossencossencossensensencosTPM . , (3.10),Como o tensor  pode ser escrito nas formas    etc.][...ˆˆˆ[ˆˆˆ.p000p000p.ˆˆˆˆˆˆ..ˆˆˆ321rrrrrkjinmlnmlrr  , (3.11),são deduzidas, por consideração das expressões (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10):TlmnTTxyzTXYZr P.R]..[R.PP]..[PM]..[M][   , (3.12.a),R]..[RP]..[PT]..[T][ lmnTrTTXYZxyz   , (3.12.b),T.R]..[R.TT]..[TM]..[M][ lmnTTxyzTrTXYZ   (3.12.c).Tem-se, então, desenvolvendo o último membro de (3.12.b), lembrando (3.7):
  9. 9. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 09n2zm2zl2znzymzylzynzxmzxlzxnzymzylzyn2ym2yl2ynxxmyxlyxnzxmzxlzxnxxmyxlyxn2xm2xl2xzyzxzyzyxyxzxyxpnpmplpnnpmmpllpnnpmmpllpnnpmmpllpnpmplpnnpmmpllpnnpmmpllpnnpmmpllpnpmpl, (3.13).Desenvolvendo o terceiro membro de (3.12.a), lembrando a matriz em (3.8), tem-sea matriz (simétrica): zyzxzyzxzyzxzxy2x2yxyyxyzxzxyyxxy2y2xrcossensencoscossen2sensencos2cos)(2sen21sencos2cos)(2sen212sensencos][ , (3.14);donde, pelas substituiçõ0es: sen2=(1-cos2)/2 e cos2=(1+cos2)/2,zyzzxyzzxyzzxxyyxyxxyyxyzzx60yxxyyxyxrθσcosθτsenθτsenθτcosθτcosθτsenθτsen2θτcos2θ)0,5(σ)0,5(σcos2θτsen2θ)0,5(σsenθτcosθτcos2θτsen2θ)0,5(σsen2θτcos2θ)0,5(σ)0,5(σ][σ , (3.15),Pelo princípio estabelecido na seção 2.1, para pontos afastados de O e próximos docilindro de influência, ou do cubo de aresta 10a centrado em O, o tensor de tensõesé único, estando apenas, eventualmente, referido a diferentes sistemas dereferência. De fato, nesse caso, tudo se passa como se o maciço estivesse intato ea distribuição das tensões fosse sensivelmente uniforme nas faces do cubo (talcomo no caso da chapa). Isto significa que, para aqueles pontos, é válida a equação(3.15), sendo lícito trocar-se nela, simultaneamente x, y, etc. e [r] por x, y,etc. e [r], respectivamente.3.3 AS TENSÕES  E r (em qualquer P)A equação (c) em (3.6), equivalente a lapw=0 (ou 2w=0), pode ser resolvidaimediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma: sen)rDCr(cos)rBAr(w , (3.17),
  10. 10. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 010em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a)e (b) em (3.4) podem ser escritas, respectivamente, nas formas:]cos)rDC(sen)rBA([ 22 (3.18),e]sen)rDC(cos)rBA[( 22r  , (3.19).Impondo que (3.19) satisfaça as condições de contorno (3.1-b), obtém-se, na parededo furo: sen)aC/D1(Ccos)aA/B1(A0 22,para qualquer , ou seja: 2aCDAB . Para o cálculo de  do tensor in situ podemosusar (3.18) com r, sendo, então: )cosCAsen(  . Lembrando que a mesmacomponente pode ser extraída da matriz (3.15), deve ser, lembrando (3.16-a):  sencos)AsencosC( zxyz . Então, por ser  arbitrário: Cyz e Azx . Emresumo:zxA , 2zxaB,yzC , e 2yzaD, (3.20).Substituindo-se em (3.18) e (3.19) os valores (3.20) encontrados para as constantesresultam, finalmente, em P:)sencos)(ra1( zxyz22  , (3.21),)cossen)(ra1( zxyz22r   , (3.22),e)enscos)(ra1(1rwyzzx22 , (3.23).3.4 OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e (em qualquer P)Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadasparciais de u e v em relação a r e a  para obter-se uma equação em e apenas.Derivando (3.5) em relação a r e agrupando convenientemente, tem-se:rur1rvr1vr1rurure 22222 , (3.24),
  11. 11. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 011entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.24) e (3.6-a). Porsubstituição dessas parcelas de (3.24) em (3.6-a) resulta, após operações:0)ur1vr1rvr1(re)2( 22222 , (3.25).Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a  e depois dividindo-se ambos osmembros por r, tem-se:22222vr1rur1ur1er1, (3.26),entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.26) e de (3.6-(b)). Por substituição de (3.26) em (3.6b), obtém-se, após operações:0)rur1ur1rvrvr1rv(er1)2(22222 , (3.27).Derivando-se parcialmente (3.25) em relação a r e cancelando termos, obtém-se:0)rur1ur2vr2rv(rre)2( 2322222322 , (3.28).Derivando-se parcialmente a equação (3.27) em relação a  e depois dividindoambos os membros por r, obtém-se:0)rur1ur1vr1rvr1rv(rer1)2( 232222223222 , (3.29).Somando-se membro a membro as equações (3.28) e (3.29), cancelando termos esimplificando, vem:0)ur1vr1rvr1(r)er1re)(2( 2222222222 , (3.30),donde, por consideração de (3.25) e observando-se que +20:0er1rer1re22222(3.31).A equação (3.31) equivale a lap e=0 (ou 2e=0). Embora esta equação (3.31) sejado mesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação(3.19), sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente:)2Gsen2cosF(r1Ue 2 , (3.32),em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para usofuturo,
