1. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 01
COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS
XXVIII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS
RIO DE JANEIRO – RJ, 25 A 28 DE OUTUBRO DE 2011
CÁLCULO 3D DE TENSÕES IN SITU EM MACIÇOS ROCHOSOS
Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI
Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SA
Flávio Mamede Pereira GOMES
Engenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SA
RESUMO
ABSTRACT

2. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 02
1. INTRODUÇÃO.
1.1 SOBRE O MACIÇO.
Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandes
dimensões dotada de tensões iniciais em estado natural, sem forma exterior
especial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoria
da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos
de vista físico e geométrico) e elásticos.
No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é uma
circunferência de raio a e cujo centro O pertencerá a uma curva, o eixo do furo,
suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas fixado.
1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS.
1.2.1 Sistema O-XYZ.
O plano horizontal h conduzido por O e o plano  formam certo ângulo diedro. A
interseção desses planos define a direção do eixo OX, com vetor unitário Iˆ e de
sentido escolhido arbitrariamente. O eixo OZ será a normal descendente do plano
horizontal e seu vetor de base é o unitário Kˆ . O eixo (horizontal) OY, com unitário Jˆ ,
deve ser escolhido de forma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1).
Observando-se o plano YZ no senti contrário ao de Iˆ , os ângulos ' serão medidos
tendo o eixo OZ como lado fixo de referência e ditos positivos quando o outro lado é
rodado no sentido de Y para Z (logo, no sentido anti-horário).
1.2.2 Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyz
Liga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo O tangente ao eixo da
curva em O com vetor unitário associado ˆ normal ao plano  e origem em O,
contido no plano vertical OZY e, por construção, fazendo o ângulo ' com Kˆ (Figura
1), o que fixa o seu sentido.
No plano  (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a reta
suporte do unitário Iˆ e serão considerados positivos quando o lado variável girar no
sentido horário para quem observa  no sentido de ˆ (ou anti-horário, se observados
no sentido contrário ao de ˆ ). O sistema polar em  terá rˆ e ˆ por vetores unitários
ortogonais de base, ambos com origem em O, o primeiro tendo a direção de um raio
inclinado de  sobre Iˆ e apontando para o interior do maciço, o sentido do segundo
sendo tal que o triedro }ˆ,ˆ,ˆ{ r seja positivo.
Ainda ligado ao furo define-se um sistema cartesiano de eixos OxOX (com unitário
Ii ˆˆ ), OzO (com ˆˆ k ) e Oy, de unitário jˆ , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). No
plano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz se posicionam conforme indicado
na Figura 3.

3. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 03
1.2.3 Sistema principal de O
Esse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários lˆ , mˆ e nˆ definidos
pelas direções principais do tensor de tensões de O existente antes da execução do
furo, ou seja, o tensor in situ do ponto O. Essas direções e as tensões principais
correspondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção
2 e equacionado e resolvido na seção 3.
1.3 NOTAÇÕES.
No ponto genérico P de , o tensor de tensões  é representado na forma de uma
matriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e O-x'y'z',
essas matrizes são:


















r
r
rrr
r ,











zyzxz
yzyxy
xzxyx
xyz
σσσ
σσσ
σσσ
][σ , e











n
m
l
lmn
p00
0p0
00p
][σ , (1.1).
Para a resolução algébrica de problemas será útil o uso da notação em forma de
matriz coluna:





























r
r
r
r }{























xy
zx
yz
z
y
x
xyz}{ , (1.2).
Para o tensor de tensões in situ será utilizada a mesma notação juntando-se aos
índices o símbolo  (como: 
r, 
, 
yz, {
r} etc.)
Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüente
à execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor,
nas direções de rˆ , ˆ e ˆ , respectivamente.
O tensor das deformações é denotado por  e suas componentes são denotadas tal
como as correspondentes ao tensor de tensões: r, , , ..., ou x, y, z, yz... e
deformações in situ 
r, 
..., ou 
x, 
yz, {
xyz} e {
r} etc.
Figura 1 - Sistema de eixos
O-XYZ
Figura 2 - Sistema
cilíndrico ligado ao furo
Figura 3 – Eixos no plano
OYZ

4. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 04
2. POSIÇÃO DO PROBLEMA
2.1 ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICO
Consideremos um ponto O de uma chapa metálica tensionada por forças agindo no
seu plano médio. Em cada um dos pontos desse plano médio está estabelecido um
tensor (plano) de tensões (todos iguais, nesse caso particular, se referidos a um
mesmo sistema de referência). Pratiquemos nela dado furo, de raio a e centro O.
Essa operação provoca uma alteração nos tensores dos pontos da chapa original.
Entretanto, a Teoria da Elasticidade mostra, e medições confirmam, que, após a
execução do furo, não ocorrem mudanças sensíveis nos valores dos tensores nos
pontos da chapa situados a distâncias maiores que 5a de O. Essa circunferência
imaginária no plano médio define uma "linha de influência" associada a O no tocante
à modificação dos valores dos tensores.
Os maciços rochosos estão pré-tensionados, em geral; e esse estado de tensões é
tridimensional. Assim, a cada ponto de um maciço intato está associado um tensor in
situ. Os tensores in situ são teoricamente funções de ponto e desconhecidos. Com
alguma aproximação, em vista das grandes dimensões dos maciços, podemos
imaginá-los praticamente idênticos nas imediações de um ponto (até cerca de 10m
desse ponto, digamos).
A determinação aproximada do tensor in situ em um ponto O de um maciço requer a
abertura de um furo de grande diâmetro (em torno de 3m) cujo eixo contenha o
ponto (pouco importando a sua inclinação). Nas proximidades da parede desse furo
e no interior do maciço podem ser feitas medições de tensões normais (método das
almofadas) com o conjunto das quais é possível determinar aproximadamente o
tensor de tensor naquelas proximidades, desde que aceitos certos pressupostos [3].
Embora venhamos a considerar as mesmas operações para medições, como
apresentadas em [3], parte de tais pressupostos serão aqui substituídos por outros.
A execução do furo no maciço em estado triplo de tensão acarreta redistribuição das
tensões nas proximidades do ponto O tal como ocorre na mencionada experiência
com a chapa tensionada. O valor 5a no caso da chapa apenas sugere um valor de
referência para fixar uma "superfície cilíndrica de influência" associada a O, de eixo
paralelo ao eixo do furo, para além da qual a influência do furo não é sentida pelos
tensores. Dizemos, para simplificar, que pontos próximos dessa superfície estão a
uma distância infinita de O. Essa região pode mais simplesmente imaginada como
um cubo qualquer, de aresta 10a, cujo centro é ocupado pelo ponto.
A sugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vão
executar furos muito próximos nos maciços rochosos.
Guiados por esse resultado, vamos estabelecer uma aproximação que parece
adequada do ponto de vista prático.
Aceita-se que em pontos nas proximidades da superfície de influência do
ponto O (ou à "distância infinita" de O) os tensores de tensões são
praticamente iguais ao tensor in situ relativo a O.

5. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 05
2.2 PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃO
As equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis ao
problema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equações
diferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6
tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições no
contorno do corpo e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema,
para o presente problema – um cilindro imaginário de rocha (ou o cubo que o
envolve) submetido às tensões in situ do maciço - foi resolvido por HIRAMATSU e
OKA [1] com base em alguns pressupostos. Algumas das notações expostas em [1]
foram aqui conservadas, mas pormenores relativos a sistemas de coordenadas,
interpretações e modo de abordagem são dos presentes autores.
Os pontos P(r,,) e P'(r,,+d) definem uma direção paralela ao eixo  do
sistema O-r ligado ao plano seção  (ver item 1.2.2). Nestas condições, tensões,
deformações e deslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme os
pressupostos seguintes (que não são condições de contorno, pois são verificados no
ponto genérico interior ao maciço).
Primeiro pressuposto:
- em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v do
deslocamento para o acréscimo de , isto é:
0
vu






(2.1.a),
o que significa que u e v só podem depender de r e .
Segundo pressuposto:
- em P, é nula a razão do acréscimo do tensor  de tensões para o acréscimo
de , ou seja,





, (2.1.b),
o que também significa que  só depende de r e .
Terceiro pressuposto:
- em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w (na direção O)
para o acréscimo de , ou seja,
K
w



 , (2.1.c),
o que significa que w varia linearmente com  além de variar com r e .
Desses pressupostos se deduz que:
),r(uu  , ),r(vv  ,  K),r(ww e ),r(   , (2.2).

6. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 06
3. EQUACIONAMENTO
No ponto genérico P da seção do furo a equação de equilíbrio estático é odiv ,
desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas, o que é aceitável por serem
desprezíveis as tensões relativas ao peso próprio frente aos valores das tensões in
situ.
A conexão entre os tensores  e  é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que
 e  são as constantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de  (a dilatação cúbica) e I
o tensor unidade. É necessária muita cautela para admitir a isotropia de um maciço
rochoso e a proporcionalidade entre os tensores de tensão e deformação
(linearidade física).
O tensor  se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma
2/)( T
uu  desde que as deformações sejam muito pequenas (o que traduz a
linearidade geométrica). Em resumo, as equações simultâneas determinantes do
estado de tensão/deformação do maciço são:










)(
2
1
)Tr(2
div
T
uu
o



, (3.1).
Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade das
deformações, sintetizadas na forma:
T
rotrot , (3.1-a),
e as condições de contorno (para o cilindro de raio a), sintetizadas nas formas
seguintes:
- para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0, (3.1-b),
e
- para as direções (principais) lˆ , mˆ e nˆ do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, (3.1-c).
3.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DESLOCAMENTO W.
Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suas
particularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c),
é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas (ver [2], Capítulo 2).
Assim, já considerando os pressupostos, a equação odiv equivale ao sistema:

7. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 07




































(c),0
rr
1
r
(b),0
r
2
r
1
r
(a),0
rr
1
r
rr
rr
rrr
, (3.2);
a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, por
conveniência, se apresenta aqui desdobrado nas formas:



















(c),K2e
(b)),
r
uv
r
1
(2e
(a),
r
u
2er
, (3.3) e
























(c)),
u
r
1
r
v
r
v
(
(b),
r
w
(a),
w
r
1
r
r , (3.4);
em que K é dada por (2.1-c),
K
v
r
1
r
u
r
u
eTr 





 , (3.5),
e de onde deduzimos, para uso futuro,
)
r
u
ru()Ke(r
v





(3.5-a) e )
r
u
r
u
()Ke(
v
r
1





, (3.5-b).
Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posterior
substituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando,
encontram-se as equações:


















































(c),0
w
r
1
r
w
r
1
r
w
(b),0)
u
r
2v
r
1
r
v
r
v
r
1
r
v
(
e
r
1
)(
(a),0)
v
r
2u
r
1
r
u
r
u
r
1
r
u
(
r
e
)(
2
2
22
2
22
2
222
2
22
2
222
2
, (3.6).
Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Entretanto,
considerando (3.5), vê-se que as equações (a) e (b) em (3.6) apresentam as
derivadas de u e de v em relação a . A eliminação dessas derivadas poderá gerar
equações em que apenas as letras u e v estejam submetidas às derivações parciais;
a integração dessas equações será realizada no item 3.4.
3.2 UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS
Os três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra base
ortonormada mediante uma matriz de rotação. Vamos considerar todas as relações
matriciais entre os vetores de cada par de bases vetoriais dentre os quatro sistemas
de coordenadas considerados no item 1.2. Tem-se:

8. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 08
- por serem lˆ , mˆ e nˆ os unitários das direções principais:





















k
j
i
n
m
l
ˆ
ˆ
ˆ
R.
ˆ
ˆ
ˆ
, com











zyx
zyx
zyx
nnn
mmm
lll
R , (3.7),
lx, ly e lz sendo os co-senos diretores de lˆ , mx, ... os de mˆ e nx, ... os de nˆ ;
- da Figura 2: jir ˆsenˆcosˆ  , ji ˆcosˆsenˆ  e kˆˆ  , donde:





























k
j
ir
ˆ
ˆ
ˆ
.Pˆ
ˆ

 , com













 cossen
sencos
P , (3.8);
- Pondo '+=90°, tem-se (das Figuras 1 e 3): Ii ˆˆ  , KJj ˆcosˆsenˆ  e
KJk ˆsenˆcosˆ  , donde:





























K
J
I
.
k
j
i
ˆ
ˆ
ˆ
T
ˆ
ˆ
ˆ
, com














sencos
cossen0
01
T , (3.9).
Por substituição de (3.9) em (3.8) resulta:





























K
J
Ir
ˆ
ˆ
ˆ
.Mˆ
ˆ

 , donde






























ˆ
ˆ
M
ˆ
ˆ
ˆ
T
r
.
K
J
I
com .
sencos
coscossencossen
cossensensencos
TPM













 . , (3.10),
Como o tensor  pode ser escrito nas formas
    etc.][...ˆˆˆ[
ˆ
ˆ
ˆ
.
p00
0p0
00p
.ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
..ˆˆˆ
3
2
1
r
r
rrr
kji
n
m
l
nml
r
r 

















































 , (3.11),
são deduzidas, por consideração das expressões (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10):
T
lmn
TT
xyz
T
XYZr P.R]..[R.PP]..[PM]..[M][   , (3.12.a),
R]..[RP]..[PT]..[T][ lmn
T
r
TT
XYZxyz   , (3.12.b),
T.R]..[R.TT]..[TM]..[M][ lmn
TT
xyz
T
r
T
XYZ   (3.12.c).
Tem-se, então, desenvolvendo o último membro de (3.12.b), lembrando (3.7):

9. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 09






























n
2
zm
2
zl
2
znzymzylzynzxmzxlzx
nzymzylzyn
2
ym
2
yl
2
ynxxmyxlyx
nzxmzxlzxnxxmyxlyxn
2
xm
2
xl
2
x
zyzxz
yzyxy
xzxyx
pnpmplpnnpmmpllpnnpmmpll
pnnpmmpllpnpmplpnnpmmpll
pnnpmmpllpnnpmmpllpnpmpl
, (3.13).
Desenvolvendo o terceiro membro de (3.12.a), lembrando a matriz em (3.8), tem-se
a matriz (simétrica):



































 
zyzxzyzxz
yzxz
xy
2
x
2
y
xy
yx
yzxz
xy
yx
xy
2
y
2
x
r
cossensencos
cossen
2sen
sencos
2cos
)(2sen
2
1
sencos
2cos
)(2sen
2
1
2sen
sencos
][ , (3.14);
donde, pelas substituiçõ0es: sen2
=(1-cos2)/2 e cos2
=(1+cos2)/2,




































zyzzxyzzx
yzzx
xy
yxyx
xyyx
yzzx60
yx
xy
yxyx
rθ
σcosθτsenθτsenθτcosθτ
cosθτsenθτ
sen2θτ
cos2θ)0,5(σ)0,5(σ
cos2θτsen2θ)0,5(σ
senθτcosθτcos2θτ
sen2θ)0,5(σ
sen2θτ
cos2θ)0,5(σ)0,5(σ
][σ , (3.15),
Pelo princípio estabelecido na seção 2.1, para pontos afastados de O e próximos do
cilindro de influência, ou do cubo de aresta 10a centrado em O, o tensor de tensões
é único, estando apenas, eventualmente, referido a diferentes sistemas de
referência. De fato, nesse caso, tudo se passa como se o maciço estivesse intato e
a distribuição das tensões fosse sensivelmente uniforme nas faces do cubo (tal
como no caso da chapa). Isto significa que, para aqueles pontos, é válida a equação
(3.15), sendo lícito trocar-se nela, simultaneamente x, y, etc. e [r] por 
x, 
y,
etc. e [
r], respectivamente.
3.3 AS TENSÕES  E r (em qualquer P)
A equação (c) em (3.6), equivalente a lapw=0 (ou 2
w=0), pode ser resolvida
imediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma:
 sen)
r
D
Cr(cos)
r
B
Ar(w , (3.17),

10. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 010
em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a)
e (b) em (3.4) podem ser escritas, respectivamente, nas formas:
]cos)
r
D
C(sen)
r
B
A([ 22
 (3.18),
e
]sen)
r
D
C(cos)
r
B
A[( 22r  , (3.19).
Impondo que (3.19) satisfaça as condições de contorno (3.1-b), obtém-se, na parede
do furo:
 sen)
a
C/D
1(Ccos)
a
A/B
1(A0 22
,
para qualquer , ou seja: 2
a
C
D
A
B
 . Para o cálculo de  do tensor in situ podemos
usar (3.18) com r, sendo, então: )cosCAsen( 
 . Lembrando que a mesma
componente pode ser extraída da matriz (3.15), deve ser, lembrando (3.16-a):
 
 sencos)AsencosC( zxyz . Então, por ser  arbitrário: Cyz 
e Azx 
. Em
resumo:




zx
A , 2zx
aB




,




yz
C , e 2yz
aD




, (3.20).
Substituindo-se em (3.18) e (3.19) os valores (3.20) encontrados para as constantes
resultam, finalmente, em P:
)sencos)(
r
a
1( zxyz2
2
 
 , (3.21),
)cossen)(
r
a
1( zxyz2
2
r  
 , (3.22),
e
)enscos)(
r
a
1(
1
r
w
yzzx2
2


 
, (3.23).
3.4 OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e (em qualquer P)
Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadas
parciais de u e v em relação a r e a  para obter-se uma equação em e apenas.
Derivando (3.5) em relação a r e agrupando convenientemente, tem-se:
r
u
r
1
r
v
r
1v
r
1
r
u
r
u
r
e 2
22
2
2 













