Este documento apresenta conceitos básicos sobre sistemas de tempo discreto, incluindo: 1) Definição formal de sistemas de tempo discreto e classificação entre sistemas com/sem memória, lineares/não-lineares, invariantes/variantes no tempo e causais/não-causais; 2) Introdução aos sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), que mapeiam entrada em saída por meio de soma de convolução entre entrada e resposta ao impulso; 3) Propriedades da convolução como comutativa, associ

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Aula 03
Sistemas de Tempo Discreto
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

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Objetivos
• Definir formalmente os sistemas de tempo discreto;
• Apresentar a classificação de sistemas de tempo discreto;
• Introduzir a classe de sistemas em tempo discreto, lineares e invariantes no tempo;
• Apresentar o conceito de soma de convolução.
2

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• Definição: Transformação matemática que mapeia uma sequência de entrada x(n), em uma
sequência de saída y(n).
• Exemplos:
Conceitos Básicos
3
 
( ) ( )
y n T x n
  
T
( )
x n ( )
y n
( ) ( )
d
y n x n n
 
( ) ( )
n
k
y n x k

 
2
1
1 2
1
( ) ( )
1
M
k M
y n x n k
M M 
 
 

( ) 0,5 ( 1) ( ) 0,2 ( 1)
y n y n x n x n
    
( ) ( )
x n y n

Representação compacta:
(Deslocador)
(Acumulador)
(Média móvel)

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Classificação de Sistemas de Tempo Discreto
• Sistema sem memória (ou estático):
• A saída y(n) em um instante n=n0 depende apenas da entrada x(n) no mesmo instante n=n0;
• Caso contrário, o sistema é dito com memória (ou dinâmico);
• Exemplos:
4
2
( ) ( )
y n x n

( ) ( ) ( 1)
y n x n x n
  
(Sistema sem memória)
(Sistema com memória ou dinâmico)

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Classificação de Sistemas de Tempo Discreto
• Sistema Linear:
• Um sistema é dito linear se e somente se:
• Do contrário, ele é dito não-linear;
• Exemplo:
5
1 1
( ) ( )
x n y n

2 2
( ) ( )
x n y n

1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ,
ax n bx n ay n by n a b
   
( ) ( ) ( 1)
y n x n x n
   é linear, pois:
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 1)
x n y n x n x n
   
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( 1)
x n y n x n x n
   
 
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)
ax n bx n ax n bx n ax n bx n
      
1 1 2 2
( ) ( 1) ( ) ( 1)
ax n ax n bx n bx n
     
   
1 1 2 2
( ) ( 1) ( ) ( 1)
a x n x n b x n x n
      1 2
( ) ( )
ay n by n
 

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Classificação de Sistemas de Tempo Discreto
• Sistema Linear:
• Exemplo:
6
2
( ) ( )
y n x n
 é não-linear, pois:
2
1 1 1
( ) ( ) ( )
x n y n x n
 
2
2 2 2
( ) ( ) ( )
x n y n x n
 
 
2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
ax n bx n ax n bx n
  
2 2 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
a x n b x n abx n x n
   1 2
( ) ( )
ay n by n
 

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Classificação de Sistemas de Tempo Discreto
• Sistema invariante no tempo (ou ao deslocamento):
• Um deslocamento na entrada gera o mesmo deslocamento na saída, ou seja:
• Do contrário, ele é dito variante no tempo.
• Exemplo:
• Exemplo:
7
( ) ( 2)
y n x n
  é invariante no tempo, pois:
( ) ( ) ( 2)
x n y n x n
  
( ) ( 2)
x n k x n k
   
( 2 )
x n k
   ( )
y n k
 
( ) ( 2)
y n k x n k
   
( ) ( ) ( 2)
y n x n nx n
   é variante no tempo, pois:
( ) ( ) ( ) ( 2)
x n y n x n nx n
   
( ) ( ) ( 2)
x n k x n k nx n k
     
( ) ( ) ( ) ( 2)
y n k x n k n k x n k
      
( )
y n k
 
( ) ( )
x n y n
 ( ) ( )
x n k y n k
  

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Classificação de Sistemas de Tempo Discreto
• Sistema causal:
• Um sistema é dito causal se a saída em n = n0 depende apenas das entradas em n ≤ n0.
• Exemplo:
• Do contrário, o sistema é dito não-causal.
• Exemplo:
• De forma prática, um sistema é causal quando ele não responde até ter sido excitado;
8
( ) ( ) ( 1)
y n x n x n
  
( ) ( 1) ( )
y n x n x n
  

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Classificação de Sistemas de Tempo Discreto
• Sistema estável (critério BIBO – bounded-input bounded-output):
• Um sistema é dito estável se para toda entrada com amplitude limitada, a saída também
terá amplitude limitada;
• Do contrário, o sistema é instável.
• Exemplo:
9
( ) ( )
x y
x n B n y n B n
        
 
10
( ) log ( )
y n x n
 é instável, pois para ( ) 0 ( )
x n y n
   

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Sistemas que são, simultaneamente, lineares e invariantes no tempo (linear and time-invariant)
apresentam um importante papel na engenharia;
• Boa parte dos sistemas são LTI ou podem ser aproximados por tal;
• Existem várias ferramentas para a análise de sistemas LTI.
• Determinando a saída de um sistema LTI:
10
 
( ) ( )
y n T x n

( ) ( ) ( )
k
x n x k n k



 

( ) ( ) ( )
k
y n T x k n k



 
 
 
 
  
( ) ( )
k
T x k n k



 
  