  12. 12. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 012)2senG2cosF(r2)KU(r2)Ke(r23 , (3.32.a),e)2senG2cosF(r1r)KU(r)Ke(  (3.32.b).Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r,)2Gsen2cosF(r2re3,para substituição deste resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:0)]vr1(r2ur1rurur1ru[)2Gsen2cosF(r2)( 2222223 , (3.33),donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:)Ke(r2ur1rurur3ru)2Gsen2cosF(r22222223, (3.34).A equação (3.34), gerada de (3.33) por eliminação da derivada de e em relação a r eda derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a .Agora, considerando a equação (3.32-a), tem-se, por substituição em (3.34) e apóssimplificações:2222223ur1rurur3rur)KU(2)2Gsen2cosF(r122, (3.35).A solução geral da equação (3.35) pode ser escrita na forma: 2sen)rG22rNMr(2cos)rF22rLJr(rHr)KU(21u 33, (3.36),em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração.Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a  esubstituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação comderivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.36) se deduzafacilmente:2sen)rG22rN3Mr(2cos)rF22rL3Jr(rHr)KU(21rur 33,tem-se, logo: 2sen)rNMr(22cos)rLJr(2r)KU(ruru 33, (3.37).
  13. 13. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 013Substituindo-se (3.37) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valorexposto em (3.32-b); obtém-se:2sen)]rNMr(2rG[2cos)]rLJr(2rF[v33, (3.38),cuja solução geral é 2cos)r2GrNMr(2sen)r2FrLJr(v 33, (3.39).Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada aosegundo membro de (3.39), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistirpara qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: )r()r2GrNMr(v 3 e)r()r2GrNMr(v 3 . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamentev=(r); o que é absurdo, poisr2GrNMr 3 não é nulo em geral.As equações (3.32), (3.36) e (3.39) dão os valores de e, u e v como funções de r,  econstantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno(3.1.b) e (3.1.c).3.5 AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.Com as equações (3.36) e (3.39) pode ser obtida uma expressão para a tensão rem P. Tem-se:2sen)r2FrL3J(2cos)r2GrN3M(rv2424, 2sen)r2FrLJ(2cos)r2GrNM(rv2424, (3.39.a),e2sen)rF2rL2J2(2cos)rG2rN2M2(ur12424,donde, conforme (3.4.(c)): 2sen)rFrL6J2(2cos)rGrN6M2(12424r , (3.40).Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (3.15) deve serequivalente a (3.40) para r, tem-se: 2sen2cos)2senJ2cosM(21yxyr ,donde
  14. 14. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 0142Mxye2Jy, (3.41).Tem-se de (3.40), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b):02sen)aFaL6J2(2cos)aGaN6M2( 2424 ,donde, por ser  arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.41):0aGaN624xy e 0aFaL624y, (3.42).As igualdades (3.41) e (3.42) serão utilizadas oportunamente.*Com as equações (3.32) e (3.36) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.32), vem: 2senrG2cosrFUe 22;e de (3.36): 2sen)rG22rN3M(22cos)rF22rL3J(2rH2)KU(ru2 24242.Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações: 2sen]rG)(2)rN3M(2[2cos]rF)(2)rL3J(2[rH2KU)( 24242r , (3.43).Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (3.15) deve serequivalente a (3.43) para r, vem:  2sen2cos)2Msen2cosJ(2KU)( xyyxr , (3.44),dondeKU)(x , (3.45).Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (3.15), é=z, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma K2Uz . Então, extraindo destaigualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.45) e multiplicando por ambos os membros da expressão formada, tem-se: K)K2)(( zx  .Explicitando-se o valor de K, vem: xz)23()23()(K , (3.46).