, (3.24),

11. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 011
entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.24) e (3.6-a). Por
substituição dessas parcelas de (3.24) em (3.6-a) resulta, após operações:
0)
u
r
1v
r
1
r
v
r
1
(
r
e
)2( 2
2
22
2












 , (3.25).
Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a  e depois dividindo-se ambos os
membros por r, tem-se:
2
2
2
2
2
v
r
1
r
u
r
1u
r
1e
r
1











, (3.26),
entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.26) e de (3.6-
(b)). Por substituição de (3.26) em (3.6b), obtém-se, após operações:
0)
r
u
r
1u
r
1
r
v
r
v
r
1
r
v
(
e
r
1
)2(
2
222
2















 , (3.27).
Derivando-se parcialmente (3.25) em relação a r e cancelando termos, obtém-se:
0)
r
u
r
1u
r
2v
r
2
r
v
(
rr
e
)2( 2
3
2
2
222
3
2
2

















 , (3.28).
Derivando-se parcialmente a equação (3.27) em relação a  e depois dividindo
ambos os membros por r, obtém-se:
0)
r
u
r
1u
r
1v
r
1
r
v
r
1
r
v
(
r
e
r
1
)2( 2
3
2
2
22
2
2
3
2
2
2


















 , (3.29).
Somando-se membro a membro as equações (3.28) e (3.29), cancelando termos e
simplificando, vem:
0)
u
r
1v
r
1
r
v
r
1
(
r
)
e
r
1
r
e
)(2( 2
2
22
2
2
2
22
2















 , (3.30),
donde, por consideração de (3.25) e observando-se que +20:
0
e
r
1
r
e
r
1
r
e
2
2
22
2









(3.31).
A equação (3.31) equivale a lap e=0 (ou 2
e=0). Embora esta equação (3.31) seja
do mesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação
(3.19), sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente:
)2Gsen2cosF(
r
1
Ue 2
 , (3.32),
em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para uso
futuro,

12. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 012
)2senG2cosF(
r
2
)KU(
r
2
)Ke(
r
2
3
 , (3.32.a),
e
)2senG2cosF(
r
1
r)KU(r)Ke(  (3.32.b).
Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r,
)2Gsen2cosF(
r
2
r
e
3



,
para substituição deste resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:
0)]
v
r
1
(
r
2u
r
1
r
u
r
u
r
1
r
u
[)2Gsen2cosF(
r
2
)( 2
2
222
2
3












 , (3.33),
donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:
)Ke(
r
2u
r
1
r
u
r
u
r
3
r
u
)2Gsen2cosF(
r
2
2
2
222
2
3












, (3.34).
A equação (3.34), gerada de (3.33) por eliminação da derivada de e em relação a r e
da derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a .
Agora, considerando a equação (3.32-a), tem-se, por substituição em (3.34) e após
simplificações:
2
2
222
2
3
u
r
1
r
u
r
u
r
3
r
u
r
)KU(2
)2Gsen2cosF(
r
12
2













, (3.35).
A solução geral da equação (3.35) pode ser escrita na forma:






 2sen)
r
G
2
2
r
N
Mr(2cos)
r
F
2
2
r
L
Jr(
r
H
r)KU(
2
1
u 33
, (3.36),
em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração.
Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a  e
substituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação com
derivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.36) se deduza
facilmente:









2sen)
r
G
2
2
r
N3
Mr(2cos)
r
F
2
2
r
L3
Jr(
r
H
r)KU(
2
1
r
u
r 33
,
tem-se, logo:



 2sen)
r
N
Mr(22cos)
r
L
Jr(2r)KU(
r
u
ru 33
, (3.37).

13. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 013
Substituindo-se (3.37) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valor
exposto em (3.32-b); obtém-se:



2sen)]
r
N
Mr(2
r
G
[2cos)]
r
L
Jr(2
r
F
[
v
33
, (3.38),
cuja solução geral é
 2cos)
r2
G
r
N
Mr(2sen)
r2
F
r
L
Jr(v 33
, (3.39).
Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada ao
segundo membro de (3.39), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistir
para qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: )r()
r2
G
r
N
Mr(v 3
 e
)r()
r2
G
r
N
Mr(v 3
 . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamente
v=(r); o que é absurdo, pois
r2
G
r
N
Mr 3
 não é nulo em geral.
As equações (3.32), (3.36) e (3.39) dão os valores de e, u e v como funções de r,  e
constantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno
(3.1.b) e (3.1.c).
3.5 AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.
Com as equações (3.36) e (3.39) pode ser obtida uma expressão para a tensão r
em P. Tem-se:



2sen)
r2
F
r
L3
J(2cos)
r2
G
r
N3
M(
r
v
2424
,
 2sen)
r2
F
r
L
J(2cos)
r2
G
r
N
M(
r
v
2424
, (3.39.a),
e









2sen)
r
F2
r
L2
J2(2cos)
r
G2
r
N2
M2(
u
r
1
2424
,
donde, conforme (3.4.(c)):








 2sen)
r
F
r
L6
J2(2cos)
r
G
r
N6
M2(
1
2424r , (3.40).
Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (3.15) deve ser
equivalente a (3.40) para r, tem-se:



 2sen2cos)2senJ2cosM(2
1
yxyr ,
donde

14. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 014




2
M
xy
e




2
J
y
, (3.41).
Tem-se de (3.40), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b):
02sen)
a
F
a
L6
J2(2cos)
a
G
a
N6
M2( 2424






 ,
donde, por ser  arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.41):
0
a
G
a
N6
24
xy





 
e 0
a
F
a
L6
24
y








, (3.42).
As igualdades (3.41) e (3.42) serão utilizadas oportunamente.
*
Com as equações (3.32) e (3.36) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.32), vem:




 2sen
r
G
2cos
r
F
Ue 22
;
e de (3.36):









 2sen)
r
G
2
2
r
N3
M(22cos)
r
F
2
2
r
L3
J(2
r
H
2)KU(
r
u
2 24242
.
Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações:
 2sen]
r
G
)(2)
r
N3
M(2[2cos]
r
F
)(2)
r
L3
J(2[
r
H
2KU)( 24242r , (3.43).
Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (3.15) deve ser
equivalente a (3.43) para r, vem:
 
 2sen2cos)2Msen2cosJ(2KU)( xyyxr , (3.44),
donde
KU)(x 
, (3.45).
Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (3.15), é

=
z, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma K2Uz 
. Então, extraindo desta
igualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.45) e multiplicando por 
ambos os membros da expressão formada, tem-se: K)K2)(( zx  
.
Explicitando-se o valor de K, vem:







 xz
)23()23(
)(
K , (3.46).

15. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 015
Lembrando as fórmulas clássicas:
)23(E)(  , )23(2E  e  2)21( ,
K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente
de Poisson  (além de 3 e 1):
)2(
E
1
K xx

 , )2(
E
21
U xz



 (3.47),
das quais se deduz, para uso futuro,
])1[(
E
1
)KU(
2
1
zx

 , (3.47.a).
*
Tem-se de (3.43), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.41):




 
2sen]
a
G
)(2
a
N32
[2cos]
a
F
)(2
a
L32
[
a
H
20 24xy24y2x .
Por ser  arbitrário, devem ser:
0
a
H
2 2x 
, 0
a
F
)(2
a
L32
24y 


e 0
a
G
)(2
a
N32
24xy 


.
Da primeira igualdade resulta:



 x
2
2
a
H , (3.48).
Das duas outras igualdades e das igualdades (3.42) resultam os sistemas



















0
a
F
a
L6
0
a
F
)(2
a
L32
24
y
24y
e



















0
a
G
a
N6
0
a
G
)(2
a
N32
24
xy
24xy
que resolvidos acarretam



 y
4
2
a
L , 


 xy
4
2
a
N , 


 y
2
a2
F e 


 xy
2
a2
G , (3.49).
Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.41), U dada por (3.47), H dada por
(3.48) e L, N, F e G dadas por (3.49) nas equações (3.40) e (3.43) que definem as
tensões r e r, respectivamente, resultam:
)2sen2cos)(
r
a
3
r
a
41()
r
a
1( xyy4
4
2
2
x2
2
r  
, (3.50),
e

16. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 016
)2sen2cos)(
r
a
3
r
a
21( yxy4
4
2
2
r  
 , (3.51).
Considerando as igualdades (3.47), (3.47.a) e (3.48), as expressões (3.32), (3.36) de
e e u passam a ser:
)]2sen2cos(
r
a
)1(42[
E
21
e xyy2
2
xz 

 
(3.52),
)2sen2cos(]
r
a
)1(4
r
a
1[
E
1
E
1
]
r
a
)1()1[(
E
1
r
u
zy2
2
4
4
zx2
2


 
, (3.53).
Considerando as expressões de J e M dadas por (3.41) e as de L, N, F e G dadas
por (3.49), obtém-se, por substituição em (3.39.a) e em (3.38), após simplificações:
)2sen2cos(]
r
a
)21(2
r
a
1[
E
1
r
v
yxy2
2
4
4


 
, (3.54),
e
)2cos2sen(]
r
a
)21(2
r
a
1[
E
)1(2v
r
1
yxy2
2
4
4




 
, (3.54.a),
Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.52), (3.53)
e (3.54.a) em (3.3.b) que
)2sen2cos)(
r
a
31()
r
a
1( xyy4
4
x2
2
 
 , (3.55);
e por substituição de (3.47) e (3.52) em (3.3.(c)):
)2sen2cos(
r
a
4 xyy2
2
z  
 , (3.56).
*
Introduziremos agora a notação:
r
a
 , com <1, (3.57),
as potências de  iguais ou superiores a 2 podendo ser consideradas desprezíveis
frente a seu próprio valor para r>5a. Lembrando ainda as notações estabelecidas na
seção 1.3, as expressões com tensões podem ser matricialmente resumidas nas
formas:
}).{,,(M}{ xyzr

  , (3.58),
em que a matriz 6x6 M(,,) é

17. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 017
















































2sen)341(000
]2cos)341(
1[5,0
]2cos)341(
1[5,0
2cos)321(0002sen)321(5,02sen)321(5,0
0cos)1(sen)1(000
0sen)1(cos)1(000
2sen40012cos22cos2
2sen)31(000
]2cos)31(
1[5,0
]2cos)31(
1[5,0
42
42
2
42
2
424242
22
22
222
4
4
2
4
2
, (3.59).
e {r} é a coluna {r} cuja primeira linha tornou-se sexta linha. Mais à frente
justificaremos essa operação.
É trabalhoso comprovar-se que o determinante de (M(,,)) vale
det(M(,,))= )332)(31()1)(1(
8
1 422422
 ,
sendo, pois, independente de  e diferente de zero se e apenas se 1.
Pela equação (3.58) vemos que duas das condições para a determinação do tensor
in situ estão em: 1 – haver possibilidade da determinação do tensor de tensões em
algum ponto do maciço (,  e  dados) ao qual corresponderá a coluna {r}; 2 –
inverter a matriz M(,,) relativa ao ponto em que foi medido o tensor {r}.
Pela condição 2 o problema só terá solução para 1, ou seja, para pontos não
situados na parede do furo. O método clássico das almofadas satisfaz praticamente
a condição 1. Veremos à frente quantos tensores devem ser medidos para que se
encontre uma solução.
3.6 AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES.
As expressões das componentes de deformações podem ser rapidamente obtidas
em função das componentes de tensões por aplicação da lei de Hooke:
[I]][Tr
E
][
E
1
][ rrr  



 , (3.60),
que pode também ser posta na forma clássica
}.{
1
00000
0
1
0000
00
1
000
0001
0001
0001
E
1
}{ rr  






























 , (3.61).

18. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 018
A expressão (3.58) poderá ser utilizada caso se queira expressar {r} em função do
tensor de tensões in situ {
xyz}.
4. MEDIDAS EM CAMPO
4.2 A DETERMINAÇÃO DE {r}.
Utilizando o método dos macacos planos de pequena área [3], é possível a
determinação de apenas parte do tensor de tensões [r] em qualquer "ponto" nas
proximidades da parede do furo. Para uma galeria de a=1,5m de diâmetro e o uso
de uma serra circular de 60 cm de diâmetro tem-se =0,92 uma vez que o "ponto"
pode ser considerado distante cerca de 13 cm da parede.
De fato, conforme o método, tais cálculos são feitos a partir de uma lista de medidas
de tensões normais segundo dois pares de direções ortogonais (a cada direção
correspondendo um rasgo na rocha). Refiramos o unitário relativo ao rasgo q (para q
=1,2,3,4) no painel da geratriz do ponto R pela notação qˆn . Em relação ao
referencial }ˆ,ˆ,ˆ{ r , em que kˆˆ  , tal unitário, conforme Figura 4, é escrito na forma
kn ˆsenˆcosˆ qqq   , (4.1),
o ângulo q de qˆn com ˆ devendo ser medido no sentido positivo (a partir de ˆ e no
sentido de ˆ para ˆ ). Tem-se sempre: 1+2=180=3+4 e 31.
Figura 4 – Disposição dos rasgos em um painel, dos unitários das normais
aos seus planos e os ângulos dessas normais com o unitário ˆ .
A rigor o tensor de tensões desse ponto é um tensor pleno porque não é nulo o vetor
tensão relativo ao unitário rˆ ortogonal à face da galeria. Então o valor da tensão
normal medida, medq, sobre um elemento plano (almofada) ortogonal ao vetor
unitário qˆn pode ser escrito na forma
 





























q
q
r
r
rrr
qqmedq
sen
cos
0
..sencos0 ,
ou, operando, na forma
  2sensencos qq
2
q
2
medq .

19. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 019
Como se vê, esta expressão não envolve as componentes do tensor com índice r.
Dispõe-se, então, para cada painel, de um conjunto de quatro equações envolvendo
apenas três das seis incógnitas.
Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escritas de uma só vez na
forma matricial seguinte:
})].{(N[}{ medrmed  , (4.2),
em que

















4med
3med
2med
1med
med }{ ,



















44
2
4
2
33
2
3
2
22
2
2
2
11
2
1
2
2sensencos
2sensencos
2sensencos
2sensencos
)](N[ e

















 }{ medr , (4.3).
De (4.2) deduz-se facilmente:
}.{)](N)].[(A[}{ med
T
 , (4.4),
onde
1T
)])(N.[)](N([)](A[ 
 , (4.5).
Lembrando que os pares 1 e 2, bem como 3 e 4 são suplementares e que o
ensaio só faz sentido se 31, a inversão de NT
.N será sempre possível porque,
nesse caso, o posto de matriz é igual a 3.
4.3 OPERAÇÕES MATRICIAIS PARA O CÁLCULO DOS TENSORES: IN SITU E LOCAL.
Para algum 1, caso em que [M] é invertível, ponhamos (3.58) na forma
}{.),,(M}{ r
1
xyz 

 , (4.6),
com
 
 









































incr
medr
r
r
r
r }{ , (4.7),
onde se destacam: a sub-coluna {rmed} dos valores medidos (com o método das
almofadas), dada em (4.3), e a sub-coluna das tensões incógnitas













 


r
r
r
incr }{ , (4.8).

20. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 020
A matriz M-1
(,,)1c6c deve, agora, ser decomposta em duas submatrizes 6x3, da
esquerda para a direita, denotadas por M1 e M2, respectivamente, escrevendo-se,
assim:

]]][M[[M]),,([M
6x36x36x6
216c1c
1
  
 

, (4.9).
Vamos definir a coluna 9x1 de todas as incógnitas {inc} (tensões não medidas e
tensões in situ) por
}{
}{
}{
6x1
xyz
3x1
incr
9x1
inc


















, (4.10),
suas três primeiras linhas contendo as componentes desconhecidas do tensor de
tensões do ponto (r,), conforme (4.3), as demais linhas contendo as componentes
do tensor in situ, conforme (1.2). Então, a equação (4.6), em vista de (4.6), (4.7) e
(4.8), é escrita na forma equivalente:
   


6x9
6x19x16x66x33x16x3
xyz
incr
2medr1 {0}
}{
}{
.]]I[]M[[}]{σ[M 











,
em que a matriz 6x6, [-I], é a matriz unidade 6x6 multiplicada por (-1). Transpondo a
primeira parcela para o segundo membro resulta, então:
 
   


6x9
3x16x39x16x66x3
med1
xyz
incr
2 }{σ].[M
}{
}{σ
.I][][M 









, (4.11).
Em (4.11) todas as matrizes são conhecidas, exceto a coluna das incógnitas que foi
definida em (4.10).
Havendo 6 equações e 9 incógnitas em (4.11), conclui-se que o sistema é
indeterminado. Como a equação (4.11) pode ser aplicada para diferentes pontos do
maciço com os mesmos  e  (=a/r) e diferentes s, é prudente escrevê-la na forma
}].{M[}{.]]I[]M[[ )(med)(1)(incr)(2   , (4.12).
Para o par de pontos (r,1) e (r,2) devem subsistir simultaneamente:
}].{M[}{.][-I]]M[[
}].{M[}{.][-I]]M[[
)(med)(1)(incr)(2
)(med)(1)(incr)(2
2222
1111








,
sistema esse que pode ser escrito como uma única expressão matricial:

21. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 021












































}{
}{
.
]M[]0[
]0[]M[
}{
}{
}{
.
]I[]M[]0[
]I[]0[]M[
)med(
)med(
)(1
)(1
xyz
)inc(
)inc(
)(2
)(2
2
1
2
1
2
1
2
1
, (4.13),
representando, assim, um sistema de 12 equações com 12 incógnitas. Esse
sistema, entretanto, é impossível porque sua matriz 12x12 das incógnitas é singular.
De fato, o valor do determinante do sistema é igual a zero por serem iguais suas
seis últimas colunas (relativas à matriz unidade).
Relembrando que o tensor in situ em (4.6) deve ser o mesmo qualquer que seja a
medição feita, então, para uma série de N medições feitas:
}).{,,(M...}).{,,(M
}).{,,(M}).{,,(M}{
N3
21
rN
1
r3
1
r2
1
r1
1
xyz










