3. Grade de pontos discretos
• A abordagem de diferenças finitas apresentada
até agora, que exige que os cálculos sejam feitos
sobre um arranjo de pontos de grade discretos.
• A disposição destes pontos discretos ao longo do
campo de fluxo é simplesmente chamado de uma
grade.
• A determinação de uma grade adequada para o
fluxo sobre ou através de uma dada forma
geométrica é um problema complexo.
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4. Geração da grade
• A questão da geração de grade é uma
consideração importante em CFD: o tipo de
grade escolhida para um dado problema pode
ajudar ou prejudicar a solução numérica.
• A geração de grade torna-se uma atividade
por si só.
• É assunto de numerosas conferências
especiais, bem como vários livros.
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5. Conversão de grades
• A abordagem de diferenças finitas exige uma grade
uniforme.
• Não temos uma forma direta para resolver
numericamente as equações de fluxo que regulam
mais de uma grade não uniforme dentro do contexto
de um método diferenças finitas.
• Em vez disso, a grade não uniforme deve (de alguma
forma) ser convertida em uma grade uniforme,
retangular.
• As equações diferenciais parciais devem ser
reformuladas de modo a aplicarem-se nesta grade
retangular transformada.
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6. Problema...
• Alguns problemas reais não permitem que
sejam aplicadas as equações de diferenças
finitas diretamente.
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8. Questões
1. Alguns pontos da grade caem dentro do aerofólio,
onde eles estão completamente fora do fluxo.
•
Quais são os valores das propriedades de fluxo que atribuiremos
a estes pontos?
2. Existem poucos, se algum, os pontos da grade que
caem sobre a superfície do perfil aerodinâmico.
Isto não é bom, porque a superfície do perfil
aerodinâmico é uma condição de contorno vital para
a determinação da forma e, consequentemente, a
superfície do perfil aerodinâmico deve ser clara e
claramente vista pela solução numérica.
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9. A grid adequada
Plano físico
• Aqui vemos uma
grade não uniforme
curvilínea que é
literalmente
desenhada em torno
do aerofólio.
Plano computacional
• Os pontos a, b, e c, no
plano físico
correspondem aos
pontos a, b, e c no
plano computacional.
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10. Transformação de coordenadas
• A transformação deve ser definida de tal forma que exista uma
correspondência um-para-um entre a grade retangular e a grade
física.
• As equações de diferenciais finitas são resolvidas por um método
de diferença finita realizado no espaço computacional.
• O resultado é diretamente levado de volta ao plano físico, através
da correspondência de um-para-um dos pontos da grade.
• As equações governantes são resolvidas no espaço computacional,
que deve ser expresso em termos das variáveis x variáveis e h, em
vez de x e y.
• As equações que governam o fluxo devem ser transformadas a
partir de (x, y) para (x, h) como as novas variáveis independentes.
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11. Ações relativas a grades
1. Obter as transformações das coordenadas e
das equações.
2. Gerar a grade.
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12. Transformação das variáveis
• Por simplicidade vamos começar com um
fluxo fora do regime, com variáveis
independentes x, y e t.
• As variáveis independentes do espaço físico
(x,y,t) serão transformadas em (x,h,t), onde
x x ( x, y , t )
h h ( x, y , t )
t t (t )
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A
“Transformação”
13. ...e as derivadas?
• Usando a regra da cadeia:
x
h
t
x
h x t x
x y ,t h ,t x y ,t
y ,t x ,h y ,t
x ,t
• Os subscritos são adicionados para enfatizar que
as variáveis são mantidas constantes na
diferenciação parcial.
• Em nossas expressões posteriores, os subscritos
serão descartados, no entanto, é sempre útil
mantê-los em mente.
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15. d/dt
• E para o tempo
x
h
t
x
h t t t
t x , y h ,t t x , y
x , y x ,h x , y
x ,t
ou
x h t
x t
h t t t
t
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16. A métrica da transformação
• Os termos
x x h h
,
,
e
x y x y
correspondem à métrica da transformação.
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22. Exemplo 1
• Obter a equação de Laplace em (x,y,t)
transformada para o espaço (x,h,t),
Equação de Laplace:
2 2
2 0
2
x
y
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24. A transformação inversa
• Também se faz necessária a transformação do
espaço computacional para o espaço físico.
• As variáveis independentes do espaço
computacional (x,h,t) serão transformadas
em (x,y,t):
x x(x ,h ,t )
y y (x ,h ,t )
t t (t )
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25. A transformação inversa
• Consideremos a componente u da velocidade.
