INTRODUÇÃOAOSCAMPOS TENSORIAISPARA A ENGENHARIAporElysio Roberto Figueiredo RuggeriEngenheiro Civil pela Escola de Minas d...
II© 2012 - Elysio R. F. RuggeriProjeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. RuggeriEditoração eletrônica: Elysio R. F. Rugg...
Campos Tensoriais - RuggeriIIIPREFÁCIOO tema deste livro é uma pequena parte, talvez a mais simples, da Física-Matemática....
IVINTRODUÇÃOEste livro é, praticamente, um livro de matemática aplicada à Física e à Engenharia. Por isso mesmotentaremos ...
Campos Tensoriais - RuggeriVmedida, embora a quantidade de uma qualidade possa variar de uma época para outra em função do...
VIp. 119). Destaca ainda Caraça, que a procura das regularidades dos fenômenos naturais é uma das maisimportantes tarefas ...
Campos Tensoriais - RuggeriVIIO instrumento matemático: a funçãoA matemática cria o conceito de variável, dá-lhe notação c...
VIIIde extremo valor prático, pois pode ser aplicada em qualquer instante para prever resultados quando da repetiçãodaquel...
Campos Tensoriais - RuggeriIXparcialmente a Teoria Geral da Relatividade gerada por Einstein em 1915, o CT adquiriu fama e...
XÉ com esse enfoque que se deve preparar o aspirante a engenheiro. É preciso entender-se que nada escapaa essa forma de ab...
Campos Tensoriais - RuggeriXIA segurança física da construçãoVamos destacar a questão da segurança física por estar mais d...
XIIResumindo: um novo conceito aparece na Física, a mais importante invenção desde o tempo de Newton: o campo...”. E mais ...
Campos Tensoriais - RuggeriXIIIUma grande vantagem dessa divisão está na possibilidade de se estudarem os campos escalares...
XIVCONVENÇÕESCITAÇÕESSINAL SIGNIFICADO...(7)Nota de rodapé n° 7((03),§5.3) Fórmula (03) do §5.3 do presente capítulo((02),...
Campos Tensoriais - RuggeriXV6 – O produto escalar dos vetores u e v que formam um ângulo ϕ é representado nas formas:[ ] ...
XVIBIBLIOGRAFIA[01] - ARANGOÁ, A. G. de - Elasticidade teórica y Experimental, Editorial Dossat, Madrid, 1945.[02] - BRICA...
Campos Tensoriais - RuggeriXVIISUMÁRIOPREFÁCIO...............................................................................
XVIII§ 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS...................................................................................
Campos Tensoriais - RuggeriXIX2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriaisCAPÍTULO VCAMPO VETORIAL OPERADO DE ...
XX§08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES............................................................................
Campos Tensoriais - Ruggeri1ª Parte - Conceito e imagem dos camposCAPÍTULO IOBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIO...
2 § 03 – Domínios chatos de fenômenosI, §03.03serão ditas, doravante, o “domínio do fenômeno” e requerem uma definição pre...
§ 03.03 – TridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri3a menor distância, deve-se fazê-lo percorrendo o segmento de reta (pe...
4 § 03 – Domínios chatos de fenômenosI, §03.03O leitor poderá interpretar o caso em que um (ou dois) dos co-senos diretore...
§ 03.03 – Tridimensionais 5Campos Tensoriais - Ruggeri0ACACACABABABAXAXAX332211332211321=−−−−−−−−−.Desenvolvendo-se o dete...
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013

1.176 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.176
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
52
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013

  1. 1. INTRODUÇÃOAOSCAMPOS TENSORIAISPARA A ENGENHARIAporElysio Roberto Figueiredo RuggeriEngenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro PretoFurnas Centrais Elétricas SAGoiânia (GO)2012
  2. 2. II© 2012 - Elysio R. F. RuggeriProjeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. RuggeriEditoração eletrônica: Elysio R. F. RuggeriCapa:Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução.Contato com o autor:elysio.ruggeri@gmail.comRuggeri, Elysio Roberto Figueiredo.Introdução à Teoria do Campo /Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed.do Autor, 2012.XX, 170 p.ISBN .....................................1. Análise tensorial. 2. Campo de grandezas físicas.3. Matemática aplicada. I. Título.CDU ............
  3. 3. Campos Tensoriais - RuggeriIIIPREFÁCIOO tema deste livro é uma pequena parte, talvez a mais simples, da Física-Matemática. Seu propósito éservir de suporte ao ensino das disciplinas introdutórias: Mecânica de Sólidos e Mecânica de Fluidos, lecionadasnos primeiros anos dos cursos de graduação em engenharia. Ao escrevê-lo preocupamo-nos, por isso, muito maiscom a didática do que com o relevante rigorismo matemático, dispensável nesta abordagem introdutória.Livros existentes sobre o assunto tratam, ordinariamente, da teoria dos campos escalares e vetoriais,visando aplicações imediatas na Física (no Eletromagnetismo, na Mecânica Racional e na Mecânica dos Fluidos,principalmente). Procurando dar maior amplitude à teoria, mas sem nos perdermos em generalizações dequestões matemáticas, mostramos, com tratamento e linguagem muito simples (sem, evidentemente, muito rigor),que os campos escalares e vetoriais são campos de tensores. Estendemos um pouco mais os estudos abordando oscampos dos tensores cartesianos simétricos de ordem dois (ou campos de diádicos simétricos), de largaaplicação. A matéria apenas introduz o leitor na seara dos “campos”, termo esse que deve se entendido nosentido físico (e não matemático, onde campo tem outro significado).Os "Campos tensoriais" são utilizados com muito sucesso na formulação da Mecânica do Contínuo,disciplina que unifica de forma magistral o tratamento da física dos sólidos e dos fluidos (com suas propriedadesmecânicas, elétricas, magnéticas, óticas etc.). Isto justifica a necessidade do conhecimento e da divulgação dessesconceitos como um preparativo para o tratamento de assuntos mais complexos, não só dentro da Engenharia, masda Física (das baixas velocidades) que considera o espaço físico com três dimensões e onde pode ser verificada ageometria euclidiana.Goiânia, fevereiro de 2010.
  4. 4. IVINTRODUÇÃOEste livro é, praticamente, um livro de matemática aplicada à Física e à Engenharia. Por isso mesmotentaremos mostrar ao candidato a engenheiro particularmente, algumas das causas da presença da Matemática esua importância em muitas questões de Engenharia.Um pouco do que será apresentado nesta Introdução é um compacto (com alguma adaptação) de textosesparsos extraídos de uma obra prima de Caraça [8]. Outro tanto provirá da nossa convivência com dezenas defenômenos para os quais só encontramos melhor entendimento pela matemática aplicada.O livro todo, entretanto, tem a intenção de convencer o leitor de dois fatos essenciais. Em primeiro lugar,que a engenharia relativa a concepção, desenvolvimento e construção de engenhos é constituída por boa parte douniverso dos fenômenos conhecidos (pelo menos os físicos, químicos e biológicos). Em segundo lugar, queconseguimos substituir cada fenômeno detectado num engenho por um conceito concebido pela nossa mentematemática, a que denominamos “campo”, para o entendimento do qual descobrimos que é possível utilizar umaúnica teoria: a “teoria do campo”. Essa concepção é magistral!Conceitos gerais.O objetivo da ciência á a construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais deste mundo,qualquer que seja a natureza deles: física, social, política etc. Esses quadros são legítimos enquanto durar a suaconcordância com os resultados de observações e experimentações.Os fatos reais apresentam duas características essenciais: a) – interdependência: pois eles estãocorrelacionados uns com os outros; b) – fluência: pois eles estão em permanente evolução, transformando-se emcada instante. Então, se tudo depende de tudo em cada instante, com que cérebro - questiona Caraça ([8], 2ªParte, Capítulo I, p. 111) - vamos organizar o pretendido quadro dos fatos? Se tudo flui, como encontrar os fatos,objetos de um estudo a ser realizado?Para contornar a dificuldade da interdependência criamos o isolado: um conjunto de seres, objetos e fatosque, embora correlacionados de alguma maneira com outros conjuntos, pode ser destacado para estudo, semsofrer diretamente a influência de outros. Um isolado apresenta uma fronteira concreta (como um recipiente), ouabstrata (como uma região em um estudo meteorológico). Por exemplo: uma planta pode germinar e crescernuma pequena mata (o isolado, com uma fronteira abstrata) sem sofrer a influência de um conflito social queesteja acontecendo do outro lado do planeta. Entretanto, a determinação de um isolado, se mal conduzida,poderia levar à invalidez prematura do quadro determinado porque o bom senso do observador falhou naqueladeterminação. A mata deve realmente ser considerada no crescimento da planta porque ela certamente influi noseu desenvolvimento. Mas, e os rios que fluem à volta da mata (tendo influência no clima), terão algumainfluência sensível na germinação?Mais uma vez o bom senso do observador deverá entrar em ação no tocante à dificuldade causada pelafluência. O tempo altera tudo, não só certo isolado, mas também o que lhe é exterior. O que importa é saber,levando-se em conta o tempo, se o que foi considerado isolado numa época continua sendo um isolado noutraépoca. Por exemplo: uma pedra lançada para o alto, hoje, cai (isolado); e cairá sempre em qualquer época. Essagarantia, entretanto, não existe para o caso da planta que germina dentro de uma mata porque as condições declima (externas à mata) podem alterar-se entre épocas muito distantes.Entre os elementos de um isolado (no exemplo: planta, terreno, mata etc.) existem relações deinterdependência. Qualidade de um elemento de um isolado é o conjunto das relações desse elemento com todosos demais, num dado instante. Assim, uma solução composta por oxigênio, nitrogênio e hidrogênio dentro do seurecipiente (um isolado) é um gás (qualidade de cada uma das substâncias) dentro de certas condições detemperatura e pressão.As qualidades podem apresentar certa intensidade, embora existam qualidades cujas intensidades não sãocomparáveis (uma circunferência não é mais nem menos circular que outra; ou, um gás não é mais ou menos gásque outro etc.). Mas há outras qualidades de elementos de um isolado que variam (seja com o tempo ou outracondição qualquer, como a temperatura). Assim, um corpo em queda livre (isolado, do qual o corpo é umelemento) tem uma velocidade (qualidade) em cada ponto da queda (intensidade variável). Aparece, então, anecessidade da consideração da quantidade como um atributo da qualidade, podendo ser medida ou não; emfísica serão medidas sempre. É preciso, assim, do ponto de vista científico, empregar com precisão a noção de
