1. Aula 14
Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1 Taxas relacionadas
Na linguagem do c¶lculo diferencial, se uma vari¶vel u ¶ fun»~o da vari¶vel v, a taxa
a a e ca a
du
de varia»~o (instant^nea) de u, em rela»~o a v, ¶ a derivada
ca a ca e .
dv
Em v¶rias problemas de c¶lculo, duas ou mais grandezas vari¶veis est~o rela-
a a a a
cionadas entre si por uma equa»~o. Por exemplo, na equa»~o v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ),
ca ca
temos quatro vari¶veis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si.
a
Se temos vari¶veis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»~o,
a ca
podemos ainda ter as tr^s como fun»~es de uma unica vari¶vel s. Por deriva»~o impl¶
e co ¶ a ca ³cita,
ou µs vezes, por deriva»~o em cadeia, podemos relacionar as v¶rias derivadas du , dv e
a ca a ds ds
dw du dv
ds
, ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas
vari¶veis est~o inter-relacionadas, e nos quais s~o levadas em conta as taxas de varia»~es
a a a co
instant^neas, de algumas grandezas em rela»~o a outras, s~o chamados, na literatura
a ca a
do c¶lculo, de problemas de taxas relacionadas.
a
Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do
topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»a a encher-se
c
de ¶gua, a uma vaz~o constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que
a a
sobe o n¶ da ¶gua (dh=dt), em fun»~o da profundidade h. Com que velocidade a
³vel a ca
¶gua sobe no instante em que h = 0 ?
a
1
Solu»~o. O volume da ¶gua quando esta tem profundidade h ¶ dado por V = 3 ¼r2 h,
ca a e
sendo r o raio da superf¶ (circular) da ¶gua. Veja ¯gura 14.1.
³cie a
Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~es de semelhan»a de
o c
tri^ngulos, temos r=R = h=H, da¶ r = Rh=H.
a ³
117

2. Taxas relacionadas. Diferenciais 118
R R
r H r H
h h
Figura 14.1.
Assim sendo, obtemos
µ ¶2
1 Rh ¼R2 3
V = ¼ h= h
3 H 3H 2
A taxa de varia»~o do volume de ¶gua no tempo, isto ¶, sua vaz~o, ¶ constante, ou seja
ca a e a e
dV
= k (litros por minuto).
dt
dV dV dh dV
Por deriva»~o em cadeia, temos
ca = ¢ . Como = k, temos ent~o
a
dt dh dt dt
¼R2 2 dh dh kH 2 1
k= h ¢ , ou seja, = ¢
H2 dt dt ¼R2 h2
Assim, estabelemos que a velocidade de subida do n¶ da ¶gua ¶ inversamente
³vel a e
proporcional ao quadrado de sua profundidade.
Quando h = 0, temos, dh = +1. Na pr¶tica, este resultado nos diz que nossa
dt
a
modelagem matem¶tica n~o nos permite determinar a velocidade de subida da ¶gua no
a a a
instante em que o tanque come»a a encher-se.
c
Exemplo 14.2 Uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma parede. A
a
base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm/seg.
Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada est¶ a
a 3 m da parede ?
Solu»~o. Na ¯gura 14.2 temos um diagrama geom¶trico para o problema, em que deno-
ca e
tamos por x e y as dist^ncias da base e do topo da escada µ base da parede, respecti-
a a
vamente.
dx
Temos = 2 (cm/seg).
dt

3. Taxas relacionadas. Diferenciais 119
escada vista
de perfil
y
5
x
Figura 14.2.
Pelo teorema de Pit¶goras, x2 +y 2 = 25, da¶ derivando implicitamente em rela»~o
a ³, ca
dx dy
a t, temos 2x ¢ + 2y ¢ = 0, ou seja,
dt dt
dy dx
y¢ = ¡x ¢
dt dt
dy
Quando x = 3 m = 300 cm, temos y = 4 m = 400 cm, e ent~o
a = ¡1;5 cm/seg.
dt
Nesse instante, a velocidade com que o topo da escada cai ¶ 1;5 cm/seg.
e
14.2 Diferenciais
Quando uma fun»~o f (x) ¶ deriv¶vel em um ponto x0 , temos
ca e a
f (x0 + ¢x) ¡ f(x0 )
lim = f 0 (x0 )
¢x!0 ¢x
Assim, se chamamos
f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 )
¡ f 0 (x0 ) = "
¢x
teremos lim " = 0.
¢x!0
Assim, sendo ¢f = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ), temos ¢f = f 0 (x0 )¢x + " ¢ ¢x.
Como " ¼ 0 quando j¢xj ¶ su¯cientemente pequeno, temos, para um tal ¢x, a
e
aproxima»~o
ca
¢f ¼ f 0 (x0 ) ¢ ¢x