  15. 15. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 015Lembrando as fórmulas clássicas:)23(E)(  , )23(2E  e  2)21( ,K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficientede Poisson  (além de 3 e 1):)2(E1K xx , )2(E21U xz (3.47),das quais se deduz, para uso futuro,])1[(E1)KU(21zx , (3.47.a).*Tem-se de (3.43), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.41): 2sen]aG)(2aN32[2cos]aF)(2aL32[aH20 24xy24y2x .Por ser  arbitrário, devem ser:0aH2 2x , 0aF)(2aL3224y e 0aG)(2aN3224xy .Da primeira igualdade resulta: x22aH , (3.48).Das duas outras igualdades e das igualdades (3.42) resultam os sistemas0aFaL60aF)(2aL3224y24ye0aGaN60aG)(2aN3224xy24xyque resolvidos acarretam y42aL ,  xy42aN ,  y2a2F e  xy2a2G , (3.49).Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.41), U dada por (3.47), H dada por(3.48) e L, N, F e G dadas por (3.49) nas equações (3.40) e (3.43) que definem astensões r e r, respectivamente, resultam:)2sen2cos)(ra3ra41()ra1( xyy4422x22r  , (3.50),e
  16. 16. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 016)2sen2cos)(ra3ra21( yxy4422r   , (3.51).Considerando as igualdades (3.47), (3.47.a) e (3.48), as expressões (3.32), (3.36) dee e u passam a ser:)]2sen2cos(ra)1(42[E21e xyy22xz  (3.52),)2sen2cos(]ra)1(4ra1[E1E1]ra)1()1[(E1ruzy2244zx22 , (3.53).Considerando as expressões de J e M dadas por (3.41) e as de L, N, F e G dadaspor (3.49), obtém-se, por substituição em (3.39.a) e em (3.38), após simplificações:)2sen2cos(]ra)21(2ra1[E1rvyxy2244 , (3.54),e)2cos2sen(]ra)21(2ra1[E)1(2vr1yxy2244 , (3.54.a),Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.52), (3.53)e (3.54.a) em (3.3.b) que)2sen2cos)(ra31()ra1( xyy44x22  , (3.55);e por substituição de (3.47) e (3.52) em (3.3.(c)):)2sen2cos(ra4 xyy22z   , (3.56).*Introduziremos agora a notação:ra , com <1, (3.57),as potências de  iguais ou superiores a 2 podendo ser consideradas desprezíveisfrente a seu próprio valor para r>5a. Lembrando ainda as notações estabelecidas naseção 1.3, as expressões com tensões podem ser matricialmente resumidas nasformas:}).{,,(M}{ xyzr  , (3.58),em que a matriz 6x6 M(,,) é
  17. 17. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 0172sen)341(000]2cos)341(1[5,0]2cos)341(1[5,02cos)321(0002sen)321(5,02sen)321(5,00cos)1(sen)1(0000sen)1(cos)1(0002sen40012cos22cos22sen)31(000]2cos)31(1[5,0]2cos)31(1[5,042422422424242222222244242, (3.59).e {r} é a coluna {r} cuja primeira linha tornou-se sexta linha. Mais à frentejustificaremos essa operação.É trabalhoso comprovar-se que o determinante de (M(,,)) valedet(M(,,))= )332)(31()1)(1(81 422422 ,sendo, pois, independente de  e diferente de zero se e apenas se 1.Pela equação (3.58) vemos que duas das condições para a determinação do tensorin situ estão em: 1 – haver possibilidade da determinação do tensor de tensões emalgum ponto do maciço (,  e  dados) ao qual corresponderá a coluna {r}; 2 –inverter a matriz M(,,) relativa ao ponto em que foi medido o tensor {r}.Pela condição 2 o problema só terá solução para 1, ou seja, para pontos nãosituados na parede do furo. O método clássico das almofadas satisfaz praticamentea condição 1. Veremos à frente quantos tensores devem ser medidos para que seencontre uma solução.3.6 AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES.As expressões das componentes de deformações podem ser rapidamente obtidasem função das componentes de tensões por aplicação da lei de Hooke:[I]][TrE][E1][ rrr   , (3.60),que pode também ser posta na forma clássica}.{100000010000001000000100010001E1}{ rr   , (3.61).
