1. 1 Introdu¸˜o
ca
1.1 Defini¸oes
c˜
Defini¸˜o 1.1. Se uma vari´vel pode assumir qualquer valor, independente
ca a
.
de outra vari´vel, ela ´ chamada independente. Por exemplo, as vari´veis
a e a
x,y,z,t,h s˜o independentes. Para representar o conjunto de todas as vari´veis
a a
independentes num certo problema, usaremos a nota¸˜o {x}, onde x ´ uma
ca e
das vari´veis do problema.
a
.S
Defini¸˜o 1.2. Quando uma vari´vel depende de outra, ou outras, ela ´ dita
ca a e
dependente. Dizemos tamb´m que essa vari´vel ´ uma fun¸˜o das vari´veis
e a e ca a
das quais ela depende. Ela n˜o pode assumir qualquer valor, pois depende
a
.J
de outras vari´veis. S˜o exemplos de vari´veis dependentes as seguintes
a a a
fun¸˜es: y(x), z(x, y), h(x, y, z), x(y), y(x, z, t), f (x, y). Para representar o
co
conjunto de todas as vari´veis dependentes num certo problema, usamos a
a
nota¸˜o {y({x})}.
ca
Defini¸˜o 1.3. Uma equa¸˜o diferencial ´, basicamente, uma equa¸˜o que
ca ca e ca
R
envolve as derivadas de uma ou mais vari´veis dependentes com rela¸˜o `
a ca a
.
uma ou mais vari´veis independentes. Ent˜o, as equa¸˜es
a a co
2
d2 y dy
2
+ xy =0 (1)
dx dx
A
d4 x d2 x
+ 5 2 + 3x = cos t (2)
dt4 dt
d3 y d2 x
+ y 2 = ln z (3)
dz 3 dz
∂v ∂v
+ =v (4)
∂s ∂t
3
∂ 2u ∂ 2v ∂v ∂u
2
− 2+ + =0 (5)
∂x ∂x ∂y ∂y
s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais.
a co
Como se percebe nas equa¸˜es acima, existem v´rios tipos de equa¸˜es
co a co
diferenciais. Sendo assim, elas foram classificadas de acordo com alguns
crit´rios.
e
Defini¸˜o 1.4. Uma equa¸˜o diferencial que envolve apenas derivadas or-
ca ca
din´rias de uma ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a apenas uma
a a ca
vari´vel independente ´ chamada equa¸˜o diferencial ordin´ria. As equa¸˜es
a e ca a co
(1), (2) e (3) s˜o exemplos de equa¸˜es diferencias ordin´rias. Na equa¸˜o
a co a ca
1

2. 1.1, a vari´vel independente ´ x, enquanto que a dependente ´ y = y(x). Na
a e e
equa¸˜o (2), a vari´vel independente ´ t, e agora x = x(t) ´ uma vari´vel
ca a e e a
dependente. Por fim, na equa¸˜o (3) temos duas fun¸˜es da vari´vel z, que
ca co a
s˜o x(z) e y(z).
a
.
Defini¸˜o 1.5. Uma equa¸˜o diferencial que envolve derivadas parciais de
ca ca
um ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a mais de uma vari´vel in-
a ca a
dependente ´ chamada equa¸˜o diferencial parcial. As equa¸˜es (4) e (5)
e ca co
s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais parciais. Na equa¸˜o (4), s e t s˜o
a co ca a
.S
as vari´veis independentes, e temos v = v(s, t). Na equa¸˜o (5), temos
a ca
u = u(x, y) e v = v(x, y), que s˜o vari´veis dependentes, e x e y s˜o as
a a a
independentes.
Defini¸˜o 1.6. A derivada de maior ordem numa equa¸˜o diferencial define
ca ca
.J
a ordem da equa¸˜o diferencial. Assim, a equa¸˜o (1) ´ de segunda ordem,
ca ca e
ao passo qua a equa¸˜o (2) ´ de quarta ordem; (3) ´ de terceira ordem, (4)
ca e e
´ de primeira ordem e (5) tamb´m ´ de segunda ordem.
e e e
Defini¸˜o 1.7. Se uma equa¸˜o diferencial for tal que nos seus termos n˜o
ca ca a
R
aparecem
.
• fun¸˜es transcendentais da vari´vel ou vari´veis dependentes, ou de
co a a
2
suas derivadas, como, por exemplo, ln y(x), cos dt , sin ∂ x ;
dz
∂y 2
• produtos entre as vari´veis dependentes, entre as vari´veis dependentes
a a
e suas derivadas, ou entre as derivadas das vari´veis dependentes, como, por
a
A
2
2 dt dy dz dh ∂ 2 x ∂x
exemplo, [y(x)] , dh , y(x) dx , dt dt , x(y, z) ∂z2 ∂y ;
ent˜o a equa¸˜o diferencial ´ uma equa¸˜o diferencial linear. Se aparecer
a ca e ca
algum desses termos, a equa¸˜o ´ chamada equa¸˜o diferencial n˜o - linear.
ca e ca a
As equa¸˜es (2) e (4) s˜o equa¸˜es diferenciais lineares, enquanto que as
co a co
equa¸˜es (1),(3) e (5) s˜o n˜o - lineares.
co a a
Quando uma equa¸ao diferencial ´ linear e ordin´ria de ordem n e possui
c˜ e a
apenas uma vari´vel dependente, ela pode ser posta na forma geral
a
dm y dm−1 y dy
ao (x) m
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) (6)
dx dx dx
onde ao (x) n˜o ´ identicamente nulo, x ´ a vari´vel independente e y(x) ´
a e e a e
a unica fun¸ao de x. A express˜o acima ´ a forma mais geral para uma
´ c˜ a e
equa¸ao diferencial linear e ordin´ria de ordem n com apenas uma vari´vel
c˜ a a
dependente.
As equa¸˜es
co
d2 y dy
2
+ 3x + 6y = 0 (7)
dx dx
2

3. d4 x 1 d2 x
3j 2 − + jx = jej (8)
dj 4 j dj 2
s˜o exemplos de equa¸oes diferenciais ordin´rias lineares. A equa¸˜o (7) ´ de
a c˜ a ca e
.
segunda ordem e a (8) ´ de quarta ordem.
e
1.2 Importˆncia das Equa¸oes Diferenciais
a c˜
.S
Al´m do ponto de vista matem´tico, por si s´ relevante, o estudo de equa¸˜es
e a o co
diferenciais ´ muito importante do ponto de vista f´
e ısico. Os f´
ısicos ao estu-
darem alguns fenˆmenos, procuram inicialmente descrevˆ-lo de forma quali-
o e
tativa e posteriormente de forma quantitativa.
.J
Para uma boa parte dos sistemas f´ ısicos conhecidos at´ o momento, a
e
equa¸ao ou equa¸oes que descrevem os fenˆmenos, pelo menos de forma apro-
c˜ c˜ o
ximada, s˜o equa¸˜es diferenciais. As solu¸˜es de uma equa¸ao diferencial
a co co c˜
s˜o expl´
a ıcitas pu impl´ıcitas.
R
Defini¸˜o 1.8. Uma solu¸˜o expl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma
ca ca ı ca e
.
fun¸˜o y = f ({x}) do conjunto das vari´veis independentes, a qual, quando
ca a
substitu´da na equa¸˜o diferencial, a transforma em uma igualdade.
ı ca
Como exemplo, a equa¸ao diferencial
c˜
dx
A
= 2x
dt
tem uma solu¸˜o expl´
ca ıcita dada por
x(t) = ce2t
pois, se substituirmos x(t) na equa¸˜o, temos (c ´ uma constante)
ca e
dx
= 2x
dt
d
ce2t = 2 ce2t
dt
2ce2t = 2ce2t
que ´ obviamente uma igualdade.
e
Defini¸˜o 1.9. Uma solu¸˜o impl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma
ca ca ı ca e
fun¸˜o g ({y} , {x}) do conjunto de vari´veis dependentes e independentes, a
ca a
qual, atrav´s de deriva¸˜es impl´citas, reproduz a equa¸˜o diferencial inicial.
e co ı ca
3