4. Taxas relacionadas. Diferenciais 120
Chama-se diferencial de f em x0 a express~o simb¶lica
a o
df(x0 ) = f 0 (x0 ) dx
O produto f 0 (x0 ) ¢ ¢x ¶ o valor da diferencial de f no ponto x0 , df (x0 ), quando
e
dx = ¢x.
A express~o dx, diferencial da vari¶vel x, pode assumir qualquer valor real. A im-
a a
port^ncia da diferencial ¶ que quando dx = ¢x e este ¶ su¯cientemente pequeno,
a e e
temos
¢f ¼ df
ou, mais explicitamente,
f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ) ¼ f 0 (x0 )¢x
e em geral, ¶ mais f¶cil calcular f 0 (x0 ) ¢ ¢x do que f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ).
e a
Nos prim¶rdios do c¶lculo, matem¶ticos diziam que dx seria uma varia»~o in-
o a a ca
¯nitesimal" de x, atribu¶ a x0 , e que df (x0 ) seria a varia»~o in¯nitesimal, sofrida por
³da ca
f (x0 ), correspondente µ varia»~o dx atribu¶ a x0 . Esses matem¶ticos chegavam a
a ca ³da a
escrever f (x + dx) ¡ f (x) = f 0 (x) dx".
Ainda hoje, muitos textos de c¶lculo para ci^ncias f¶
a e ³sicas, referem-se a um ele-
mento de comprimento dx," um elemento de carga el¶trica dq," um elemento de
e
massa dm," um elemento de ¶rea dA," etc., quando querem referir-se a quantidades
a
in¯nitesimais" dessas grandezas.
Na ¯gura 14.3 temos uma interpreta»~o geom¶trica da diferencial de uma fun»~o
ca e ca
f em um ponto x0 , quando dx assume um certo valor ¢x.
y
P
f( x 0 + ∆ x)
t
Q
∆y
P0 dy
f( x 0)
x0 x0 + ∆ x x
dx = ∆x
Figura 14.3. Note que, quanto menor ¢x, melhor a aproxima»~o dy ¼ ¢y. Na ¯gura,
ca
t ¶ a reta tangente ao gr¶¯co de f no ponto (x0 ; f (x0 )). As coordenadas do ponto Q,
e a
sobre a reta t, s~o x0 + ¢x e f (x0 ) + f 0 (x0 )¢x (veri¯que).
a

5. Taxas relacionadas. Diferenciais 121
Sumarizando, quando x sofre uma varia»~o ¢x,
ca
1. ¢y = f (x + ¢x) ¡ f(x) ¶ a varia»~o sofrida por f (x);
e ca
2. dy = f 0 (x)¢x ¶ a diferencial de f, em x, para dx = ¢x;
e
3. ¢y ¼ dy, se ¢x ¶ su¯cientemente pequeno.
e
Convenciona-se dizer ainda que
¢x
4. ¶ a varia»~o relativa de x, correspondente µ varia»~o ¢x;
e ca a ca
x
¢y dy
5. ¼ ¶ a varia»~o relativa de y = f(x), correspondente µ varia»~o ¢x,
e ca a ca
y y
sofrida por x.
Exemplo 14.3 Mostre que se h ¶ su¯cientemente pequeno, vale a aproxima»~o
e ca
p h
a2 + h ¼ a + (a > 0)
2a
p p
Com tal f¶rmula, calcule valores aproximados de
o 24 e 104. Compare com resultados
obtidos em uma calculadora.
p
Solu»~o. Sendo y = f (x) =
ca x, usamos a aproxima»~o ¢y ¼ dy.
ca
1
Temos ¢y = f(x + ¢x) ¡ f (x) e dy = f 0 (x) dx = p dx.
2 x
Tomando x = a2 e dx = ¢x = h, teremos
p p
a2 + h ¡ a2 ¼ 2a , e portanto
h
p h
a2 + h ¼ a +
2a
Temos ent~o
a
p p ¡1
24 = 52 + (¡1) ¼ 5 + = 4;9, e
2¢5
p p 4
104 = 102 + 4 ¼ 10 + = 10;2.
2 ¢ 10
p p
³amos 24 ¼ 4;898979 e 104 ¼ 10;198039.
Por uma calculadora, obter¶
Dizemos que um n¶mero real x est¶ representado em nota»~o cient¶
u a ca ³¯ca quando
escrevemos x na forma x = a ¢ 10 , com 1 · jaj < 10 e n inteiro (positivo ou negativo).
n
Assim, por exemplo, em nota»~o cient¶
ca ³¯ca temos os n¶meros 2; 46 ¢ 10¡5 e 4; 584 ¢ 1011 ,
u
enquanto que, convertendo µ nota»~o cient¶
a ca ³¯ca os n¶meros ¡0; 023 ¢ 108 e 452; 36 ¢ 103 ,
u
teremos
¡0;023 ¢ 108 = ¡2;3 ¢ 106 , e 452;36 ¢ 103 = 4;5236 ¢ 105 .

