1. INTRODUÇÃO
AOS
CAMPOS TENSORIAIS
PARA A ENGENHARIA
por
Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri
Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto
Furnas Centrais Elétricas SA
Goiânia (GO)
2012

2. II
© 2012 - Elysio R. F. Ruggeri
Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri
Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri
Capa:
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
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Contato com o autor:
elysio.ruggeri@gmail.com
Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo.
Introdução à Teoria do Campo /
Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed.
do Autor, 2012.
XX, 170 p.
ISBN .....................................
1. Análise tensorial. 2. Campo de grandezas físicas.
3. Matemática aplicada. I. Título.
CDU ............

3. Campos Tensoriais - Ruggeri
III
PREFÁCIO
O tema deste livro é uma pequena parte, talvez a mais simples, da Física-Matemática. Seu propósito é
servir de suporte ao ensino das disciplinas introdutórias: Mecânica de Sólidos e Mecânica de Fluidos, lecionadas
nos primeiros anos dos cursos de graduação em engenharia. Ao escrevê-lo preocupamo-nos, por isso, muito mais
com a didática do que com o relevante rigorismo matemático, dispensável nesta abordagem introdutória.
Livros existentes sobre o assunto tratam, ordinariamente, da teoria dos campos escalares e vetoriais,
visando aplicações imediatas na Física (no Eletromagnetismo, na Mecânica Racional e na Mecânica dos Fluidos,
principalmente). Procurando dar maior amplitude à teoria, mas sem nos perdermos em generalizações de
questões matemáticas, mostramos, com tratamento e linguagem muito simples (sem, evidentemente, muito rigor),
que os campos escalares e vetoriais são campos de tensores. Estendemos um pouco mais os estudos abordando os
campos dos tensores cartesianos simétricos de ordem dois (ou campos de diádicos simétricos), de larga
aplicação. A matéria apenas introduz o leitor na seara dos “campos”, termo esse que deve se entendido no
sentido físico (e não matemático, onde campo tem outro significado).
Os "Campos tensoriais" são utilizados com muito sucesso na formulação da Mecânica do Contínuo,
disciplina que unifica de forma magistral o tratamento da física dos sólidos e dos fluidos (com suas propriedades
mecânicas, elétricas, magnéticas, óticas etc.). Isto justifica a necessidade do conhecimento e da divulgação desses
conceitos como um preparativo para o tratamento de assuntos mais complexos, não só dentro da Engenharia, mas
da Física (das baixas velocidades) que considera o espaço físico com três dimensões e onde pode ser verificada a
geometria euclidiana.
Goiânia, fevereiro de 2010.

4. IV
INTRODUÇÃO
Este livro é, praticamente, um livro de matemática aplicada à Física e à Engenharia. Por isso mesmo
tentaremos mostrar ao candidato a engenheiro particularmente, algumas das causas da presença da Matemática e
sua importância em muitas questões de Engenharia.
Um pouco do que será apresentado nesta Introdução é um compacto (com alguma adaptação) de textos
esparsos extraídos de uma obra prima de Caraça [8]. Outro tanto provirá da nossa convivência com dezenas de
fenômenos para os quais só encontramos melhor entendimento pela matemática aplicada.
O livro todo, entretanto, tem a intenção de convencer o leitor de dois fatos essenciais. Em primeiro lugar,
que a engenharia relativa a concepção, desenvolvimento e construção de engenhos é constituída por boa parte do
universo dos fenômenos conhecidos (pelo menos os físicos, químicos e biológicos). Em segundo lugar, que
conseguimos substituir cada fenômeno detectado num engenho por um conceito concebido pela nossa mente
matemática, a que denominamos “campo”, para o entendimento do qual descobrimos que é possível utilizar uma
única teoria: a “teoria do campo”. Essa concepção é magistral!
Conceitos gerais.
O objetivo da ciência á a construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais deste mundo,
qualquer que seja a natureza deles: física, social, política etc. Esses quadros são legítimos enquanto durar a sua
concordância com os resultados de observações e experimentações.
Os fatos reais apresentam duas características essenciais: a) – interdependência: pois eles estão
correlacionados uns com os outros; b) – fluência: pois eles estão em permanente evolução, transformando-se em
cada instante. Então, se tudo depende de tudo em cada instante, com que cérebro - questiona Caraça ([8], 2ª
Parte, Capítulo I, p. 111) - vamos organizar o pretendido quadro dos fatos? Se tudo flui, como encontrar os fatos,
objetos de um estudo a ser realizado?
Para contornar a dificuldade da interdependência criamos o isolado: um conjunto de seres, objetos e fatos
que, embora correlacionados de alguma maneira com outros conjuntos, pode ser destacado para estudo, sem
sofrer diretamente a influência de outros. Um isolado apresenta uma fronteira concreta (como um recipiente), ou
abstrata (como uma região em um estudo meteorológico). Por exemplo: uma planta pode germinar e crescer
numa pequena mata (o isolado, com uma fronteira abstrata) sem sofrer a influência de um conflito social que
esteja acontecendo do outro lado do planeta. Entretanto, a determinação de um isolado, se mal conduzida,
poderia levar à invalidez prematura do quadro determinado porque o bom senso do observador falhou naquela
determinação. A mata deve realmente ser considerada no crescimento da planta porque ela certamente influi no
seu desenvolvimento. Mas, e os rios que fluem à volta da mata (tendo influência no clima), terão alguma
influência sensível na germinação?
Mais uma vez o bom senso do observador deverá entrar em ação no tocante à dificuldade causada pela
fluência. O tempo altera tudo, não só certo isolado, mas também o que lhe é exterior. O que importa é saber,
levando-se em conta o tempo, se o que foi considerado isolado numa época continua sendo um isolado noutra
época. Por exemplo: uma pedra lançada para o alto, hoje, cai (isolado); e cairá sempre em qualquer época. Essa
garantia, entretanto, não existe para o caso da planta que germina dentro de uma mata porque as condições de
clima (externas à mata) podem alterar-se entre épocas muito distantes.
Entre os elementos de um isolado (no exemplo: planta, terreno, mata etc.) existem relações de
interdependência. Qualidade de um elemento de um isolado é o conjunto das relações desse elemento com todos
os demais, num dado instante. Assim, uma solução composta por oxigênio, nitrogênio e hidrogênio dentro do seu
recipiente (um isolado) é um gás (qualidade de cada uma das substâncias) dentro de certas condições de
temperatura e pressão.
As qualidades podem apresentar certa intensidade, embora existam qualidades cujas intensidades não são
comparáveis (uma circunferência não é mais nem menos circular que outra; ou, um gás não é mais ou menos gás
que outro etc.). Mas há outras qualidades de elementos de um isolado que variam (seja com o tempo ou outra
condição qualquer, como a temperatura). Assim, um corpo em queda livre (isolado, do qual o corpo é um
elemento) tem uma velocidade (qualidade) em cada ponto da queda (intensidade variável). Aparece, então, a
necessidade da consideração da quantidade como um atributo da qualidade, podendo ser medida ou não; em
física serão medidas sempre. É preciso, assim, do ponto de vista científico, empregar com precisão a noção de

5. Campos Tensoriais - Ruggeri
V
medida, embora a quantidade de uma qualidade possa variar de uma época para outra em função do nosso grau
de conhecimento.
Assim, além da definição correta de um isolado, de seus elementos e de suas qualidades num dado
instante, medir intensidades é operação vital para o estabelecimento dos quadros ordenados e explicativos. O que
seria necessário para medir uma quantidade e suas eventuais variações? Bem responde Caraça, na sua bela obra
já citada: que cada estado da qualidade possa ser obtido por adição, a partir de outros estados, e que essa adição
seja comutativa e associativa. Se adotarmos, então, convenientemente, certo estado para unidade, o resultado da
medição será obtido comparando cada estado com aquele que se tomou como unidade.
Finalmente, devemos considerar que uma quantidade variável de uma qualidade de um elemento de um
isolado pode alterar essa qualidade do isolado. Assim, o movimento (qualidade) de uma pedra abandonada do
alto da Torre de Piza (isolado) é, no princípio, uniformemente acelerado (variável), tornando-se, após um certo
tempo de atuação da resistência do ar, um movimento uniforme (alteração). Da mesma forma, se provocarmos
um abaixamento da temperatura (qualidade) da solução gasosa (isolado) oxigênio + nitrogênio + hidrogênio, ao
atingirmos a temperatura crítica de -119°C o oxigênio torna-se líquido (mudança de qualidade nesse elemento),
ocorrendo o mesmo com o nitrogênio a -147°C e a -240°C com o hidrogênio1.
Os fenômenos e seus domínios, em Física
Os conceitos gerais acima definidos são aplicáveis aos mais diferentes fatos reais, como a germinação de
uma semente, a geração de energia elétrica, o exercício da cidadania etc.. Em Física e em Engenharia,
particularmente, as evoluções dos isolados são os "fenômenos naturais ou artificiais" dos quais poderíamos
citar dezenas ou centenas de exemplos (e até fenômenos dentro de outro fenômeno, formando cadeias de
fenômenos), cada um com as suas qualidades (que evoluem, variam no tempo). Acender um palito de fósforo é
provocar um fenômeno artificial, tanto quanto por um elétron em movimento num acelerador de partículas;
estudar o movimento de um astro é estudar um fenômeno natural. Os elementos dos fenômenos são, em geral,
corpos naturais ou artificiais (visíveis ou invisíveis), como um astro, a atmosfera de um planeta, uma montanha,
uma chapa de aço, um motor de automóvel, um próton etc. As qualidades mais expressivas dos fenômenos a
serem consideradas neste livro, são: 1) - a natureza física dos seus elementos (os vários estados da matéria:
sólido, líquido e gasoso); 2) - as propriedades físicas desses elementos (propriedades mecânicas,
termodinâmicas, eletromagnéticas, eletrônicas, químicas e biológicas); 3) - as qualidades - ditas ações exteriores
(exteriores a esses elementos, mas interiores ao isolado) - sob a ação das quais se encontrem os elementos, como:
temperatura, pressão, radiação, força etc.; e as ações - ditas interiores – que se manifestem espontaneamente
dentro desses elementos.
Por necessidades físicas, a fronteira de um fenômeno será matematicamente definida sendo, ainda,
concreta ou abstrata; a região do espaço físico não exterior à fronteira será denominada: domínio do fenômeno,
e poderá ser uni, bi ou tridimensional.
Lei natural
Importa, pois, estudar a evolução de um fenômeno dentro do seu domínio, isto é, explicar o por quê da
alteração das suas diferentes qualidades. Mas, como atingir esse por quê?
A observação mostra a existência de fenômenos repetitivos que, sob as mesmas condições, apresentam
comportamento idêntico; são fenômenos regulares, podendo ser naturais ou artificiais. Fenômeno natural regular
seria, por exemplo, a translação da Terra em torno do Sol e sua rotação concomitante em torno do seu eixo; um
fenômeno regular artificial seria, por exemplo, a passagem de um mesmo veículo sobre a mesma ponte, com a
manutenção de algumas condições. A existência e a possibilidade das regularidades nos fenômenos permitem a
sua repetição e previsão; e dessa repetição e previsão somos totalmente dependentes. Todas as técnicas
conhecidas se baseiam nessa possibilidade, "da enxada ao ciclotrão", usando as sábias palavras de Caraça (o. c.,
1 Mas essa solução gasosa sempre foi entendida como gasosa até o ano de 1863 quando Andrews mostrou a existência, para cada gás, de
uma temperatura crítica, acima da qual não se podia liquefazer esse gás.