4. Neste caso, temos que a fun¸˜o
ca
f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0
´ uma solu¸ao impl´
e c˜ ıcita da equa¸˜o diferencial
ca
.
dy
x+y =0
dx
pois, tomando a derivada impl´
ıcita de f (x, y) com rela¸˜o a x, temos
ca
.S
d d 2 d
f (x, y) = (x + y 2 − 25) = 0
dx dx dx
.J
dy
2x + 2y =0
dx
dy
R
x+y =0
dx
.
que ´ a equa¸˜o diferencial inicial. Esta solu¸˜o impl´
e ca ca ıcita pode ser desmen-
brada em duas outras, f1 e f2 , que neste caso s˜o expl´
a ıcitas, a saber,
√
f1 (x) = y1 (x) = 25 − x2
A
√
f2 (x) = y2 (x) = − 25 − x2
Todavia, esse desmembrmento em geral n˜o ´ poss´
a e ıvel, e ficamos apenas com
a solu¸˜o impl´
ca ıcita. Alguns exemplos de aplica¸oes de equa¸oes diferenciais
c˜ c˜
s˜o:
a
1) movimento de proj´teis, planetas e sat´lites;
e e
2) estudo do decaimento radioativo de n´cleos inst´veis;
u a
3) propaga¸ao do calor atrav´s de uma barra;
c˜ e
4) estudo de todos os tipos de ondas;
crescimento de popula¸˜o;ca
6) estudo de rea¸oes qu´
c˜ ımicas;
7) descri¸ao quˆntica de um atomo de hidrogˆnio;
c˜ a ´ e
8) c´lculo do potencial el´trico de uma distribui¸ao de cargas;
a e c˜
9) estudo do oscilador harmˆnico.
o
Os sistemas acima s˜o uma amostra da grande utiliza¸˜o das equa¸˜es
a ca co
diferenciais. E´ poss´ que, para um dado problema, al´m da equa¸˜o dife-
ıvel e ca
rencial em si exista mais alguma condi¸ao que o experimento deve satisfazer.
c˜
Ent˜o, temos os seguintes casos:
a
4

5. Defini¸˜o 1.10. Quando um dado fenˆmeno, al´m de uma equa¸˜o dife-
ca o e ca
rencial que o descreve, tem ainda que seguir certas condi¸˜es iniciais, esta-
co
belecidas a priori, para um mesmo valor da vari´vel independente, dizemos
a
que temos um problema de valor inicial. Como exemplo, considere um corpo
.
em queda livre. O movimento desse ´ descrito por uma equa¸˜o diferencial,
e ca
e as condi¸˜es s˜o a altura da qual ele foi solto e a valocidade inicial com a
co a
qual ele iniciou o movimento. Se a queda for no v´cuo, temos considerando
a
a origem no ch˜o e a altura representada por y(t), a equa¸˜o
a ca
.S
d2 y
= −g
dt2
com as condi¸˜es iniciais
co
.J
dy
y(0) = yo e = y (0) = v(0) = vo
dt 0
e a fun¸˜o y(t), que ´ solu¸˜o desta equa¸˜o diferencial, tem necessariamente
ca e ca ca
que respeitar as condi¸˜es iniciais, que foram dadas para o valor de t = 0.
co
R
Defini¸˜o 1.11. Se um fenˆmeno descrito por uma equa¸˜o diferencial
ca o ca
.
tiver alguma condi¸˜o especificada para dois ou mais valores da vari´vel in-
ca a
dependente, temos um problema com condi¸˜es de contorno. Por exemplo,
co
considerando um caso idˆntico ao anterior, mas com condi¸˜es dadas em
e co
duas alturas diferentes, ou seja, algo como
A
d2 y
= −g
dt2
com as condi¸˜es de contorno
co
y(0) = yo
y(2) = y2
temos um problema com condi¸˜es de contorno, dadas para os tempos t = 0
co
e t = 2. Nem sempre um problema com condi¸˜es de contorno tem solu¸˜o
co ca
apesar de que a equa¸˜o diferencial sozinha, sem considerar as condi¸˜es de
ca co
contorno, pode ter.
2 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias de Pri-
c˜ a
meira Ordem
Veremos alguns m´todos de resolu¸ao de equa¸˜es diferenciais de primeira
e c˜ co
ordem, lembrando a equa¸˜o (6), pode ser colocada na forma
ca
5

6. dy
= f (x, y) (9)
dx
na qual a fun¸ao f (x, y) pode ser escrita com uma raz˜o de duas outras
c˜ a
.
fun¸oes, ou seja,
c˜
M (x, y)
f (x, y) = −
N (x, y)
.S
e a equa¸˜o (9) pode ser reescrita na forma equivalente
ca
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (10)
.J
Por exemplo, a equa¸˜o
ca
dy 2x2 − y
=
dx x
R
pode ser reescrita como
.
xdy − (2x2 − y)dx = 0
ou
A
(y + 2x2 )dx + xdy = 0
e assim, temos M (x, y) = y − 2x2 e N (x, y) = x. Na nota¸ao (9) fica
c˜
claro que y ´ a fun¸ao de x, enquanto que na (10) podemos interpretar que
e c˜
y = y(x) ou x = x(y), conforme for o caso. Em certas situa¸oes, ´ mais f´cil
c˜ e a
considerar um ponto de vista do que outro, e ent˜o ´ prefer´ resolver a
a e ıvel
equa¸ao diferencial sob esse ponto de vista e, se for necess´rio, obtemos a
c˜ a
fun¸ao inversa ap´s completar a resolu¸˜o da equa¸ao. Vejamos alguns casos
c˜ o ca c˜
especiais.
2.1 Equa¸˜es Diferenciais Exatas
co
Defini¸˜o 2.11 Seja F uma fun¸˜o de duas vari´veis reais, de forma que
ca ca a
F tenha as derivadas parciais primeiras cont´nuas. A diferencial total dF da
ı
fun¸˜o F ´ definida por
ca e
∂F (x, y) ∂F (x, y)
dF (x, y) = dx + dy (11)
∂x ∂y
Como exemplo, considere a fun¸ao
c˜
6

7. F (x, y) = x2 y + 3y 3 x
Temos
.
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= 2xy + 3y 3 e = x2 + 9y 2 x
∂x ∂y
e, portanto,
.S
dF (x, y) = (2xy + 3y 3 )dx + (x2 + 9y 2 x)dy
Defini¸˜o 2.2. A express˜o
ca a
.J
M (x, y)dx + N (x, y)dy (12)
´ chamada uma diferencial exata se existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que se
e ca
verifique
.R
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
Se M (x, y)dx + N (x, y)dy ´ uma diferencial exata, a equa¸˜o diferencial
e ca
A
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
´ chamada uma equa¸˜o diferencial exata.
e ca
Como fazemos para saber quando uma diferencial e uma equa¸˜o diferen-
ca
cial s˜o exatas? A resposta ´ dada pelo seguinte teorema:
a e
Teorema 2.1 A equa¸˜o diferencial
ca
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
´ exata se, e somente se, for verificado que
e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= (13)
∂y ∂x
Demonstra¸˜o. A prova do teorema 2.1 nos conduz ao m´todo de resolu¸˜o
ca e ca
de uma equa¸˜o diferencial exata. Vejamos a primeira parte. Consideremos
ca
que a equa¸˜o diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata e que, portanto,
ca e
existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que
ca
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
7