  5. 5. Campos Tensoriais - RuggeriVmedida, embora a quantidade de uma qualidade possa variar de uma época para outra em função do nosso graude conhecimento.Assim, além da definição correta de um isolado, de seus elementos e de suas qualidades num dadoinstante, medir intensidades é operação vital para o estabelecimento dos quadros ordenados e explicativos. O queseria necessário para medir uma quantidade e suas eventuais variações? Bem responde Caraça, na sua bela obrajá citada: que cada estado da qualidade possa ser obtido por adição, a partir de outros estados, e que essa adiçãoseja comutativa e associativa. Se adotarmos, então, convenientemente, certo estado para unidade, o resultado damedição será obtido comparando cada estado com aquele que se tomou como unidade.Finalmente, devemos considerar que uma quantidade variável de uma qualidade de um elemento de umisolado pode alterar essa qualidade do isolado. Assim, o movimento (qualidade) de uma pedra abandonada doalto da Torre de Piza (isolado) é, no princípio, uniformemente acelerado (variável), tornando-se, após um certotempo de atuação da resistência do ar, um movimento uniforme (alteração). Da mesma forma, se provocarmosum abaixamento da temperatura (qualidade) da solução gasosa (isolado) oxigênio + nitrogênio + hidrogênio, aoatingirmos a temperatura crítica de -119°C o oxigênio torna-se líquido (mudança de qualidade nesse elemento),ocorrendo o mesmo com o nitrogênio a -147°C e a -240°C com o hidrogênio1.Os fenômenos e seus domínios, em FísicaOs conceitos gerais acima definidos são aplicáveis aos mais diferentes fatos reais, como a germinação deuma semente, a geração de energia elétrica, o exercício da cidadania etc.. Em Física e em Engenharia,particularmente, as evoluções dos isolados são os "fenômenos naturais ou artificiais" dos quais poderíamoscitar dezenas ou centenas de exemplos (e até fenômenos dentro de outro fenômeno, formando cadeias defenômenos), cada um com as suas qualidades (que evoluem, variam no tempo). Acender um palito de fósforo éprovocar um fenômeno artificial, tanto quanto por um elétron em movimento num acelerador de partículas;estudar o movimento de um astro é estudar um fenômeno natural. Os elementos dos fenômenos são, em geral,corpos naturais ou artificiais (visíveis ou invisíveis), como um astro, a atmosfera de um planeta, uma montanha,uma chapa de aço, um motor de automóvel, um próton etc. As qualidades mais expressivas dos fenômenos aserem consideradas neste livro, são: 1) - a natureza física dos seus elementos (os vários estados da matéria:sólido, líquido e gasoso); 2) - as propriedades físicas desses elementos (propriedades mecânicas,termodinâmicas, eletromagnéticas, eletrônicas, químicas e biológicas); 3) - as qualidades - ditas ações exteriores(exteriores a esses elementos, mas interiores ao isolado) - sob a ação das quais se encontrem os elementos, como:temperatura, pressão, radiação, força etc.; e as ações - ditas interiores – que se manifestem espontaneamentedentro desses elementos.Por necessidades físicas, a fronteira de um fenômeno será matematicamente definida sendo, ainda,concreta ou abstrata; a região do espaço físico não exterior à fronteira será denominada: domínio do fenômeno,e poderá ser uni, bi ou tridimensional.Lei naturalImporta, pois, estudar a evolução de um fenômeno dentro do seu domínio, isto é, explicar o por quê daalteração das suas diferentes qualidades. Mas, como atingir esse por quê?A observação mostra a existência de fenômenos repetitivos que, sob as mesmas condições, apresentamcomportamento idêntico; são fenômenos regulares, podendo ser naturais ou artificiais. Fenômeno natural regularseria, por exemplo, a translação da Terra em torno do Sol e sua rotação concomitante em torno do seu eixo; umfenômeno regular artificial seria, por exemplo, a passagem de um mesmo veículo sobre a mesma ponte, com amanutenção de algumas condições. A existência e a possibilidade das regularidades nos fenômenos permitem asua repetição e previsão; e dessa repetição e previsão somos totalmente dependentes. Todas as técnicasconhecidas se baseiam nessa possibilidade, "da enxada ao ciclotrão", usando as sábias palavras de Caraça (o. c.,1 Mas essa solução gasosa sempre foi entendida como gasosa até o ano de 1863 quando Andrews mostrou a existência, para cada gás, deuma temperatura crítica, acima da qual não se podia liquefazer esse gás.
  6. 6. VIp. 119). Destaca ainda Caraça, que a procura das regularidades dos fenômenos naturais é uma das maisimportantes tarefas na investigação da Natureza; e ele assim define, na sua forma mais geral:Lei natural é toda regularidade de evolução de um isolado,podendo esta ser de natureza física, social, psicológica, política, econômica etc.. Na Física, particularmente, oquadro explicativo dos fenômenos físicos naturais se resume, então, no estabelecimento das leis (físicas)naturais.As leis naturais podem ser: qualitativas, quando dizem respeito às variações das qualidades dos elementosde um isolado; quantitativas, quando dizem respeito à variação das quantidades das qualidades dos elementos. Achamada primeira lei de Kepler: os planetas (elementos do isolado chamado sistema solar) descrevem órbitaselípticas (qualidade do elemento chamado movimento) das quais o Sol ocupa um dos focos, é um exemplo de leiqualitativa. A chamada lei de queda dos corpos pesados: para todo corpo (elemento) em queda livre no vácuo(isolado), as alturas de queda (qualidades do elemento corpo pesado) são proporcionais aos quadrados dostempos de queda, é um exemplo de lei quantitativa.À medida que vamos conhecendo melhor o mundo, pela Física em particular, as leis físicas naturaisquantitativas tendem a dominar as qualitativas. Esclarecemos isso lembrando que a primeira lei de Kepler(qualitativa) é conseqüência da lei da gravitação de Newton, que é lei quantitativa. A primeira descreve umafaceta do movimento; a segunda descreve tudo (ou quase tudo, se formos levar em consideração o chamado"movimento anômalo" de Mercúrio)2. Assim, ao explicar (e não só descrever) os fenômenos, somos naturalmenteobrigados a aprofundar no estudo das variações das quantidades das qualidades postas em jogo nos fenômenos,pois as descrições simplesmente qualitativas deles podem levar-nos ao grande perigo do “deslize".Lamentavelmente, assim aconteceu com Aristóteles, não obstante a sua enorme reputação e estatura intelectual,ao escrever que "a experiência mostra que os corpos cuja força é maior seja em peso, seja em ligeireza, todas asoutras condições iguais quanto às figuras, atravessam mais depressa um espaço igual e na proporção que asgrandezas (peso ou ligeireza) têm entre si".Vem dai a necessidade da intervenção da Matemática. "Deu-se uma gestação lenta em que necessidade einstrumento inter-atuaram, ajudando-se e esclarecendo-se mutuamente" (Caraça, o. c., p. 125). Por instrumento,Caraça entende a matéria (matemática) necessária para a intervenção a ser realizada, e que completaria asnecessidades da ciência; e apresenta a seguinte situação.Suponhamos que fossemos estudar a queda dos corpos no vácuo em condições físicas adequadas (oisolado, o fenômeno). O tempo é uma de suas qualidades. Outra seria a quantidade de espaço percorrido pelocorpo. Onde está a regularidade do fenômeno, ou sua lei quantitativa? Façamos medições das alturas do corpoem relação a certa referência e do tempo correspondente a cada altura. Com esses pares de medida organizamos aTabela I que estabelece uma correspondência entre os espaços percorridos e o tempo que o corpo gasta parapercorrer esses espaços.TABELA I – Espaços percorridos e tempos gastos por um corpo em queda livre no vácuoTempos (segundos) 0 1 2 3 4 5Espaços (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5Nesta tabela temos uma amostragem da procurada regularidade do fenômeno (se existir) e dela obtemos umapista: a de que a medida do espaço é proporcional ao quadrado da medida do tempo. E a lei propriamente dita,onde está? Está na forma como essa correspondência entre espaços e tempos se realiza. Assim, para estudar leisquantitativas é necessário criar o instrumento matemático necessário que em essência está em estabelecercorrespondência entre conjuntos.2 Para não nos alongarmos muito nesta exposição deixaremos de mostrar um exemplo flagrante de como certas leis podem dar lugar aoutras leis mais gerais (as da gravitação, de Einstein) à medida que os conhecimentos avançam.