6. VI
p. 119). Destaca ainda Caraça, que a procura das regularidades dos fenômenos naturais é uma das mais
importantes tarefas na investigação da Natureza; e ele assim define, na sua forma mais geral:
Lei natural é toda regularidade de evolução de um isolado,
podendo esta ser de natureza física, social, psicológica, política, econômica etc.. Na Física, particularmente, o
quadro explicativo dos fenômenos físicos naturais se resume, então, no estabelecimento das leis (físicas)
naturais.
As leis naturais podem ser: qualitativas, quando dizem respeito às variações das qualidades dos elementos
de um isolado; quantitativas, quando dizem respeito à variação das quantidades das qualidades dos elementos. A
chamada primeira lei de Kepler: os planetas (elementos do isolado chamado sistema solar) descrevem órbitas
elípticas (qualidade do elemento chamado movimento) das quais o Sol ocupa um dos focos, é um exemplo de lei
qualitativa. A chamada lei de queda dos corpos pesados: para todo corpo (elemento) em queda livre no vácuo
(isolado), as alturas de queda (qualidades do elemento corpo pesado) são proporcionais aos quadrados dos
tempos de queda, é um exemplo de lei quantitativa.
À medida que vamos conhecendo melhor o mundo, pela Física em particular, as leis físicas naturais
quantitativas tendem a dominar as qualitativas. Esclarecemos isso lembrando que a primeira lei de Kepler
(qualitativa) é conseqüência da lei da gravitação de Newton, que é lei quantitativa. A primeira descreve uma
faceta do movimento; a segunda descreve tudo (ou quase tudo, se formos levar em consideração o chamado
"movimento anômalo" de Mercúrio)2. Assim, ao explicar (e não só descrever) os fenômenos, somos naturalmente
obrigados a aprofundar no estudo das variações das quantidades das qualidades postas em jogo nos fenômenos,
pois as descrições simplesmente qualitativas deles podem levar-nos ao grande perigo do “deslize".
Lamentavelmente, assim aconteceu com Aristóteles, não obstante a sua enorme reputação e estatura intelectual,
ao escrever que "a experiência mostra que os corpos cuja força é maior seja em peso, seja em ligeireza, todas as
outras condições iguais quanto às figuras, atravessam mais depressa um espaço igual e na proporção que as
grandezas (peso ou ligeireza) têm entre si".
Vem dai a necessidade da intervenção da Matemática. "Deu-se uma gestação lenta em que necessidade e
instrumento inter-atuaram, ajudando-se e esclarecendo-se mutuamente" (Caraça, o. c., p. 125). Por instrumento,
Caraça entende a matéria (matemática) necessária para a intervenção a ser realizada, e que completaria as
necessidades da ciência; e apresenta a seguinte situação.
Suponhamos que fossemos estudar a queda dos corpos no vácuo em condições físicas adequadas (o
isolado, o fenômeno). O tempo é uma de suas qualidades. Outra seria a quantidade de espaço percorrido pelo
corpo. Onde está a regularidade do fenômeno, ou sua lei quantitativa? Façamos medições das alturas do corpo
em relação a certa referência e do tempo correspondente a cada altura. Com esses pares de medida organizamos a
Tabela I que estabelece uma correspondência entre os espaços percorridos e o tempo que o corpo gasta para
percorrer esses espaços.
TABELA I – Espaços percorridos e tempos gastos por um corpo em queda livre no vácuo
Tempos (segundos) 0 1 2 3 4 5
Espaços (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5
Nesta tabela temos uma amostragem da procurada regularidade do fenômeno (se existir) e dela obtemos uma
pista: a de que a medida do espaço é proporcional ao quadrado da medida do tempo. E a lei propriamente dita,
onde está? Está na forma como essa correspondência entre espaços e tempos se realiza. Assim, para estudar leis
quantitativas é necessário criar o instrumento matemático necessário que em essência está em estabelecer
correspondência entre conjuntos.
2 Para não nos alongarmos muito nesta exposição deixaremos de mostrar um exemplo flagrante de como certas leis podem dar lugar a
outras leis mais gerais (as da gravitação, de Einstein) à medida que os conhecimentos avançam.

7. Campos Tensoriais - Ruggeri
VII
O instrumento matemático: a função
A matemática cria o conceito de variável, dá-lhe notação conveniente, digamos t para tempos e s para
espaços, e as associa às quantidades das qualidades do fenômeno. A lei consiste na existência da
correspondência entre s e t (correspondência essa que é unívoca no sentido t→s: a um t só corresponde um s);
dizemos, dai, que s é função de t, a s damos o nome de variável dependente e a t o de variável independente.
Escrevemos, convencionalmente: s=s(t). O conceito de função é, então, o instrumento próprio para o estudo das
leis. Devemos estar atentos para o tamanho da extrapolação que pretendemos realizar. A Tabela I é uma
amostragem pela qual teremos a ousadia de estabelecer uma lei natural: na queda dos corpos pesados no vácuo,
os espaços percorridos são proporcionais ao quadrado dos tempos gastos. Novas medições poderão dar mais
suporte à afirmativa e a aplicação dessa "lei" repetidas vezes, em diferentes situações (com corpos e alturas de
queda diferentes, mas sempre no vácuo) darão credibilidade à mesma.
A Tabela I está contida na expressão s=4,9 t2
, que na verdade, contem muito mais informação; ela prevê,
por exemplo, que para t = 5,5 segundos o espaço percorrido é de 148,225 m, e este é realmente verificado
experimentalmente. Dizemos que s=4,9 t2
é a tradução analítica ou a lei matemática do fenômeno.
Adverte-nos Caraça de que não devemos confundir função com expressão analítica, especialmente
porque uma função (comprovadamente existente) pode não ter uma representação analítica. Por muitas vezes
dizemos: "seja a função s=4,9 t2
" em vez de: “seja a função cuja representação analítica é s=4,9 t2
”. Se existe
uma expressão analítica envolvendo duas letras, existe necessariamente a função; mas a existência da função não
acarreta necessariamente a existência de uma expressão analítica que a represente.
Aliás, isto pode até ser impossível. Por exemplo: experimente o leitor determinar a expressão analítica da
temperatura θ num ponto de um ambiente (de um suposto isolado) em função do tempo t, efetuando uma
amostragem - medições de pares: (θ, t) - de qualquer tamanho, digamos durante um mês. É evidente que a dado
tempo corresponde uma e apenas uma temperatura no ponto, isto é, a temperatura no ponto é função do tempo.
Depois, usando o melhor dos recursos matemáticos disponíveis, suponha ter sido encontrada uma função θ=θ(t),
tal que para t igual a qualquer um dos valores da amostra, a função forneça exatamente o θ correspondente.
Aparentemente θ=θ(t) poderia ser a expressão matemática de uma lei física quantitativa para aquele isolado.
Entretanto, como essa função pode não conseguir prever com acerto a temperatura que ali ocorrerá no dia
seguinte, ela não poderá representar a lei natural esperada porque ela não detecta integralmente a regularidade
que o fenômeno apresenta. O defeito poderá não estar na função, mas na especificação do isolado; mas isso é
outro problema.
Uma teoria para o entendimento de uma classe de fenômenos
Os conceitos expostos são aplicados para o entendimento de um fenômeno em particular; no caso, a queda
(vertical) dos corpos. As leis do movimento retilíneo uniforme (movimento em linha reta, com velocidade
constante) poderiam certamente ser estabelecidas de modo análogo (experimentalmente), mas pela aplicação de
algum raciocínio seria muito mais simples. O movimento retilíneo acelerado (movimento em linha reta, com
aceleração constante) poderia ser criado mentalmente, suas leis poderiam ser determinadas pelo raciocínio e, em
seguida, confirmadas experimentalmente. Que tal esses mesmos movimentos, agora curvilíneos? Por que não
começar com o movimento circular? Se mudássemos o ângulo de lançamento de uma pedra ao espaço estaríamos
frente a outro fenômeno, cuja explicação seria mais trabalhosa que o dos anteriores. Vê-se facilmente, do ponto
de vista experimental, que estaríamos frente a uma tarefa penosa e, de certa forma, pouco promissora.
Ao espírito mais aguçado certamente ocorreria a idéia de reduzir o entendimento desses fenômenos de
mesma classe a conceitos elementares, a partir dos quais se pudessem deduzir leis e propriedades, para que, ao
contrário da situação anterior, as mesmas fossem verificadas experimentalmente. É este o conceito de teoria
sobre alguma coisa: postular coisas evidentes, criar conceitos básicos e operá-los com a ferramenta apropriada –
no caso, a matemática – estabelecendo, inclusive, o que se deva medir (em laboratório ou em campo) para
considerá-la satisfatória, logo aceitável. O estabelecimento da teoria explicativa de certa classe de fenômenos é