8. Assim,
∂ 2 F (x, y) ∂M (x, y) ∂ 2 F (x, y) ∂N (x, y)
= e =
∂y∂x ∂y ∂x∂y ∂x
.
No entanto, a ordem das derivadas pode ser invertida, ou seja,
∂ 2 F (x, y) ∂ 2 F (x, y)
=
∂y∂x ∂x∂y
.S
e, dessa forma, temos
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
.J
∂y ∂x
Na outra parte da prova, iniciamos com a hip´tese
o
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
R
∂y ∂x
.
e queremos provar que existe uma fun¸ao F (x, y) tal que
c˜
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
A
de forma que a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja exata.
c˜
Vamos assumir a express˜o
a
∂F (x, y)
= M (x, y)
∂x
seja verdadeira. Ent˜o, podemos fazer
a
F (x, y) = M (x, y)∂x + φ(y) (14)
onde a integral ´ efetuada apenas em x, sendo y considerado como uma
e
constante. O termo φ(y) aparece porque deveos ter a solu¸˜o mais geral
ca
poss´ para F (x, y). Agora, diferenciamos esta equa¸ao com a y, ou seja,
ıvel c˜
∂F (x, y) ∂ dφ(y)
= M (x, y)∂x +
∂y ∂y dy
Se queremos provar que a diferencial ´ exata, devemos ter tamb´m
e e
∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y
8

9. e ent˜o obtemos
a
∂ dφ(y)
N (x, y) = M (x, y)∂x +
∂y dy
.
dφ(y) ∂M (x, y)
= N (x, y) − ∂x
dy ∂y
e, resolvendo esta express˜o para φ(y), temos
a
.S
∂M (x, y)
φ(y) = N (x, y) − ∂x dy
∂y
.J
que, combinanda com a equa¸ao (14), fornece, finalmente,
c˜
∂M (x, y)
F (x, y) = M (x, y)∂x + N (x, y) − ∂x dy (15)
∂y
R
e esta fun¸˜o F (x, y) est´ sujeita `s condi¸oes
ca a a c˜
.
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
∂y ∂x
A
e tamb´m
e
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
e, portanto, a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata. Se, ao
c˜ e
inv´s de iniciarmos a demonstra¸ao considerando a equa¸ao
e c˜ c˜
∂F (x, y)
= M (x, y)
∂x
us´ssemos a outra equa¸ao
a c˜
∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y
o resultado seria
∂N (x, y)
F (x, y) = N (x, y)∂y + M (x, y) − ∂y dx (16)
∂x
Qual ´ a solu¸ao da equa¸ao M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0? A resposta ´:
e c˜ c˜ e
a solu¸ao da equa¸ao diferencial exata ´ a fun¸ao F (x, y) = c, onde F (x, y)
c˜ c˜ e c˜
9

10. ´ dada por uma das express˜es (15) ou (16), e c ´ uma constante num´rica
e o e e
que pode ser determinada se houver alguma condi¸˜o adicional. Vejamos um
ca
exemplo completo, considerando a equa¸ao abaixo:
c˜
.
(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0
Desta equa¸˜o, temos M (x, y) = 3x2 + 4xy e N (x, y) = 2x2 + 2y. Por-
ca
tanto, devemos verificar se ela ´ uma equa¸ao diferencial exata e, pora tanto,
e c˜
calculamos
.S
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= 4x e = 4x
∂y ∂x
.J
Vemos que s˜o iguais, logo, a equa¸˜o ´ exata. Assim, temos
a ca e
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) = 3x2 + 4xy e = N (x, y) = 2x2 + 2y
∂x ∂y
R
Utilizando a primeira, obtemos
.
F (x, y) = φ(y) + M (x, y)∂x
A
= φ(y) + (3x2 + 4xy)∂x
F (x, y) = x3 + 2x2 y + φ(y)
mas ` segunda nos diz que
a
∂F (x, y)
= N (x, y) = 2x2 + 2y
∂y
dφ(y)
2x2 + = 2x2 + 2y
dy
dφ(y)
= 2y
dy
A equa¸˜o acima d´, diretamente,
ca a
dφ(y) = 2ydy
10

11. dφ(y) = 2ydy
.
φ(y) = y 2 + co
e, portanto, temos
.S
F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co
mas como a solu¸ao da equa¸˜o diferencial ´ da forma F (x, y) = c, e assim,
c˜ ca e
.J
F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co = c
ou, finalmente, incorporando co a c, temos
x3 + 2x2 y + y 2 = c
R
(17)
.
que ´ a solu¸˜o geral da equa¸ao diferencial exata inicial. Se considerar-
e ca c˜
mos uma condi¸ao inicial, como, por exemplo, y(1) = 0, podemos obter a
c˜
constante c, pois, neste caso, devemos ter x = 1 e y = 0, ou seja,
A
13 + 2.12 .0 + 02 = c
c=1
e, pora este caso, a solu¸ao fica
c˜
x3 + 2x2 y + y 2 = 1
Vejamos agora mais um tipo de equa¸˜o diferencial.
ca
2.2 Equa¸˜es Diferenciais Separ´veis
co a
Defini¸˜o 2.3. As equa¸˜es do tipo
ca co
F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 (18)
s˜o chamadas de equa¸˜es diferenciais separ´veis porque elas podem sr colo-
a co a
cadas na forma
F (x) g(y)
dx + dy = 0 (19)
f (x) G(y)
11

12. que ´ uma equa¸˜o exata, pois
e ca
F (x) g(y)
M (x, y) = M (x) = e N (x, y) = N (y) =
f (x) G(y)
.
e, para verificar se ela ´ exata, calculamos
e
∂M (x, y) ∂ F (x) ∂N (x, y) ∂ g(y)
= =0 e = =0
∂y ∂y f (x) ∂x ∂x G(y)
.S
como as derivadas acima s˜o iguais, a equa¸˜o (19) ´ exata e pode ser escrita
a ca e
na forma M (x)dx + N (y)dy = 0, que pode ser imediatamente integrada,
resultando em
.J
M (x)dx + N (y)dy = c (20)
ou tamb´m,
e
R
F (x) g(y)
.
dx + dy = c (21)
f (x) G(y)
As equa¸˜es (20) ou (21) fornecem a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial separ´vel
co ca ca a
(19)
A
Vejamos agora um exemplo. Considere a equa¸ao c˜
x sin ydx + (x2 + 1) cos ydy = 0
Esta equa¸ao n˜o ´ exata, mas pode ser transformada em uma equa¸ao dife-
c˜ a e c˜
2
rencial separ´vel se dividirmos a equa¸˜o pelo fator (x + 1) sin y, isto ´,
a ca e
x cos y
dx + dy = 0
x2 +1 sin y
o resultado fica
x cos y
dx + dy = c
x2 +1 sin y
lembrando que
du
= ln |u| + C
u
ficamos com
1
ln(x2 + 1) + ln |sin y| = co
2
12