  18. 18. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 018A expressão (3.58) poderá ser utilizada caso se queira expressar {r} em função dotensor de tensões in situ {xyz}.4. MEDIDAS EM CAMPO4.2 A DETERMINAÇÃO DE {r}.Utilizando o método dos macacos planos de pequena área [3], é possível adeterminação de apenas parte do tensor de tensões [r] em qualquer "ponto" nasproximidades da parede do furo. Para uma galeria de a=1,5m de diâmetro e o usode uma serra circular de 60 cm de diâmetro tem-se =0,92 uma vez que o "ponto"pode ser considerado distante cerca de 13 cm da parede.De fato, conforme o método, tais cálculos são feitos a partir de uma lista de medidasde tensões normais segundo dois pares de direções ortogonais (a cada direçãocorrespondendo um rasgo na rocha). Refiramos o unitário relativo ao rasgo q (para q=1,2,3,4) no painel da geratriz do ponto R pela notação qˆn . Em relação aoreferencial }ˆ,ˆ,ˆ{ r , em que kˆˆ  , tal unitário, conforme Figura 4, é escrito na formakn ˆsenˆcosˆ qqq   , (4.1),o ângulo q de qˆn com ˆ devendo ser medido no sentido positivo (a partir de ˆ e nosentido de ˆ para ˆ ). Tem-se sempre: 1+2=180=3+4 e 31.Figura 4 – Disposição dos rasgos em um painel, dos unitários das normaisaos seus planos e os ângulos dessas normais com o unitário ˆ .A rigor o tensor de tensões desse ponto é um tensor pleno porque não é nulo o vetortensão relativo ao unitário rˆ ortogonal à face da galeria. Então o valor da tensãonormal medida, medq, sobre um elemento plano (almofada) ortogonal ao vetorunitário qˆn pode ser escrito na forma qqrrrrrqqmedqsencos0..sencos0 ,ou, operando, na forma  2sensencos qq2q2medq .
  19. 19. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 019Como se vê, esta expressão não envolve as componentes do tensor com índice r.Dispõe-se, então, para cada painel, de um conjunto de quatro equações envolvendoapenas três das seis incógnitas.Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escritas de uma só vez naforma matricial seguinte:})].{(N[}{ medrmed  , (4.2),em que4med3med2med1medmed }{ ,442423323222222112122sensencos2sensencos2sensencos2sensencos)](N[ e }{ medr , (4.3).De (4.2) deduz-se facilmente:}.{)](N)].[(A[}{ medT , (4.4),onde1T)])(N.[)](N([)](A[  , (4.5).Lembrando que os pares 1 e 2, bem como 3 e 4 são suplementares e que oensaio só faz sentido se 31, a inversão de NT.N será sempre possível porque,nesse caso, o posto de matriz é igual a 3.4.3 OPERAÇÕES MATRICIAIS PARA O CÁLCULO DOS TENSORES: IN SITU E LOCAL.Para algum 1, caso em que [M] é invertível, ponhamos (3.58) na forma}{.),,(M}{ r1xyz  , (4.6),com  incrmedrrrrr }{ , (4.7),onde se destacam: a sub-coluna {rmed} dos valores medidos (com o método dasalmofadas), dada em (4.3), e a sub-coluna das tensões incógnitas rrrincr }{ , (4.8).