  7. 7. Campos Tensoriais - RuggeriVIIO instrumento matemático: a funçãoA matemática cria o conceito de variável, dá-lhe notação conveniente, digamos t para tempos e s paraespaços, e as associa às quantidades das qualidades do fenômeno. A lei consiste na existência dacorrespondência entre s e t (correspondência essa que é unívoca no sentido t→s: a um t só corresponde um s);dizemos, dai, que s é função de t, a s damos o nome de variável dependente e a t o de variável independente.Escrevemos, convencionalmente: s=s(t). O conceito de função é, então, o instrumento próprio para o estudo dasleis. Devemos estar atentos para o tamanho da extrapolação que pretendemos realizar. A Tabela I é umaamostragem pela qual teremos a ousadia de estabelecer uma lei natural: na queda dos corpos pesados no vácuo,os espaços percorridos são proporcionais ao quadrado dos tempos gastos. Novas medições poderão dar maissuporte à afirmativa e a aplicação dessa "lei" repetidas vezes, em diferentes situações (com corpos e alturas dequeda diferentes, mas sempre no vácuo) darão credibilidade à mesma.A Tabela I está contida na expressão s=4,9 t2, que na verdade, contem muito mais informação; ela prevê,por exemplo, que para t = 5,5 segundos o espaço percorrido é de 148,225 m, e este é realmente verificadoexperimentalmente. Dizemos que s=4,9 t2é a tradução analítica ou a lei matemática do fenômeno.Adverte-nos Caraça de que não devemos confundir função com expressão analítica, especialmenteporque uma função (comprovadamente existente) pode não ter uma representação analítica. Por muitas vezesdizemos: "seja a função s=4,9 t2" em vez de: “seja a função cuja representação analítica é s=4,9 t2”. Se existeuma expressão analítica envolvendo duas letras, existe necessariamente a função; mas a existência da função nãoacarreta necessariamente a existência de uma expressão analítica que a represente.Aliás, isto pode até ser impossível. Por exemplo: experimente o leitor determinar a expressão analítica datemperatura θ num ponto de um ambiente (de um suposto isolado) em função do tempo t, efetuando umaamostragem - medições de pares: (θ, t) - de qualquer tamanho, digamos durante um mês. É evidente que a dadotempo corresponde uma e apenas uma temperatura no ponto, isto é, a temperatura no ponto é função do tempo.Depois, usando o melhor dos recursos matemáticos disponíveis, suponha ter sido encontrada uma função θ=θ(t),tal que para t igual a qualquer um dos valores da amostra, a função forneça exatamente o θ correspondente.Aparentemente θ=θ(t) poderia ser a expressão matemática de uma lei física quantitativa para aquele isolado.Entretanto, como essa função pode não conseguir prever com acerto a temperatura que ali ocorrerá no diaseguinte, ela não poderá representar a lei natural esperada porque ela não detecta integralmente a regularidadeque o fenômeno apresenta. O defeito poderá não estar na função, mas na especificação do isolado; mas isso éoutro problema.Uma teoria para o entendimento de uma classe de fenômenosOs conceitos expostos são aplicados para o entendimento de um fenômeno em particular; no caso, a queda(vertical) dos corpos. As leis do movimento retilíneo uniforme (movimento em linha reta, com velocidadeconstante) poderiam certamente ser estabelecidas de modo análogo (experimentalmente), mas pela aplicação dealgum raciocínio seria muito mais simples. O movimento retilíneo acelerado (movimento em linha reta, comaceleração constante) poderia ser criado mentalmente, suas leis poderiam ser determinadas pelo raciocínio e, emseguida, confirmadas experimentalmente. Que tal esses mesmos movimentos, agora curvilíneos? Por que nãocomeçar com o movimento circular? Se mudássemos o ângulo de lançamento de uma pedra ao espaço estaríamosfrente a outro fenômeno, cuja explicação seria mais trabalhosa que o dos anteriores. Vê-se facilmente, do pontode vista experimental, que estaríamos frente a uma tarefa penosa e, de certa forma, pouco promissora.Ao espírito mais aguçado certamente ocorreria a idéia de reduzir o entendimento desses fenômenos demesma classe a conceitos elementares, a partir dos quais se pudessem deduzir leis e propriedades, para que, aocontrário da situação anterior, as mesmas fossem verificadas experimentalmente. É este o conceito de teoriasobre alguma coisa: postular coisas evidentes, criar conceitos básicos e operá-los com a ferramenta apropriada –no caso, a matemática – estabelecendo, inclusive, o que se deva medir (em laboratório ou em campo) paraconsiderá-la satisfatória, logo aceitável. O estabelecimento da teoria explicativa de certa classe de fenômenos é
  8. 8. VIIIde extremo valor prático, pois pode ser aplicada em qualquer instante para prever resultados quando da repetiçãodaqueles fenômenos, dispensando as caras, às vezes tediosas e, em geral, demoradas operações em laboratório.Com algum esforço, o leitor aceitará a concepção de Einstein de que é impossível montar uma teoria apartir da experimentação. O exemplo citado atrás, da queda dos corpos e medições de espaços e tempos, ilustroua necessidade da introdução do conceito de função. O que se fez, entretanto, não pode ser confundido com oestabelecimento de uma teoria. Uma teoria é uma exposição ampla, baseada em postulados e conceitos simples(nem sempre óbvios) a partir dos quais, por dedução lógica, se vão estabelecer previsões de comportamentos aolongo do tempo. Pode parecer estranho, mas este é o caminho mais barato, mais rápido e mais simples paraorientar todos os trabalhos dos profissionais de engenharia.Outros procedimentos matemáticosÉ precisamente neste ponto que a Matemática se entrelaça com a Física; e o casamento parece perfeito.Newton, Leibnitz, Fermat, Euler, Lagrange, os Bernoulli e poucos outros foram os agentes dessa perfeição, entre1650 e 1700, com o estabelecimento das bases do Cálculo Infinitesimal. As necessidades da Física desde entãopassaram a abrir rumos para a Matemática. Esta, além de traçar seu próprio rumo – e o faz com incrívelabundância – atende à Física em evolução com extrema generosidade, levantando, inclusive, questões ocultas nosfenômenos físicos.Neste livro o leitor encontrará alguns ensinamentos matemáticos de total utilidade em física teórica, masque não são de matemática básica (como o conceito de função atrás exposto). Para entendê-los, exigiremos que oleitor esteja familiarizado com algumas das disciplinas básicas lecionadas nos dois primeiros anos dos cursos defísica e engenharia, como: uma boa parte do Cálculo Infinitesimal, da Geometria Analítica, o Cálculo Matricial eo Cálculo Vetorial (CV) clássico. Deste último, particularmente, vamos explorar um pouco mais os seus últimoscapítulos, trabalhando mais intensamente com os chamados operadores diferenciais.Pequena digressão históricaO CV – formalmente estruturado por J. W. Gibbs3 entre os anos 1870 e 1900 aproximadamente [9] –nasceu por necessidade da Física com a finalidade de tratar as grandezas físicas denominadas vetoriais. Oaparecimento das funções vetoriais foi imediato, pois tal como com o conceito ordinário de função se podiamassociar duas grandezas escalares, percebeu-se que também seria possível associar duas grandezas vetoriais (e alei de Newton f=Ma era o exemplo mais simples). No início do século XX iniciou-se, então, a “vetorialização”da Mecânica de Newton e do Eletromagnetismo de Maxwell (com a participação especial de Heaviside).Mas a Física não tratava apenas das grandezas escalares e vetoriais. Na Mecânica (chamada Racional) deNewton, alem dos vetores força, velocidade, aceleração e poucos outros, aparecia também uma grandeza maiscomplexa: o momento de inércia. Noutras áreas da Física apareciam outras grandezas que, com o momento deinércia, constituíam uma nova classe de grandezas. Gibbs, em suas aulas na Universidade de Yale (por volta de1880), sugeriu representar essas grandezas por diádicos e mostrou como fazê-lo. Estava, com isso, ampliando oCV (e não chamou esse novo cálculo de Cálculo Diádico, CD). Mas, grandezas ainda mais complexas existiamna Física, as quais, possivelmente, poderiam ser representadas por triádicos, tetrádicos etc. desde que com essasentidades (formadas a partir do conceito de vetor) fosse estruturada uma álgebra adequada. O próprio Gibbssugeriu isso, mas parece não ter formulado um “Cálculo Poliádico” (CP) como, melhor que ninguém, poderia terfeito.Aproximadamente na mesma época (início do século XX), o brilhante matemático italiano Ricci sintetizouidéias esparsas de outros brilhantes matemáticos e físicos anteriores a ele (Riemann e Christoffel, por exemplo) ecriou o Cálculo Diferencial Absoluto, logo denominado Cálculo Tensorial (CT). Este Cálculo nascia baseado emconceitos generalíssimos e com notação própria. Nele incluía-se o CV (já em largo uso na Física), e também obem arranjado CD de Gibbs (com operações e notações adequadas e simples), embora este apresentasse feiçõesnão previstas no CT de Ricci. Principalmente depois de 1921, quando a comunidade científica aceitou3 Costuma-se creditar esse fato também a Hamilton por ter lançado as idéias básicas através da sua Teoria dos Quatérnios. Mas Gibbs,embora adotando alguma nomenclatura e operações de Hamilton, nunca aceitou os quatérnios como uma ferramenta matemáticaadequada para a Física da sua época (ver Crowe, M. J., A history of Vector Analysis, Dover, New York, 1967, capítulo V especialmente).
  9. 9. Campos Tensoriais - RuggeriIXparcialmente a Teoria Geral da Relatividade gerada por Einstein em 1915, o CT adquiriu fama entre os físicos einvadiu a Física, pois nascia (imperceptivelmente) uma física moderna. Mas o CV, com a sua simplicidade,elegância e especial adequação, persistiu como uma excelente ferramenta para expressar a física clássica. Nessafísica, sobre a qual está estruturada grande parte das engenharias (como: mecânica, civil, elétrica, naval,aeronáutica, química e outras), o CP, tão simples, tão útil e tão elegante quanto o CV, foi (inadvertidamente)substituído pelo que se chama hoje Cálculo dos Tensores Cartesianos. Essa troca, de fato, não é compensatória,como se poderá notar oportunamente [13].Esta pequena digressão para justificar a introdução de algumas matemáticas para a resolução einterpretação de problemas de física e engenharia (apenas algumas matemáticas porque esse campo é muitovasto) poderia ser o ponto de partida para um livro volumoso. Com esta Introdução esperamos ter sensibilizado oleitor – um candidato ao estudo das engenharias, da física e da matemática aplicada – a encarar esses estudoscom uma boa convicção de que o problema não está na matemática, nem nas pessoas, mas nos fenômenos físicosem si.Cinco atividades frente à ciência da engenhariaTodas as matemáticas atrás referidas foram desenvolvidas para atender as necessidades da Físicabasicamente, ou seja, para o estudo (qualitativo e quantitativo) dos fenômenos físicos. Deles se valerão também aQuímica em muitas situações, por exemplo, no tocante à termodinâmica dos fenômenos químicos, no estudoquímico-físico das reações químicas etc.A Engenharia é a arte e a ciência da construção; construção de edifícios, pontes, barragens, canais, navios,aeronaves e aeroportos, mecanismos (motores, bombas, turbinas etc.) equipamentos e instalações elétricas(motores, transformadores, subestações etc.) e outros engenhos.Cinco atividades são fundamentais em engenharia, para o exercício das quais o engenheiro necessita deapresentar atitudes bem dosadas de obsessão, capacitação combinada com dom, e habilidade. São elas:1 – a concepção dos engenhos (pela imaginação, exibidas depois com “lápis e papel” na formade um “projeto de engenharia”);2 – a concretização (a construção propriamente dita) dos engenhos arquitetados;3 – a operação dos engenhos;4 – a manutenção dos engenhos em operação;5 – a auscultação constante e adequada dos engenhos, realizada mediante observaçõesdiversas; e a interpretação correta destas observações, seguida de atividades de manutenção.O elemento fundamental que se apresenta diante de todas essas atividades é o “fenômeno”. Durante aatividade “concepção” os fenômenos são detectados e as variáveis neles postas em jogo devem ter seus valoresprevistos com acerto adequado. Ao longo de todas as demais atividades, a construção é auscultada. Através deinstrumentos é possível medir pelo menos algumas das variáveis postas em jogo nos fenômenos previstos (na faseda concepção). Com as medidas feitas é possível comparar valores medidos e previstos das variáveis com afinalidade de definir-se um “desempenho físico” da construção.Deve ser observado que o desempenho da construção pode ter também, e em geral tem, significadoeconômico e social dentro de um complexo chamado “empreendimento”. Nesse caso, o desempenho físico daconstrução passa a ser apenas um item desse significado último. Mesmo por esse enfoque mais amplo oempreendimento deve ser simulado, procurando-se antever e analisar situações (econômicas, políticas e sociais)que possam influir no resultado final do mesmo.Os fenômenos aqui mencionados são, basicamente, os físicos e os químicos, mas especialmente osprimeiros. Dentre esses, nas construções chamadas civis, mecânicas, aeronáuticas, navais e outras predominamfenômenos mecânicos nos quais forças agem sobre corpos que se deformam, estejam eles fixos (como em umaponte) ou em movimento (como em uma máquina). Nas construções elétricas predominam fenômenoseletromagnéticos (muitas vezes associados com fenômenos óticos) onde, ainda, forças e corpos deformáveisestão também presentes. Nas construções hidráulicas, navais e aeronáuticas, corpos sólidos deformáveis e fluidosinteragem sujeitos à ação de forças, ampliando a natureza dos fenômenos.