8. VIII
de extremo valor prático, pois pode ser aplicada em qualquer instante para prever resultados quando da repetição
daqueles fenômenos, dispensando as caras, às vezes tediosas e, em geral, demoradas operações em laboratório.
Com algum esforço, o leitor aceitará a concepção de Einstein de que é impossível montar uma teoria a
partir da experimentação. O exemplo citado atrás, da queda dos corpos e medições de espaços e tempos, ilustrou
a necessidade da introdução do conceito de função. O que se fez, entretanto, não pode ser confundido com o
estabelecimento de uma teoria. Uma teoria é uma exposição ampla, baseada em postulados e conceitos simples
(nem sempre óbvios) a partir dos quais, por dedução lógica, se vão estabelecer previsões de comportamentos ao
longo do tempo. Pode parecer estranho, mas este é o caminho mais barato, mais rápido e mais simples para
orientar todos os trabalhos dos profissionais de engenharia.
Outros procedimentos matemáticos
É precisamente neste ponto que a Matemática se entrelaça com a Física; e o casamento parece perfeito.
Newton, Leibnitz, Fermat, Euler, Lagrange, os Bernoulli e poucos outros foram os agentes dessa perfeição, entre
1650 e 1700, com o estabelecimento das bases do Cálculo Infinitesimal. As necessidades da Física desde então
passaram a abrir rumos para a Matemática. Esta, além de traçar seu próprio rumo – e o faz com incrível
abundância – atende à Física em evolução com extrema generosidade, levantando, inclusive, questões ocultas nos
fenômenos físicos.
Neste livro o leitor encontrará alguns ensinamentos matemáticos de total utilidade em física teórica, mas
que não são de matemática básica (como o conceito de função atrás exposto). Para entendê-los, exigiremos que o
leitor esteja familiarizado com algumas das disciplinas básicas lecionadas nos dois primeiros anos dos cursos de
física e engenharia, como: uma boa parte do Cálculo Infinitesimal, da Geometria Analítica, o Cálculo Matricial e
o Cálculo Vetorial (CV) clássico. Deste último, particularmente, vamos explorar um pouco mais os seus últimos
capítulos, trabalhando mais intensamente com os chamados operadores diferenciais.
Pequena digressão histórica
O CV – formalmente estruturado por J. W. Gibbs3 entre os anos 1870 e 1900 aproximadamente [9] –
nasceu por necessidade da Física com a finalidade de tratar as grandezas físicas denominadas vetoriais. O
aparecimento das funções vetoriais foi imediato, pois tal como com o conceito ordinário de função se podiam
associar duas grandezas escalares, percebeu-se que também seria possível associar duas grandezas vetoriais (e a
lei de Newton f=Ma era o exemplo mais simples). No início do século XX iniciou-se, então, a “vetorialização”
da Mecânica de Newton e do Eletromagnetismo de Maxwell (com a participação especial de Heaviside).
Mas a Física não tratava apenas das grandezas escalares e vetoriais. Na Mecânica (chamada Racional) de
Newton, alem dos vetores força, velocidade, aceleração e poucos outros, aparecia também uma grandeza mais
complexa: o momento de inércia. Noutras áreas da Física apareciam outras grandezas que, com o momento de
inércia, constituíam uma nova classe de grandezas. Gibbs, em suas aulas na Universidade de Yale (por volta de
1880), sugeriu representar essas grandezas por diádicos e mostrou como fazê-lo. Estava, com isso, ampliando o
CV (e não chamou esse novo cálculo de Cálculo Diádico, CD). Mas, grandezas ainda mais complexas existiam
na Física, as quais, possivelmente, poderiam ser representadas por triádicos, tetrádicos etc. desde que com essas
entidades (formadas a partir do conceito de vetor) fosse estruturada uma álgebra adequada. O próprio Gibbs
sugeriu isso, mas parece não ter formulado um “Cálculo Poliádico” (CP) como, melhor que ninguém, poderia ter
feito.
Aproximadamente na mesma época (início do século XX), o brilhante matemático italiano Ricci sintetizou
idéias esparsas de outros brilhantes matemáticos e físicos anteriores a ele (Riemann e Christoffel, por exemplo) e
criou o Cálculo Diferencial Absoluto, logo denominado Cálculo Tensorial (CT). Este Cálculo nascia baseado em
conceitos generalíssimos e com notação própria. Nele incluía-se o CV (já em largo uso na Física), e também o
bem arranjado CD de Gibbs (com operações e notações adequadas e simples), embora este apresentasse feições
não previstas no CT de Ricci. Principalmente depois de 1921, quando a comunidade científica aceitou
3 Costuma-se creditar esse fato também a Hamilton por ter lançado as idéias básicas através da sua Teoria dos Quatérnios. Mas Gibbs,
embora adotando alguma nomenclatura e operações de Hamilton, nunca aceitou os quatérnios como uma ferramenta matemática
adequada para a Física da sua época (ver Crowe, M. J., A history of Vector Analysis, Dover, New York, 1967, capítulo V especialmente).

9. Campos Tensoriais - Ruggeri
IX
parcialmente a Teoria Geral da Relatividade gerada por Einstein em 1915, o CT adquiriu fama entre os físicos e
invadiu a Física, pois nascia (imperceptivelmente) uma física moderna. Mas o CV, com a sua simplicidade,
elegância e especial adequação, persistiu como uma excelente ferramenta para expressar a física clássica. Nessa
física, sobre a qual está estruturada grande parte das engenharias (como: mecânica, civil, elétrica, naval,
aeronáutica, química e outras), o CP, tão simples, tão útil e tão elegante quanto o CV, foi (inadvertidamente)
substituído pelo que se chama hoje Cálculo dos Tensores Cartesianos. Essa troca, de fato, não é compensatória,
como se poderá notar oportunamente [13].
Esta pequena digressão para justificar a introdução de algumas matemáticas para a resolução e
interpretação de problemas de física e engenharia (apenas algumas matemáticas porque esse campo é muito
vasto) poderia ser o ponto de partida para um livro volumoso. Com esta Introdução esperamos ter sensibilizado o
leitor – um candidato ao estudo das engenharias, da física e da matemática aplicada – a encarar esses estudos
com uma boa convicção de que o problema não está na matemática, nem nas pessoas, mas nos fenômenos físicos
em si.
Cinco atividades frente à ciência da engenharia
Todas as matemáticas atrás referidas foram desenvolvidas para atender as necessidades da Física
basicamente, ou seja, para o estudo (qualitativo e quantitativo) dos fenômenos físicos. Deles se valerão também a
Química em muitas situações, por exemplo, no tocante à termodinâmica dos fenômenos químicos, no estudo
químico-físico das reações químicas etc.
A Engenharia é a arte e a ciência da construção; construção de edifícios, pontes, barragens, canais, navios,
aeronaves e aeroportos, mecanismos (motores, bombas, turbinas etc.) equipamentos e instalações elétricas
(motores, transformadores, subestações etc.) e outros engenhos.
Cinco atividades são fundamentais em engenharia, para o exercício das quais o engenheiro necessita de
apresentar atitudes bem dosadas de obsessão, capacitação combinada com dom, e habilidade. São elas:
1 – a concepção dos engenhos (pela imaginação, exibidas depois com “lápis e papel” na forma
de um “projeto de engenharia”);
2 – a concretização (a construção propriamente dita) dos engenhos arquitetados;
3 – a operação dos engenhos;
4 – a manutenção dos engenhos em operação;
5 – a auscultação constante e adequada dos engenhos, realizada mediante observações
diversas; e a interpretação correta destas observações, seguida de atividades de manutenção.
O elemento fundamental que se apresenta diante de todas essas atividades é o “fenômeno”. Durante a
atividade “concepção” os fenômenos são detectados e as variáveis neles postas em jogo devem ter seus valores
previstos com acerto adequado. Ao longo de todas as demais atividades, a construção é auscultada. Através de
instrumentos é possível medir pelo menos algumas das variáveis postas em jogo nos fenômenos previstos (na fase
da concepção). Com as medidas feitas é possível comparar valores medidos e previstos das variáveis com a
finalidade de definir-se um “desempenho físico” da construção.
Deve ser observado que o desempenho da construção pode ter também, e em geral tem, significado
econômico e social dentro de um complexo chamado “empreendimento”. Nesse caso, o desempenho físico da
construção passa a ser apenas um item desse significado último. Mesmo por esse enfoque mais amplo o
empreendimento deve ser simulado, procurando-se antever e analisar situações (econômicas, políticas e sociais)
que possam influir no resultado final do mesmo.
Os fenômenos aqui mencionados são, basicamente, os físicos e os químicos, mas especialmente os
primeiros. Dentre esses, nas construções chamadas civis, mecânicas, aeronáuticas, navais e outras predominam
fenômenos mecânicos nos quais forças agem sobre corpos que se deformam, estejam eles fixos (como em uma
ponte) ou em movimento (como em uma máquina). Nas construções elétricas predominam fenômenos
eletromagnéticos (muitas vezes associados com fenômenos óticos) onde, ainda, forças e corpos deformáveis
estão também presentes. Nas construções hidráulicas, navais e aeronáuticas, corpos sólidos deformáveis e fluidos
interagem sujeitos à ação de forças, ampliando a natureza dos fenômenos.