  20. 20. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 020A matriz M-1(,,)1c6c deve, agora, ser decomposta em duas submatrizes 6x3, daesquerda para a direita, denotadas por M1 e M2, respectivamente, escrevendo-se,assim:]]][M[[M]),,([M6x36x36x6216c1c1   , (4.9).Vamos definir a coluna 9x1 de todas as incógnitas {inc} (tensões não medidas etensões in situ) por}{}{}{6x1xyz3x1incr9x1inc, (4.10),suas três primeiras linhas contendo as componentes desconhecidas do tensor detensões do ponto (r,), conforme (4.3), as demais linhas contendo as componentesdo tensor in situ, conforme (1.2). Então, a equação (4.6), em vista de (4.6), (4.7) e(4.8), é escrita na forma equivalente:   6x96x19x16x66x33x16x3xyzincr2medr1 {0}}{}{.]]I[]M[[}]{σ[M ,em que a matriz 6x6, [-I], é a matriz unidade 6x6 multiplicada por (-1). Transpondo aprimeira parcela para o segundo membro resulta, então:    6x93x16x39x16x66x3med1xyzincr2 }{σ].[M}{}{σ.I][][M , (4.11).Em (4.11) todas as matrizes são conhecidas, exceto a coluna das incógnitas que foidefinida em (4.10).Havendo 6 equações e 9 incógnitas em (4.11), conclui-se que o sistema éindeterminado. Como a equação (4.11) pode ser aplicada para diferentes pontos domaciço com os mesmos  e  (=a/r) e diferentes s, é prudente escrevê-la na forma}].{M[}{.]]I[]M[[ )(med)(1)(incr)(2   , (4.12).Para o par de pontos (r,1) e (r,2) devem subsistir simultaneamente:}].{M[}{.][-I]]M[[}].{M[}{.][-I]]M[[)(med)(1)(incr)(2)(med)(1)(incr)(222221111,sistema esse que pode ser escrito como uma única expressão matricial:
  21. 21. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 021}{}{.]M[]0[]0[]M[}{}{}{.]I[]M[]0[]I[]0[]M[)med()med()(1)(1xyz)inc()inc()(2)(221212121, (4.13),representando, assim, um sistema de 12 equações com 12 incógnitas. Essesistema, entretanto, é impossível porque sua matriz 12x12 das incógnitas é singular.De fato, o valor do determinante do sistema é igual a zero por serem iguais suasseis últimas colunas (relativas à matriz unidade).Relembrando que o tensor in situ em (4.6) deve ser o mesmo qualquer que seja amedição feita, então, para uma série de N medições feitas:}).{,,(M...}).{,,(M}).{,,(M}).{,,(M}{N321rN1r31r21r11xyz, (4.14).Como a cada par de geratrizes (no ensaio com almofadas) corresponde um conjuntode seis equações independentes, dispõe-se, em resumo, de um conjunto de 6(N-1)equações independentes e 3N incógnitas (3 em cada medição) para as N medições.Com duas medições apenas seria aparentemente possível calcular-se o tensor insitu uma vez que, para que 6(N-1)=3N basta que N=2; mas a matriz do sistemaformado, conforme demonstrado, é singular.Ter-se à disposição um número N>2 de medições pode ser vantajoso do ponto devista estatístico, pois, nesse caso, existirão mais equações que incógnitas. De fato,as equações excedentes são em número de 6(N-1)-3N=3(N-2), ou seja: 3 para N=3,6 para N=4 etc. É evidente que se as medições são confiáveis é desejável N=3 paradiminuir o custo dos ensaios.Para um conjunto de três medições escreveríamos as equações}].{M[}{.][-I]]M[[}].{M[}{.][-I]]M[[}].{M[}{.][-I]]M[[)(med)(1)(incr)(2)(med)(1)(incr)(2)(med)(1)(incr)(2333322221111ou, como um único sistema matricial, na forma:}{}{}{]M[]0[]0[]0[]M[[0]]0[]0[]M[}{}{}{}{]I[]M[]0[]0[]I[]0[]M[]0[]I[]0[]0[]M[)med()med()med()(1363636)(1363636)(1xyz)inc()inc()inc()(2363636)(2363636)(2321321321321, (4.15),a matriz retangular do primeiro membro sendo de ordem 18x15.