  10. 10. XÉ com esse enfoque que se deve preparar o aspirante a engenheiro. É preciso entender-se que nada escapaa essa forma de abordagem do “problema de engenharia” (seja ele de projeto, de construção, de operação, demanutenção ou de auscultação dos engenhos). O leitor deverá observar que, por trás de todo o discurso que tentatornar inteligível o problema da engenharia, existe uma palavra que pode sintetizar quase tudo: a simulação, quecombina muito bem com previsão de valores. Somente pela simulação é que vamos evitar surpresasdesagradáveis de natureza econômica, ou que indiquem falta de segurança à vida das pessoas envolvidas noprojeto (no presente ou no futuro).A prática da simulação requer a utilização de um modelo que esteja sacramentado pelo uso, isto é, de umateoria que tenha sido posta à prova ao longo do tempo, que tenha conseguido prever com razoável acerto, queadquiriu reputação e inspirou confiança. Neste livro o leitor encontrará as bases para o entendimento de algunsmodelos de uso corrente na prática da engenharia; e o principal conceito que dá suporte a essa base é o decampo. Como a engenharia fica reduzida praticamente à construção de algum engenho, devemos detalharsuficientemente o que se entende por construção.A construção e seu desempenho físicoUma construção é uma associação de corpos materiais (de formas, de dimensões e de materiaisdiferentes) destinada a apresentar funcionalidade, estética, sustentabilidade ambiental, segurança e economiamáxima na missão que lhe cabe desempenhar ao longo do tempo.Esse conceito é, de fato, aplicável a uma edificação comum (uma residência, um prédio industrial), a umnavio, a um avião, mas também a uma moto-bomba, ao vertedouro de uma barragem etc.A funcionalidade de uma construção diz respeito à sua utilidade: uma moto-bomba tem que bombear, umvertedouro tem que permitir ou obstruir a passagem da água de um reservatório conforme as necessidades, umacasa deve servir adequadamente uma família de certo porte com exigências prefixadas etc.A estética de uma construção está relacionada com a sua aparência, tornando-se relevante em alguns casose irrelevante em outros. Assim, uma residência não deve ter a aparência de uma igreja; mas a estética de umabomba ou de um vertedouro não é muito significativa, embora (sempre que possível) deva ser considerada. Quala importância de uma bomba de aparência mais ou menos agradável que outra?A construção deve existir de forma a não desequilibrar o meio ambiente (e sempre o fará para o ladoindesejável). Ela deve existir de forma a sustentar um ambiente sadio ao longo do tempo. Por isso, a poluiçãogerada por uma residência, ou por uma fábrica, deve ser contemplada na sua concepção e os problemascorrespondentes resolvidos. Da mesma forma devem ser previstos e sanados os impactos ambientais causadospor uma mineração, uma barragem, uma estrada etc.A segurança apresentada por uma construção está representada pelo seu desempenho físico. Assim, porexemplo: uma ponte não pode ruir, tampouco um edifício, ou uma barragem. Mesmo que uma construção nãochegue à ruína ela pode comprometer seriamente a estética, por exemplo, e até a funcionalidade. Evitar-se-iamcitações, como: “o prédio não ruiu, mas tombou em 5° com a vertical”; ou: “a turbina de uma hidrelétrica estáfuncionando, mas com o eixo muito fora da posição ideal”, pois por imperceptível que seja a olho nu essedesaprumo ou variação, pode prejudicar seriamente o rendimento desta máquina (acarretando prejuízos).A economia máxima para a concretização e o sucesso futuro da construção sempre foi, e parece quesempre será, o condicionante que mais desafia a nossa inteligência. Tudo influi no resultado final: afuncionalidade (um espaço inadequado para circulação em um supermercado), a estética (um restaurante com aaparência de um ginásio coberto), a sustentabilidade ambiental (a fábrica que expele gases no ambiente), asegurança (a ponte que balança em excesso). Cada um destes itens está associado com uma (ou mais)especialidade profissional.
  11. 11. Campos Tensoriais - RuggeriXIA segurança física da construçãoVamos destacar a questão da segurança física por estar mais diretamente ligada ao tema deste livro.Apesar de ser muito difícil separar as partes mais significativas que compõem a segurança física de umaconstrução – seja por estarem estas partes unidas até certo ponto, ou por não considerar alguma outra do mesmonível de relevância – arriscamo-nos a mencionar apenas três:o projeto estrutural,a tecnologia de construção,a auscultação.Por estrutura devemos entender as partes resistentes de uma construção, podendo ser um simples pilar, ouuma grande barragem. Uma grande estrutura pode ser uma associação de pequenas outras estruturas, como umatreliça (uma estrutura) é uma associação de barras (outras estruturas) sejam elas metálicas ou de madeira. Odesempenho de cada estrutura ao longo do tempo é fator primordial da segurança física do conjunto de todas asestruturas.No projeto estrutural executa-se: 1) – o “lançamento das estruturas” componentes da construção, ou aconcepção do arranjo das estruturas; 2) – o “dimensionamento” ou a “verificação de resistência” das estruturasconsideradas, com previsão de desempenho das mesmas durante toda a sua vida útil. O lançamento ou arranjodas estruturas pode ser realizado em várias etapas, tudo dependendo da simplicidade ou da complexidade daconstrução. Em nível mais global, o arranjo poderia consistir das diversas partes principais componentes daconstrução. Por exemplo: em um aeroporto (se a sua posição já estiver parcialmente definida) as partescomponentes poderiam ser: as pistas (principais e secundárias) de pouso de aeronaves, áreas de estacionamentode aeronaves, edifícios diversos (de controle de vôo, terminal de passageiros, de cargas, hangares etc.), estradasde acesso e outras. Em segundo nível, para cada parte desse arranjo geral idealizado, novos arranjos poderão sernecessários até que se atinja um nível de detalhamento adequado. A disposição relativa das partes componentestem algum haver com a funcionalidade da construção, mas muito haver com a segurança física e conseqüenteresultado econômico. Subdividindo as partes em novas partes, chegaremos a problemas estruturais específicos(do tipo: analisar uma sapata de fundação). Para um galpão, por exemplo, serão definidos: a estrutura dacobertura, lajes, vigas e pilares necessários, fundação adequada etc.Daí em diante passa-se ao cálculo dessas estruturas. Efetua-se o dimensionamento delas dando-lhes asdimensões adequadas quando já tiverem sido prefixadas as cargas, os materiais a utilizar e suas formasgeométricas. Ou se verifica a sua resistência quando, dada a estrutura com sua geometria e o material de que éfeita, constata-se que ela conseguirá resistir aos esforços a que estará sujeita numa nova etapa de vida. Emqualquer caso deve ficar bem estabelecido o modo como essa estrutura irá se comportar durante o tempo em queela desempenhar a sua função. Uma estrutura com alta responsabilidade deverá ser auscultada sempre; é o casode uma grande barragem.No que seguirá vamos usar um vocabulário adequado que possa ser aplicado de modo geral. De umfenômeno deveremos conhecer as condições reais em que ele ocorre, os materiais envolvidos (se for o caso) etodas as variáveis nele postas em jogo, sejam estas variáveis propriedades de materiais ou não. Os fenômenosocorrerão em alguma região do espaço e esta região deve ser necessariamente bem definida (como o prisma quedefine uma viga, ou o cilindro que define um pilar de seção circular, ou uma região acima da superfície do globointeressada para efeito de meteorologia). Aos fenômenos e às regiões em que ocorrem estão associados oconceito de campo.A teoria do campoEinstein e Infeld em seu livro popular intitulado “A Evolução da Física” consomem praticamente 40% doseu conteúdo no Capítulo II, intitulado: “Campo e Relatividade”; e no final desse capítulo, escrevem: “