10. X
É com esse enfoque que se deve preparar o aspirante a engenheiro. É preciso entender-se que nada escapa
a essa forma de abordagem do “problema de engenharia” (seja ele de projeto, de construção, de operação, de
manutenção ou de auscultação dos engenhos). O leitor deverá observar que, por trás de todo o discurso que tenta
tornar inteligível o problema da engenharia, existe uma palavra que pode sintetizar quase tudo: a simulação, que
combina muito bem com previsão de valores. Somente pela simulação é que vamos evitar surpresas
desagradáveis de natureza econômica, ou que indiquem falta de segurança à vida das pessoas envolvidas no
projeto (no presente ou no futuro).
A prática da simulação requer a utilização de um modelo que esteja sacramentado pelo uso, isto é, de uma
teoria que tenha sido posta à prova ao longo do tempo, que tenha conseguido prever com razoável acerto, que
adquiriu reputação e inspirou confiança. Neste livro o leitor encontrará as bases para o entendimento de alguns
modelos de uso corrente na prática da engenharia; e o principal conceito que dá suporte a essa base é o de
campo. Como a engenharia fica reduzida praticamente à construção de algum engenho, devemos detalhar
suficientemente o que se entende por construção.
A construção e seu desempenho físico
Uma construção é uma associação de corpos materiais (de formas, de dimensões e de materiais
diferentes) destinada a apresentar funcionalidade, estética, sustentabilidade ambiental, segurança e economia
máxima na missão que lhe cabe desempenhar ao longo do tempo.
Esse conceito é, de fato, aplicável a uma edificação comum (uma residência, um prédio industrial), a um
navio, a um avião, mas também a uma moto-bomba, ao vertedouro de uma barragem etc.
A funcionalidade de uma construção diz respeito à sua utilidade: uma moto-bomba tem que bombear, um
vertedouro tem que permitir ou obstruir a passagem da água de um reservatório conforme as necessidades, uma
casa deve servir adequadamente uma família de certo porte com exigências prefixadas etc.
A estética de uma construção está relacionada com a sua aparência, tornando-se relevante em alguns casos
e irrelevante em outros. Assim, uma residência não deve ter a aparência de uma igreja; mas a estética de uma
bomba ou de um vertedouro não é muito significativa, embora (sempre que possível) deva ser considerada. Qual
a importância de uma bomba de aparência mais ou menos agradável que outra?
A construção deve existir de forma a não desequilibrar o meio ambiente (e sempre o fará para o lado
indesejável). Ela deve existir de forma a sustentar um ambiente sadio ao longo do tempo. Por isso, a poluição
gerada por uma residência, ou por uma fábrica, deve ser contemplada na sua concepção e os problemas
correspondentes resolvidos. Da mesma forma devem ser previstos e sanados os impactos ambientais causados
por uma mineração, uma barragem, uma estrada etc.
A segurança apresentada por uma construção está representada pelo seu desempenho físico. Assim, por
exemplo: uma ponte não pode ruir, tampouco um edifício, ou uma barragem. Mesmo que uma construção não
chegue à ruína ela pode comprometer seriamente a estética, por exemplo, e até a funcionalidade. Evitar-se-iam
citações, como: “o prédio não ruiu, mas tombou em 5° com a vertical”; ou: “a turbina de uma hidrelétrica está
funcionando, mas com o eixo muito fora da posição ideal”, pois por imperceptível que seja a olho nu esse
desaprumo ou variação, pode prejudicar seriamente o rendimento desta máquina (acarretando prejuízos).
A economia máxima para a concretização e o sucesso futuro da construção sempre foi, e parece que
sempre será, o condicionante que mais desafia a nossa inteligência. Tudo influi no resultado final: a
funcionalidade (um espaço inadequado para circulação em um supermercado), a estética (um restaurante com a
aparência de um ginásio coberto), a sustentabilidade ambiental (a fábrica que expele gases no ambiente), a
segurança (a ponte que balança em excesso). Cada um destes itens está associado com uma (ou mais)
especialidade profissional.

11. Campos Tensoriais - Ruggeri
XI
A segurança física da construção
Vamos destacar a questão da segurança física por estar mais diretamente ligada ao tema deste livro.
Apesar de ser muito difícil separar as partes mais significativas que compõem a segurança física de uma
construção – seja por estarem estas partes unidas até certo ponto, ou por não considerar alguma outra do mesmo
nível de relevância – arriscamo-nos a mencionar apenas três:
o projeto estrutural,
a tecnologia de construção,
a auscultação.
Por estrutura devemos entender as partes resistentes de uma construção, podendo ser um simples pilar, ou
uma grande barragem. Uma grande estrutura pode ser uma associação de pequenas outras estruturas, como uma
treliça (uma estrutura) é uma associação de barras (outras estruturas) sejam elas metálicas ou de madeira. O
desempenho de cada estrutura ao longo do tempo é fator primordial da segurança física do conjunto de todas as
estruturas.
No projeto estrutural executa-se: 1) – o “lançamento das estruturas” componentes da construção, ou a
concepção do arranjo das estruturas; 2) – o “dimensionamento” ou a “verificação de resistência” das estruturas
consideradas, com previsão de desempenho das mesmas durante toda a sua vida útil. O lançamento ou arranjo
das estruturas pode ser realizado em várias etapas, tudo dependendo da simplicidade ou da complexidade da
construção. Em nível mais global, o arranjo poderia consistir das diversas partes principais componentes da
construção. Por exemplo: em um aeroporto (se a sua posição já estiver parcialmente definida) as partes
componentes poderiam ser: as pistas (principais e secundárias) de pouso de aeronaves, áreas de estacionamento
de aeronaves, edifícios diversos (de controle de vôo, terminal de passageiros, de cargas, hangares etc.), estradas
de acesso e outras. Em segundo nível, para cada parte desse arranjo geral idealizado, novos arranjos poderão ser
necessários até que se atinja um nível de detalhamento adequado. A disposição relativa das partes componentes
tem algum haver com a funcionalidade da construção, mas muito haver com a segurança física e conseqüente
resultado econômico. Subdividindo as partes em novas partes, chegaremos a problemas estruturais específicos
(do tipo: analisar uma sapata de fundação). Para um galpão, por exemplo, serão definidos: a estrutura da
cobertura, lajes, vigas e pilares necessários, fundação adequada etc.
Daí em diante passa-se ao cálculo dessas estruturas. Efetua-se o dimensionamento delas dando-lhes as
dimensões adequadas quando já tiverem sido prefixadas as cargas, os materiais a utilizar e suas formas
geométricas. Ou se verifica a sua resistência quando, dada a estrutura com sua geometria e o material de que é
feita, constata-se que ela conseguirá resistir aos esforços a que estará sujeita numa nova etapa de vida. Em
qualquer caso deve ficar bem estabelecido o modo como essa estrutura irá se comportar durante o tempo em que
ela desempenhar a sua função. Uma estrutura com alta responsabilidade deverá ser auscultada sempre; é o caso
de uma grande barragem.
No que seguirá vamos usar um vocabulário adequado que possa ser aplicado de modo geral. De um
fenômeno deveremos conhecer as condições reais em que ele ocorre, os materiais envolvidos (se for o caso) e
todas as variáveis nele postas em jogo, sejam estas variáveis propriedades de materiais ou não. Os fenômenos
ocorrerão em alguma região do espaço e esta região deve ser necessariamente bem definida (como o prisma que
define uma viga, ou o cilindro que define um pilar de seção circular, ou uma região acima da superfície do globo
interessada para efeito de meteorologia). Aos fenômenos e às regiões em que ocorrem estão associados o
conceito de campo.
A teoria do campo
Einstein e Infeld em seu livro popular intitulado “A Evolução da Física” consomem praticamente 40% do
seu conteúdo no Capítulo II, intitulado: “Campo e Relatividade”; e no final desse capítulo, escrevem: “

12. XII
Resumindo: um novo conceito aparece na Física, a mais importante invenção desde o tempo de Newton: o campo
...”. E mais à frente: “ A Teoria da Relatividade nasce do problema do campo.”
Essas palavras podem bastar para ressaltar a importância do “campo” na Física, inclusive na chamada
“física fundamental” (não relativista), uma física particular, mas suficientemente geral para resolver "problemas
domésticos". Defendemos como lícita a idéia de que a “Teoria do Campo” deva ser o primeiro capítulo de um
“abecedário da Física”; e sendo-o da Física, sê-lo-á da Engenharia.
Os engenhos, ou obras de engenharia são concebidos com materiais e estes podem ser simples e
tradicionais (como a água), ou complexos (como as rochas, os solos); outros podem ser fabricados para "gozar de
certas propriedades", como o velho concreto, e alguns materiais mais jovens. Com esses materiais ocorrem
"fenômenos", termo esse que deve aqui ser entendido da forma bem ampla, já apresentada. No estudo das
propriedades dos materiais (naturais e artificiais) e do comportamento físico deles como participantes de
fenômenos, a teoria do campo pode intervir objetivamente para facilitar o entendimento, economizar raciocínio,
tempo e dinheiro.
A teoria do campo é fenomenológica, isto é, utilizável para explicar fenômenos independentemente da
constituição da matéria, quando existe matéria presente. Assim, essa teoria pode ser utilizada, por exemplo, no
Eletromagnetismo para explicar fenômenos que ocorram no vácuo (na ausência eventual de matéria). Aliada à
hipótese da continuidade do espaço e da matéria, ela vai permitir explicar e prever valores em fenômenos óticos,
elétricos e mecânicos que, macroscopicamente, podem ocorrer nos corpos materiais.
Tentamos formular e apresentar a teoria na forma mais elementar e didática possível, mesmo que para isso
se devesse sacrificar algum rigor matemático, tendo sido inspirado, talvez, nas seguintes palavras de Einstein4:
“Tive a sorte de encontrar livros que não se preocupam com o rigor lógico, mas que permitem a apresentação
clara das idéias principais ...”. Para isso, julgamos conveniente dividir esta pequena obra em três partes.
Na primeira parte procuramos caracterizar os sistemas de referência; estes são utilizados não apenas
como meio de organização do trabalho, mas também por necessidade lógica da matemática empregada, da
repetição dos fenômenos e de comunicação. Ainda nesta primeira parte procuramos caracterizar todas as
grandezas físicas como grandezas tensoriais (Capítulo I), cada uma com uma característica intrínseca: a sua
“ordem”. Definimos o campo (Capítulo II) e procuramos visualizá-lo geometricamente representando-o por
formas geométricas (Capítulo III), abordando metodicamente os campos escalares (ou tensoriais de ordem zero),
os campos vetoriais (ou tensoriais de ordem um) e os campos tensoriais duplos (ou de ordem dois). Com o
objetivo de facilitar o entendimento do tensor de ordem dois, mostramos como utilizar uma nova representação
para os mesmos: a representação diádica, concebida há mais de um século por J. W. Gibbs (final do Capítulo I).
Isso acarretará uma ligeira adaptação na linguagem, a necessidade da introdução de algumas operações úteis e
elementares, e uma boa compactação nas notações.
Na segunda parte estudamos as propriedades dos campos escalares, dos campos vetoriais, e definimos
os operadores (clássicos) de campo: os operadores simples, isto é, o gradiente (Capítulo IV), o rotacional
(Capítulo V), o divergente (Capítulo VI), e os operadores duplos, especialmente o laplaciano (Capítulo VII).
Estudamos, ainda, algumas das propriedades desses operadores, dando-lhes algum "significado físico" e
apresentando alguns exemplos.
Na terceira parte estudamos os campos de tensores duplos simétricos (ou campos de diádicos simétricos),
os tridimensionais (Capítulo VIII) e os planos (Capítulo IX), de notável uso nas Teorias da Elasticidade,
Plasticidade, Mecânica de Fluidos etc., dentre outras áreas importantes do conhecimento.
4 Einstein, A., “Notas Autobiográficas”, Editora Nova Fronteira, 3° Edição, Rio de Janeiro, 1982.