13. Multiplicando esta express˜o por 2 e chamando 2co = ln |c1 |, temos
a
ln(x2 + 1) + ln(sin2 y) = ln(c1 )2
ou ainda, chamamos c = c2
.
1
ln (x2 + 1) sin2 y = ln(c)
e, finalmente,
.S
(x2 + 1) sin2 y = c (22)
que ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial inicial. Se houver alguma condi¸˜o
e ca ca ca
π
adicional, como, por exemplo, y(0) = 2 teremos
.J
2 π
1 sin =c
2
R
c=1
.
e a equa¸˜o ser´
ca a
(x2 + 1) sin2 y = 1
A
´
E importante notar que, ao dividir a equa¸˜o por (x2 + 1) sin y, etamos con-
ca
siderando que sin y = 0, ou seja, se y = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .?
A equa¸ao diferencial inicial pode ser escrita na forma
c˜
dy x sin y
=− 2
dx x + 1 cos y
como sin y = 0, y = nπ, e, substituindo esta solu¸ao na equa¸ao diferencial,
c˜ c˜
encontramos
d x sin nπ
(nπ) = − 2
dx x + 1 cos nπ
x 0
=0−
x2 + 1 (−1)n
0=0
Ent˜o, y = nπ tamb´m ´ solu¸ao e corresponde ao valor c = 0 na equa¸ao
a e e c˜ c˜
(22). Assim, nenhuma solu¸ao da equa¸ao diferencial foi perdida ao fazermos
c˜ c˜
a transforma¸ao para a forma separ´vel.
c˜ a
13

14. 2.3 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas
co e
Defini¸˜o 2.4 Uma fun¸˜o F ´ dita homogˆnea de grau n se ocorrer que
ca ca e e
F (tx, ty) = tn F (x, y)
.
ou seja, quando em F (x, y) substitu´mos x por tx e y por ty e depois fa-
ı
toramos o t, a express˜o resultante fica na forma acima. Por exemplo, se
a
F (x, y) = x3 + x2 y, temos
.S
F (tx, ty) = (tx)3 + (tx)2 (ty)
.J
= t3 x3 + t2 x2 ty
= t3 x3 + t3 x2 y
.R
= t3 (x3 + x2 y)
F (tx, ty) = t3 F (x, y)
A
e
F (x, y) = x3 + x2 y
´ homogˆnea de grau 3
e e
Defini¸˜o 2.5 A equa¸˜o de primeira ordem M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´
ca ca e
homogˆnea se, quando escrita na forma
e
dy
= f (x, y)
dx
existir uma fun¸˜o g tal que f (x, y) possa ser colocada na forma
ca
y
f (x, y) = g
x
e a equa¸˜o diferencial fica
ca
dy y
=g
dx x
14

15. De forma equivalente, a equa¸˜o diferencial ´ homogˆnea se as fun¸˜es
ca e e co
M (x, y) e N (x, y) forem homogˆneas de mesmo grau.
e
Vejamos um exemplo. A equa¸˜o diferencial
ca
.
xydx + (x2 + y 2 )dy = 0
´ homogˆnea. Vamos conferi-la pelos m´todos. Primeiro, escrevendo-a na
e e e
forma
.S
dy xy
=− 2
dx x + y2
vemos que podemos reescrevˆ-la como
e
.J
dy xy
=− y2
dx x2 (1 + x2
)
R
x
dy
.
y
=− 2
dx 1+ y x
e, neste caso,
A
y
y x
g =− 2
x 1+ y x
e a equa¸ao diferencial ´ homogˆnea. Agora vamos analis´-la pelo segundo
c˜ e e a
m´todo. Neste caso, temos M (x, y) = xy e N (x, y) = x2 + y 2 . Assim,
e
M (tx, ty) = (tx)(ty)
= t2 xy
M (tx, ty) = t2 M (x, y)
e M (x, y) ´ homogˆnea de grau 2. Para N (x, y) temos
e e
N (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2
= t2 x2 + t2 y 2
15

16. = t2 (x2 + y 2 )
.
N (tx, ty) = t2 N (x, y)
e N (x, y) tamb´m ´ homogˆnea de grau 2, como M (x, y). Portanto, a equa¸ao
e e e c˜
diferencial ´ homogˆnea.
e e
.S
Como se resolve uma equa¸ao diferencial homogˆnea? A resposta ´ dada
c˜ e e
pelo seguinte teorema, e pela sua prova.
Teorema 2.2 Se a equa¸˜o diferencial
ca
.J
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (23)
y
´ homogˆnea, a mudan¸a de vari´veis y = vx, ou v = x , transforma a
e e c a
equa¸˜o (23) numa equa¸˜o diferencial separ´vel nas vari´veis v e x.
ca ca a a
R
Demonstra¸˜o. A equa¸ao (23) ´ homogˆnea. Ent˜o, podemos escrevˆ-la na
ca c˜ e e a e
.
forma
dy y
=g
dx x
A
como vimos na defini¸ao 2.5. Agora, fazemos y = vx. Ent˜o,
c˜ a
dy d dv
= (vx) = v + x
dx dx dx
e a equa¸˜o diferencial fica
ca
dv y
v+x =g = g(v)
dx x
y
pois v = x . Podemos reescrever a express˜o acima na forma
a
[v − g(v)] dx + xdv = 0
que ´ a equa¸˜o diferencial separ´vel, e assim,
e ca a
dv dx
+ =0
v − g(v) x
A resolu¸˜o ´ feita por integra¸ao direta, ou seja,
ca e c˜
dv dx
+ =c
v − g(v) x
16

17. onde c ´ uma constante de integra¸ao. A solu¸ao geral fica
e c˜ c˜
dv
+ ln |x| = c (24)
v − g(v)
.
y
e, ap´s resolver a integral, devemos substituir novamente v =
o x
para voltar
as vari´veis iniciais.
` a
Examinamos um exemplo. J´ vimos que a equa¸ao
a c˜
xydx + (x2 + y 2 )dy = 0
.S
´ homogˆnea. Vamos reescrevˆ-la como
e e e
x
dy
.J
y
=− 2
dx 1+ x y
e fazer a substitui¸ao y = vx. Assim, ficamos com
c˜
R
d v
.
(vx) = −
dx 1 + v2
dv v
v+x =−
dx 1 + v2
A
dv v
x =− −v
dx 1 + v2
dv v(2 + v 2 )
x =−
dx 1 + v2
que pode ser escrita como
1 + v2 dx
2)
dv + =0
v(2 + v x
que ´ uma equa¸ao diferencial separav´l. Integrando esta express˜o, temos
e c˜ e a
1 + v2 dx
dv + =c
v(2 + v 2 ) x
que, mediante a utiliza¸˜o de fra¸˜es parciais, resulta em
ca co
1 1
ln |v| + ln(v 2 + 2) + ln |x| = co
2 4
17

18. Chamando co = ln |c1 |, temos
1 1
ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln |c1 | − ln |x|
2 4
.
1 1 |c1 |
ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln
2 4 |x|
.S
Multiplicando esta express˜o por 4, e agrupando os logaritimos, temos
a
c1 4
ln v 2 (v 2 + 2) = ln
x
.J
ou
c1 4
v 2 (v 2 + 2) =
x
R
y
como v = x , temos
.
y 2 y 2 c1 4
+2 =
x x x
A
y 2 y 2 + 2x2 c1 4
=
x2 x2 x
y2 2 c1 4
4
(y + 2x2 ) =
x x
y 4 + 2x2 y 2 = c4
1
e, definindo uma constante c = c4 , temos, finalmente,
1
y 4 + 2x2 y 2 = c (25)
que ´ a solu¸˜o (impl´
e ca ıcita) da equa¸ao diferencial inicial.
c˜
At´ agora vimos equa¸oes diferenciais que podem ser lineares. Vamos
e c˜
concentrar nossa aten¸ao nas equa¸oes lineares de primeira ordem.
c˜ c˜
18