  12. 12. XIIResumindo: um novo conceito aparece na Física, a mais importante invenção desde o tempo de Newton: o campo...”. E mais à frente: “ A Teoria da Relatividade nasce do problema do campo.”Essas palavras podem bastar para ressaltar a importância do “campo” na Física, inclusive na chamada“física fundamental” (não relativista), uma física particular, mas suficientemente geral para resolver "problemasdomésticos". Defendemos como lícita a idéia de que a “Teoria do Campo” deva ser o primeiro capítulo de um“abecedário da Física”; e sendo-o da Física, sê-lo-á da Engenharia.Os engenhos, ou obras de engenharia são concebidos com materiais e estes podem ser simples etradicionais (como a água), ou complexos (como as rochas, os solos); outros podem ser fabricados para "gozar decertas propriedades", como o velho concreto, e alguns materiais mais jovens. Com esses materiais ocorrem"fenômenos", termo esse que deve aqui ser entendido da forma bem ampla, já apresentada. No estudo daspropriedades dos materiais (naturais e artificiais) e do comportamento físico deles como participantes defenômenos, a teoria do campo pode intervir objetivamente para facilitar o entendimento, economizar raciocínio,tempo e dinheiro.A teoria do campo é fenomenológica, isto é, utilizável para explicar fenômenos independentemente daconstituição da matéria, quando existe matéria presente. Assim, essa teoria pode ser utilizada, por exemplo, noEletromagnetismo para explicar fenômenos que ocorram no vácuo (na ausência eventual de matéria). Aliada àhipótese da continuidade do espaço e da matéria, ela vai permitir explicar e prever valores em fenômenos óticos,elétricos e mecânicos que, macroscopicamente, podem ocorrer nos corpos materiais.Tentamos formular e apresentar a teoria na forma mais elementar e didática possível, mesmo que para issose devesse sacrificar algum rigor matemático, tendo sido inspirado, talvez, nas seguintes palavras de Einstein4:“Tive a sorte de encontrar livros que não se preocupam com o rigor lógico, mas que permitem a apresentaçãoclara das idéias principais ...”. Para isso, julgamos conveniente dividir esta pequena obra em três partes.Na primeira parte procuramos caracterizar os sistemas de referência; estes são utilizados não apenascomo meio de organização do trabalho, mas também por necessidade lógica da matemática empregada, darepetição dos fenômenos e de comunicação. Ainda nesta primeira parte procuramos caracterizar todas asgrandezas físicas como grandezas tensoriais (Capítulo I), cada uma com uma característica intrínseca: a sua“ordem”. Definimos o campo (Capítulo II) e procuramos visualizá-lo geometricamente representando-o porformas geométricas (Capítulo III), abordando metodicamente os campos escalares (ou tensoriais de ordem zero),os campos vetoriais (ou tensoriais de ordem um) e os campos tensoriais duplos (ou de ordem dois). Com oobjetivo de facilitar o entendimento do tensor de ordem dois, mostramos como utilizar uma nova representaçãopara os mesmos: a representação diádica, concebida há mais de um século por J. W. Gibbs (final do Capítulo I).Isso acarretará uma ligeira adaptação na linguagem, a necessidade da introdução de algumas operações úteis eelementares, e uma boa compactação nas notações.Na segunda parte estudamos as propriedades dos campos escalares, dos campos vetoriais, e definimosos operadores (clássicos) de campo: os operadores simples, isto é, o gradiente (Capítulo IV), o rotacional(Capítulo V), o divergente (Capítulo VI), e os operadores duplos, especialmente o laplaciano (Capítulo VII).Estudamos, ainda, algumas das propriedades desses operadores, dando-lhes algum "significado físico" eapresentando alguns exemplos.Na terceira parte estudamos os campos de tensores duplos simétricos (ou campos de diádicos simétricos),os tridimensionais (Capítulo VIII) e os planos (Capítulo IX), de notável uso nas Teorias da Elasticidade,Plasticidade, Mecânica de Fluidos etc., dentre outras áreas importantes do conhecimento.4 Einstein, A., “Notas Autobiográficas”, Editora Nova Fronteira, 3° Edição, Rio de Janeiro, 1982.
  13. 13. Campos Tensoriais - RuggeriXIIIUma grande vantagem dessa divisão está na possibilidade de se estudarem os campos escalares e oscampos vetoriais independentemente dos campos de tensores duplos. O livro pode, pois, ser muito útil aos alunosde graduação dos cursos de: Matemática Aplicada, Física Aplicada (Eletromagnetismo, Mecânica Clássica,Mecânica dos Fluidos), Resistência dos Materiais; e, mais tarde, aos alunos que cursarem Mecânica dos Sólidos(Elasticidade, Plasticidade, Visco-elasticidade etc.) como suporte para cursos avançados de Mecânica de Solos,Mecânica de Rochas, Geofísica, Cristalografia e outras disciplinas.Recomendamos, assim, a leitura dos parágrafos e capítulos seguidos de um asterisco, em segundo estágio,para as aplicações um pouco mais avançadas da Engenharia.E. R. F. Ruggeri
  14. 14. XIVCONVENÇÕESCITAÇÕESSINAL SIGNIFICADO...(7)Nota de rodapé n° 7((03),§5.3) Fórmula (03) do §5.3 do presente capítulo((02), §3.2,V) Fórmula (02) do §3.2 do Capítulo VBibl. n° 5, ou [5] Livro n° 5 da Bibliografia0.c. p. 156 Obra citada, página 156Ex. 3 Exemplo 3 do presente capítuloEx. 6, IV Exemplo 6 do Capítulo IV...(§10)... Assunto tratado no §10 do presente capítulo...( ...(§5, II)... Assunto tratado no parágrafo 5 do Capítulo II...(Figura I,3)... Terceira figura do Capítulo I...(Teor.1,§2,III)... Conforme o Teorema 1 do §2 do Capítulo III...(Propr.3,§2,I)... Conforme a propriedade 3 do §2 do Capítulo I((02)3Terceira fórmula (contadas de cima para baixo ou da esquerda para a direita) dogrupo de fórmulas (02) do presente parágrafo.((02)3, §3.2,V) Terceira fórmula do grupo (02) do §3.2 do Capítulo V- As figuras são numeradas na forma Figura VI,3 para significar: terceira figura do Capítulo VI.As fórmulas são numeradas seqüencialmente em arábico, dentro de cada sub-parágrafo de um capítulo,como: (02). A referência do tipo: ((03),§05.02,II) significa: fórmula (03), do §05.02 do Capítulo II.ABREVIATURASBibl. – BibliografiaPropr. – PropriedadeTeor. – TeoremaCorol. – CorolárioCap. - CapítuloGA – Geometria Analítica, p. 7NOTAÇÕES1 – Os escalares são representados por letras latinas em tom natural (U, V, ...). Vetores são representados porletras latinas em negrito (a, b, ...). Diádicos são representados por letras gregas em negrito (αααα, ββββ, φφφφ, ...).2 – As bases vetoriais ortonormadas são representadas por { kji ˆˆˆ } ou por { 321ˆˆˆ eee }.3 - O vetor v, de coordenadas V1, V2, V3 em relação à base { 321ˆˆˆ eee }, é representado nas diferentes formasseguintes: v=Vk kˆe ,321VVV, {v}, [ ]T321 VVV , (V1, V2, V3).4 – O módulo, ou valor absoluto, do vetor v é representado por |v|, ou por v.5 – Os deltas de Kronecker são representados pelo símbolo clássico δij e valem 1 para i=j, e 0 para i≠j fazendo-sei=1,2,3 e j=1,2,3.
  15. 15. Campos Tensoriais - RuggeriXV6 – O produto escalar dos vetores u e v que formam um ângulo ϕ é representado nas formas:[ ] [ ] ===== }U{}V{}V{}U{uuuvvvvvvuuu. TT321321321321vuϕ=++==δ= cosu vvuvuvuvuvu 332211iiijji .7 – A matriz quadrada A de ordem 3, de elemento genérico aij é representada por A=[aij], ou [A].8 – A matriz unidade de qualquer ordem é representada por I, ou [I].9 – A transposta da matriz A é representada por ATe a inversa por A-1; ou por [A], [A]T, [A]-1quando necessário.10 - vu× é o produto vetorial de u por v.
  16. 16. XVIBIBLIOGRAFIA[01] - ARANGOÁ, A. G. de - Elasticidade teórica y Experimental, Editorial Dossat, Madrid, 1945.[02] - BRICARD, R. - Cálculo Vetorial, Coleção Armand Colin, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1958.[03] - BUTTY, E. - Tratado de Elasticidad Teórico-Técnica, em 3 tomos, Centro Estudiantes de Ingenieria deBuenos Aires, Buenos Aires, 1946.[04] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Vetorial, 3ª edição, dois volumes, Fundação Gorceix, Ouro Preto,1979.[05] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Matricial, 3ª edição, Imprensa Universitária da UFOP, Ouro Preto,1984.[06] - CALAES, A. M. - Curso de Geometria Analítica, 4ª edição, cinco volumes, Imprensa Universitária daUFOP, Ouro Preto, 1981.[07] - CARAÇA, B. de J. - Cálculo Vetorial, 2ª edição, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa, 1957.[08] – CARAÇA, B. de J. – Conceitos Fundamentais da Matemática, Fotogravura Nacional Ltda, Lisboa, 5ªedição, 1970. (Publicado parcialmente, em várias partes e várias edições, desde 1941).[09] - GIBBS, J. W. e WILSON, E. B. - Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901.[10] - HAGUE, B. - An Introduction to Vector Analysis, Methuen´s Monographs on Physical Subjects, London,1957.[11] - NYE, J. F. - Physical Properties of Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1957.[12] - TIBIRIÇA Dias, A. - Curso de Cálculo Infinitesimal, 2ª edição, dois tomos, Fundação Gorceix, OuroPreto, 1962.[13] - RUGGERI, E. R. F. - Tratado de Cálculo Poliádico: Tomo I, Vol. I, ISBN 978-85-907001-0-4; Tomo I,Vol. II, ISBN 978-85-907001-1-1; Tomo II, em preparação.[14] – REY PASTOR, J., SANTALO, L. A., BALANZAT, M. – Geometria Analítica, 3ª edição, EditorialKapelusz, Buenos Aires, 1958.[15] – Chou, P. C., and Pagano, N. J. – Elasticity (Tensor, dyadic and Engineering approaches), D. VanNostrand, Toronto, 1967.