( ) ( )
k
x k T n k



 


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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Definindo como a resposta ao impulso do sistema, como o sistema é invariante
no tempo, então:
• Portanto:
11
 
( ) ( )
h n T n


 
( ) ( )
T n k h n k
   
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k


 
 (Soma de convolução)
( ) ( ) ( )
y n x n h n
 
( )
h n
( )
x n ( )
y n

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Propriedades da Convolução:
• Comutativa:
12
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
x n h n h n x n h k x n k


    

( )
h n
( )
x n ( )
y n
( )
x n
( )
h n ( )
y n

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Propriedades da Convolução:
• Associativa:
13
     
1 2 2 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
eq
x n h n h n x n h n h n x n h n h n x n h n
         
1( )
h n
( )
x n
2 ( )
h n
( )
y n
1( )
h n
( )
x n
2 ( )
h n
( )
y n
( )
x n
( )
eq
h n
( )
y n
1 2
( ) ( ) ( )
eq
h n h n h n
 

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Propriedades da Convolução:
• Distributiva:
• Deslocamento:
• Se x(n) está limitado ao intervalo de [Lx, Hx] e h(n) está limitado ao intervalo de [Lh, Hh],
então y(n) = x(n)*h(n) está limitado ao intervalo [Lx + Lh, Hx + Hh].
• Convolução com o impulso unitário:
14
 
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x n h n h n x n h n x n h n
     
( )
x n
1( )
h n
2 ( )
h n
( )
y n
 ( )
x n ( )
eq
h n ( )
y n
1 2
( ) ( ) ( )
eq
h n h n h n
 
( ) ( ) ( )
y n x n h n
  ( ) ( ) ( )
x n k h n m y n k m
     
( ) ( ) ( )
x n n x n

 

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Obtenção da sequência h(n - k):
15
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k


 
 ( ) ( ( ))
h n k h k n
   
( )
h k
1( ) ( )
h k h k
 
0
0
3
 6
6
 3
2 1
( ) ( )
h k h k n
 
6 n
  3 n

0
( ( ))
h k n
   ( )
h n k
 
Em resumo, h(n-k) pode através de:
• Refletir a sequência h(k), gerando h(-k);
• Deslocar a sequência h(-k) por n
amostras, gerando h(n-k).
• Se n > 0, o deslocamento é para a
direita;
• Se n < 0, o deslocamento é para
esquerda.

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
Exemplo: Determine a saída de um Sistema LTI abaixo:
16
( ) ( )
h n u n
 ( ) ( )
n
x n u n


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n x n h n x k h n k


   
 ( ) ( )
k
k
u k u n k



 

1 0
( ) ( )
0 caso contrário
k n
u k u n k
 

  

( )
u k
k
0
( )
u k

k
0
( )
u n k

k
0 n
( ) ( )
u k u n k

k
0 n
0
( )
n
n
k
y n 

 
1
1
1
n






( ) 0
y n 
1
1
( ) ( )
1
n
y n u n






Para 0
n  
Para 0
n  

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
• Interpretação gráfica da operação de convolução:
1. Plote ambas as sequências, x(n) e h(n) em termos de k;
2. Escolha uma das sequências, por exemplo, h(k), e realize a reflexão temporal, obtendo a
sequência h(-k);
3. Realize o deslocamento da sequência h(-k) por n, obtendo a sequência h(n - k);
4. Multiplique as duas sequências x(k) e h(n - k) ponto-a-ponto, e some para todos os valores
de k, obtendo assim y(n);
5. Incremente o índice n e repita os passos 3 e 4.
17

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
Exemplo: Determine a saída do sistema LTI abaixo:
18
( ) ( ) ( )
h n u n u n N
   ( ) ( )
n
x n u n


1 0 1
( ) ( ) ( )
0 caso contrário
n N
h n u n u n N
  

    

0
0.5
1
-10 0 10 20
0
0.5
1
0
0
0.5
1
N-1
0
-(N-1)
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k


 


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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
Exemplo: Determine a saída do sistema LTI abaixo:
19
0
n-(N-1) n
k
x(k)
h(n-k)
Caso 1: n < 0
( ) ( ) ( ) 0
k
y n x k h n k


  

0
n-(N-1) n
k
x(k)
h(n-k) ( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k


 

Caso 2: 0 < n < N-1
0
n
k
k


 
1 2
2
1
1
1
N N
N
k
k N
 








1
1
1
n






( ) ( ) 0
x k h n k
 
( ) ( ) k
x k h n k 
 

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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)
Exemplo: Determine a saída do sistema LTI abaixo:
20
Caso 3: n > N - 1
1 1
( )
1
n N n
y n
 

  



0 n-(N-1) n
k
x(k)
h(n-k)
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k


 
 ( 1)
n
k
k n N

  
 
1 2
2
1
1
1
N N
N
n
k N
 








1 1
1
N
n N 


   

  

 
( ) ( ) k
x k h n k 
 
Desta forma:  
 
1
1
0 0
( ) 1 1 0 1
1 1 1
n
n N N
n
y n n N
n N
 
  

 
 


     


 
   
  


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Na próxima aula...
• Análise de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo.
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Referências
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3º
Edição, Pearson, 2013 (pg. 11 – 20);
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Exercícios
• Capítulo 2 (Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de
Sinais. 3º Edição, Pearson, 2013):
• Problemas Obrigatórios: 2.1, 2.3, 2.28, 2.29 e 2.30;
• Problemas Opcionais: 2.10, 2.22 e 2.38.
Prazo de entrega: 1 semana.
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