13. Campos Tensoriais - Ruggeri
XIII
Uma grande vantagem dessa divisão está na possibilidade de se estudarem os campos escalares e os
campos vetoriais independentemente dos campos de tensores duplos. O livro pode, pois, ser muito útil aos alunos
de graduação dos cursos de: Matemática Aplicada, Física Aplicada (Eletromagnetismo, Mecânica Clássica,
Mecânica dos Fluidos), Resistência dos Materiais; e, mais tarde, aos alunos que cursarem Mecânica dos Sólidos
(Elasticidade, Plasticidade, Visco-elasticidade etc.) como suporte para cursos avançados de Mecânica de Solos,
Mecânica de Rochas, Geofísica, Cristalografia e outras disciplinas.
Recomendamos, assim, a leitura dos parágrafos e capítulos seguidos de um asterisco, em segundo estágio,
para as aplicações um pouco mais avançadas da Engenharia.
E. R. F. Ruggeri

14. XIV
CONVENÇÕES
CITAÇÕES
SINAL SIGNIFICADO
...(7)
Nota de rodapé n° 7
((03),§5.3) Fórmula (03) do §5.3 do presente capítulo
((02), §3.2,V) Fórmula (02) do §3.2 do Capítulo V
Bibl. n° 5, ou [5] Livro n° 5 da Bibliografia
0.c. p. 156 Obra citada, página 156
Ex. 3 Exemplo 3 do presente capítulo
Ex. 6, IV Exemplo 6 do Capítulo IV
...(§10)... Assunto tratado no §10 do presente capítulo
...( ...(§5, II)... Assunto tratado no parágrafo 5 do Capítulo II
...(Figura I,3)... Terceira figura do Capítulo I
...(Teor.1,§2,III)... Conforme o Teorema 1 do §2 do Capítulo III
...(Propr.3,§2,I)... Conforme a propriedade 3 do §2 do Capítulo I
((02)3
Terceira fórmula (contadas de cima para baixo ou da esquerda para a direita) do
grupo de fórmulas (02) do presente parágrafo.
((02)3, §3.2,V) Terceira fórmula do grupo (02) do §3.2 do Capítulo V
- As figuras são numeradas na forma Figura VI,3 para significar: terceira figura do Capítulo VI.
As fórmulas são numeradas seqüencialmente em arábico, dentro de cada sub-parágrafo de um capítulo,
como: (02). A referência do tipo: ((03),§05.02,II) significa: fórmula (03), do §05.02 do Capítulo II.
ABREVIATURAS
Bibl. – Bibliografia
Propr. – Propriedade
Teor. – Teorema
Corol. – Corolário
Cap. - Capítulo
GA – Geometria Analítica, p. 7
NOTAÇÕES
1 – Os escalares são representados por letras latinas em tom natural (U, V, ...). Vetores são representados por
letras latinas em negrito (a, b, ...). Diádicos são representados por letras gregas em negrito (αααα, ββββ, φφφφ, ...).
2 – As bases vetoriais ortonormadas são representadas por { kji ˆˆˆ } ou por { 321
ˆˆˆ eee }.
3 - O vetor v, de coordenadas V1, V2, V3 em relação à base { 321
ˆˆˆ eee }, é representado nas diferentes formas
seguintes: v=Vk k
ˆe ,










3
2
1
V
V
V
, {v}, [ ]T
321 VVV , (V1, V2, V3).
4 – O módulo, ou valor absoluto, do vetor v é representado por |v|, ou por v.
5 – Os deltas de Kronecker são representados pelo símbolo clássico δij e valem 1 para i=j, e 0 para i≠j fazendo-se
i=1,2,3 e j=1,2,3.

15. Campos Tensoriais - Ruggeri
XV
6 – O produto escalar dos vetores u e v que formam um ângulo ϕ é representado nas formas:
[ ] [ ] ===










=










= }U{}V{}V{}U{
u
u
u
vvv
v
v
v
uuu. TT
3
2
1
321
3
2
1
321vu
ϕ=++==δ= cosu vvuvuvuvuvu 332211iiijji .
7 – A matriz quadrada A de ordem 3, de elemento genérico aij é representada por A=[aij], ou [A].
8 – A matriz unidade de qualquer ordem é representada por I, ou [I].
9 – A transposta da matriz A é representada por AT
e a inversa por A-1
; ou por [A], [A]T
, [A]-1
quando necessário.
10 - vu× é o produto vetorial de u por v.

16. XVI
BIBLIOGRAFIA
[01] - ARANGOÁ, A. G. de - Elasticidade teórica y Experimental, Editorial Dossat, Madrid, 1945.
[02] - BRICARD, R. - Cálculo Vetorial, Coleção Armand Colin, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1958.
[03] - BUTTY, E. - Tratado de Elasticidad Teórico-Técnica, em 3 tomos, Centro Estudiantes de Ingenieria de
Buenos Aires, Buenos Aires, 1946.
[04] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Vetorial, 3ª edição, dois volumes, Fundação Gorceix, Ouro Preto,
1979.
[05] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Matricial, 3ª edição, Imprensa Universitária da UFOP, Ouro Preto,
1984.
[06] - CALAES, A. M. - Curso de Geometria Analítica, 4ª edição, cinco volumes, Imprensa Universitária da
UFOP, Ouro Preto, 1981.
[07] - CARAÇA, B. de J. - Cálculo Vetorial, 2ª edição, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa, 1957.
[08] – CARAÇA, B. de J. – Conceitos Fundamentais da Matemática, Fotogravura Nacional Ltda, Lisboa, 5ª
edição, 1970. (Publicado parcialmente, em várias partes e várias edições, desde 1941).
[09] - GIBBS, J. W. e WILSON, E. B. - Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901.
[10] - HAGUE, B. - An Introduction to Vector Analysis, Methuen´s Monographs on Physical Subjects, London,
1957.
[11] - NYE, J. F. - Physical Properties of Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1957.
[12] - TIBIRIÇA Dias, A. - Curso de Cálculo Infinitesimal, 2ª edição, dois tomos, Fundação Gorceix, Ouro
Preto, 1962.
[13] - RUGGERI, E. R. F. - Tratado de Cálculo Poliádico: Tomo I, Vol. I, ISBN 978-85-907001-0-4; Tomo I,
Vol. II, ISBN 978-85-907001-1-1; Tomo II, em preparação.
[14] – REY PASTOR, J., SANTALO, L. A., BALANZAT, M. – Geometria Analítica, 3ª edição, Editorial
Kapelusz, Buenos Aires, 1958.
[15] – Chou, P. C., and Pagano, N. J. – Elasticity (Tensor, dyadic and Engineering approaches), D. Van
Nostrand, Toronto, 1967.

17. Campos Tensoriais - Ruggeri
XVII
SUMÁRIO
PREFÁCIO....................................................................................................................................................................................................... III
INTRODUÇÃO................................................................................................................................................................................................IV
CONVENÇÕES ............................................................................................................................................................................................XIV
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................................................................XVI
1ª Parte - Conceito e imagem dos campos
CAPÍTULO I
OBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS
§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORES...................................................................................................................................................1
§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIA.......................................................................................................................................1
§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS..............................................................................................................................................2
§ 03.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................2
§ 03.02 – Bidimensionais..................................................................................................................................................................2
§ 03.03 – Tridimensionais.................................................................................................................................................................2
Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneas.......................................................................................................2
Domínios chatos em engenharia. .....................................................................................................................................5
§ 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS .............................................................................................................................................6
§ 04.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................6
Exemplos. Uso do sistema cilíndrico de coordenadas......................................................................................................8
Domínios cônicos e coordenadas cilíndricas ...................................................................................................................9
Uso do sistema esférico de coordenadas ..........................................................................................................................9
Outros sistemas de referência e outros domínios ...........................................................................................................12
§ 04.02 – Bidimensionais................................................................................................................................................................12
Exemplos. Uso dos sistemas cilíndrico e esférico..........................................................................................................13
§ 04.03 – Tridimensionais...............................................................................................................................................................15
§ 04.04 – Os domínios, na prática...................................................................................................................................................17
§ 05 – TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS.......................................................................................................................................17
§ 05.01 – Da necessidade da transformação....................................................................................................................................17
§05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de base ........................................................................................18
§05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um ponto ..............................................................21
§06 – SISTEMA LOCAL E SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS.......................................................................................................22
§06.01 – Domínios unidimensionais...............................................................................................................................................22
Tangente, normal principal e plano osculador ...............................................................................................................23
Binormal, plano normal, plano retificante. Triedro de Frenet-Serret..............................................................................24
Fórmulas de Frenet.........................................................................................................................................................26
§06.02 – Domínios bidimensionais.................................................................................................................................................26
Superfície esférica..........................................................................................................................................................26
Elipsóides.......................................................................................................................................................................28
Parabolóides elíptico e hiperbólico ................................................................................................................................29
§06.03 – Domínios tridimensionais ................................................................................................................................................31
CAPÍTULO II
GRANDEZAS FÍSICAS.
§ 01 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS .......................................................................................................................................33
§ 02 – DEFINIÇÕES RIGOROSAS DAS GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS................................................................................34
§ 02.01 – Considerações preliminares.............................................................................................................................................34
§ 02.02 – Nova definição de grandeza escalar ................................................................................................................................34
§ 02.03 – Definição de grandeza vetorial........................................................................................................................................35