  17. 17. Campos Tensoriais - RuggeriXVIISUMÁRIOPREFÁCIO....................................................................................................................................................................................................... IIIINTRODUÇÃO................................................................................................................................................................................................IVCONVENÇÕES ............................................................................................................................................................................................XIVBIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................................................................XVI1ª Parte - Conceito e imagem dos camposCAPÍTULO IOBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORES...................................................................................................................................................1§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIA.......................................................................................................................................1§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS..............................................................................................................................................2§ 03.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................2§ 03.02 – Bidimensionais..................................................................................................................................................................2§ 03.03 – Tridimensionais.................................................................................................................................................................2Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneas.......................................................................................................2Domínios chatos em engenharia. .....................................................................................................................................5§ 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS .............................................................................................................................................6§ 04.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................6Exemplos. Uso do sistema cilíndrico de coordenadas......................................................................................................8Domínios cônicos e coordenadas cilíndricas ...................................................................................................................9Uso do sistema esférico de coordenadas ..........................................................................................................................9Outros sistemas de referência e outros domínios ...........................................................................................................12§ 04.02 – Bidimensionais................................................................................................................................................................12Exemplos. Uso dos sistemas cilíndrico e esférico..........................................................................................................13§ 04.03 – Tridimensionais...............................................................................................................................................................15§ 04.04 – Os domínios, na prática...................................................................................................................................................17§ 05 – TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS.......................................................................................................................................17§ 05.01 – Da necessidade da transformação....................................................................................................................................17§05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de base ........................................................................................18§05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um ponto ..............................................................21§06 – SISTEMA LOCAL E SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS.......................................................................................................22§06.01 – Domínios unidimensionais...............................................................................................................................................22Tangente, normal principal e plano osculador ...............................................................................................................23Binormal, plano normal, plano retificante. Triedro de Frenet-Serret..............................................................................24Fórmulas de Frenet.........................................................................................................................................................26§06.02 – Domínios bidimensionais.................................................................................................................................................26Superfície esférica..........................................................................................................................................................26Elipsóides.......................................................................................................................................................................28Parabolóides elíptico e hiperbólico ................................................................................................................................29§06.03 – Domínios tridimensionais ................................................................................................................................................31CAPÍTULO IIGRANDEZAS FÍSICAS.§ 01 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS .......................................................................................................................................33§ 02 – DEFINIÇÕES RIGOROSAS DAS GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS................................................................................34§ 02.01 – Considerações preliminares.............................................................................................................................................34§ 02.02 – Nova definição de grandeza escalar ................................................................................................................................34§ 02.03 – Definição de grandeza vetorial........................................................................................................................................35
  18. 18. XVIII§ 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS...........................................................................................................................................36§ 03.01 – Relacionamento entre grandezas vetoriais.......................................................................................................................36§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações.............................................................................................37Domínios homogêneos e não homogêneos.....................................................................................................................38Domínios isotrópicos e anisotrópicos ............................................................................................................................39Definição da grandeza diádica.......................................................................................................................................40§ 03.03 – Diádicos como representantes de propriedades físicas, ou de variáveis. .........................................................................41§ 04* – NOVOS DESENVOLVIMENTOS COM OS DIÁDICOS ..................................................................................................................41§ 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos..............................................................................................................................41§ 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes. ..................................................................................................................................42Dupla multiplicação pontuada de diádicos ....................................................................................................................43Dupla multiplicação pontuada de matrizes ....................................................................................................................43§ 04.03 – Exercícios........................................................................................................................................................................44CAPÍTULO IIICONCEITO DE CAMPO§ 01 – DEFINIÇÃO DE CAMPO.....................................................................................................................................................................47§ 02 – CLASSIFICAÇÃO DOS CAMPOS.......................................................................................................................................................48§ 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS...................................................................................................................................................................50Exemplo 1: um campo de distâncias ...............................................................................................................................................50Exemplo 2: o campo gravitacional terrestre ....................................................................................................................................50Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamento..............................................................................................50Exemplo 4 – um campo tridimensional de temperaturas.................................................................................................................51Exemplo 5 – Um campo unidimensional de temperaturas. .............................................................................................................51Exemplo 6 – O escoamento no vertedouro de uma barragem..........................................................................................................52Exemplo 7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica.....................................................................................................52Exemplo 8*– O campo dos deslocamentos na Teoria da Elasticidade............................................................................................53Exemplo 9*– O campo do tensor das tensões. ................................................................................................................................53Campos Diádicos...........................................................................................................................................................54§04*– CAMPOS DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS.............................................................................................................................................54§04.01 – Características geométricas. .............................................................................................................................................54§04.02 – Significado físico. ............................................................................................................................................................56§05 – CAMPOS 1D E 2D DE ESCALARES, VETORES E DIÁDICOS.........................................................................................................57§06 – OS DIÁDICOS EM DIFERENTES SISTEMAS DE REFERÊNCIA.....................................................................................................60§06.01 – Relações entre coordenadas de vetores.............................................................................................................................60§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos...........................................................................................................................61CAPÍTULO IVGEOMETRIA DOS CAMPOS§01 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................65§02 – SUPERFÍCIE DE NÍVEL NOS CAMPOS ESCALARES......................................................................................................................65Propriedades das superfícies e curvas de nível...............................................................................................................66§03 – LINHAS DIRETRIZES NOS CAMPOS VETORIAIS. ..........................................................................................................................66Propriedades das linhas diretrizes..................................................................................................................................66Equações das linhas diretrizes........................................................................................................................................67Tubo de campo ..............................................................................................................................................................68§04* - AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR NO CAMPO DIÁDICO....................................68§04.01 – Campos tridimensionais...................................................................................................................................................68Representação de Mohr..................................................................................................................................................71§04.02 – Campos bidimensionais ...................................................................................................................................................75Representação de Mohr..................................................................................................................................................77§04.03 – Campos unidimensionais .................................................................................................................................................77
  19. 19. Campos Tensoriais - RuggeriXIX2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriaisCAPÍTULO VCAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO ESCALARO GRADIENTE§01 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR.......................................................................................................................................79§02 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO GRADIENTE. DERIVADA DIRECIONAL. ........................................................................80Derivada direcional........................................................................................................................................................81§03 – CARACTERÍSTICA TENSORIAL DO GRADIENTE. .........................................................................................................................82§04. – PROPRIEDADES FORMAIS DO GRADIENTE..................................................................................................................................83Propriedade fundamental: ..............................................................................................................................................83Propriedades formais .....................................................................................................................................................84§05 – POTENCIAL ESCALAR DE UM CAMPO VETORIAL.......................................................................................................................86§06 – PROPRIEDADE GEOMÉTRICA CARACTERÍSTICA DOS CAMPOS COM POTENCIAL..............................................................86CAPÍTULO VICAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO VETORIALA circulação...................................................................................................................................................................87§01 – A CIRCULAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL..................................................................................................................................87§02 – PROPRIEDADES DA CIRCULAÇÃO..................................................................................................................................................87§03 – CIRCULAÇÃO DE CAMPO QUE DERIVA DE POTENCIAL ESCALAR .........................................................................................88§04 – CAMPOS LAMELARES OU CONSERVATIVOS ...............................................................................................................................89§05 – SIGNIFICADO FÍSICO DA CIRCULAÇÃO E DO POTENCIAL.........................................................................................................89§06 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE UM POTENCIAL