Sua derivada no espaço físico vale:
u
u
du
dx dy
x
y
• Levando para o espaço computacional,
teremos
u u x u y
x dx dx dy dx
u u x u y
h dx dh dy dh
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26. A transformação inversa
• Considerando
u u x u y
x dx dx dy dx
u u x u y
h dx dh dy dh
um sistema linear,
•
usando o método de Cramer,
podemos escrever
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u
x
u
u h
x
x
x
x
h
y
dx
y
dh
y
dx
y
dh
27. O jacobiano
O denominador da última expressão é o
jacobiano determinante, denotado por
x
( x, y ) x
J
(x ,h ) x
h
y
dx
y
dh
O Jacobiano é a matriz de todos as derivadas
parciais de primeira ordem de um vetor ou de
função com valor escalar com respeito a outro
vector.
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28. A transformação inversa
Com esta nova notação, teremos
u 1 u y u y
x h h x
x J
e
u 1 u x u x
h x x h
y J
Estas fórmulas expressam as derivadas das variáveis do fluxo no
espaço físico em termos das derivadas das variáveis do fluxo
no espaço computacional.
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39. Forma robusta das equações transformadas
Finalmente, temos
U1 F1 G1
0
t
x h
onde
U1 JU
x
x
F1 JF
JG
x
y
h
h
G1 JF
JG
x
y
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40. GERAÇÃO ALGÉBRICA DE GRADE
ELÍPTICA EM DOMÍNIOS DE BLOCOS
ESTRUTURADOS
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41. Introdução
• A maioria das técnicas de solução de equações
diferenciais parciais busca uma aproximação com
a verdadeira solução em grades.
• Estas grades têm de satisfazer certos requisitos
no que diz respeito à sua geometria, bem como a
sua topologia.
• O tipo de grade escolhida tem grande influência
sobre a qualidade dos resultados obtidos.
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42. Classificação de malhas
Malha estruturada
- Caracterizada por conectividade regular.
- Restringe as escolhas de elementos para
quadriláteros em 2D ou em hexaedros em 3D.
Malha não estruturada
- Caracterizada pela conectividade irregular.
- Os requisitos de armazenamento para uma malha
não estruturada pode ser substancialmente maior.
- Bom para geometria complexa.
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45. Métodos para geração de grade estruturada
Método algébrico
- Mais fácil para a geração de
malhas.
- “Propagação de canto”
- “Quebra” das linhas de grade.
- Serve como grade inicial para a
geração de grade elíptica.
Método Elíptico
- Produz as grades melhor
possível no sentido de suavidade
e rede de distribuição de ponto.
- Pode ser utilizado com função
de controle (Poisson) ou sem
função de controle (Laplace).
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46. Método algébrico:
equações de geração de grade
• Sistema de equações de Laplace (membranas)
a22 xxx 2a12 xxh a11 xhh 0
a22 yxx 2a12 yxh a11 yhh 0
Desvantagem: não fornece qualquer controle
sobre a distribuição de pontos internos.
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47. Método elíptico:
equações de geração de grade
• Sistema de equações de Laplace (membranas)
a22 xxx 2a12 xxh a11 xhh 0
a22 yxx 2a12 yxh a11 yhh 0
Desvantagem: não fornece qualquer controle
sobre a distribuição de pontos internos.
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48. Método elíptico:
equações de geração de grade
• Sistema de equações de Poisson
1
2
a22 xxx 2a12 xxh a11 xhh (a22 P1 2a12 P1 a11 P22 ) xx (a22 P 2 2a12 P 2 a11 P22 ) xh
11
12
11
12
1
2
a22 yxx 2a12 yxh a11 yhh (a22 P1 2a12 P1 a11 P22 ) yx (a22 P 2 2a12 P 2 a11 P22 ) yh
11
12
11
12
Sistema original de
Laplace
Funções de controle
Desvantagem: não fornece qualquer controle
sobre a distribuição de pontos internos.
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49. Método
1. Definir os pontos
das bordas.
2. Criar um grid inicial
(algébrico).
3. Aplicar
interativamente o
método de Laplace
ou Poisson.
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50. Método
Para Laplace: x 0
com condições de
contorno de Dirichlet a
discretização fica
xi , j
xi 1, j xi 1, j xi , j 1 xi , j 1
4
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51. Programa exemplo
//--------------------------------------------------------------------------// executa um passo no sentido da solução
float dgrid()
{
int i,j;
float xm,ym,erro,mm;
float xx[MAXDIM][MAXDIM];
float yy[MAXDIM][MAXDIM];
mm = 0; erro = 0;
for(i=1;i<(n-1);i++)
for(j=1;j<(m-1);j++) {
xm = (xx[i-1][j] + xx[i+1][j] + xx[i][j-1] + xx[i][j+1])/4;
ym = (yy[i-1][j] + yy[i+1][j] + yy[i][j-1] + yy[i][j+1])/4;
erro += sqr(x[i][j] - xm) + sqr(y[i][j] - ym);
mm += 1.0;
x[i][j] = xm;
y[i][j] = ym;
}
erro = sqrt(erro) / mm;
return erro;
}
xi , j
xi 1, j xi 1, j xi , j 1 xi , j 1
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