18. XVIII
§ 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS...........................................................................................................................................36
§ 03.01 – Relacionamento entre grandezas vetoriais.......................................................................................................................36
§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações.............................................................................................37
Domínios homogêneos e não homogêneos.....................................................................................................................38
Domínios isotrópicos e anisotrópicos ............................................................................................................................39
Definição da grandeza diádica.......................................................................................................................................40
§ 03.03 – Diádicos como representantes de propriedades físicas, ou de variáveis. .........................................................................41
§ 04* – NOVOS DESENVOLVIMENTOS COM OS DIÁDICOS ..................................................................................................................41
§ 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos..............................................................................................................................41
§ 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes. ..................................................................................................................................42
Dupla multiplicação pontuada de diádicos ....................................................................................................................43
Dupla multiplicação pontuada de matrizes ....................................................................................................................43
§ 04.03 – Exercícios........................................................................................................................................................................44
CAPÍTULO III
CONCEITO DE CAMPO
§ 01 – DEFINIÇÃO DE CAMPO.....................................................................................................................................................................47
§ 02 – CLASSIFICAÇÃO DOS CAMPOS.......................................................................................................................................................48
§ 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS...................................................................................................................................................................50
Exemplo 1: um campo de distâncias ...............................................................................................................................................50
Exemplo 2: o campo gravitacional terrestre ....................................................................................................................................50
Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamento..............................................................................................50
Exemplo 4 – um campo tridimensional de temperaturas.................................................................................................................51
Exemplo 5 – Um campo unidimensional de temperaturas. .............................................................................................................51
Exemplo 6 – O escoamento no vertedouro de uma barragem..........................................................................................................52
Exemplo 7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica.....................................................................................................52
Exemplo 8*
– O campo dos deslocamentos na Teoria da Elasticidade............................................................................................53
Exemplo 9*
– O campo do tensor das tensões. ................................................................................................................................53
Campos Diádicos...........................................................................................................................................................54
§04*
– CAMPOS DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS.............................................................................................................................................54
§04.01 – Características geométricas. .............................................................................................................................................54
§04.02 – Significado físico. ............................................................................................................................................................56
§05 – CAMPOS 1D E 2D DE ESCALARES, VETORES E DIÁDICOS.........................................................................................................57
§06 – OS DIÁDICOS EM DIFERENTES SISTEMAS DE REFERÊNCIA.....................................................................................................60
§06.01 – Relações entre coordenadas de vetores.............................................................................................................................60
§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos...........................................................................................................................61
CAPÍTULO IV
GEOMETRIA DOS CAMPOS
§01 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................65
§02 – SUPERFÍCIE DE NÍVEL NOS CAMPOS ESCALARES......................................................................................................................65
Propriedades das superfícies e curvas de nível...............................................................................................................66
§03 – LINHAS DIRETRIZES NOS CAMPOS VETORIAIS. ..........................................................................................................................66
Propriedades das linhas diretrizes..................................................................................................................................66
Equações das linhas diretrizes........................................................................................................................................67
Tubo de campo ..............................................................................................................................................................68
§04* - AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR NO CAMPO DIÁDICO....................................68
§04.01 – Campos tridimensionais...................................................................................................................................................68
Representação de Mohr..................................................................................................................................................71
§04.02 – Campos bidimensionais ...................................................................................................................................................75
Representação de Mohr..................................................................................................................................................77
§04.03 – Campos unidimensionais .................................................................................................................................................77

19. Campos Tensoriais - Ruggeri
XIX
2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriais
CAPÍTULO V
CAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO ESCALAR
O GRADIENTE
§01 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR.......................................................................................................................................79
§02 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO GRADIENTE. DERIVADA DIRECIONAL. ........................................................................80
Derivada direcional........................................................................................................................................................81
§03 – CARACTERÍSTICA TENSORIAL DO GRADIENTE. .........................................................................................................................82
§04. – PROPRIEDADES FORMAIS DO GRADIENTE..................................................................................................................................83
Propriedade fundamental: ..............................................................................................................................................83
Propriedades formais .....................................................................................................................................................84
§05 – POTENCIAL ESCALAR DE UM CAMPO VETORIAL.......................................................................................................................86
§06 – PROPRIEDADE GEOMÉTRICA CARACTERÍSTICA DOS CAMPOS COM POTENCIAL..............................................................86
CAPÍTULO VI
CAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO VETORIAL
A circulação...................................................................................................................................................................87
§01 – A CIRCULAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL..................................................................................................................................87
§02 – PROPRIEDADES DA CIRCULAÇÃO..................................................................................................................................................87
§03 – CIRCULAÇÃO DE CAMPO QUE DERIVA DE POTENCIAL ESCALAR .........................................................................................88
§04 – CAMPOS LAMELARES OU CONSERVATIVOS ...............................................................................................................................89
§05 – SIGNIFICADO FÍSICO DA CIRCULAÇÃO E DO POTENCIAL.........................................................................................................89
§06 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE UM POTENCIAL ESCALAR. .....................................................90
O rotacional ...................................................................................................................................................................92
§07 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................92
§08 – DEFINIÇÃO DO ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL .........................................................................................................93
§09 – GENERALIZAÇÃO. FÓRMULA DE STOKES ....................................................................................................................................94
§10 – EXPRESSÃO CARTESIANA DO ROTACIONAL...............................................................................................................................95
§11 – SIGNIFICADO FÍSICO DO ROTACIONAL .........................................................................................................................................96
§12 – PROPRIEDADES FORMAIS DO ROTACIONAL................................................................................................................................96
§13 – CAMPO IRROTACIONAL....................................................................................................................................................................98
§14 – CAMPO ROTACIONAL (OU TURBILHONAR)..................................................................................................................................99
§15 – POTENCIAL VETOR DE UM CAMPO VETORIAL ...........................................................................................................................99
§16 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE POTENCIAL VETOR ..................................................................99
CAPÍTULO VII
CAMPO ESCALAR OPERADO DE CAMPO VETORIAL
O fluxo.........................................................................................................................................................................103
§01 – DEFINIÇÕES. ......................................................................................................................................................................................103
§02 – PROPRIEDADES DO FLUXO ............................................................................................................................................................103
§03 – FLUXO QUE DERIVA DE VETOR POTENCIAL .............................................................................................................................104
§04 – SIGNIFICADO FÍSICO DO FLUXO....................................................................................................................................................105
O divergente.................................................................................................................................................................106
§05 – DEFINIÇÃO.........................................................................................................................................................................................106
§06 – SIGNIFICADO FÍSICO DO DIVERGENTE........................................................................................................................................107
§07 – FÓRMULA DO DIVERGENTE ..........................................................................................................................................................108

20. XX
§08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES.................................................................................................................108
§09 – O CAMPO SOLENOIDAL PLANAR. .................................................................................................................................................110
§10 – O CAMPO HARMÔNICO...................................................................................................................................................................110
§11 – PROPRIEDADES FORMAIS DO DIVERGENTE. .............................................................................................................................111
§12 – FÓRMULAS DE GREEN. ...................................................................................................................................................................112
§13 – FÓRMULAS DO GRADIENTE E ROTACIONAL. ............................................................................................................................113
CAPÍTULO VIII
OPERADORES DUPLOS DE CAMPO
§01 – GENERALIDADES. ............................................................................................................................................................................115
§02 – O OPERADOR LAPLACIANO. ..........................................................................................................................................................115
§03 – OS OPERADORES grad div E rot rot..................................................................................................................................................117
§04 – OBSERVAÇÃO FINAL SOBRE OS CAMPOS HARMÔNICOS.......................................................................................................118
§05 – UMA LEI DE DUALIDADE................................................................................................................................................................118
3ª Parte - Propriedades dos campos de diádicos simétricos
CAPÍTULO IX*
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UM DIÁDICO
As coordenadas radiais principais................................................................................................................................121
§01 – DEFINIÇÕES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. PROPRIEDADES.................................................................................................121
§02 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO DO CAMPO ................................................................................................................................124
§03 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................125
As coordenadas transversais principais........................................................................................................................128
§04 – DEFINIÇÕES, TEOREMAS................................................................................................................................................................128
CAPÍTULO X*
CAMPOS 2D DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS
§01 – A COORDENADA RADIAL E A TRANSVERSAL. ..........................................................................................................................133
§02 – AS COORDENADAS RADIAIS PRINCIPAIS....................................................................................................................................134
§03 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO PLANAR. ....................................................................................................................................136
§04 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................137
§05 – AS COORDENADAS TRANSVERSAIS PRINCIPAIS. .....................................................................................................................138
§06 – AS COORDENADAS REFERIDAS ÀS DIREÇÕES PRINCIPAIS....................................................................................................140
§07 - REPRESENTAÇÃO DE MOHR ..........................................................................................................................................................141
§07.01 - O círculo de Mohr...........................................................................................................................................................141
§07.02 - Determinação gráfica das coordenadas. ..........................................................................................................................142
§07.03 - As direções principais e secundárias...............................................................................................................................143
§08 - OUTRAS REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS CAMPOS PLANARES. ..............................................................................144
§08.01 - Linhas isostáticas. ...........................................................................................................................................................146
§08.02 - Linhas das direções secundárias......................................................................................................................................147
§08.03 - Linhas isóclinas (ou isoclínicas). ....................................................................................................................................148
§08.04 – Linhas isocromáticas......................................................................................................................................................149
§08.05 - Linhas isoradiais. ............................................................................................................................................................149
§08.06 - Linhas isópacas...............................................................................................................................................................150
§09 - PONTOS SINGULARES E CIRCULARES..........................................................................................................................................150

21. Campos Tensoriais - Ruggeri
1ª Parte - Conceito e imagem dos campos
CAPÍTULO I
OBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS.
L´Universo é scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i
quali é impossibile ad intenderne umanamente parola”
Galileo Galilei
§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORES
Os fenômenos existem independentemente de observadores, mas se não observados não podem despertar
qualquer interesse. O que seria, então, uma observação?
Em primeiro lugar devemos considerar que uma observação envolve uma atitude estritamente pessoal:
dois observadores, em igualdade de condições físicas, podem não perceber as mesmas coisas num mesmo
fenômeno. Os índices de “curiosidade” e “intuição” de um observador podem ser superiores aos de outro.
Quantos indivíduos não observaram o movimento dos astros? Quantos outros se dedicaram a questionar e a
aventar possibilidades sobre esses movimentos?
Em segundo lugar devemos considerar que os dispositivos utilizados para uma observação podem ser
também diferentes, mesmo o “olho nu” (um observador pode enxergar mais que outro). Galileo passou a
enxergar um pouco mais longe que seus contemporâneos quando em 1610, apontou uma luneta para o céu5.
Nessa época, presenteou ainda as ciências biológicas com a invenção do microscópio6.
Atendendo a uma necessidade inerente ao ser humano, pensadores se puseram a questionar as nossas
origens, a conjeturar sobre o nosso destino e a justificar e explicar os fenômenos observados. Iniciou-se, assim, o
processo da “construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais” (ver Introdução). No século XVII,
com Galileo especialmente, teve início uma nova era nas ciências físicas: a da ciência experimental. A intuição
dos indivíduos, combinada com lógica, estabelecia leis físicas que só seriam acreditadas mediante a sua
verificação experimental (veja na Introdução a seção “Lei Natural”). O empirismo dava lugar ao científico.
§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIA
A lógica e a experiência mostraram que, em geral, para a compreensão científica de um fenômeno físico
era necessário (mas não suficiente) referi-lo a algum corpo considerado suficientemente “rígido” em relação ao
fenômeno a estudar. O estudo (realmente científico) do movimento dos corpos – movimento esse presente em
praticamente todos os fenômenos físicos – foi a origem desse processo evolutivo ao qual, século após século, são
acrescentadas novas concepções.
Alem do nome de Galileo, poucos outros nomes estão ligados a esses desenvolvimentos, ainda no século
XVII; são: Descartes, Fermat, Newton e Leibnitz. A Descartes coube a glória da exploração do “eixo” – uma reta
orientada aos pontos da qual se associam números; com isso ele desenvolveu a geometria de posição, dita, hoje,
Geometria Analítica. A evolução desse conceito pode ser apreciada na bela obra de Caraça [8]. A Fermat,
Newton e Leibnitz, independentemente um do outro, couberam a invenção do Cálculo Infinitesimal. Mas coube a
Newton um desenvolvimento maior: a utilização do seu “Cálculo dos Fluxões” (nomenclatura já utilizada por
Galileu) na teorização da sua mecânica, já há muitos anos conhecida como “Mecânica Newtoniana”.
5 Bassi, Achille: Galileu Galilei, análise do homem e de sua obra no IV centenário de seu nascimento, KRITERION, Revista da Faculdade
de Filosofia da Universidade Federal de Minas Gerais, vol. XVIII, p. 65-196, 1965.
6 Bassi, Achille, o.c., p. 108.
É precisamente recorrendo à Geometria Analítica e ao Cálculo Infinitesimal que, desde o século XVII,
vêm sendo estudados os fenômenos físicos. Estes ocorrem, em geral, numa região tridimensional bem
determinada do espaço físico, isto é, num domínio tridimensional. Em muitas situações, com alguma
aproximação, essas regiões são bidimensionais e, também, unidimensionais. Em qualquer caso, essas regiões