19. 2.4 Equa¸˜es Diferenciais Lineares
co
Defini¸˜o 2.6 Se for poss´vel escrever uma equa¸˜o ordin´ria de primeira
ca ı ca a
ordem na forma
.
dy
+ P (x)y = Q(x) (26)
dx
esta diferencial ser´ uma equa¸˜o linear.
a ca
Como exemplo, a equa¸ao
c˜
.S
dy 1
x2 + (x4 − 2x + 1)y =
dx x
pode ser calocada na forma
.J
dy x4 − 2x + 1 1
+ 2
y= 3
dx x x
R
ou ainda,
.
dy 2 1 1
+ x2 − + 2 y = 3
dx x x x
que ´ linear, porque est´ no tipo da equa¸˜o 2.18.
e a ca
A
A equa¸ao (26) pode ser reescrita na forma
c˜
[P (x)y − Q(x)] dx + dy = 0 (27)
que ´ uma equa¸ao do tipo M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, onde M (x, y) =
e c˜
P (x)y − Q(x)eN (x, y) = 1. Esta equa¸ao n˜o ´ exata, pois
c˜ a e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= P (x) e =0
∂y ∂x
No entanto, se utilizarmos um fator integrante, ela pode ser convertida numa
equa¸ao diferencial exata.
c˜
Defini¸˜o 2.7 Um fator integrante µ(x, y) ´ uma fun¸˜o que, multiplicada
ca e ca
pela equa¸˜o diferencial
ca
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
a transforma numa equa¸˜o diferencial exata, ou seja, na equa¸˜o
ca ca
µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 (28)
que ´, por defini¸˜o, exata
e ca
19

20. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial
ca
ydx + 2xdy = 0
.
n˜o ´ exata, pois M (x, y) = y, N (x, y) = 2x e
a e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=1= =2
∂y ∂x
.S
Entretanto, se multiplicarmos esta equa¸˜o por y, teremos
ca
y 2 dx + 2xydy = 0
.J
e agora, M (x, y) = y 2 , N (x, y) = 2xy e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= 2y = = 2y
∂y ∂x
R
e a equa¸ao diferencial torna-se uma equa¸ao exata, sendo µ(x, y) = y o seu
c˜ c˜
.
fator integrante.
Se utilizarmos fatores integrantes, a equa¸ao diferencial linear (26) pode
c˜
ser resolvida atrav´s do seguinte teorema:
e
Teorema 2.3 A equa¸˜o diferencial linear
ca
A
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
tem um fator integrante na forma
P (x)dx
µ(x, y) = e
e sua solu¸˜o ´ dada por
ca e
y(x) = e− P (x)dx
e P (x)dx
Q(x)dx + c (29)
Demonstra¸˜o. Considere a equa¸ao diferencial (27). Vamos multipl´ a-la
ca c˜ ıc´
por um fator integrante µ(x) que a torne uma equa¸˜o exata, ou seja,
ca
[µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] dx + µ(x)dy = 0
Por defini¸ao, a equa¸ao diferencial acima ´ exata, e assim,
c˜ c˜ e
∂ ∂
[µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] = [µ(x)]
∂y ∂x
20

21. que se reduz a
dµ
µP (x) =
dx
.
que pode ser separada em
dµ
= P (x)dx
µ
.S
e entegrada, resultando em
ln |µ| = P (x)dx
.J
P (x)dx
µ(x) = e
Agora multiplicamos a equa¸˜o diferencial (26) pelo fator integrante, isto ´,
ca e
.R
P (x)dx dy P (x)dx P (x)dx
e +e P (x)y = e Q(x)
dx
o lado esquerdo pode ser reescrito, pois
A
d P (x)dx P (x)dx dy d P (x)dx
e dy = e +y e
dx dx dx
d P (x)dx P (x)dx dy P (x)dx
e y =e + ye P (x)
dx dx
e assim, a equa¸ao diferencial fica
c˜
d P (x)dx P (x)dx
e dy = e Q(x)
dx
P (x)dx P (x)dx
d e y =e Q(x)dx
P (x)dx P (x)dx
d e y = e Q(x)dx
P (x)dx P (x)dx
e y= e Q(x)dx + c
ou, finalmente,
21

22. y(x) = e− P (x)dx
e P (x)dx
Q(x)dx + c
.
Vejamos agora um exemplo de aplica¸ao. Considere a equa¸ao diferencial
c˜ c˜
dy 3
+ y = 6x2
dx x
.S
3
Nesta equa¸ao, P (x) =
c˜ x
e Q(x) = 6x2 . Ent˜o,
a
µ(x) = exp P (x)dx
.J
3
= exp dx
x
R
= exp(3 ln |x|)
.
= eln|x |
3
A
µ(x) = x3
multiplicando a equa¸ao diferencial por µ(x), temos
c˜
dy
x3 + 3x2 y = 6x5
dx
O lado esuqerdo ´, na verdade,
e
d 3 dy
(x y) = x3 + y(3x2 )
dx dx
e a equa¸˜o diferencial fica
ca
d 3
(x y)6x5
dx
d(x3 y) = 6x5 dx
d(x3 y) = 6x5 dx
22

23. x3 y = x6 + c
.
c
y(x) = x3 +
x3
que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial inicial. Vejamos um outro exemplo
e c˜ c˜
ilustrativo. Considere a equa¸ao diferencial
c˜
.S
y 2 dx + (3xy − 1)dy = 0 (30)
que pode ser colocada na forma
.J
dy y2
− =0
dx 1 − 3xy
que ´ n˜o-linear em y. Esta equa¸ao tamb´m n˜o ´ exata, sep´ravel ou
e a c˜ e a e a
R
homogˆnea. No entanto, como foi dito no in´
e ıcio deste cap´
ıtulo, ao definir
.
a equa¸ao (10), quando uma equa¸ao diferencial est´ na forma da equa¸˜o
c˜ c˜ a ca
(30), podemos interpretar que y = y(x) ou que x = x(y). Assim, vamos
tentar esta ultima interpreta¸˜o, ou seja, vamos escrever a equa¸ao como
´ ca c˜
A
dx 1 − 3xy
− =0
dy y2
ou ainda como
dx 3 1
+ x= 2
dy y y
que ´ do tipo
e
dx
+ P (y)x = Q(y)
dy
e ´ uma equa¸ao diferencial linear em x, podendo ser resolvida mediante a
e c˜
utiliza¸ao da equa¸˜o (29), com a substitui¸ao de x por y e y por x. O fator
c˜ ca c˜
integrante ´
e
µ(y) = exp P (y)dy
3
= exp dy
y
23

24. = exp3 ln|y |
3
.
µ(y) = y 3
Multiplicando o fator integrante pela equa¸ao diferencial, temos
c˜
dx
.S
y3 + 3y 2 x = y
dy
como
.J
d 3 dx
(y x) = y 3 + x(3y 2 )
dy dy
obtemos
R
d 3
(y x) = y
.
dy
d(y 3 x) = ydy
A
d(y 3 x) = ydy
y2
y3x = +c
2
1 c
x(y) = + 3
2y y
que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial (30). Vejamos uma classe especial de
e c˜ c˜
equa¸oes diferenciais que podem ser transformadas em equa¸˜es lineares.
c˜ co
2.5 Equa¸˜o de Bernoulli
ca
Defini¸˜o 2.8 Uma equa¸˜o diferencial da forma
ca ca
dy
+ P (x)y = Q(x)y n (31)
dx
´ chamada de equa¸˜o de Bernoulli de grau n.
e ca
24