ESCALAR. .....................................................90O rotacional ...................................................................................................................................................................92§07 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................92§08 – DEFINIÇÃO DO ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL .........................................................................................................93§09 – GENERALIZAÇÃO. FÓRMULA DE STOKES ....................................................................................................................................94§10 – EXPRESSÃO CARTESIANA DO ROTACIONAL...............................................................................................................................95§11 – SIGNIFICADO FÍSICO DO ROTACIONAL .........................................................................................................................................96§12 – PROPRIEDADES FORMAIS DO ROTACIONAL................................................................................................................................96§13 – CAMPO IRROTACIONAL....................................................................................................................................................................98§14 – CAMPO ROTACIONAL (OU TURBILHONAR)..................................................................................................................................99§15 – POTENCIAL VETOR DE UM CAMPO VETORIAL ...........................................................................................................................99§16 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE POTENCIAL VETOR ..................................................................99CAPÍTULO VIICAMPO ESCALAR OPERADO DE CAMPO VETORIALO fluxo.........................................................................................................................................................................103§01 – DEFINIÇÕES. ......................................................................................................................................................................................103§02 – PROPRIEDADES DO FLUXO ............................................................................................................................................................103§03 – FLUXO QUE DERIVA DE VETOR POTENCIAL .............................................................................................................................104§04 – SIGNIFICADO FÍSICO DO FLUXO....................................................................................................................................................105O divergente.................................................................................................................................................................106§05 – DEFINIÇÃO.........................................................................................................................................................................................106§06 – SIGNIFICADO FÍSICO DO DIVERGENTE........................................................................................................................................107§07 – FÓRMULA DO DIVERGENTE ..........................................................................................................................................................108
  20. 20. XX§08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES.................................................................................................................108§09 – O CAMPO SOLENOIDAL PLANAR. .................................................................................................................................................110§10 – O CAMPO HARMÔNICO...................................................................................................................................................................110§11 – PROPRIEDADES FORMAIS DO DIVERGENTE. .............................................................................................................................111§12 – FÓRMULAS DE GREEN. ...................................................................................................................................................................112§13 – FÓRMULAS DO GRADIENTE E ROTACIONAL. ............................................................................................................................113CAPÍTULO VIIIOPERADORES DUPLOS DE CAMPO§01 – GENERALIDADES. ............................................................................................................................................................................115§02 – O OPERADOR LAPLACIANO. ..........................................................................................................................................................115§03 – OS OPERADORES grad div E rot rot..................................................................................................................................................117§04 – OBSERVAÇÃO FINAL SOBRE OS CAMPOS HARMÔNICOS.......................................................................................................118§05 – UMA LEI DE DUALIDADE................................................................................................................................................................1183ª Parte - Propriedades dos campos de diádicos simétricosCAPÍTULO IX*ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UM DIÁDICOAs coordenadas radiais principais................................................................................................................................121§01 – DEFINIÇÕES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. PROPRIEDADES.................................................................................................121§02 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO DO CAMPO ................................................................................................................................124§03 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................125As coordenadas transversais principais........................................................................................................................128§04 – DEFINIÇÕES, TEOREMAS................................................................................................................................................................128CAPÍTULO X*CAMPOS 2D DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS§01 – A COORDENADA RADIAL E A TRANSVERSAL. ..........................................................................................................................133§02 – AS COORDENADAS RADIAIS PRINCIPAIS....................................................................................................................................134§03 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO PLANAR. ....................................................................................................................................136§04 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................137§05 – AS COORDENADAS TRANSVERSAIS PRINCIPAIS. .....................................................................................................................138§06 – AS COORDENADAS REFERIDAS ÀS DIREÇÕES PRINCIPAIS....................................................................................................140§07 - REPRESENTAÇÃO DE MOHR ..........................................................................................................................................................141§07.01 - O círculo de Mohr...........................................................................................................................................................141§07.02 - Determinação gráfica das coordenadas. ..........................................................................................................................142§07.03 - As direções principais e secundárias...............................................................................................................................143§08 - OUTRAS REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS CAMPOS PLANARES. ..............................................................................144§08.01 - Linhas isostáticas. ...........................................................................................................................................................146§08.02 - Linhas das direções secundárias......................................................................................................................................147§08.03 - Linhas isóclinas (ou isoclínicas). ....................................................................................................................................148§08.04 – Linhas isocromáticas......................................................................................................................................................149§08.05 - Linhas isoradiais. ............................................................................................................................................................149§08.06 - Linhas isópacas...............................................................................................................................................................150§09 - PONTOS SINGULARES E CIRCULARES..........................................................................................................................................150
  21. 21. Campos Tensoriais - Ruggeri1ª Parte - Conceito e imagem dos camposCAPÍTULO IOBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS.L´Universo é scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza iquali é impossibile ad intenderne umanamente parola”Galileo Galilei§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORESOs fenômenos existem independentemente de observadores, mas se não observados não podem despertarqualquer interesse. O que seria, então, uma observação?Em primeiro lugar devemos considerar que uma observação envolve uma atitude estritamente pessoal:dois observadores, em igualdade de condições físicas, podem não perceber as mesmas coisas num mesmofenômeno. Os índices de “curiosidade” e “intuição” de um observador podem ser superiores aos de outro.Quantos indivíduos não observaram o movimento dos astros? Quantos outros se dedicaram a questionar e aaventar possibilidades sobre esses movimentos?Em segundo lugar devemos considerar que os dispositivos utilizados para uma observação podem sertambém diferentes, mesmo o “olho nu” (um observador pode enxergar mais que outro). Galileo passou aenxergar um pouco mais longe que seus contemporâneos quando em 1610, apontou uma luneta para o céu5.Nessa época, presenteou ainda as ciências biológicas com a invenção do microscópio6.Atendendo a uma necessidade inerente ao ser humano, pensadores se puseram a questionar as nossasorigens, a conjeturar sobre o nosso destino e a justificar e explicar os fenômenos observados. Iniciou-se, assim, oprocesso da “construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais” (ver Introdução). No século XVII,com Galileo especialmente, teve início uma nova era nas ciências físicas: a da ciência experimental. A intuiçãodos indivíduos, combinada com lógica, estabelecia leis físicas que só seriam acreditadas mediante a suaverificação experimental (veja na Introdução a seção “Lei Natural”). O empirismo dava lugar ao científico.§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIAA lógica e a experiência mostraram que, em geral, para a compreensão científica de um fenômeno físicoera necessário (mas não suficiente) referi-lo a algum corpo considerado suficientemente “rígido” em relação aofenômeno a estudar. O estudo (realmente científico) do movimento dos corpos – movimento esse presente empraticamente todos os fenômenos físicos – foi a origem desse processo evolutivo ao qual, século após século, sãoacrescentadas novas concepções.Alem do nome de Galileo, poucos outros nomes estão ligados a esses desenvolvimentos, ainda no séculoXVII; são: Descartes, Fermat, Newton e Leibnitz. A Descartes coube a glória da exploração do “eixo” – uma retaorientada aos pontos da qual se associam números; com isso ele desenvolveu a geometria de posição, dita, hoje,Geometria Analítica. A evolução desse conceito pode ser apreciada na bela obra de Caraça [8]. A Fermat,Newton e Leibnitz, independentemente um do outro, couberam a invenção do Cálculo Infinitesimal. Mas coube aNewton um desenvolvimento maior: a utilização do seu “Cálculo dos Fluxões” (nomenclatura já utilizada porGalileu) na teorização da sua mecânica, já há muitos anos conhecida como “Mecânica Newtoniana”.5 Bassi, Achille: Galileu Galilei, análise do homem e de sua obra no IV centenário de seu nascimento, KRITERION, Revista da Faculdadede Filosofia da Universidade Federal de Minas Gerais, vol. XVIII, p. 65-196, 1965.6 Bassi, Achille, o.c., p. 108.É precisamente recorrendo à Geometria Analítica e ao Cálculo Infinitesimal que, desde o século XVII,vêm sendo estudados os fenômenos físicos. Estes ocorrem, em geral, numa região tridimensional bemdeterminada do espaço físico, isto é, num domínio tridimensional. Em muitas situações, com algumaaproximação, essas regiões são bidimensionais e, também, unidimensionais. Em qualquer caso, essas regiões
  22. 22. 2 § 03 – Domínios chatos de fenômenosI, §03.03serão ditas, doravante, o “domínio do fenômeno” e requerem uma definição precisa, feita pela GeometriaAnalítica.O estudo de um fenômeno físico é, então, sempre feito em relação a um ou mais sistemas cartesianos(rígidos) de coordenadas, fixos ou não; e em relação a um deles deve ser referido o domínio do fenômeno para asua perfeita definição. Isto significa poder-se determinar com precisão a posição de um ponto qualquer dodomínio. Como os fenômenos podem variar no tempo, admite-se que a qualquer sistema de coordenadas estejaassociado um cronômetro para a marcação do tempo. O conjunto sistema de coordenadas e cronômetro costumaser denominado um sistema de referência. Os cronômetros marcam tempos absolutos, isto é, em todos ossistemas, fixos ou não, os tempos dos observadores são numericamente idênticos. A um sistema de referênciaestão associados “observadores”, isto é, pessoas que estudam algum fenômeno fazendo medidas (de tempos,distâncias, grandezas físicas diversas) em relação a esse sistema; algumas vezes um sistema é dito: "sistema doobservador".§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS§ 03.01 – UnidimensionaisO domínio de um fenômeno pode ter “natureza retilínea”, a ele estando associada uma reta; é o caso, porexemplo, do estiramento de uma barra de ferro de construção. Para esses domínios, um simples segmento de retaorientado, de comprimento conhecido, paralelo à reta associada ao fenômeno, e externo ao domínio (não ligado àbarra, no exemplo), pode ser adotado como referência para se definirem seus pontos; por isso são ditosunidimensionais.§ 03.02 – BidimensionaisA um domínio de “natureza plana” está associado um plano: é o caso do estiramento de uma chapa deaço, de espessura constante, em duas direções ortogonais, aplicando forças no “plano médio” da chapa7. Doislados quaisquer de um triângulo (qualquer) conhecido, paralelo ao plano médio da chapa (não contidofisicamente nesse plano), constituem uma referência suficiente para se expressarem as posições dos pontos doplano em que ocorre o fenômeno. Para tal, entretanto, é necessário escolher-se um critério conveniente. Esteconsiste: primeiro, em adotar-se como origem de dois eixos orientados, o vértice do triângulo relativo aos ladosescolhidos, cada eixo disposto segundo a reta suporte de um lado; segundo, comprovar-se que o ponto ficaunivocamente determinado pelas suas (duas) distâncias aos eixos quando estas são medidas nas direçõesparalelas a estes eixos. Estes sistemas são os clássicos "sistemas de coordenadas cartesianas retilíneas noplano" (na Geometria de Descartes); os domínios correspondentes são ditos bidimensionais.§ 03.03 – TridimensionaisPor indução, se um domínio é de “natureza espacial”, não precisaremos mais que três arestas quaisquerde um tetraedro (qualquer), concorrentes num mesmo vértice, para constituir um "sistema de coordenadasretilíneas no espaço". Basta tomarmos aquele vértice como origem de três eixos orientados construídos sobre asarestas do tetraedro. Nesse caso, a posição de um ponto qualquer do espaço ficará univocamente determinadapelas (três) distâncias desse ponto aos planos coordenados, medidas segundo a direção das arestas do tetraedro.Não é demais ressaltar que o domínio, em si, dito tridimensional não deve exercer qualquer influência sobre osistema de coordenadas porque este deve ser conservado "rígido" ao longo do acontecimento do fenômeno.Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneasEsses domínios são ditos chatos8 (no sentido de não apresentarem curvatura): unidimensionais,bidimensionais e tridimensionais; abreviadamente escreveremos: domínios 1D, 2D e 3D, respectivamente. Oadjetivo "chato" ou "sem curvatura", advém do fato de para se ir de um ponto a outro do domínio percorrendo7 O leitor deve assimilar intuitivamente, em consignação, a parte física do fenômeno, bem como possíveis “aproximações”, como oreferido plano médio.8 O leitor mais culto não deverá associar o conceito de curvatura aqui interessado com o conceito de "curvatura de espaço" comoapresentado na Geometria Diferencial.