22. 2 § 03 – Domínios chatos de fenômenos
I, §03.03
serão ditas, doravante, o “domínio do fenômeno” e requerem uma definição precisa, feita pela Geometria
Analítica.
O estudo de um fenômeno físico é, então, sempre feito em relação a um ou mais sistemas cartesianos
(rígidos) de coordenadas, fixos ou não; e em relação a um deles deve ser referido o domínio do fenômeno para a
sua perfeita definição. Isto significa poder-se determinar com precisão a posição de um ponto qualquer do
domínio. Como os fenômenos podem variar no tempo, admite-se que a qualquer sistema de coordenadas esteja
associado um cronômetro para a marcação do tempo. O conjunto sistema de coordenadas e cronômetro costuma
ser denominado um sistema de referência. Os cronômetros marcam tempos absolutos, isto é, em todos os
sistemas, fixos ou não, os tempos dos observadores são numericamente idênticos. A um sistema de referência
estão associados “observadores”, isto é, pessoas que estudam algum fenômeno fazendo medidas (de tempos,
distâncias, grandezas físicas diversas) em relação a esse sistema; algumas vezes um sistema é dito: "sistema do
observador".
§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS
§ 03.01 – Unidimensionais
O domínio de um fenômeno pode ter “natureza retilínea”, a ele estando associada uma reta; é o caso, por
exemplo, do estiramento de uma barra de ferro de construção. Para esses domínios, um simples segmento de reta
orientado, de comprimento conhecido, paralelo à reta associada ao fenômeno, e externo ao domínio (não ligado à
barra, no exemplo), pode ser adotado como referência para se definirem seus pontos; por isso são ditos
unidimensionais.
§ 03.02 – Bidimensionais
A um domínio de “natureza plana” está associado um plano: é o caso do estiramento de uma chapa de
aço, de espessura constante, em duas direções ortogonais, aplicando forças no “plano médio” da chapa7. Dois
lados quaisquer de um triângulo (qualquer) conhecido, paralelo ao plano médio da chapa (não contido
fisicamente nesse plano), constituem uma referência suficiente para se expressarem as posições dos pontos do
plano em que ocorre o fenômeno. Para tal, entretanto, é necessário escolher-se um critério conveniente. Este
consiste: primeiro, em adotar-se como origem de dois eixos orientados, o vértice do triângulo relativo aos lados
escolhidos, cada eixo disposto segundo a reta suporte de um lado; segundo, comprovar-se que o ponto fica
univocamente determinado pelas suas (duas) distâncias aos eixos quando estas são medidas nas direções
paralelas a estes eixos. Estes sistemas são os clássicos "sistemas de coordenadas cartesianas retilíneas no
plano" (na Geometria de Descartes); os domínios correspondentes são ditos bidimensionais.
§ 03.03 – Tridimensionais
Por indução, se um domínio é de “natureza espacial”, não precisaremos mais que três arestas quaisquer
de um tetraedro (qualquer), concorrentes num mesmo vértice, para constituir um "sistema de coordenadas
retilíneas no espaço". Basta tomarmos aquele vértice como origem de três eixos orientados construídos sobre as
arestas do tetraedro. Nesse caso, a posição de um ponto qualquer do espaço ficará univocamente determinada
pelas (três) distâncias desse ponto aos planos coordenados, medidas segundo a direção das arestas do tetraedro.
Não é demais ressaltar que o domínio, em si, dito tridimensional não deve exercer qualquer influência sobre o
sistema de coordenadas porque este deve ser conservado "rígido" ao longo do acontecimento do fenômeno.
Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneas
Esses domínios são ditos chatos8 (no sentido de não apresentarem curvatura): unidimensionais,
bidimensionais e tridimensionais; abreviadamente escreveremos: domínios 1D, 2D e 3D, respectivamente. O
adjetivo "chato" ou "sem curvatura", advém do fato de para se ir de um ponto a outro do domínio percorrendo
7 O leitor deve assimilar intuitivamente, em consignação, a parte física do fenômeno, bem como possíveis “aproximações”, como o
referido plano médio.
8 O leitor mais culto não deverá associar o conceito de curvatura aqui interessado com o conceito de "curvatura de espaço" como
apresentado na Geometria Diferencial.

23. § 03.03 – Tridimensionais
Campos Tensoriais - Ruggeri
3
a menor distância, deve-se fazê-lo percorrendo o segmento de reta (pertencente ao domínio) que une os dois
pontos. Nos domínios curvos isto não será possível.
Em geral os eixos dos sistemas cartesianos retilíneos escolhidos são
perpendiculares entre si (os triângulos de referência são triângulos retângulos e os
tetraedros são pirâmides triretangulares com três faces ortogonais, e ficam virtualmente
especificados); o caso tridimensional é apresentado na Figura I,1.
Nos sistemas cartesianos retilíneos os pontos são definidos, então, por suas
coordenadas retilíneas e estas são classicamente denotadas por x, y e z, ou X1, X2 e X3;
quando o sistema é ortogonal, essas coordenadas representam as distâncias do ponto
aos planos coordenados (XY, YZ e ZX). Os pontos de coordenadas X=constante
pertencem todos a um plano paralelo ao plano coordenado (Y,Z); idem, mutatis
mutandis, para Y=constante e Z=constante.
*
Exemplo 1:
Suponhamos que o domínio de um dado fenômeno seja a reta paralela a uma direção conhecida e que
passe pelo ponto B do espaço. Como especificar a posição do ponto corrente dessa reta?
Solução:
A primeira providência é escolher o sistema de referência mais conveniente para a especificação. Prática e
tirocínio geralmente auxiliam muito nessa escolha. A primeira opção seria, evidentemente, escolher a própria reta
associada ao fenômeno - que passa por B e é paralela à direção dada - como um dos eixos do sistema; e nesse
caso bastaria esse eixo uma vez que não interessa considerar pontos não contidos nessa reta. Denotemos por X3
esse eixo e escolhamos uma origem qualquer sobre ele para especificar as abscissas que definirão os pontos da
reta. O ponto B tem abscissa conhecida; seja ela B3. Então, o ponto corrente da reta, de abscissa X3 será dado
por: X3=B3t, onde t é um parâmetro (variável) a cada valor do qual corresponderá um ponto sobre a reta. Para
t=0, X3=0; para t=1, X3=B3 etc.. Deve ser observado que nessa equação não aparece (por desnecessário que é)
nenhum representante da direção conhecida; isso já foi eliminado na escolha do eixo de referência.
Se não for possível adotar a direção conhecida como um dos eixos do sistema de referência, a resolução
do problema fica ligeiramente mais trabalhosa. Nesse caso, escolhemos um sistema retilíneo qualquer, O-
X1X2X3, determinamos as coordenadas B1, B2 e B3 de B e as coordenadas do vetor unitário de sentido arbitrário,
aˆ , cuja direção, porém, coincida com a direção conhecida. Essas coordenadas, conforme sabemos, são os co-
senos diretores da direção. Se medirmos os ângulos α1, α2 e α3 que o vetor unitário faz com os eixos OX1, OX2
e OX3 do sistema, poremos: A1=cosα1, A2=cosα2, A3=cosα3. Então raciocinamos da seguinte maneira. Se x é o
vetor posicional do ponto X da reta e b o do ponto B, então, necessariamente, o vetor BX = x-b é paralelo ao
vetor aˆ . Devemos escrever: x-b=λ aˆ , o parâmetro λ devendo ser ajustado (ou determinado) para o ponto X
escolhido. Se X for um ponto corrente, λ será um parâmetro variável, o que torna x-b=λ aˆ uma equação; esta é a
equação vetorial paramétrica da reta associada ao fenômeno.
Se denotarmos por X1, X2 e X3 as coordenadas do ponto corrente X em relação ao sistema escolhido, a
equação vetorial paramétrica da reta será equivalente ao sistema




+λ=
+λ=
+λ=
.BAX
BAX
BAX
333
222
111
As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas da reta9.
Se for A1≠0, A2≠0 e A3≠0, poderemos eliminar o parâmetro entre as equações paramétricas e obter as
equações da reta na forma dita "simétrica":
λ=
−
=
−
=
−
3
33
2
22
1
11
A
BX
A
BX
A
BX
.
9 A notação mais comumente usada é X para X1, Y para X2, Z para X3 e análogas para os A’s e B’s.