25. Um exemplo de uma equa¸ao diferencial de Bernoulli ´ a equa¸˜o
c˜ e ca
dy y y2
− =− (32)
dx x x
.
1 1
pois P (x) = − x , Q(x) = − x e n = 2
Se na equa¸˜o de Bernoulli tivermos n = 0 ou n = 1, ent˜o a equa¸˜o ´
ca a ca e
na verdade linear e pode ser resolvida mediante algum dos m´todos vistos.
e
nos outros casos, a equa¸˜o diferencial ´ n˜o - linear e ela pode ser resolvida
ca e a
.S
atrav´s do seguinte teorema:
e
Teorema 2.4 A equa¸˜o de Bernoulli n˜o-linear
ca a
dy
+ P (x)y = Q(x)y n
.J
dx
sendo n = 0 ou 1, pode ser transformada numa equa¸˜o diferencial linear
ca
atr´ves da mudan¸a de vari´veis
a c a
v = y 1−n
.R
que resulta numa equa¸˜o diferencial linear em v.
ca
Demonstra¸˜o. Primeiro, multiplicamos a equa¸˜o diferencial (31) por y −n ,
ca ca
ou seja,
A
dy
y −n + P (x)y 1−n = Q(x) (33)
dx
Se v = y 1−n , ent˜o,
a
dv d 1−n dy
= (y ) = (1 − n)y −n
dx dx dx
e a equa¸˜o (33) fica
ca
1 dv
+ P (x)v = Q(x)
1 − n dx
ou, de forma equivalente,
dv
+ (1 − n)P (x)v = (1 − n)Q(x)
dx
Chamando
P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x)
P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x)
25

26. temos
dv
+ P1 (x)v = Q1 (x)
dx
.
que ´ linear em v.
e
Como exemplo, vamos resolver a equa¸ao diferencial (32), que ´
c˜ e
dy y y2
− =−
.S
dx x x
Neste caso, n = 2, e ent˜o, devemos multiplicar a equa¸ao por y −2 , ou seja,
a c˜
dy y −1 1
.J
y −2 − =−
dx x x
Como v = y 1−n = y −1 , temos
dv d −1 dy
R
= (y ) = −y −2
dx dx dx
.
Fazendo a substitui¸ao, ficamos com
c˜
dv v 1
− − =−
A
dx x x
ou ainda,
dv v 1
+ =
dx x x
1
que est´ na forma padr˜o das equa¸˜es diferenciais lineares, com P (x) =
a a co x
1
e Q(x) = x . O fator integrante ´
e
µ(x) = exp P (x)dx
dx
= exp
x
= exp(ln |x|)
µ(x) = x
26

27. Multiplicando a equa¸˜o diferencial por este fator integrante, temos
ca
dv
x +v =1
dx
.
Como
d dv
(xv) = x + v
dx dx
.S
obtemos
d
(xv) = 1
dx
.J
d(xv) = dx
R
d(xv) = dx
.
xv = x + c
A
c
v(x) = 1 +
x
Lembrando que v = y −1 , temos y = v , ou seja,
1
1 x+c
=
y(x) x
x
y(x) =
x+c
que ´ a solu¸˜o da equa¸ao diferencial de Bernoulli (32).
e ca c˜
3 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias Lineares
c˜ a
de Ordem Superior: T´cnicas Fundamen-
e
tais
Passaremos ` discuss˜o das equa¸oes diferencias ordin´rias de ordem supe-
a a c˜ a
rior, em especial as equa¸˜es diferencias de segunda ordem.
co
27

28. Defini¸˜o 3.1 Uma equa¸˜o diferencial linear ordin´ria de ordem n ´
ca ca a e
uma equa¸˜o que pode ser posta na forma da equa¸˜o (6), que ´
ca ca e
dn y dn−1 y dy
ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)
.
dx n dx dx
onde a0 (x) n˜o ´ identicamente nulo. Se b(x) = 0, a equa¸˜o acima escreve-
a e ca
se na forma
.S
dn y dn−1 y dy
ao (x) n
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 (34)
dx dx dx
e ´ chamada homogˆnea, enquanto que a equa¸˜o diferencial (6) ´ dita n˜o
e e ca e a
homogˆnea. Se n = 2, ent˜o a equa¸˜o diferencial (6) se reduz ` equa¸˜o
e a ca a ca
.J
n˜o homogˆnea
a e
d2 y dy
ao (x)
2
+ a1 (x) + a2 (x)y = b(x) (35)
dx dx
R
enquanto que a equa¸˜o diferencial homogˆnea (34) se reduz a
ca e
.
d2 y dy
ao (x)
2
+ a1 (x) + a2 (x)y = 0 (36)
dx dx
Como exemplo, as equa¸oes diferencias
c˜
A
d3 x d2 x
− t2 2 + xt = cos t (37)
dt3 dt
e
d2 y dy
x
2
+ 3x3 − 4xy = ex (38)
dx dx
s˜o equa¸oes diferencias lineares n˜o-homogˆneas. A equa¸ao (37) ´ de ordem
a c˜ a e c˜ e
n = 3, ao passo que a equa¸˜o (38) ´ de ordem n = 2. As equa¸oes diferenciais
ca e c˜
homogˆneas correspondentes s˜o
e a
d3 x d2 x dx
− t2 2 + 2t + xt = 0
dt3 dt dt
e
d2 y dy
x 2
+ 3x3 − 4xy = 0
dx dx
Vamos nos concentrar inicialmente no estudo da equa¸ao diferencial ho-
c˜
mogˆnea (34)
e
28

29. 3.1 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas de Ordem Su-
co e
perior
Apesar da aparente simplicidade, n˜o h´ um modo geral de resolu¸ao da
a a c˜
equa¸ao diferencial (34). Existem apenas casos particulares, desenvolvidos
c˜
.
para serem usados em situa¸oes espec´
c˜ ıficas. Um desses casos ocorre quando
os coeficientes ai na equa¸ao (34), que ´
c˜ e
dn y dn−1 y dy
.S
ao (x) n
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
dx dx dx
s˜o na verdade constantes num´ricas e n˜o fun¸˜es de x. Neste caso, existe
a e a co
um m´todo razoavelmente simples, que ser´ discutido. No entanto, antes
e a
.J
de apresentarmos o modo de resolver equa¸oes diferenciais homogˆneas com
c˜ e
coeficientes constantes, ´ preciso definir alguns conceitos que ser˜o necess´rios
e a a
depois, em particular os conceitos de dependˆncia e independˆncia linear.
e e
Defini¸˜o 3.2 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , a express˜o
ca co a
.R
c1 f 1 + c2 f 2 + . . . + cn f n (39)
onde c1 , c2 , . . . , cn s˜o constantes, ´ uma combina¸˜o linear f1 , f2 , . . . , fn .
a e ca
Por exemplo,
A
5 ln x − 2 cos 2x + 4x2
´ uma combina¸˜o linear de f1 (x) = ln x, f2 (x) = cos 2x e f3 (x) = x2 .
e ca
Defini¸˜o 3.3 Seja a combina¸˜o linear de f1 , f2 , . . . , fn
ca ca
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0 (40)
Se nesta combina¸˜o linear especial pelo menos um dos cj for diferente de
ca
zero, dizemos que as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o linearmente dependentes, ou
co a
LD. Em particualr, duas fun¸˜es f1 (x) e f2 (x) s˜o linearmente dependentes
co a
se, quando
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0 (41)
pelo menos c1 ou c2 puder ser diferente de zero. Por exemplo, as fun¸˜esco
f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x s˜o LD, pois na combina¸˜o linear
a ca
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) = 0
c1 (x) + c2 (2x) + c3 (3x) = 0
29