6. Taxas relacionadas. Diferenciais 122
1 1
Exemplo 14.4 Estimar, em nota»~o cient¶
ca ³¯ca, uma aproxima»~o de
ca ¡ 2,
(n + 1)2 n
quando n = 1028 .
Solu»~o. (uma calculadora pode n~o dar conta desta tarefa)
ca a
1 2
Sendo f (x) = 2
, temos df = ¡ 3 dx.
x x
1 1
¡ 2 = f (n + 1) ¡ f (n) = ¢f , para x = n e ¢x = 1.
(n + 1)2 n
Pela aproxima»~o ¢f ¼ df , teremos, quando n = 1028 ,
ca
2 ¡2
¢f ¼ f 0 (n)¢x = ¡ 3 = 84 = ¡2 ¢ 10¡84 .
n 10
Exemplo 14.5 Quando estima-se que a medida de uma grandeza ¶ M unidades, com
e
poss¶ erro de E unidades, o erro relativo dessa medi»~o ¶ E=M. O erro relativo da
³vel ca e
medi»~o indica o erro m¶dio (cometido na medi»~o) por unidade da grandeza.
ca e ca
O raio r de uma bolinha de a»o ¶ medido, com a medi»~o sujeita a at¶ 1% de
c e ca e
erro. Determine o maior erro relativo que pode ocorre na aferi»~o de seu volume.
ca
Solu»~o. O volume de uma bola de raio r ¶ dado por V = 4 ¼r3 .
ca e 3
Sendo V = 4 ¼r3 , temos dV = 4¼r2 dr.
3
O erro ¢V , na aferi»~o do volume, correspondente ao erro ¢r na medi»~o do
ca ca
raio, quando ¢r ¶ bem pequeno, ¶ aproximadamente dV . Temos ent~o
e e a
¢V dV 4¼r2 (¢r) 3¢r
¼ = =
V V (4=3)¼r 3 r
Para ¢r = §0;01 (erro m¶ximo relativo na medi»~o do raio), temos
r
a ca ¢V
V
¼ §0;03, e
portanto 3% ¶ o maior erro poss¶ na medi»~o do volume.
e ³vel ca
Observa»~o 14.1 Se o gr¶¯co de f afasta-se muito rapidamente da reta tangente ao
ca a
ponto (x0 ; f (x0 )), quando x afasta-se de x0 , a aproxima»~o ¢y ¼ dy pode falhar, quan-
ca
do tomamos um valor de ¢x que julgamos su¯cientemente pequeno, por n~o sabermos
a
qu~o su¯cientemente pequeno" devemos tom¶-lo. Isto pode ocorrer quando a derivada
a a
f 0 (x0 ) tem valor absoluto muito grande.
Como um exemplo, seja f (x) = x100 .
Temos f (1;08) = (1;08)100 ¼ 2199;76, por uma calculadora con¯¶vel (con¯ra).
a
No entanto, o uso de diferenciais nos d¶ f (1+¢x) ¼ f (1)+f 0 (1)¢x = 1+100¢x,
a
e portanto, para ¢x = 0;08, f (1;08) ¼ 1 + 100 ¢ 0;08 = 9.
A raz~o dessa discrep^ncia ¶ que f 0 (1) = 100, o que torna o gr¶¯co de f com
a a e a
alta inclina»~o no ponto x0 = 1. Nesse caso, somente um valor muito pequeno de ¢x
ca