24. 4 § 03 – Domínios chatos de fenômenos
I, §03.03
O leitor poderá interpretar o caso em que um (ou dois) dos co-senos diretores é nulo. Qual é a
configuração do domínio quando o parâmetro fica condicionado a variar num intervalo fechado dado?
Exemplo 2:
Suponhamos que o domínio de dado fenômeno seja um plano. Esse plano pode ser definido de várias
maneiras, tudo dependendo da situação em que nos encontremos. Podemos considerar os casos mais comuns
seguintes: 1) - o plano deve passar por um ponto dado, C, e ser paralelo a duas direções dadas (distintas, é
evidente); 2) - o plano está definido por três pontos dados (pontos não colineares, evidentemente); 3) - o plano
passa por um ponto dado e é ortogonal a uma direção dada.
Solução:
Para a resolução de qualquer um dos três problemas propostos devemos escolher de forma conveniente
um sistema O-X1X2X3 para referência. No item 1) do problema, o ponto dado está definido pelo vetor c e tem
coordenadas C1, C2 e C3. As direções dadas devem estar especificadas pelos seus co-senos diretores (tal como no
exemplo 1), isto é, pelas coordenadas de dois vetores unitários: aˆ , de coordenadas A1, A2, A3 e bˆ de
coordenadas B1, B2 e B3. Se esses unitários forem aplicados no ponto C, ambos estarão contidos no plano
domínio do fenômeno; e por hipótese, não são paralelos. Se x é o vetor posicional do ponto X do plano, o vetor
x-c, contido no plano do domínio, poderá ser decomposto segundo os unitários aˆ e bˆ (porque eles formam uma
base nesse plano). Então, para X, existirão dois números, λ1 e λ2 tais que x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ . Se o ponto X for um
ponto corrente do plano, λ1 e λ2 serão valores genéricos dos parâmetros, a cada posição de X correspondendo um
par; e x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ se tornará uma equação: é a equação vetorial paramétrica do plano. Se X1, X2, X3 são as
coordenadas de X, a equação vetorial paramétrica será equivalente ao sistema




λ+λ=−
λ+λ=−
λ+λ=−
.BACX
BACX
BACX
231333
221222
211111
As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas procuradas do plano em questão; e
mostram que cada coordenada do ponto genérico do plano é função linear de dois parâmetros independentes.
Relembrando que os vetores x-c, aˆ e bˆ são coplanares podemos, também, escrever que o produto misto
deles é igual a zero, isto é, ((x-c) aˆ bˆ )=0. Essa é a equação vetorial geral do plano. Em coordenadas cartesianas
ortogonais esse produto é equivalente ao determinante
0
BBB
AAA
CXCXCX
321
321
332211
=
−−−
.
Desenvolvendo esse determinante pelos elementos da primeira linha, aplicando o teorema de Laplace, e
denotando por K1, K2, K3 e K os coeficientes de X1, X2, X3 e o termo independente, vê-se que o determinante
acima é equivalente a uma equação do tipo
K1X1+ K2X2+ K3X3+K=0,
os Ki não podendo ser simultaneamente nulos porque os unitários aˆ e bˆ não são paralelos. Esta equação é
denominada "equação cartesiana geral do plano".
Para a resolução do item 2) do problema vamos denotar por a, b e c os vetores posicionais (não unitários)
dos pontos dados A, B e C, vetores esses co-iniciais com a origem O do sistema e não coplanares (por hipótese
os pontos não são colineares). Se x é o posicional de um ponto X, os vetores x-a, b-a e c-a (todos de origem A)
estão contidos no plano do domínio do fenômeno; logo, o produto misto deles é igual a zero: ((x-a)(b-a)(c-a))=0.
Se X for um ponto variável do plano, esta expressão deverá ser satisfeita para todos os pontos desse plano e será
dita a equação vetorial do plano (não recebendo nome especial). Estando os vetores expressos por suas
coordenadas em relação ao sistema O-X1X2X3, essa equação vetorial é equivalente ao determinante

25. § 03.03 – Tridimensionais 5
Campos Tensoriais - Ruggeri
0
ACACAC
ABABAB
AXAXAX
332211
332211
321
=
−−−
−−−
−−−
.
Desenvolvendo-se o determinante acima, poder-se-á obter a equação geral do plano. Aplicando propriedades dos
determinantes pode ser demonstrado que
0
1CCC
1BBB
1AAA
1XXX
321
321
321
321
= ,
uma forma fácil de ser memorizada e de aplicação imediata para a resolução do problema.
Para a resolução do item 3) do problema, sem maiores delongas, vamos considerar um ponto B, a direção
aˆ e o ponto corrente X do plano. Como os vetores x-b e aˆ são ortogonais, a equação vetorial desse plano é (x-
b). aˆ =0. Em coordenadas cartesianas teremos a equação cartesiana geral do plano:
A1X1+A2X2+A3X3+D=0, com D=b. aˆ .
O termo independente D é a distância da origem O ao plano do domínio.
Se sobre o plano do fenômeno, no caso do item 1), tomarmos o ponto C como origem e eixos segundo os
unitários aˆ e bˆ , os pontos do plano do domínio do fenômeno, para λA≤λ1≤λB e λC≤λ2≤λD, seriam não exteriores
a um paralelogramo cujos lados fossem os vetores (λB-λA) aˆ e (λD-λC) bˆ .
Em cada um desses problemas poderíamos esboçar a configuração do domínio se os parâmetros ficassem
condicionados a variar (continuamente) dentro de intervalos fechados dados. Poderíamos, também, ao fazer esses
esboços, comparar as dificuldades com o caso em que o sistema de referencia pudesse ser estabelecido sobre o
plano.
*
Se, finalmente, o domínio fosse 3D, ele seria todo o espaço. Havendo restrições quanto à variação das
coordenadas o domínio poderá ser um: semi-espaço quando limitado por um plano, ou por um par de planos
paralelos; prisma quando limitado por dois pares de planos paralelos; paralelepípedo quando limitado por três
pares de planos paralelos.
*
Domínios chatos em engenharia.
Em engenharia são muito comuns os domínios chatos (uni, bi e tridimensionais), em geral representando
o espaço ocupado por um corpo compacto. É o caso das chapas, vigas, pilares, lajes etc.. Para o estudo desses
elementos é adotado, necessariamente, um sistema de coordenadas: um apenas, às vezes dois. No caso de dois
sistemas, um deles costuma ser um sistema global; o segundo, um sistema localizado em algum ponto especial
que interesse destacar.
Em algumas abordagens a especificação matemática do domínio é tão óbvia que o sistema de referência
não merece destaque especial; mas em algum instante, no desenvolvimento dos estudos, esta especificação
aparecerá.
Considere um pilar em forma de prisma reto, de seção quadrada constante de lado 2a, de eixo vertical e
altura h. Adotemos o eixo desse prisma para eixo z do sistema global, com origem O no centro do quadrado da
base do pilar e com sentido positivo ascendente. Adotemos, ainda, as paralelas aos lados do quadrado para eixos
x e y, com origem O e com sentidos arbitrários, mas escolhidos de forma que o sistema O-xyz seja positivo. Os
pontos do domínio serão aqueles cujas coordenadas x, y e z satisfaçam às desigualdades seguintes: -a≤x≤a, -
a≤y≤a e z≤h. As fronteiras do domínio são os planos de equações: x=a, x=-a, y=a, y=-a, z=0 e z=h.
Para o estudo de uma viga é comum se adotar para referência local, em uma seção da mesma, os
chamados “eixos centrais principais de inércia da seção”, assunto este tratado nos cursos de “Resistência dos

26. 6 § 04 – Domínios curvos de fenômenos
I, § 04.01
Materiais”. É preciso que o candidato a engenheiro esteja preparado para entender essa atitude porque, em
relação a esse sistema local, as fórmulas deduzidas para expressar o que interessa (tensões, deslocamentos etc.)
são mais simples que em relação a outros. Assim, se a seção da viga é um retângulo, esses eixos
têm origem no centro de gravidade (cg) da seção – o ponto de interseção das diagonais do
retângulo – e os eixos são paralelos aos lados. Mas se a seção for um “T” a determinação do cg é
um pouco mais trabalhosa, mas nada complicada. Uma seção em forma de C, ou U pode tornar a
questão ainda mais delicada. Em outras situações, como nas “Estruturas Metálicas”, as seções
das peças, por algum motivo relevante, devem ser “compostas”. Imagine o leitor a complicação
do problema da determinação dos eixos centrais principais de inércia de uma seção composta de
um perfil em C com outro em L, dispostos de alguma maneira um em relação ao outro (Figura
I,2).
§ 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS
§ 04.01 – Unidimensionais
O domínio de um fenômeno pode ter “natureza curvilínea” e ser 1D; é o caso, por exemplo, do
estiramento de um anel fino (diâmetro muito pequeno em relação ao seu perímetro) causado por forças internas
de expansão. Nesse caso, existe uma curva associada ao fenômeno; e para deslocar-se (do ponto de vista físico)
de um ponto a outro do domínio (sem sair do domínio) só se pode fazê-lo segundo a curva do domínio (daí ele
ser considerado curvilíneo).
Curva plana
Se a curva associada ao fenômeno for plana, os seus pontos poderão ser definidos de algumas maneiras.
Primeiro, adotando-se um sistema de coordenadas retilíneas no plano da curva. Nesse caso, conforme
sabemos da Geometria Analítica (abreviadamente, GA), o ponto genérico do domínio pode ser definido por suas
(duas) coordenadas cartesianas expressas em função de um parâmetro λ. Esse parâmetro pode ser o comprimento
do arco de curva; nesse caso dizemos que as coordenadas estão “parametrizadas em relação ao comprimento de
arco da curva”. Mas esse parâmetro pode ser também, outra variável, como o tempo.
Segundo, adotando-se um sistema de “coordenadas polares” no plano da curva. Nesse caso, o ponto
genérico é definido por suas coordenadas polares (ρ,θ), em que ρ é o raio vetor do ponto – distância do ponto a
um ponto origem arbitrário e fixo, escolhido no plano da curva – e θ é o ângulo polar – o ângulo que o raio vetor
forma com uma direção arbitrariamente escolhida e fixa no plano da curva. Tal como anteriormente, essas
coordenadas devem ser funções conhecidas de um mesmo parâmetro λ. Notando-se que existem as relações



θρ=
θρ=
seny
cosx
ficam imediatamente determinadas as equações cartesianas paramétricas da curva em função do mesmo
parâmetro λ. Inversamente temos, das equações anteriores:





=θ
+=ρ
x
y
tg
yx 222
podendo-se, assim, determinar as equações polares paramétricas da curva.
Muito embora a curva pertença a um plano, a quantidade de parâmetros que define o seu ponto genérico
nesse plano é que estabelece a dimensão do domínio do fenômeno; no caso, 1: o parâmetro λ. O conhecimento
do intervalo de variação do parâmetro definirá a fronteira da curva (ou do domínio do fenômeno).