30. 1
se tomarmos c1 = 3, c2 = −2 e c3 = 3 , veremos que a igualdade ´ satisfeita.
e
Defini¸˜o 3.4 Quando o unico modo de ter a combina¸˜o linear
ca ´ ca
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0
.
for o de escolher c1 = c2 = . . . = cn = 0, as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o
co a
linearmente independentes, ou LI. Em particular, as fun¸˜es f1 e f2 s˜o LI
co a
se, para se ter
.S
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0
´ necess´rio que c1 = c2 = 0. Como exemplo, as fun¸˜es f1 (x) = ex e
e a co
.J
f2 (x) = sin x s˜o LI, pois, para que
a
c1 ex + c2 sin x = 0
´ preciso que c1 = c2 = 0.
e
R
Defini¸˜o 3.5 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , onde cada uma possui deri-
ca co
.
vadas pelo menos at´ a ordem (n − 1), o determinante
e
f1 f2 ... fn
f1 f2 ... fn
A
W (f1 , f2 , . . . , fn ) = .
. .
. ... .
. . (42)
. . .
(n−1) (n−1) (n−1)
f1 f2 . . . fn
´ chamado Wronskiano dessas fun¸˜es. Se o Wronskiano de f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)
e co
for nulo, essas fun¸˜es s˜o LD, e se n˜o for, elas s˜o LI.
co a a a
Vejamos um exemplo. Vamos calcular o Wronskiano das fun¸oes dadas
c˜
no exemplo da defini¸ao 4.3, que s˜o f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x.
c˜ a
Temos trˆs fun¸oes e precisamos achar suas derivadas at´ a ordem 2, ou seja,
e c` e
f1 (x) = 1 f2 (x) = 2 f3 (x) = 3
f1 (x) = 0 f2 (x) = 0 f3 (x) = 0
Agora, calculamos o Wronskiano
f1 f2 f3
W = (f1 , f2 , f3 ) = f1 f2 f3
f1 f2 f3
30

31. x 2x 3x
W = (x, 2x, 3x) = 1 2 3
0 0 0
.
W = (x, 2x, 3x) = 0
.S
e as fun¸oes s˜o LD, como j´ hav´
c˜ a a ıamos mostrado. Vamos calcular agora o
Wronskiano das fun¸˜es dadas no exemplo da defini¸˜o 3.4, que s˜o LI. As
co ca a
x
fun¸oes s˜o f1 (x) = e e f2 (x) = sin x. Suas derivadas s˜o
c˜ a a
.J
f1 (x) = ex f2 (x) = cos x
e o Wronskiano ´
e
f1 f2
R
W = (f1 , f2 ) =
.
f1 f2
ex sin x
W = (ex , sin x) =
ex cos x
A
W = (ex , sin x) = ex cos x − ex sin x
W = (ex , sin x) = ex (cos x − sin x)
que ´ diferente de zero, e portanto as fun¸˜es s˜o LI.
e co a
Teorema 3.1 A equa¸˜o diferencial linear homogˆnea ordin´ria (34)
ca e a
dn y dn−1 y dy
ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
dx dx dx
sempre possui n solu¸˜es linearmente independentes, e a sua solu¸˜o geral ´,
co ca e
a combina¸˜o linear dessas n solu¸˜es, na forma
ca co
f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)
Em particular, se n = 2, a solu¸˜o geral ´
ca e
f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x)
31

32. Um modo de se verificar as solu¸oes f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) s˜o LI ´ calcu-
c˜ a e
lar o seu Wronskiano. Se n˜o for nulo, ent˜o a combina¸ao linear das solu¸˜es
a a c˜ co
´ a solu¸ao geral da equa¸˜o diferencial. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial
e c˜ ca ca
d2 y
.
+y =0
dx2
pode ser resolvida se y(x) = cos x ou se y(x) = sin x. O Wronskiano destas
fun¸oes ´
c˜ e
.S
cos x sin x
W = (cos x, sin x) =
− sin x cos x
.J
W = (cos x, sin x) = cos2 x + sin2 x
R
W = (cos x, sin x) = 1
.
que ´ diferente de zero, e as fun¸oes s˜o LI. Portanto, a solu¸˜o geral da
e c˜ a ca
equa¸ao diferencial ´
c˜ e
A
f (x) = c1 cos x + c2 sin x
Vamos agora partir para o m´todo de resolu¸ao de equa¸oes diferencias
e c˜ c˜
homogˆneas com coeficientes constantes.
e
3.2 Equa¸˜es Diferencias com Coeficientes Constantes
co
As equa¸˜es diferenciais homogˆneas com coeficientes constantes s˜o as equa¸oes
co e a c˜
diferencias na forma
dn y dn−1 y dy
ao n
+ a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (43)
dx dx dx
onde a0 , a1 , . . . , an s˜o constantes reais. Esta equa¸ao pode ser transformada
a c˜
numa outra, atrav´s da substitui¸ao
e c˜
y(x) = emx
Lembrando que
dy
= memx
dx
32

33. d2 y
= m2 emx
dx2
.
d3 y
= m3 emx
dx3
.S
. .
.=.
. .
dn y
= mn emx
.J
dxn
a equa¸ao diferencial (43) fica
c˜
ao mn + a1 mn−1 emx + . . . + an−1 memx + an emx = 0
.R
ou
emx ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0
Como emx = 0, ficamos com
A
ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0 (44)
que ´ um polinˆmio de grau n em m, chamado de equa¸ao caracter´
e o c˜ ıstica da
mx
equa¸ao diferencial (43). Se y(x) = e ´ solu¸ao de (43), ent˜o m deve ser
c˜ e c˜ a
solu¸ao de (44), ou seja, m ´ uma raiz do polinˆmio. Como um polinˆmio de
c˜ e o o
grau n tem n ra´ ızes, temos n valores de m, que correspondem as n solu¸oes
´ c˜
da equa¸˜o diferencial (43). Precisamos apenas separar os casos de ra´
ca ızes
reais e distintas, ra´ reais e repetidas e ra´ complexas.
ızes ızes
3.2.1 Ra´
ızes Reais e Distintas
Se as ra´ de (44) s˜o reais e distintas, ent˜o as solu¸˜es s˜o
ızes a a co a
em1 x , em2 x , . . . , emn x
que s˜o LI, e a solu¸ao geral ´
a c˜ e
y(x) = c1 em1 x + c2 em2 x + . . . + cn emn (45)
Como exemplo, considere a equa¸ao diferencial
c˜
33

34. d2 (y) dy
2
+ 5 + 6y = 0
dx dx
.
Substituindo y(x) = emx , temos
m2 emx + 5memx + 6emx = 0
.S
m2 + 5m + 6 = 0
que ´ a equa¸˜o caracter´
e ca ıstica neste caso. As ra´ s˜o
ızes a
.J
m1 = −2 , m2 = −3
que s˜o diferentes, e as solu¸oes s˜o
a c˜ a
R
e−2x , e−3x
.
que s˜o LI e formam a solu¸˜o geral
a ca
y(x) = c1 e−2x + c2 e−3x
A
3.2.2 Ra´
ızes Reais e Repetidas
Vamos considerar a equa¸ao diferencial
c˜
d2 (x) dy
2
− 4 + 4x = 0 (46)
dt dx
Sua equa¸ao caracter´
c˜ ıstica ´e
m2 − 4m + 4 = 0
que possui a raiz dupla m = 2. Ent˜o, as solu¸oes seriam e2t e e2t . No
a c`
entanto, essas solu¸oes n˜o s˜o LI, como ´ f´cil de verificar, j´ que elas s˜o
c` a a e a a a
2t
iguais. A fun¸˜o e ´ uma solu¸ao, como pode ser visto se a substituirmos
ca e c˜
na equa¸ao diferencial
c˜
d2 2 d
2
(e t) − 4 (e2t ) + 4(e2t ) = 0
dt dt
4e2t − 8e2t + 4e2t = 0
34