, (4.14).
Como a cada par de geratrizes (no ensaio com almofadas) corresponde um conjunto
de seis equações independentes, dispõe-se, em resumo, de um conjunto de 6(N-1)
equações independentes e 3N incógnitas (3 em cada medição) para as N medições.
Com duas medições apenas seria aparentemente possível calcular-se o tensor in
situ uma vez que, para que 6(N-1)=3N basta que N=2; mas a matriz do sistema
formado, conforme demonstrado, é singular.
Ter-se à disposição um número N>2 de medições pode ser vantajoso do ponto de
vista estatístico, pois, nesse caso, existirão mais equações que incógnitas. De fato,
as equações excedentes são em número de 6(N-1)-3N=3(N-2), ou seja: 3 para N=3,
6 para N=4 etc. É evidente que se as medições são confiáveis é desejável N=3 para
diminuir o custo dos ensaios.
Para um conjunto de três medições escreveríamos as equações
}].{M[}{.][-I]]M[[
}].{M[}{.][-I]]M[[
}].{M[}{.][-I]]M[[
)(med)(1)(incr)(2
)(med)(1)(incr)(2
)(med)(1)(incr)(2
3333
2222
1111












ou, como um único sistema matricial, na forma:





































































}{
}{
}{
]M[]0[]0[
]0[]M[[0]
]0[]0[]M[
}{
}{
}{
}{
]I[]M[]0[]0[
]I[]0[]M[]0[
]I[]0[]0[]M[
)med(
)med(
)med(
)(1
3
6
3
6
3
6)(1
3
6
3
6
3
6)(1
xyz
)inc(
)inc(
)inc(
)(2
3
6
3
6
3
6)(2
3
6
3
6
3
6)(2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
, (4.15),
a matriz retangular do primeiro membro sendo de ordem 18x15.

22. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 022

23. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 023
Exemplos.
Serão utilizados para cálculos numéricos os tensores registrados no artigo [3]
relativos ao maciço da UHE de Serra da Mesa, que se transcreve a seguir, as
componentes do tensor estando apresentadas na seqüência r,, , , , r e r:
Geratriz Inclinação  (em ) Tensor referido ao sistema }ˆˆˆ{ kr  . Valores em 10 MPa (ou kgf/cm2
).
1 2230'  1r1r1r 47,2542,2634,38  
2 11230'  2r2r2r 27,2895,6011,334  
3 135  3r3r3r 96,282,7893,215  
4 180  4r4r4r 73,166,5158,3  
5 210  5r5r5r 58,404,4633,0  
6 236  6r6r6r 08,1980,6736,97  
7 301  7r7r7r 65,4161,15224,476  
8 33430'  8r8r8r 86,2027,7084,188  
No que seguirá, valerão: =0,92 e =0,15.
- Para 1=2230' tem-se para M-1
(,,1), conforme (4.3):
0.00678749 0.160387 0. 0. 0. 0.167175
0.190203 1.1902 0. 0. 0. 2.22681
0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097
0. 0. 0. 1.70585 0.706587 0.
0. 0. 0. 0.0587802 0.141908 0.
0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398 .
cujo determinante vale .......
- Para 2=11230' tem-se para M-1
(,,2),
0.160387 0.00678749 0. 0. 0. 0.167175
2.0366 1.0366 0. 0. 0. 2.22681
0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097
0. 0. 0. 0.706587 1.70585 0.
0. 0. 0. 0.141908 0.0587802 0.
0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398

24. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 024
resultando as equações:
























































































8027,26
27889,5
7444,12
17047,7
5403,31
1456,85
.
053109,055129,4
01484,600
49143,200
0552755,026871,3
0395049,08662,11
074571,39688,20
r
r
1r
=






















































































975,106
1454,14
85922,5
8788,15
834,339
884,125
.
00845,2975,106
49143,200
01484,600
0253162,049707,1
0180933,01324,13
071554,196337,8
2r
2r
2r
.
Tais equações podem ser escritas na forma compacta
S . {s} = {A}, (4.11),
em que S é a matriz 6x6 (cujo determinante é igual a –0,591039),





































00845,2975,106053109,055129,4
49143,20001484,600
01484,60049143,200
0253162,049707,10552755,026871,3
0180933,01324,130395049,08662,11
071554,196337,8074571,39688,20
S , (4.12),
{s} é a coluna de seis linhas que, transposta, é escrita na forma
 2r2r2r1r1r1r
T
}s{   ,
e {A} a coluna de 6 linhas cuja transposta é:
 7777,13342429,1988518,604927,232937,3087384,40  .
Encontram-se os seguintes valores (em kgf/cm2
):
r1=-536.995,0 r1=11.731.900,0 r1=-2,35175
e
r2=-536.995,0 r2=29.373.500,0 r2=-2,11883
1.12602 10
7
, 6.37212 10
6
, 1.75527 10
6
, 2.92292 10
7
, 7.05655 10
7
, 2.44405 10
6
4.81341 10
6
, 7.05235 10
6
, 803938. , 1.76677 10
8
, 7.3182 10
7
, 1.11948 10
6

25. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 025

26. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 026
11 CONCLUSÕES
12 PALAVRAS-CHAVE
Tensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões
13 AGRADECIMENTOS
Gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA.
14 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS
[1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level in
ground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part
1, Jan. 1962, pp. 56-76.
[2].....HUGHES, W. F. and GAYLORD, E. W. (1964) – "Basic Equations of
Engineering Science", Schaum Publishing Company, New York.
[3] RUGGERI, E. R. F. e PORFÌRIO, N. T. = "
[4] RUGGERI, E. R. F. (2005) – "Tensões in situ, em estado triplo" (Uma
aplicação ao maciço rochoso da UHE de Serra da Mesa), Comitê Brasileiro de
Barragens. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens, Goiânia – GO, 11 a 15
de abril de 2005.

27. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 027
1.1.A SOBRE OS MACIÇOS ROCHOSOS.
Um maciço rochoso é uma massa de rocha de grandes dimensões ligada à terra,
dotada de tensões iniciais em estado natural e sem forma exterior especial. Um
maciço é uma pequena parte do planeta do qual se originou. O tamanho a
considerar de um maciço é relativo a algum problema que o envolva, sendo, em
geral, infinito em relação à dimensão linear característica do problema.
Quando se pretende, por exemplo, abrir um túnel com certa pretensão de eixo e com
seção circular de raio a, toda a parte do maciço, em cada seção, à distância maior
que 6a digamos, poderá ser dita infinitamente distante do túnel. A essa distância os
pontos do maciço estarão nas mesmas posições iniciais. Da mesma forma, ao
construir-se uma barragem sobre um maciço rochoso, toda a parte deste distante
em profundidade cerca de uma vez a altura da barragem pode ser considerada
infinitamente afastada da mesma, pois daí em diante, na vertical, os pontos estarão
nas mesmas posições iniciais.
Em geral, a fronteira de um maciço terá uma parte livre, exposta ao ar, e uma parte
rígida que não sofre quaisquer deslocamentos quaisquer que sejam as ações sobre
ele. Pela parte exposta o maciço poderá receber a ação de esforços: como o peso
de uma barragem e o da água de um reservatório, a pressão de fluidos no interior de
um furo nele executado, a passagem de um trem de carga por um túnel etc. Pela
parte não exposta, um dos esforços ativos está ligado à construção de furos.
O estado de tensões iniciais de um maciço (intato) variará certamente de uma região
para outra do mesmo. Dependendo da formação geológica do maciço e das
dimensões consideradas para estudo, as tensões iniciais poderão variar entre a
constância, a ligeira variância a extrema variância, a ponto de não se conseguir
enquadrá-lo em nenhum tipo de material de comportamento aproximado conhecido.
Procurar entender o comportamento mecânico de um maciço rochoso é como
procurar as propriedades de um número inteiro dado ao acaso: deste não será
possível saber mais que sua paridade, daquele ... praticamente nada.
Na maioria dos casos, entretanto, pretende-se ver o maciço como um elemento
estrutural, isto é, como um corpo cujo comportamento mecânico deva ser previsto
em relação à função que lhe caberá desempenhar. Mas esse enfoque deve ser
entendido de forma bem ampla, pois na operação de escavação se descalça
(material é retirado), enquanto na operação de construção, contrariamente, se calça
(material é posto). Em ambas as operações o corpo (escavado ou construído) estará
submetido à ação de esforços e deverá resisti-los sempre da forma mais econômica
possível.
1.1.B OUTROS MACIÇOS.
Do ponto de vista conceitual, entretanto, outros corpos materiais podem ser
considerados maciços, estejam eles submetidos a tensões iniciais ou não, podendo
ser naturais ou artificiais. Nesses casos podem ser enquadrados os blocos
estruturais, sejam eles de concreto, de metais, ou outros materiais, como uma
porção de osso.

28. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 028
Assim, quando possível, o comportamento mecânico tridimensional de um maciço
poderá ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos,
isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos. Nesse
caso o presente trabalho poderá ser útil.
1.1.C TRABALHABILIDADE COM OS MACIÇOS.
As tensões iniciais em um maciço são, em geral, desconhecidas; e qualquer
operação utilizada para detectá-las, ou acarreta modificação das mesmas, ou falseia
os valores medidos.
Algumas situações importantes podem ser citadas.
No caso dos maciços rochosos, ou se abrem furos circulares de pequeno diâmetro
(até 5 cm) para investigação, ou se abrem galerias, em geral com seções também
circulares de não menos que 3 m de diâmetro, para recepção de pessoas,
equipamentos, instrumentos etc., com a mesma finalidade. Em qualquer um dos
casos a perturbação é evidente, mas algumas medições poderão orientar trabalhos
a serem realizados no futuro. No caso de galerias antigas o objetivo poderá ser a
avaliação do estado de tensões reinante, desconhecendo-se eventualmente as
características mecânicas do material onde fora executada a galeria (nas
minerações, em escavações arqueológicas etc.).
Uma situação que apresenta interesse para efeito de aprendizado pode ser gerada
em laboratório; nesta, o corpo é um cubo, feito com algum material de características
mecânicas conhecidas, dotado de um furo cilíndrico com eixo em posição
conhecida, sobre as faces do qual se vão aplicar cargas conhecidas. Havendo
possibilidade de se medirem grandezas físicas (em geral, deformações) será
possível testar modelos explicativos de comportamento e procurar condições
adequadas para se apreenderem resultados úteis em outras situações.
No caso dos ossos esta-se diante de situação um pouco diferente, pois suas
propriedades mecânicas mudam com a idade e não são materiais isotrópicos. A
ortotropia dos ossos ainda é fator complicador para estudo de seu comportamento
mecânico. Por outro lado, embora apresentem pequenas dimensões, se apresentam
na forma natural aproximada de um tubo cilíndrico oco, que pode ser investigado
pela instalação de instrumentos (em geral, extensômetros) nas suas superfícies
interna e externa. Na impossibilidade do uso de osso propriamente, pode ser
utilizado algum corpo em forma de anel cilíndrico com parede espessa e material
conhecido (argamassa, por exemplo).
Finalmente, apesar de todas as complicações em termos das formas dos corpos e
de suas características mecânicas, deve ser lembrado que muitos desses problemas
podem ser contornados com a utilização da mecânica computacional, ou seja, de
modelagem mecânica processada com computadores, não sem o competente
respaldo das medições em laboratório ou "em campo".
Vislumbradas

29. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 029