  23. 23. § 03.03 – TridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri3a menor distância, deve-se fazê-lo percorrendo o segmento de reta (pertencente ao domínio) que une os doispontos. Nos domínios curvos isto não será possível.Em geral os eixos dos sistemas cartesianos retilíneos escolhidos sãoperpendiculares entre si (os triângulos de referência são triângulos retângulos e ostetraedros são pirâmides triretangulares com três faces ortogonais, e ficam virtualmenteespecificados); o caso tridimensional é apresentado na Figura I,1.Nos sistemas cartesianos retilíneos os pontos são definidos, então, por suascoordenadas retilíneas e estas são classicamente denotadas por x, y e z, ou X1, X2 e X3;quando o sistema é ortogonal, essas coordenadas representam as distâncias do pontoaos planos coordenados (XY, YZ e ZX). Os pontos de coordenadas X=constantepertencem todos a um plano paralelo ao plano coordenado (Y,Z); idem, mutatismutandis, para Y=constante e Z=constante.*Exemplo 1:Suponhamos que o domínio de um dado fenômeno seja a reta paralela a uma direção conhecida e quepasse pelo ponto B do espaço. Como especificar a posição do ponto corrente dessa reta?Solução:A primeira providência é escolher o sistema de referência mais conveniente para a especificação. Prática etirocínio geralmente auxiliam muito nessa escolha. A primeira opção seria, evidentemente, escolher a própria retaassociada ao fenômeno - que passa por B e é paralela à direção dada - como um dos eixos do sistema; e nessecaso bastaria esse eixo uma vez que não interessa considerar pontos não contidos nessa reta. Denotemos por X3esse eixo e escolhamos uma origem qualquer sobre ele para especificar as abscissas que definirão os pontos dareta. O ponto B tem abscissa conhecida; seja ela B3. Então, o ponto corrente da reta, de abscissa X3 será dadopor: X3=B3t, onde t é um parâmetro (variável) a cada valor do qual corresponderá um ponto sobre a reta. Parat=0, X3=0; para t=1, X3=B3 etc.. Deve ser observado que nessa equação não aparece (por desnecessário que é)nenhum representante da direção conhecida; isso já foi eliminado na escolha do eixo de referência.Se não for possível adotar a direção conhecida como um dos eixos do sistema de referência, a resoluçãodo problema fica ligeiramente mais trabalhosa. Nesse caso, escolhemos um sistema retilíneo qualquer, O-X1X2X3, determinamos as coordenadas B1, B2 e B3 de B e as coordenadas do vetor unitário de sentido arbitrário,aˆ , cuja direção, porém, coincida com a direção conhecida. Essas coordenadas, conforme sabemos, são os co-senos diretores da direção. Se medirmos os ângulos α1, α2 e α3 que o vetor unitário faz com os eixos OX1, OX2e OX3 do sistema, poremos: A1=cosα1, A2=cosα2, A3=cosα3. Então raciocinamos da seguinte maneira. Se x é ovetor posicional do ponto X da reta e b o do ponto B, então, necessariamente, o vetor BX = x-b é paralelo aovetor aˆ . Devemos escrever: x-b=λ aˆ , o parâmetro λ devendo ser ajustado (ou determinado) para o ponto Xescolhido. Se X for um ponto corrente, λ será um parâmetro variável, o que torna x-b=λ aˆ uma equação; esta é aequação vetorial paramétrica da reta associada ao fenômeno.Se denotarmos por X1, X2 e X3 as coordenadas do ponto corrente X em relação ao sistema escolhido, aequação vetorial paramétrica da reta será equivalente ao sistema+λ=+λ=+λ=.BAXBAXBAX333222111As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas da reta9.Se for A1≠0, A2≠0 e A3≠0, poderemos eliminar o parâmetro entre as equações paramétricas e obter asequações da reta na forma dita "simétrica":λ=−=−=−333222111ABXABXABX.9 A notação mais comumente usada é X para X1, Y para X2, Z para X3 e análogas para os A’s e B’s.
  24. 24. 4 § 03 – Domínios chatos de fenômenosI, §03.03O leitor poderá interpretar o caso em que um (ou dois) dos co-senos diretores é nulo. Qual é aconfiguração do domínio quando o parâmetro fica condicionado a variar num intervalo fechado dado?Exemplo 2:Suponhamos que o domínio de dado fenômeno seja um plano. Esse plano pode ser definido de váriasmaneiras, tudo dependendo da situação em que nos encontremos. Podemos considerar os casos mais comunsseguintes: 1) - o plano deve passar por um ponto dado, C, e ser paralelo a duas direções dadas (distintas, éevidente); 2) - o plano está definido por três pontos dados (pontos não colineares, evidentemente); 3) - o planopassa por um ponto dado e é ortogonal a uma direção dada.Solução:Para a resolução de qualquer um dos três problemas propostos devemos escolher de forma convenienteum sistema O-X1X2X3 para referência. No item 1) do problema, o ponto dado está definido pelo vetor c e temcoordenadas C1, C2 e C3. As direções dadas devem estar especificadas pelos seus co-senos diretores (tal como noexemplo 1), isto é, pelas coordenadas de dois vetores unitários: aˆ , de coordenadas A1, A2, A3 e bˆ decoordenadas B1, B2 e B3. Se esses unitários forem aplicados no ponto C, ambos estarão contidos no planodomínio do fenômeno; e por hipótese, não são paralelos. Se x é o vetor posicional do ponto X do plano, o vetorx-c, contido no plano do domínio, poderá ser decomposto segundo os unitários aˆ e bˆ (porque eles formam umabase nesse plano). Então, para X, existirão dois números, λ1 e λ2 tais que x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ . Se o ponto X for umponto corrente do plano, λ1 e λ2 serão valores genéricos dos parâmetros, a cada posição de X correspondendo umpar; e x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ se tornará uma equação: é a equação vetorial paramétrica do plano. Se X1, X2, X3 são ascoordenadas de X, a equação vetorial paramétrica será equivalente ao sistemaλ+λ=−λ+λ=−λ+λ=−.BACXBACXBACX231333221222211111As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas procuradas do plano em questão; emostram que cada coordenada do ponto genérico do plano é função linear de dois parâmetros independentes.Relembrando que os vetores x-c, aˆ e bˆ são coplanares podemos, também, escrever que o produto mistodeles é igual a zero, isto é, ((x-c) aˆ bˆ )=0. Essa é a equação vetorial geral do plano. Em coordenadas cartesianasortogonais esse produto é equivalente ao determinante0BBBAAACXCXCX321321332211=−−−.Desenvolvendo esse determinante pelos elementos da primeira linha, aplicando o teorema de Laplace, edenotando por K1, K2, K3 e K os coeficientes de X1, X2, X3 e o termo independente, vê-se que o determinanteacima é equivalente a uma equação do tipoK1X1+ K2X2+ K3X3+K=0,os Ki não podendo ser simultaneamente nulos porque os unitários aˆ e bˆ não são paralelos. Esta equação édenominada "equação cartesiana geral do plano".Para a resolução do item 2) do problema vamos denotar por a, b e c os vetores posicionais (não unitários)dos pontos dados A, B e C, vetores esses co-iniciais com a origem O do sistema e não coplanares (por hipóteseos pontos não são colineares). Se x é o posicional de um ponto X, os vetores x-a, b-a e c-a (todos de origem A)estão contidos no plano do domínio do fenômeno; logo, o produto misto deles é igual a zero: ((x-a)(b-a)(c-a))=0.Se X for um ponto variável do plano, esta expressão deverá ser satisfeita para todos os pontos desse plano e serádita a equação vetorial do plano (não recebendo nome especial). Estando os vetores expressos por suascoordenadas em relação ao sistema O-X1X2X3, essa equação vetorial é equivalente ao determinante
  25. 25. § 03.03 – Tridimensionais 5Campos Tensoriais - Ruggeri0ACACACABABABAXAXAX332211332211321=−−−−−−−−−.Desenvolvendo-se o determinante acima, poder-se-á obter a equação geral do plano. Aplicando propriedades dosdeterminantes pode ser demonstrado que01CCC1BBB1AAA1XXX321321321321= ,uma forma fácil de ser memorizada e de aplicação imediata para a resolução do problema.Para a resolução do item 3) do problema, sem maiores delongas, vamos considerar um ponto B, a direçãoaˆ e o ponto corrente X do plano. Como os vetores x-b e aˆ são ortogonais, a equação vetorial desse plano é (x-b). aˆ =0. Em coordenadas cartesianas teremos a equação cartesiana geral do plano:A1X1+A2X2+A3X3+D=0, com D=b. aˆ .O termo independente D é a distância da origem O ao plano do domínio.Se sobre o plano do fenômeno, no caso do item 1), tomarmos o ponto C como origem e eixos segundo osunitários aˆ e bˆ , os pontos do plano do domínio do fenômeno, para λA≤λ1≤λB e λC≤λ2≤λD, seriam não exterioresa um paralelogramo cujos lados fossem os vetores (λB-λA) aˆ e (λD-λC) bˆ .Em cada um desses problemas poderíamos esboçar a configuração do domínio se os parâmetros ficassemcondicionados a variar (continuamente) dentro de intervalos fechados dados. Poderíamos, também, ao fazer essesesboços, comparar as dificuldades com o caso em que o sistema de referencia pudesse ser estabelecido sobre oplano.*Se, finalmente, o domínio fosse 3D, ele seria todo o espaço. Havendo restrições quanto à variação dascoordenadas o domínio poderá ser um: semi-espaço quando limitado por um plano, ou por um par de planosparalelos; prisma quando limitado por dois pares de planos paralelos; paralelepípedo quando limitado por trêspares de planos paralelos.*Domínios chatos em engenharia.Em engenharia são muito comuns os domínios chatos (uni, bi e tridimensionais), em geral representandoo espaço ocupado por um corpo compacto. É o caso das chapas, vigas, pilares, lajes etc.. Para o estudo desseselementos é adotado, necessariamente, um sistema de coordenadas: um apenas, às vezes dois. No caso de doissistemas, um deles costuma ser um sistema global; o segundo, um sistema localizado em algum ponto especialque interesse destacar.Em algumas abordagens a especificação matemática do domínio é tão óbvia que o sistema de referêncianão merece destaque especial; mas em algum instante, no desenvolvimento dos estudos, esta especificaçãoaparecerá.Considere um pilar em forma de prisma reto, de seção quadrada constante de lado 2a, de eixo vertical ealtura h. Adotemos o eixo desse prisma para eixo z do sistema global, com origem O no centro do quadrado dabase do pilar e com sentido positivo ascendente. Adotemos, ainda, as paralelas aos lados do quadrado para eixosx e y, com origem O e com sentidos arbitrários, mas escolhidos de forma que o sistema O-xyz seja positivo. Ospontos do domínio serão aqueles cujas coordenadas x, y e z satisfaçam às desigualdades seguintes: -a≤x≤a, -a≤y≤a e z≤h. As fronteiras do domínio são os planos de equações: x=a, x=-a, y=a, y=-a, z=0 e z=h.Para o estudo de uma viga é comum se adotar para referência local, em uma seção da mesma, oschamados “eixos centrais principais de inércia da seção”, assunto este tratado nos cursos de “Resistência dos

×