35. 0=0
mas falta mais uma, pois uma equa¸˜o diferencial de ordem 2 tem duas
ca
.
solu¸oes. Para achar a outra vamos tentar tomar
c˜
x = e2t y
.S
e ver se isso resolve o problema. Temos ent˜o
a
dx dy dy
= 2e2t y + e2t = e2t 2y +
dt dt dt
.J
e
d2 x dy dy d2 y
= 2e2t 2y + + e2t 2y + + 2
dt2 dt dt dt
.R
d2 x 2t dy d2 y
= 2e 4y + 4 + 2
dt2 dt dt
substituindo tudo isso na equa¸ao (46), o resultado ´
c˜ e
A
dy d2 y dy
e2t 4y + 4 + 2 − 4e2t 2y + + 4e2t y = 0
dt dt dt
ou
dy d2 dy
4y + 4 + 2 − 4 2y + + 4y = 0
dt dt dt
d2 dy
2
+ (4 − 4) + y (4 − 8 + 4) = 0
dt dt
d2
=0
dt2
A equa¸˜o diferencial acima ´ bastante simples de resolver. Chamamos
ca e
dy
w=
dt
e temos
35

36. dy
=0
dt
.
w=c
onde a soma c ´ uma constante que pode ser tomada como sendo c = 1 sem
e
perda de generalidade. Agora,
.S
dy
=1
dt
.J
dy = dt
y =t+d
R
em que d ´ outra constante, que neste caso pode ser tomada como sendo
e
.
d = 0. O resultado ´ y = t, e a outra solu¸ao da equa¸ao diferencial (46) ´
e c˜ c˜ e
te2t
A
que LI em rela¸ao a solu¸ao e2t . A solu¸˜o geral fica
c˜ ` c˜ ca
x(t) = c1 e2t + c2 te2t = e2t (c1 + c2 t)
O procedimento acima ´ absolutamente geral, e quando uma equa¸ao
e c˜
diferencial tem uma raiz mi que se repete k vezes, as solu¸˜es associadas a
co
essa raiz s˜o
a
emi x , xemi x , x2 emi x , . . . , xk−1 emi x
e a solu¸˜o geral fica
ca
c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + ck xk−1 emi x
Se houver mais de uma rais repetida, repete-se o procedimento acima
para cada uma delas. Por exemplo, se uma equa¸ao diferencial tiver uma
c˜
equa¸ao caracter´
c˜ ızes s˜o m = 1, 1, 1, −3, −3, 4 a solu¸ao geral
ıstica cujas ra´ a c˜
dessa equa¸ao diferencial ser´
c˜ a
y(x) = c1 ex + c2 x + c3 x2 ex + c4 e−3x + c5 xe−3x + c6 e4x
e todas as fun¸oes acima s˜o LI, como deveria ser.
c˜ a
36

37. 3.2.3 Ra´
ızes Complexas
O procedimento a ser seguido quando as ra´ s˜o complexas ´ idˆntico aos
ızes a e e
anteriores. Se as ra´ complexas forem distintas, segue-se o caso das ra´
ızes ızes
distintas. Se aparecerem ra´ ızes complexas repetidas, segue-se o caso das
.
ra´
ızes repetidas. As unicas diferen¸as s˜o que, se z = a + bi ´ raiz de uma
´ c a e
equa¸ao, ent˜o z = a + bi, que ´ complexo conjugado, tamb´m ´ raiz, ou seja,
c˜ a ¯ e e e
elas aparecem aos pares. A outra diferen¸a ´ que, usando a rela¸ao de Euler
c e c˜
.S
eiθ = cos θ + i sin θ
podemos expressar, dependendo da necessidade, as exponenciais complexas
como soma de senos e cossenos, para facilitar a “visualiza¸ao”do resultado.
c˜
.J
Como exemplo, a equa¸ao diferencial
c˜
d2 y dy
= −6 + +25y = 0
dx2 dx
R
tem uma equa¸˜o caracter´
ca ıstica dada por
.
m2 − 6m + 25 = 0
que tem as ra´ complexas
ızes
A
m1 = 3 + 4i, m2 = 3 − 4i
que s˜o conjugadas, como esperado. A solu¸ao segue o caso de ra´ reais e
a c˜ ızes
distintas, ou seja, as fun¸oes
c˜
e(3+4i)x e(3−4i)x
formam uma solu¸˜o geral
ca
y(x) = c1 e(3+4i)x c2 e(3−4i)x
que s˜o LI, como deveria ser. Para expressar a solu¸ao na forma de senos
a c˜
e cossenos, ´ prefer´vel transformar as solu¸˜es antes de formar a solu¸ao
e e co c˜
geral, isto ´,
e
y(1) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e4xi = e3x (cos 4x + i sin 4x)
y(2) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e−4xi = e3x (cos 4x − i sin 4x)
37

38. e a solu¸˜o fica
ca
y(x) = k1 y1 + k2 y2
.
= k1 e3x (cos 4x + i sin 4x) + k2 e3x (cos 4x − i sin 4x)
= e3x [(k1 + k2 ) cos 4x + i (k1 − k2 ) sin 4x]
.S
y(x) = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)
.J
que ´ a solu¸ao geral, com c1 = k1 + k2 e c2 = i(k1 − k2 ), expressa em senos
e c˜
e cossenos.
J´ a equa¸ao diferencial
a c˜
d4 x d3 x d2 x dx
R
− 4 3 + 14 2 − 20 + 25x = 0
dt4 dt dt dt
.
tem uma equa¸˜o caracter´
ca ıstica
m4 − 4m3 + 14m2 − 20m + 25 = 0
A
cujas solu¸oes s˜o
c˜ a
m = 1 + 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, 1 + 2i, 1 − 2i
que s˜o repetidas. Ent˜o, as solu¸oes s˜o
a a c˜ a
e(1+2i)t , te(1+2i)t , e(1−2i)t , te(1−2i)t
e a solu¸˜o geral fica
ca
x(t) = (c1 + c2 t)e(1+2i)t + (c3 + c4 t)e(1−2i)t
Na forma de senos e cossenos, temos
x1 = e(1+2i)t = et+2it = et (cos 2t + i sin 2t)
x2 = te(1+2i)t = tet (cos 2t + i sin 2t)
x3 = e(1−2i)t = et−2it = et (cos 2t − i sin 2t)
38

39. x4 = te(1−2i)t = tet (cos 2t − i sin 2t)
que resulta na solu¸ao geral
c˜
.
x(t) = k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 + k4 x4
.S
= k1 = et (cos 2t + i sin 2t) + k2 tet (cos 2t + i sin 2t)
+k3 et (cos 2t − i sin 2t) + k4 tet (cos 2t − i sin 2t)
.J
= et {[(k1 + k3 ) + (k2 + k4 ) t] cos 2t + [i (k1 − k3 ) + i (k2 − k4 ) t] sin 2t}
onde c1 = k1 + k3 , c2 = k2 + k4 , c3 = i(k1 − k3 ) e c4 = i(k2 − k4 )
.R
x(t) = et [(c1 + c2 t) cos 2t + (c3 + c4 t) sin 2t]
Agora j´ sabemos como resolver a equa¸˜o diferencial homogˆnea com
a ca e
coeficientes constantes (43). Vamos estudar o modo de resolver a equa¸ao
c˜
A
n˜o-homogˆnea com coeficientes constantes
a e
dn y dn−1 y dy
ao (x)
n
+ a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (47)
dx dx dx
Para isso, vamos precisar do seguinte teorema, v´lido para qualquer
a
equa¸ao diferencial na forma (6):
c˜
Teorema 3.2 A solu¸˜o geral da equa¸˜o diferencial n˜o-homogˆnea
ca ca a e
dn y dn−1 y dy
ao (x) n
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)
dx dx dx
´ dada por
e
y = yh + yp
onde yh ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial homogˆnea correspondente
e ca ca e
dn y dn−1 y dy
ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
dxn dx dx
e yp ´ uma solu¸˜o particular, sem constantes arbitr´rias, da equa¸˜o dife-
e ca a ca
rencial n˜o-homogˆnea acima.
a e
39