  22. 22. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 022
  23. 23. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 023Exemplos.Serão utilizados para cálculos numéricos os tensores registrados no artigo [3]relativos ao maciço da UHE de Serra da Mesa, que se transcreve a seguir, ascomponentes do tensor estando apresentadas na seqüência r,, , , , r e r:Geratriz Inclinação  (em ) Tensor referido ao sistema }ˆˆˆ{ kr  . Valores em 10 MPa (ou kgf/cm2).1 2230  1r1r1r 47,2542,2634,38  2 11230  2r2r2r 27,2895,6011,334  3 135  3r3r3r 96,282,7893,215  4 180  4r4r4r 73,166,5158,3  5 210  5r5r5r 58,404,4633,0  6 236  6r6r6r 08,1980,6736,97  7 301  7r7r7r 65,4161,15224,476  8 33430  8r8r8r 86,2027,7084,188  No que seguirá, valerão: =0,92 e =0,15.- Para 1=2230 tem-se para M-1(,,1), conforme (4.3):0.00678749 0.160387 0. 0. 0. 0.1671750.190203 1.1902 0. 0. 0. 2.226810.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.3590970. 0. 0. 1.70585 0.706587 0.0. 0. 0. 0.0587802 0.141908 0.0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398 .cujo determinante vale .......- Para 2=11230 tem-se para M-1(,,2),0.160387 0.00678749 0. 0. 0. 0.1671752.0366 1.0366 0. 0. 0. 2.226810.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.3590970. 0. 0. 0.706587 1.70585 0.0. 0. 0. 0.141908 0.0587802 0.0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398
  24. 24. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 024resultando as equações:8027,2627889,57444,1217047,75403,311456,85.053109,055129,401484,60049143,2000552755,026871,30395049,08662,11074571,39688,20rr1r=975,1061454,1485922,58788,15834,339884,125.00845,2975,10649143,20001484,6000253162,049707,10180933,01324,13071554,196337,82r2r2r.Tais equações podem ser escritas na forma compactaS . {s} = {A}, (4.11),em que S é a matriz 6x6 (cujo determinante é igual a –0,591039),00845,2975,106053109,055129,449143,20001484,60001484,60049143,2000253162,049707,10552755,026871,30180933,01324,130395049,08662,11071554,196337,8074571,39688,20S , (4.12),{s} é a coluna de seis linhas que, transposta, é escrita na forma 2r2r2r1r1r1rT}s{   ,e {A} a coluna de 6 linhas cuja transposta é: 7777,13342429,1988518,604927,232937,3087384,40  .Encontram-se os seguintes valores (em kgf/cm2):r1=-536.995,0 r1=11.731.900,0 r1=-2,35175er2=-536.995,0 r2=29.373.500,0 r2=-2,118831.12602 107, 6.37212 106, 1.75527 106, 2.92292 107, 7.05655 107, 2.44405 1064.81341 106, 7.05235 106, 803938. , 1.76677 108, 7.3182 107, 1.11948 106
  25. 25. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 025
  26. 26. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 02611 CONCLUSÕES12 PALAVRAS-CHAVETensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões13 AGRADECIMENTOSGratidão a Furnas Centrais Elétricas SA.14 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS[1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level inground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part1, Jan. 1962, pp. 56-76.[2].....HUGHES, W. F. and GAYLORD, E. W. (1964) – "Basic Equations ofEngineering Science", Schaum Publishing Company, New York.[3] RUGGERI, E. R. F. e PORFÌRIO, N. T. = "[4] RUGGERI, E. R. F. (2005) – "Tensões in situ, em estado triplo" (Umaaplicação ao maciço rochoso da UHE de Serra da Mesa), Comitê Brasileiro deBarragens. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens, Goiânia – GO, 11 a 15de abril de 2005.