7. Taxas relacionadas. Diferenciais 123
torna v¶lida a aproxima»~o ¢f ¼ df . Por exemplo, (1;0005)100 ¼ 1;0513, por uma
a ca
calculadora, enquanto que, (1;0005)100 ¼ 1; 05, pela aproxima»~o ¢f ¼ df .
ca
14.3 Problemas
14.3.1 Problemas sobre taxas relacionadas
1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 5 m e raio da base
(isto ¶, do topo) de 1 m. O tanque se enche da ¶gua µ taxa de 2 m3 /min. Com que
e a a
velocidade sobe o n¶ da ¶gua no instante em que ela tem 3 m de profundidade ?
³vel a
50
Resposta. 9¼ m/min ¼ 1; 77 m/min.
2. O g¶s de um bal~o esf¶rico escapa µ raz~o de 2 dm3 /min. Mostre que a taxa de
a a e a a
varia»~o da superf¶ S do bal~o, em rela»~o ao tempo, ¶ inversamente propor-
ca ³cie a ca e
cional ao raio. Dado. A superf¶ de um bal~o de raio r tem ¶rea S = 4¼r2 .
³cie a a
3. Considere um avi~o em v^o horizontal, a uma
a o
altura h em rela»~o ao solo, com velocidade
ca
constante v, afastando-se de um observador A
que se encontra em terra ¯rme. Seja µ a ele- h
va»~o angular do avi~o, em rela»~o ao solo, a
ca a ca A θ
partir do observador. Determine, como fun»~o
ca
de µ, a taxa de varia»~o de µ em rela»~o ao
ca ca
tempo. Resposta. dµ = ¡ h sen µ.
dt
v
4. Um ponto m¶vel desloca-se, em um sistema de coordenadas cartesianas, ao longo
o
da circunfer^ncia x2 +y 2 = r2 (r constante) com uma velocidade cuja componente
e
em x ¶ dada por dx = y (cm/seg). Calcule a componente da velocidade em y,
e dt
dy
dt
. Seja µ o deslocamento angular desse ponto m¶vel, medido a partir do ponto
o
(1; 0) no sentido anti-hor¶rio. Calcule a velocidade angular dµ . Em que sentido
a dt
o ponto se desloca sobre a circunfer^ncia, no sentido hor¶rio ou no anti-hor¶rio ?
e a a
Respostas. dt = ¡x, dt = ¡1 (rad/seg), portanto o ponto se desloca no sentido
dy dµ
anti-hor¶rio.
a
5. Prende-se a extremidade A de uma
haste de 3 m de comprimento a y
A
uma roda de raio 1 m, que gira no
sentido anti-hor¶rio µ taxa de 0; 3
a a 1m 3m
radianos por segundo. A outra ex- θ B
tremidade da haste est¶ presa a um
a 0 x
anel que desliza livremente ao longo x
de um outra haste que passa pelo
contro da roda. Qual ¶ a velocidade
e
do anel quando A atinge a altura
m¶xima ? Resposta. ¡0; 3 m/seg.
a

8. Taxas relacionadas. Diferenciais 124
6. No exemplo 14.2, uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma
a
parede. Mostre que ¶ ¯sicamente imposs¶ manter a base da escada escorregan-
e ³vel
do-se, afastando-se da parede a uma velocidade constante, at¶ o momento em que
e
o topo da escada toque o ch~o. Sugest~o. Avalie a velocidade com que o topo da
a a
escada toca o ch~o.
a
14.3.2 Problemas sobre diferenciais
1. Se w = z 3 ¡ 3z 2 + 2z ¡ 7, use a diferencial dw para obter uma aproxima»~o da
ca
varia»~o de w quando z varia de 4 a 3; 95. Resposta. ¢w ¼ ¡1; 30.
ca
2. Estima-se em 8 polegadas o raio de um disco plano circular, com margem de erro
de §0; 06 polegadas. Ulizando diferenciais, estime a margem de erro no c¶lculo da
a
¶rea do disco (uma face). Qual ¶ o erro relativo no c¶lculo dessa ¶rea ? Resposta.
a e a a
¢A ¼ dA = 3; 84¼ polegadas quadradas, com erro relativo de 1; 5%.
p
3. Usando diferenciais, deduza a f¶rmula aproximada 3 a3 + h ¼ a + 3a2 . Utilize-a
o h
p p
para calcular aproxima»~es de 3 63 e 3 65. (Compare com os resultados obtidos
co
em uma calculadora eletr^nica.) Respostas. 3; 98 e 4; 02.
o
4. Mostre que aplicando-se uma ¯na camada de tinta de espessura h, µ superf¶ de
a ³cie
uma bola esf¶rica de ¶rea externa S, o volume da esfera sofre um acr¶scimo de
e a e
aproximadamente S ¢ h.
5. A ¶rea A de um quadrado de lado s ¶ dada por s2 . Para um acr¶scimo ¢s de s,
a e e
ilustre geometricamente dA e ¢A ¡ dA.
Resposta. dA ¶ a ¶rea da regi~o sombreada.
e a a
¢A ¡ dA ¶ a ¶rea do quadrado menor, que
e a ∆s
aparece no canto superior direito.
s