  27. 27. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 0271.1.A SOBRE OS MACIÇOS ROCHOSOS.Um maciço rochoso é uma massa de rocha de grandes dimensões ligada à terra,dotada de tensões iniciais em estado natural e sem forma exterior especial. Ummaciço é uma pequena parte do planeta do qual se originou. O tamanho aconsiderar de um maciço é relativo a algum problema que o envolva, sendo, emgeral, infinito em relação à dimensão linear característica do problema.Quando se pretende, por exemplo, abrir um túnel com certa pretensão de eixo e comseção circular de raio a, toda a parte do maciço, em cada seção, à distância maiorque 6a digamos, poderá ser dita infinitamente distante do túnel. A essa distância ospontos do maciço estarão nas mesmas posições iniciais. Da mesma forma, aoconstruir-se uma barragem sobre um maciço rochoso, toda a parte deste distanteem profundidade cerca de uma vez a altura da barragem pode ser consideradainfinitamente afastada da mesma, pois daí em diante, na vertical, os pontos estarãonas mesmas posições iniciais.Em geral, a fronteira de um maciço terá uma parte livre, exposta ao ar, e uma parterígida que não sofre quaisquer deslocamentos quaisquer que sejam as ações sobreele. Pela parte exposta o maciço poderá receber a ação de esforços: como o pesode uma barragem e o da água de um reservatório, a pressão de fluidos no interior deum furo nele executado, a passagem de um trem de carga por um túnel etc. Pelaparte não exposta, um dos esforços ativos está ligado à construção de furos.O estado de tensões iniciais de um maciço (intato) variará certamente de uma regiãopara outra do mesmo. Dependendo da formação geológica do maciço e dasdimensões consideradas para estudo, as tensões iniciais poderão variar entre aconstância, a ligeira variância a extrema variância, a ponto de não se conseguirenquadrá-lo em nenhum tipo de material de comportamento aproximado conhecido.Procurar entender o comportamento mecânico de um maciço rochoso é comoprocurar as propriedades de um número inteiro dado ao acaso: deste não serápossível saber mais que sua paridade, daquele ... praticamente nada.Na maioria dos casos, entretanto, pretende-se ver o maciço como um elementoestrutural, isto é, como um corpo cujo comportamento mecânico deva ser previstoem relação à função que lhe caberá desempenhar. Mas esse enfoque deve serentendido de forma bem ampla, pois na operação de escavação se descalça(material é retirado), enquanto na operação de construção, contrariamente, se calça(material é posto). Em ambas as operações o corpo (escavado ou construído) estarásubmetido à ação de esforços e deverá resisti-los sempre da forma mais econômicapossível.1.1.B OUTROS MACIÇOS.Do ponto de vista conceitual, entretanto, outros corpos materiais podem serconsiderados maciços, estejam eles submetidos a tensões iniciais ou não, podendoser naturais ou artificiais. Nesses casos podem ser enquadrados os blocosestruturais, sejam eles de concreto, de metais, ou outros materiais, como umaporção de osso.
  28. 28. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 028Assim, quando possível, o comportamento mecânico tridimensional de um maciçopoderá ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos,isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos. Nessecaso o presente trabalho poderá ser útil.1.1.C TRABALHABILIDADE COM OS MACIÇOS.As tensões iniciais em um maciço são, em geral, desconhecidas; e qualqueroperação utilizada para detectá-las, ou acarreta modificação das mesmas, ou falseiaos valores medidos.Algumas situações importantes podem ser citadas.No caso dos maciços rochosos, ou se abrem furos circulares de pequeno diâmetro(até 5 cm) para investigação, ou se abrem galerias, em geral com seções tambémcirculares de não menos que 3 m de diâmetro, para recepção de pessoas,equipamentos, instrumentos etc., com a mesma finalidade. Em qualquer um doscasos a perturbação é evidente, mas algumas medições poderão orientar trabalhosa serem realizados no futuro. No caso de galerias antigas o objetivo poderá ser aavaliação do estado de tensões reinante, desconhecendo-se eventualmente ascaracterísticas mecânicas do material onde fora executada a galeria (nasminerações, em escavações arqueológicas etc.).Uma situação que apresenta interesse para efeito de aprendizado pode ser geradaem laboratório; nesta, o corpo é um cubo, feito com algum material de característicasmecânicas conhecidas, dotado de um furo cilíndrico com eixo em posiçãoconhecida, sobre as faces do qual se vão aplicar cargas conhecidas. Havendopossibilidade de se medirem grandezas físicas (em geral, deformações) serápossível testar modelos explicativos de comportamento e procurar condiçõesadequadas para se apreenderem resultados úteis em outras situações.No caso dos ossos esta-se diante de situação um pouco diferente, pois suaspropriedades mecânicas mudam com a idade e não são materiais isotrópicos. Aortotropia dos ossos ainda é fator complicador para estudo de seu comportamentomecânico. Por outro lado, embora apresentem pequenas dimensões, se apresentamna forma natural aproximada de um tubo cilíndrico oco, que pode ser investigadopela instalação de instrumentos (em geral, extensômetros) nas suas superfíciesinterna e externa. Na impossibilidade do uso de osso propriamente, pode serutilizado algum corpo em forma de anel cilíndrico com parede espessa e materialconhecido (argamassa, por exemplo).Finalmente, apesar de todas as complicações em termos das formas dos corpos ede suas características mecânicas, deve ser lembrado que muitos desses problemaspodem ser contornados com a utilização da mecânica computacional, ou seja, demodelagem mecânica processada com computadores, não sem o competenterespaldo das medições em laboratório ou "em campo".Vislumbradas
  29. 29. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 029

×